tên đề tài nhìn bài toán hình học phẳng thuần túy bằng “con mắt tọa độ

S GIO DC O TO BèNH NH TRNG THPT TNG BT H *** SNG KIN KINH NGHIM MễN TON ẹe taứi: NHèN BI TON HèNH HC PHNG THUN TY BNG CON MT TA Ngi thc hin: Huyứnh Duy Thuỷy Nm hc 2012-2013 Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy 1 MỤC LỤC Trang PHẦN A: MỞ ĐẦU 3 I. Đặt vấn ñề. 3 1. Thực trạng của vấn ñề 3 2. Ý nghĩa và tác dụng. 3 3. Phạm vi nghiên cứu của ñề tài. 4 II. Phương pháp tiến hành. 4 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn có tính ñịnh hướng cho việc nghiên cứu, tìm giải pháp của ñề tài. 4 2. Các biện pháp, thời gian tạo ra giải pháp. 5 PHẦN B: NỘI DUNG 5 I. Mục tiêu 5 II. Mô tả phương pháp của ñề tài. 5 1. Thuyết minh tính mới. 6 2. Nội dung cụ thể: 6 Các nguyên tắc cần lưu tâm khi giải bài toán hình học thuần túy bằng công cụ tọa ñộ. 6 - Hình thành hệ trục tọa ñộ trong mặt phẳng. 7 - Những kiến thức thiết yếu trong sử dụng công cụ tọa ñộ. 12 * Bài tập minh họa: 15 - Dạng bài: Tính toán 15 - Dạng bài: Chứng minh hai ñường thẳng vuông góc. 21 - Dạng bài: Chứng minh ñẳng thức liên quan ñến ñộ dài ñoạn thẳng. 24 - Dạng bài: Chứng minh ñường thẳng ñi qua ñiểm cố ñịnh. 27 - Bài toán minh họa: 2 cách chọn hệ trục tọa ñộ Đề-các khác nhau. 32 - Dạng bài: Tính tỷ số giữa hai ñoạn thẳng. 37 - Dạng bài: Tương giao giữa các ñường thẳng. 41 - Dạng bài: Xác ñịnh vị trí của ñiểm. 46 - Dạng bài: Chứng minh hai ñường thẳng song song. 49 M ỤC LỤC Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy 2 - Dạng bài: Chứng minh 1 ñiểm di ñộng trên 1 ñường cố ñịnh. 53 - Dạng bài: Liên quan ñến giá trị lớn nhất của biểu thức. 56 - Dạng bài: Tìm quỹ tích. 59 3. Khả năng áp dụng. 61 Phần trích ngang hoạt ñộng chuyên môn của tác giả. 63 PHẦN C: KẾT LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy 3 PHẦN A: MỞ ĐẦU I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Thực trạng của vấn ñề: * Bài toán hình học phẳng “thuần túy” là một trong những bài toán cổ xưa nhất của toán học, ẩn chứa vẻ ñẹp diệu kỳ, là một trong những bài toán rất phổ thông và có vai trò quan trọng trong toán học và ñời sống. Trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế, thí sinh thường xuyên phải va chạm với bài toán khá “hóc búa” gây nhiều khó khăn, trăn trở này. Vì thế việc tìm hiểu và tường minh một giải pháp khả dĩ là kỳ vọng của tác giả. - Sử dụng công cụ tọa ñộ là giải pháp ñược ñề cập và luận bàn trong bài viết này. * Những câu hỏi rất “tự nhiên” ñược ñặt ra là: - Dựa vào dấu hiệu nào, ñặc ñiểm gì mà ta vận dụng công cụ tọa ñộ ? - Với mỗi bài toán, việc xây dựng hệ trục tọa ñộ ñược hình thành qua những công ñoạn nào? - Liệu rằng có thể xác lập ñược một nguyên tắc chung với các bước thực hiện có trình tự trong việc vận dụng công cụ tọa ñộ hay không?. Bằng sự trải nghiệm, người viết cố gắng giải ñáp những câu hỏi ñã ñặt ra với ước vọng góp một chút suy nghĩ bé nhỏ của mình ñể cùng quý thầy cô tạo ra một góc nhìn ña chiều về bài toán rất phổ thông và quan trọng này. 2. Ý nghĩa và tác dụng: - Giải pháp sử dụng công cụ tọa ñộ mang lại nhiều ý nghĩa và tác dụng: Với việc sử dụng công cụ tọa ñộ, ta ñã ñại số hóa bài toán hình học. Biến những quan hệ thuần túy trong hình học sang yếu tố về “lượng”, chính vì thế “cơ hội” giải bài toán cao hơn và có ñường lối hơn. Điều này là rất quan trọng trong dạy toán, học toán. 3. Phạm vi nghiên cứu của ñề tài: Phạm vi nghiên cứu mà ñề tài hướng tới là: - Hình thành cô ñọng lượng kiến thức thiết yếu, nền tảng làm cơ sở cho giải pháp sử dụng công cụ tọa ñộ. A. PH ẦN MỞ ĐẦU I. ĐẶT VẤN ĐỀ: Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy 4 - Xây dựng nguyên tắc xác ñịnh hệ trục tọa ñộ Đề các tương ứng với mỗi loại hình. - Khám phá, phân tích nhiều lời giải trên một bài toán, làm rõ quan hệ hữu cơ, sự hỗ trợ, bổ sung cho nhau giữa các cách giải, từ ñó hoàn thiện kiến thức và nắm bắt bài toán một cách thấu ñáo và có chiều sâu. II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn: Qua quá trình giảng dạy, người viết luôn nâng cao ý thức tự học, tinh thần cầu tiến, lắng nghe, học hỏi ở nhiều thế hệ thầy cô. Tìm tòi, tham khảo những tài liệu có liên quan, khai thác, khám phá, phát hiện, kiến tạo, xử lý và tích lũy thông tin. 2. Các biện pháp tiến hành, thời gian: * Từ những dạng bài trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi, người viết suy nghĩ , “mỗ xẻ”, tìm ra biện pháp, ý tưởng theo cách của riêng mình, tạo ra một cách nhìn nhiều khía cạnh, “nhìn” từ phía bên trong của mỗi bài toán. * Người viết xin cam ñoan rằng: Đề tài này tự bản thân mình xây dựng với tất cả lòng ñam mê của người ñã “trót yêu” toán. Tuyệt ñối không sao chép, dựa dẫm từ bất kì ñề tài nào. II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH: Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy 5 I. MỤC TIÊU - Với kết cấu và u cầu chung của chương trình hiện nay, việc giải tốn bằng cơng cụ tọa độ được đặc biệt nhấn mạnh. - Với việc xử lý các tính chất, quan hệ hình học bằng phép tốn đại số, người viết hy vọng góp một chút cơng sức để làm phong phú hơn “hành trang” của người dạy tốn, học tốn, bằng một giải pháp mạnh “giải pháp sử dụng cơng cụ tọa độ”. 1. Tính mới và tính sáng tạo của giải pháp: - Tính mới của giải pháp dự thi thể hiện ở 7 điểm sau: (7 điểm mới này cũng đồng thời khắc phục được những nhược điểm của giải pháp đã biết). Bên cạnh lời giải có sẵn, tác giả sáng tác thêm ít nhất một lời giải mới cho mỗi bài tốn (có những bài tốn tác giả trình bày 4 cách giải, trong đó có 3 cách giải mới do tác giả tự sáng tác). Từ đó tạo ra một góc nhìn đa chiều về bài tốn rất phổ thơng và quan trọng này. Làm rõ tính tương tác, quan hệ biện chứng, sự hỗ trợ, bổ sung lẫn nhau giữa cách giải truyền thống và cách giải sử dụng cơng cụ tọa độ, từ suy nghĩ cho cách giải này giúp nảy sinh ý tưởng cho cách giải khác và ngược lại. Từ đó tạo ra nhiều sự lựa chọn và “cơ hội” giải bài tốn cao hơn, có đường lối hơn. Chỉ ra được trên cùng một bài tốn, ta có thể xác lập được các hệ trục tọa độ Đề các với những vị trí khác nhau, mà bài tốn vẫn cho cùng kết quả. Điều này thể hiện tính độc đáo, sự “tự do” khơng bị gò bó, cứng nhắc của giải pháp. Đây lại là một ưu điểm rõ ràng của giải pháp. B. NỘI DUNG I. MỤC TIÊU. II. MƠ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI. Một là: Hai là: Ba là: Sỏng kin kinh nghim. Nm hc 2012 - 2013 Ngi thc hin: Hunh Duy Thy 6 Ch ra ủc nhng bi toỏn nu s dng gii phỏp cụng c ta ủ, thỡ bi gii cho kt qu ủp, ngn gn, cụ ủng v trn vn. cp ủn nhng bi toỏn hỡnh hc phng, nu gii bng cỏch thun tỳy truyn thng thỡ khú thc hin, thm chớ b tc. Trong khi ủú gii phỏp vn dng cụng c ta ủ vn kh thi. X lý ủc bi toỏn bng cỏch s dng gii phỏp d thi thỡ cht ch, thuyt phc dt ủim hn so vi cỏch gii thun tỳy truyn thng. Xỏc lp ủc nguyờn tc hỡnh thnh h trc ta ủ cỏc tng thớch cho mi loi hỡnh. 2. Ni dung c th: * Cỏc nguyờn tc cn lu tõm khi gii bi toỏn hỡnh hc phng thun tỳy bng cụng c ta ủ l: + Chn h trc ta ủ - Gc ta ủ, trc ta ủ thng gn lin vi ủim v ủng ủc bit ca bi toỏn nh: tõm ủng trũn, ủnh gúc vuụng, trung ủim ủon thng, chõn ủng cao . + Chuyn ủi ngụn ng t yu t hỡnh hc thun tỳy sang ngụn ng ta ủ. - Chun húa ủ di cỏc ủon thng v ủn v trc. - T ủú xỏc ủnh ta ủ cỏc ủim v phng trỡnh cỏc ủng, theo hng hn ch ủn mc thp nht vic s dng cỏc tham s, ủiu chnh giỏ tr ca cỏc tham s ủ nhn ủc nhng ta ủ ủp giỳp cỏc phộp toỏn tr nờn ủn gin. + Khai thỏc cỏc tớnh cht v phộp toỏn liờn quan ủn vộct v ta ủ nh: - iu kin theo ta ủ ủ 2 vộc t vuụng gúc. Boỏn laứ: Naờm laứ: Saựu laứ : Baỷy laứ: Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy 7 . - Điều kiện theo tọa ñộ ñể 2 véc tơ cùng phương. - Tính khoảng cách từ 1 ñiểm ñến ñường thẳng dựa theo tọa ñộ. - Tính số ño của góc hợp bởi 2 ñường thẳng dựa theo tọa ñộ … + Với sự trợ giúp của công nghệ máy tính ta không “ngại” khâu tính toán. * Bài toán có ñơn giản hay không, phần lớn phụ thuộc vào việc hình thành hệ trục tọa ñộ và ñơn vị trục. * Sau ñây là cách chọn hệ trục tọa ñộ tương ứng với những loại hình ñơn giản và thường gặp. Ta chọn hệ trục tọa ñộ Đề các vuông góc Axy: B thuộc tia Ax Chuẩn hóa AB = 1 A (0; 0) B (1; 0) Hoặc chọn hệ trục tọa ñộ Đề các vuông góc Ixy. Trong ñó I là trung ñiểm ñoạn AB. B thuộc tia Ox. TAM GIÁC CÂN * Trường hợp tam giác ABC cân tại A. Thông thường ta xây dựng hệ trục tọa ñộ ñề các vuông góc như sau: - Hạ ñường cao từ ñỉnh của tam giác cân ñến cạnh ñối diện AO BC ⊥ - Chọn hệ trục tọa ñộ ñề các vuông góc Oxy trong ñó: x y A B HÌNH THÀNH HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG NHƯ THẾ NÀO? ĐOẠN AB CỐ ĐỊNH TAM GIÁC CÂN Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy 8 + O (0; 0) là gốc tọa ñộ. + Đỉnh C thuộc tia Ox. + Đỉnh A thuộc tia Oy. * Chuẩn hóa ñộ dài. Đặt OC c OA a =   =  (a, c > 0) Khi ñó ta nhận ñược C (c ; 0) B (-c ; 0) A (0; a) G (0; 3 a ) (G là trọng tâm ABC ∆ ) TAM GIÁC ĐỀU y x B C O G A * Hạ AO ⊥ BC Chọn hệ trục tọa ñộ Đề các vuông góc Oxy. C thuộc tia Ox A thuộc tia Oy * Chuẩn hóa ñộ dài cạnh tam giác bằng 2a. (a > 0) B (-a ;0) C (a ; 0) A (0; 3 a ) y 0 x B C A TAM GIÁC ĐỀU Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy 9 TAM GIÁC HÌNH VUÔNG ABCD Chọn hệ trục tọa ñộ Đề các vuông góc Axy B thuộc tia Ax D thuộc tia Ay Chuẩn hóa ñộ dài cạnh hình vuông bằng 2 Ta có: A (0; 0) B (2; 0) C (2; 2) D (0; 2) Tâm hình vuông I (1; 1) Trung ñiểm cạnh AB là P (1;0) Chọn hệ trục tọa ñộ Đề các vuông góc Oxy. Gốc tọa ñộ O là trung ñiểm cạnh BC. C thuộc tia Ox. Hoặc Chọn hệ trục tọa ñộ Đề các vuông góc Oxy. Gốc tọa ñộ O là chân ñường vuông góc hạ từ ñỉnh A. C thuộc tia Ox. A thuộc tia Oy. x B C O A y A 0 x B C x y D C A B P I TAM GIÁC HÌNH VUÔNG [...]... 3h) CÁC LO I HÌNH KHÁC CÁC LO I HÌNH KHÁC * i u quan tr ng c n nh n rõ r ng có lo i hình, khi ch n h tr c t a các vuông góc, ta có th ch ch n m t tr c t a , tr c còn l i không c n quan tâm t i, bài toán v n gi i t t - Còn hơn th n a, trên cùng m t bài toán, ta có th l a ch n nh ng h tr c t a -các vuông góc khác nhau, nhưng v n em l i k t qu như nhau - Nh ng i u trên ư c trình bày trong ph n bài t p minh... ki n kinh nghi m Năm h c 2012 - 2013 BÀI T MINH H A BÀI T P MINH H A Trong m i bài t p minh h a ngư i vi t tìm tòi, phát hi n nh ng n, trao i suy nghĩ, phân tích l i gi i B i m i l i gi i mang m t nét c i m ti m p riêng và ngoài vi c c p nh t cho ta gi i pháp x lý bài toán, còn hàm ch a m t lư ng ki n th c thi t y u D NG BÀI TÍNH TOÁN D NG BÀI TÍNH TOÁN Cho tam giác ABC có BEC là góc nh n, trong ó E... 2012 - 2013 HÌNH CH NH HÌNH CH NH TT - Ch n m t nh c a hình ch nh t làm g c t a - Hai c nh liên ti p c a hình ch nh t n m trên hai tr c t a D * Chu n hóa C dài: Không m t tính t ng quát, ta I t chi u dài, chi u r ng c a hình ch nh t l n lư t là: Khi ó ta nh n ư c nh ng k t qu th t x B A 2a, 2b, (a > b>0) p Ch ng h n: Tâm c a hình ch nh t là I (a, b) Phương trình ư ng tròn ngo i ti p hình ch nh t... phương trình ư ng c nh là: y = f ( x) Bài toán: Ch ng minh hai ư ng th ng vuông góc -Ta v n d ng bi u th c t a c a tích vô hư ng r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a1a2 + b1b2 = 0 Ho c ch ng minh tích hai h s góc c a 2 ư ng th ng b ng (-1) Bài toán: Ch ng minh ba i m th ng hàng - Ta v n d ng i u ki n là: h m uuu r uuur 2 véctơ AB = (h, k ) và AC = (m, n) cùng phương k =0 n Bài toán: Ch ng minh hai ư ng th ng song... = a 2 + b 2 HÌNH THOI HÌNH THOI y * Hai ư ng chéo c a hình thoi vuông góc v i nhau, nên ta có th ch n giao i m 2 ư ng chéo là g c t a - M i ư ng chéo n m trên m i tr c t a * Trư ng h p bi t s o c a 1 góc nh hình thoi, ta có th ch n nh này làm g c t a và m t c nh c a hình thoi i qua nh ó là 1 tr c t a * Chu n hóa dài: có nh ng t a “ p” không m t tính t ng quát, ta chu n hóa dài c nh hình thoi b ng... phương Bài toán: TÌM DI N TÍCH - Ta v n d ng công th c tính kho ng cách t 1 i m d ( M , ∆) = - Công th c tính n 1 ư ng th ng axM + byM + C a 2 + b2 dài o n th ng AB = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2 Bài toán: Tính s o góc h p b i 2 ư ng th ng - Ta v n d ng công th c Ngư i th c hi n: Huỳnh Duy Th y rr a.b r r cos( d1 , d 2 ) = cos(a, b) = r r a b 14 Sáng ki n kinh nghi m Năm h c 2012 - 2013 BÀI T MINH... là m t ưu i m n a c a gi i pháp s d ng công c t a NH NG KI N TH C THI T Y U TRONG S D NG CÔNG C T A * V i vi c hình thành h tr c t a trong m t ph ng, ta gi i ư c các bài toán thư ng g p sau ây, d a theo các bư c ã ư c “m c riêng” c a gi i pháp s d ng công c t a nh” ây là th m nh “r t Bài toán: TÌM QU TÍCH I M M Ta th c hi n như sau: -G it a i m M (x; y) - D a vào tính ch t c a i m M có trong gi thi... MBEF c t nhau t i M và N 1/ Ch ng minh AF và BC c t nhau t i N nh 2/ Ch ng minh ư ng th ng MN i qua 1 i m c 3/ Tìm qu tích trung i m c a PQ khi M thay i ( thi vô ch Toán qu c t ) Cách gi 1: Thu n túy hình h c * Cách gi ii 1: Thu n túy hình h c 1 Ch ng minh AF và BC c t nhau t i N: C D K F N P E I Q A M B - G i K là giao i m c a AC và BF Ta có: KAM = KBM = 45o Ngư i th c hi n: Huỳnh Duy Th y 28 Sáng... tròn x2 + y2 = 1 V i i m A n m trên ư ng tròn, ta có th xác nh t a i m A: A (cosa, sina) (Vì d a theo cos2a + sin2a = 1) HÌNH L C GIÁC HÌNH L C GIÁC y y A x O UU y D C E B F A - Trong hình l c giác x u, bao gi ta cũng ch ra ư c m t ư ng chéo và m t c nh vuông góc v i nhau - Xét hình l c giác u ABCDEF, ư ng chéo AC và c nh AF vuông góc nhau - Ch n h tr c t a các vuông góc Axy trong ó: + A (0 ; 0) +... tư ng “d ng i m ph ” D sao cho E là trung i m o n DC, là kh năng d nghĩ t i nh t + i u này cũng chính là i m quy t nh trong cách gi i bài toán + Do h th c Salơ không ph thu c vào v trí các i m trên cùng m t tr c nên ta không ph i xét các trư ng h p cho góc BCE Bài toán gi i th t g n gàng, cô ây chính là ưu i m rõ ràng c a cách gi i s d ng công c t a * Như v y b ng hai con ư ng khác nhau, các cách . * Bài toán hình học phẳng thuần túy là một trong những bài toán cổ xưa nhất của toán học, ẩn chứa vẻ ñẹp diệu kỳ, là một trong những bài toán rất phổ thông và có vai trò quan trọng trong toán. pháp của ñề tài. 5 1. Thuyết minh tính mới. 6 2. Nội dung cụ thể: 6 Các nguyên tắc cần lưu tâm khi giải bài toán hình học thuần túy bằng công cụ tọa ñộ. 6 - Hình thành hệ trục tọa ñộ trong. bài toán hình học. Biến những quan hệ thuần túy trong hình học sang yếu tố về “lượng”, chính vì thế “cơ hội” giải bài toán cao hơn và có ñường lối hơn. Điều này là rất quan trọng trong dạy toán,