CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC PHẲNG THUẦN TÚY HAY DÙNG

GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CÁC TÍNH CH T HÌNH H C PH NG THU N TÚY HAY DÙNG A Các k n ng c n thi t Trong r t nhi u toán hình h c t a đ ph ng Oxy , “m u ch t” c a toán l i n m vi c phát hi n ch ng minh đ c m t tính ch t đ c bi t liên quan t i hình h c ph ng thu n túy Do đ làm t t đ c nh ng toán nh th , b n c n trang b cho hai k n ng sau:  K n ng 1: V hình xác i u s giúp có nh ng d đoán v tính ch t đ c bi t toán (song song, vuông góc, hai đo n th ng b ng nhau, phân giác, t giác n i ti p, t giác hình bình hành, ch nh t, hình thoi, hình vuông, hai góc bù nhau…)  K n ng 2: Ch ng minh đ c d đoán Dùng ki n th c hình h c ph ng thu n túy (hình h c c p 2, h H oc 01 th c vecto…) đ ch d đoán c a xác hi D Chú ý: Vì toán ta đ c p t i thu c m ng hình h c ph ng Oxy Vì v y đ thi n u d đoán đ c xác tính ch t đ c bi t, vi c ch ng minh th ng đ n gi n (b i n u khó toán mang “n ng” tính thu n túy mà m t tính t a đ Oxy ) Vì v y m t l i khuyên, trình ôn t p b n không nên xa đà vào tính ch t khó (các b n c ng th y rõ đ c u qua đ n m tr c đây) uO nT B Khai thác tính ch t hình h c ph ng thu n túy hay dùng fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie  Chùm tính ch t 1: Cho tam giác ABC có tr c tâm H , n i ti p đ ng tròn tâm I G i M , N, K l n l t trung m c a BC, AC, AH D, E, F l n l t chân đ ng cao ng v i đ nh A, B, C Ch ng minh r ng:     1) AH  2IM T suy MIAK hình bình hành HG  2GI v i G tr ng tâm tam giác ABC 2) IA  EF MK  EF (tính ch t ch t h n MK trung tr c c a EF ) 3) D trung m c a HR v i R giao m th hai c a AD v i đ ng tròn tâm I 4) E, K, D, M , N n m đ ng tròn đ ng kính MK T suy đ ng tròn qua m (trung m c a c nh, chân đ ng cao trung m c a đo n th ng n i tr c tâm v i đ nh c a tam giác) 5) H tâm đ ng tròn n i ti p tam giác DEF 6) G i V, L l n l t đ i x ng v i I qua đ ng th ng AB, AC Ch ng minh r ng VL // BC T suy V, K, L th ng hàng CH NG MINH x w w w A E K N F GI H B D R C M J www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan     www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 1) AH  2IM T suy MIAK hình bình hành HG  2GI v i G tr ng tâm tam giác ABC   IMN  HBA   INM  (góc có c nh t ng ng song song) Cách : Ta có HAB   HA HB AB Suy HAB ~ IMN nên     HA  2IM  AH  2IM IM IN MN Cách : G i J giao m th hai c a AI đ ng tròn tâm I , :  JC  AC; BH  AC  JC / / BH   JBHC hình bình hành, suy M trung m c a HJ   JB  AB; CH  AB  JB / /CH    AH / / IM ng trung bình c a tam giác AHJ , suy   AH  2IM (1)  AH  IM   Do K trung m AH nên AH  AK (2)   T (1) (2) , suy IM  AK  MIAK hình bình hành G i HI  AM  G ' , theo đ nh lý Ta – let ta có: AG ' AH    AG '  2G ' M  G '  G G ' M IM nT hi D   HG AH    HG  2GI  HG  2GI GI IM uO Khi H oc 01 Khi IM đ up s/ Ta iL ie 2) IA  EF MK  EF Cách 1: Do E , F đ u nhìn BC d i m t góc vuông nên EFBC n i ti p đ ng tròn  ) (1) Suy  ABC   AEF ( bù v i FEC G i J giao m th hai c a AI v i đ ng tròn tâm I , đó:  ABC   AJC (cùng ch n cung  AC ) (2) T (1) (2) suy ra:  AEF   AJC bo ok c om /g ro   900  IA  EF   900 , suy  M t khác:  AEF  JAC AJC  JAC Cách 2: K ti p n Ax c a đ ng tròn ( I ) , đó: Ax  AI (*)  )  AB )  Ta có: xAB ACB   AFE (cùng bù v i góc BFE ACB (cùng ch n   Suy xAB AFE  Ax / / EF (2*) ce T (*) (2*), suy IA  EF Theo ý 1) , ta có MIAK hình bình hành , suy MK / / IA, suy MK  EF w w w fa Chú ý: Ta có th ch tính ch t ch t h n MK trung tr c c a EF C th : AH   KE  KF   MK trung tr c c a EF   ME  MF  BC  3) D trung m c a HR v i R giao m th hai c a AD v i đ ng tròn tâm I    ) B A (cùng ch n cung RC A (cùng ph v i góc  Ta có B ACB ) 1 B   BHR cân t i B  D trung m c a HR (đpcm) Suy B 4) E, K, D, M , N n m đ ng tròn đ ng kính MK T suy đ ng tròn qua m (trung m c a c nh, chân đ ng cao trung m c a đo n th ng n i tr c tâm v i đ nh c a tam giác) www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 A K T N E H P +) Ta có MN, KN l n l D 01 Q B C M H oc F t đ 1 1 uO nT hi D ng trung bình c a tam giác ABC, AHC , suy ra: MN // AB KN // CH   900 (1) Mà CH  AB  KN  MN , hay MNK +) Ta có EK, EM l n l t đ ng trung n c a hai tam giác vuông EBA, EBC  B  Mà   (vì ph v i góc  E  Suy E A E AB ACB ), suy E iL Ta   900 (3) +) Ta có MDK T (1), (2), (3), suy E, K, D, M , N n m đ s/ ng tròn đ ng tròn (2*) ; ng tròn (3*) P , E, N, T , F n m đ /g Q, T , F , N, E n m đ up ng t ta có: K, T , F , D, M n m đ ng kính MK (*) ro Ch ng minh t ie E E E   900 , hay MEK   900 (2) Suy E 2 om T (*), (2*), (3*) (4*) suy K, N, E, Q, M , D, P , F , T thu c m t đ ng tròn (4*) ng tròn (đpcm) .fa ce bo ok c Nh n xét: Hi n nhiên hình h c Oxy s câu h i xu t hi n c m này, song t ta có th có nhi u cách “thi t k ” toán hay mà có s tham gia c a m b t kì, s “che d u” m 5) H tâm đ ng tròn n i ti p tam giác DEF w w w A E F H 21 B D C Cách : www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01   C1  D1 Ta có CDHE DBFH t giác n i ti p đ ng tròn, :  D   B 2 B  (cùng ph v i góc BAC ) M t khác C  (1) D  hay DH phân giác c a góc EDF Suy D Ch ng minh t ng t ta đ  (2) D  hay EH phân giác c a góc DEF c D T (1) (2), suy H tâm đ ng tròn n i ti p tam giác DEF Cách : ng t ta đ  (2) D  hay EH phân giác c a góc DEF c D hi D Ch ng minh t H oc 01     CDE  BAE  BAC   BDF   CDE ng tròn nên       BDF  CAF  BAC  (1) D   900  BDF D D D  hay DH phân giác c a góc EDF Mà CDE 2 Do ABDE AFDC t giác n i ti p đ uO nT T (1) (2), suy H tâm đ ng tròn n i ti p tam giác DEF 6) G i V, L l n l t đ i x ng v i I qua đ ng th ng AB, AC Ch ng minh r ng VL // BC Ta iL ie T suy V, K, L th ng hàng up s/ A L /g om K ro V I bo ok c H M C w fa ce B w w Do V, L đ i x ng v i tâm I qua AB, AC nên ta có AVBI , ALCI đ u hình thoi Khi VLCB hình bình hành (do VB, LC song song b ng AI ) Suy VL // BC G i K ' hình hình chi u vuông góc c a A VL  AK ' // IM (1) Ta có AVL  IBC (c – c – c )  AK '  IM (2)   T (1) (2), suy AK '  IM (*)   M t khác theo tính ch t 1) ta có: AK  IM (2*) T (*) (2*), suy K '  K hay V, K, L th ng hàng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01  Chùm tính ch t 2: Cho tam giác ABC có tr c tâm H , n i ti p đ ng tròn tâm I ngo i ti p đ ng tròn tâm J G i D, E, F l n l t chân đ ng cao ng v i đ nh A, B, C K giao m c a AJ đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC Ta iL ie uO nT hi D H oc 01  (hình 1)   IAC  , t suy AJ tia phân giác c a góc HAI 1) Ch ng minh BAD 2) Ti p n t i A c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC đ ng th ng AJ c t BC l n l t t i M N a) Ch ng minh tam giác MAN cân t i M b) G i P , Q l n l t đ i x ng v i D qua AB, AC Ch ng minh P , Q, E, F th ng hàng T suy PQ // AM 3) G i T đ i x ng I qua BC Ch ng minh T tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác HBC 4) Ch ng minh r ng: a) K tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác BCJ T suy K trung m c a JL v i L tâm đ ng tròn bàng ti p ng v i góc A c a tam giác ABC b) BK ti p n c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABN (hình 2) 5) G i X đ i x ng v i B qua I Z giao m c a XK AC ; S giao m c a BX AK Ch ng minh SZ  XC 6) G i Y đ i x ng v i K qua I BJ , CJ l n l t c t AY t i V, R Ch ng minh BCVR n i ti p đ ng tròn 7) G i G, O,U ,W l n l t hình chi u vuông góc c a D lên BA, BE, CF , CA Ch ng minh G, O,U ,W th ng hàng (hình 3) CH NG MINH up s/ A H J B I N C D T K w w w fa ce bo ok c M E /g om P ro F Q L Hình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01    1) Ch ng minh BAD  IAC , t suy AJ tia phân giác c a góc HAI   AIC 1800   AIC IAC   900    Ta có BAD ABC  900     IAC 2    CAJ   BAJ   BAD   CAJ   IAC   HAJ   IAJ  , suy AJ tia phân giác c a góc HAI M t khác, BAJ  theo cách suy lu n sau: Chú ý: Ta có th ch ng minh AJ tia phân giác c a góc HAI   IKA    CAK   KB  KC  IK  BC  IK // AH  HAK +) Ta có BAK   IAK  , suy HAK   IAK  hay HAJ    IAJ  , suy AJ tia phân giác c a góc HAI +) Mà IKA b) Ch ng minh P , Q, E, F th ng hàng T suy PQ // AM H oc uO nT  ) (1)  +) Ta có BEFC t giác n i ti p nên F ACB (cùng bù v i BFE hi D   BAM  (cùng ch n cung    BAN  ( AN phân giác) AB ) CAN Mà NCA   BAM   BAN   MAN   MAN cân t i M Suy MNA 01 2) a) Ch ng minh tam giác MAN cân t i M   NCA   CAN  (tính ch t góc tam giác) Ta có MNA iL F  (3) M t khác, P đ i x ng v i D qua AB nên ta có F ie  AFD ) (2) ACD   ACB (cùng bù v i  AFDC t giác n i ti p nên F ng t ta đ c Q, E, F th ng hàng, suy P , Q, E, F th ng hàng up Ch ng minh t s/ Ta F F   BFE F   BFE   1800  B, F , E th ng hàng T (1), (2) (3), suy F 3 ro +) Theo chùm tính ch t 1, ta có EF  AI M t khác, AM  AI  EF // AM hay PQ // AM bo ok c om /g 3) G i T đ i x ng I qua BC Ch ng minh T tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác HBC Do T đ i x ng I qua BC , suy BTCI hình thoi  TB  TC  IB (1)   M t khác theo chùm tính ch t 1, suy AH  IT , AHTI hình bình hành  TH  IA  IB (2) T (1) (2), suy TB  TC  TH hay T tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác HBC w w w fa ce 4) a) K tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác BCJ T suy K trung m c a JL v i L tâm đ ng tròn bàng ti p ng v i góc A c a tam giác ABC   JAB   JBA   KAC   JBN   KBC   JBN   KBJ  , suy KBJ cân t i K  KB  KJ (1) +) Ta có KJB   CAK   KB  KC (2) M t khác: BAK T (1) (2), suy KB  KC  KJ hay K tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác BCJ   900 +) Ta có BJ , BL phân giác trong, phân giác c a góc B  LBJ Ta l i có BK  KJ  BK  JL  KJ  KL hay K trung m c a JL www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 V Y A R I' X 1 J I Z S B C H oc 01 N K up s/ Ta iL ie uO nT hi D Hình b) BK ti p n c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABN G i I ' tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABN , ta có:     KAC   KAB   NAB   BI ' N  180  2.I ' BN  900  I   I ' BN  KBC ' BN  900  KB  I ' B KBC 2 Suy BK ti p n c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABN 5) Ch ng minh SZ  XC   XASZ t giác n i ti p, suy Z  X  AA X  ACB  SZ // BC (1) Ta có  om  bo ok c  /g ro   900 hay BC  XC (2) T (1) (2), suy SZ  XC M t khác BCX 6) Ch ng minh BCVR n i ti p đ ng tròn     BAC ABC  1800  BAC ABC  ACB    900  J  900    Ta có: V        C1 A ABJ 90   1 2 2   , C  nhìn RB d i góc b ng nhau, suy BCVR n i ti p đ ng tròn Khi V ce 7) Ch ng minh G, O,U ,W th ng hàng w w w fa A E W F G B H U O 4 1 D C Hình  ,D  ph v i ODB  nên ta có: Ta có CDUW DUHO t giác n i ti p, v i DW // BE B www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01            U1  D1  B1  D4  U hay U1  U  U1  CUO  U  CUO  180 , suy O,U ,W th ng hàng (1) Ch ng minh t ng t ta đ c G, O,U th ng hàng (2) T (1) (2), suy G, O,U ,W th ng hàng  Chùm tính ch t 3: Cho tam giác ABC vuông t i A có đ ng cao AH Hình 1) G i M , N l n l t m thu c AH BH Ch ng minh r ng: CM  AN n u th a mãn: a) M , N l n l t trung m c a AH , BH  b) CM , AN l n l t đ ng phân giác c a  ACH , BAH s/ Ta iL ie uO nT hi D H oc 01 2) G i D m đ i x ng c a B qua H ; K hình chi u vuông góc c a C đ ng th ng AD Ch ng minh r ng HI đ ng trung tr c c a đo n th ng AK 3) Trên m t ph ng b BC ch a m A , d ng tia Bx vuông góc v i BC c t AC t i E G i F m thu c đo n BE ( F  B, F  E ) CF c t đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC t i P Ch ng minh r ng A, E, F , P n m m t đ ng tròn Hình 4) T tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC R m thu c đo n TC G i Q giao m th hai c a AR v i đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC J trung m c a AQ Bi t tia By vuông góc v i AQ c t CJ t i L Ch ng minh r ng: a) AL  BQ ( hay L tr c tâm c a tam giác ABQ )   900 n u R trung m c a TC b) BLT om /g ro up CH NG MINH c B K H D M P fa F ce bo ok N w w w E A I C x Hình 1) a) M , N l n l t trung m c a AH BH , suy MN đ ng trung bình tam giác ABH Khi MN // AB , suy MN  AC (do AB  AC ), suy M tr c tâm c a tam giác ANC  CM  AN www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 AM AC BN BA  , suy ra: b) CM , AN l n l t đ ng phân giác c a  (1)   ACH , BAH MH CH NH AH AC BA (2) M t khác, CAH ~ ABH   CH AH AM BN T (1) (2), suy   NM MN // AB , suy MN  AC (do AB  AC ) MH NH Suy M tr c tâm c a tam giác ANC  CM  AN K  (cùng ch n cung AH ) C  2) Ta có C A1 (cùng ph v i góc  ABC ) 1 ng cao v a trung n tam giác ABD nên  A1   A2  Suy K A2 nên tam giác AHK cân t i H  HA  HK Mà IA  IK , nên HI đ 01 M t khác, AH v a đ ng trung tr c c a AK H oc  ) Suy  3) Ta có  AEB   ABC (cùng ph v i EBA APC   AEB (1) APC   ABC (cùng ch n cung  AC ), l i có  M t khác,  APC   APF  180 (2) ng tròn nT hi D T (1) (2), suy  AEB   APF  1800 hay  AEF   APF  1800  suy AEFP n i ti p đ Hay A, E, F , P n m m t đ ng tròn Ta iL ie uO 4) up s/ B Q T R J C y fa ce A bo ok c om /g ro L ng kính – dây cung)  TJ // By hay TJ // BL w w a) Ta có By  AQ M t khác, TJ  AQ (quan h đ w Suy TJ đ ng trung bình tam giác BLC , suy J trung m c a LC Khi J đ ng th i trung m c a AQ LC nên ALQC hình bình hành  AL // CQ (1)   900 hay CQ  BQ (2) Ta l i có: CQB T (1) (2), suy AL  BQ Nh n xét: Th c tính ch t đ c “bi n t u” t tính ch t 1) chùm tính ch t b) Khi R trung m c a TC RJ đ ng trung bình tam giác LTC   900 Suy TL // RJ hay TL // AQ (3) M t khác, BL  AQ (4) T (3) (4), suy BL  TL hay BLT  Chùm tính ch t 4: Cho tam giác nh n ABC n i ti p đ vuông góc c a B đ ng th ng AI ng tròn tâm I G i E hình hình chi u www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 1) G i T giao m c a BE v i đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC Ch ng minh r ng: AC  phân giác c a góc BCT 2) G i M trung m c nh BC D giao m c a ME AC Ch ng minh r ng BD  AC Gi i A I 01 D H oc T E B C hi D M iL ie uO nT 1) Ta có AI vuông góc v i BT t i E  E trung m c a BT  tam giác ABT cân t i A  AB  AT  sđ    sđ  AB ; TCA AT M t khác BCA 2   TCA  hay AC phân giác c a góc BCT  (đpcm) Suy BCA ro up s/ Ta   IMB   900 , suy IBME n i ti p đ ng tròn  BIM   BEM  (1) 2) Ta có IEB  (2) M t khác BEM   BED   1800 (3)   BIC   sđ BC   BAC Ta có: BIM 2   BED   1800  ABED n i ti p đ ng tròn   T (1), (2) (3) suy BAC ADB   AEB  900 om /g Hay BD  AC (đpcm) w w w fa ce bo ok c  Chùm tính ch t 5: Cho hình vuông ABCD có M , N l n l t trung m c a AB, BC I giao m c a PM CN 1) Ch ng minh CM  DN 2) Ch ng minh AD  AI 3) P m thu c đo n AC G i H , K l n l t hình chi u vuông góc c a P lên AB, BC a) Ch ng minh DP  KH b) Cho CP  3PA Ch ng minh tam giác DPN vuông cân   450 4) G i T m thu c đo n CD cho CT  2TD Ch ng minh TAN www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CH NG MINH M H A B P Q K 3 N C T nT 1) Ch ng minh CM  DN H oc hi D D 01 I uO D  C N D N   900  CIN   900 hay CM  DN Ta có BCM  CDN (c – g – c )  C 1 1 1 Ta iL ie   DAM   900  ADIM n i ti p đ ng tròn 2) Ch ng minh AD  AI Ta có DIM   I (cùng ch n cung AM ) L i có BCM  ADM  C D  , : D 1 G i Q giao m c a PK AD , AHPQ hình vuông up 3)a) Ch ng minh DP  HK s/    900  C   900  D   900  I   ADI  900  D AID , suy AID cân t i A AD  AI 1 ce bo ok c om /g ro  PQ  PH   DQP  KPH  DP  KH QD  PK b) Cho CP  3PA Ch ng minh tam giác DPN vuông cân   DP  PN Ta có DQP  PKN    DPN vuông cân t i P N P P 1  N P   900  DPN   900 P 3 3    450 4) G i T m thu c đo n CD cho CT  2TD Ch ng minh TAN w fa Xét tam giác DAT BAN , ta có: tan  A1  DT BN  tan  A3   DA AB w  w A1  tan  A3  1   1  tan    450 Suy ra: tan  A1   A3  A1   A3  450  TAN     : 1         tan A1.tan A3       Chùm tính ch t 6: Cho hình ch nh t ABCD 1) G i H hình chi u vuông góc c a B AC Trên tia đ i c a tia BH CB l n l m E, M cho BE  AC ; CM  BC Bi t BH giao DM t i N t l y hai a) Ch ng minh r ng BN  DM AN  CN b) Ch ng minh DE phân giác c a  ADC c) O, K l n l t trung m c a AH , CD Ch ng minh BO  KO (hãy t ng quát tính ch t này)   900 Ch ng minh AF  CF 2) Trên m t ph ng b BD ch a m A d ng m F cho DFB 3) Trên đo n BD l y m T cho DT  4BT L y R đ i x ng v i A qua T g i P , Q l n l t hình chi u vuông góc c a R BC, DC Ch ng minh T , P , Q th ng hàng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Gi i L V E A H oc 01 F T G P ie H D C Q up s/ Ta iL K R uO I nT O hi D B /g ro N om G i I giao m c a AC BD , I tâm c a đ M ng tròn ( S ) có đ ng kính AC, BD ce bo ok c 1) a) Ch ng minh r ng BN  DM AN  CN    Ta có AD  BC  CM , suy ACMD hình bình hành  AC // DM M t khác BN  AC , suy ra: BN  DM (*)   900  N  (S)   ANC  900 hay AN  CN T (*) ta có BND w w w fa b) DE phân giác c a  ADC G i L hình chi u c a E lên AD CB c t EL t i V , đó:   CBH   BAC  VBE   BVE  ABC (c nh huy n – góc nh n)    BE  AC VE  BC  AD Suy   LE  VE  VL  AD  AL  DL hay LE  DL , suy DEL vuông cân t i L VL  BA  BV  AL    450  ADC hay DE phân giác c a  Suy LDE ADC c) Ch ng minh BO  KO HB BC HB BC HB BC   tan BKC   BOH   BKC  Ta có: AHB ~ ABC        tan BOH AH AB OH KC 2OH 2KC   1800  BCK   900 hay BO  KO Suy BCKO t giác n i ti p, BOK www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 T ng quát: T cách ch ng minh ta nh n th y đ BO  KO ch c n   BKC   tan BOH   tan BKC   HB  BC (*) Mà ta có HB  BC (vì AHB ~ ABC ) BOH AH AB OH KC OH  kAH AH DC V y đ có (*) (hay có đ c BO  KO ) ta ch c n “thi t k đ ” cho    OH KC  KC  kAB  kDC Hay nói cách khác O, K chia đo n AH , DC theo t s b ng 2) Ch ng minh AF  CF   900  F  (S)   Ta có DFB AFC  900 hay AF  CF 01 3) Ch ng minh T , P , Q th ng hàng w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi D H oc BD BG    TB AB AT TG  TB  G i G giao m c a RP v i BD    1  BD 5 TG GR TR   AB  GR GP BP BG M t khác, GP // DC     DC BC BD GP  2a , QC  PR  3a  AB  CD  5a t  , ta có:   BT  2b, TI  3b, ID  BI  5b  BD  10b BT 2b BP TI 3b 3a QC Ta có     TP // IC (1) L i có      TQ // IC (2) BI 5b BC ID 5b 5a CD T (1) (2), suy T , P , Q th ng hàng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 [...]... www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 T ng quát: T cách ch ng minh ta nh n th y đ BO  KO thì ch c n   BKC   tan BOH   tan BKC   HB  BC (*) Mà ta luôn có HB  BC (vì AHB ~ ABC ) BOH AH AB OH KC OH  kAH AH DC V y đ có (*) (hay có đ c BO  KO ) ta ch c n “thi t k đ ” sao cho    OH KC  KC  kAB  kDC Hay nói cách khác là O, K chia các đo n AH , DC theo các t s b ng nhau 2) Ch ng minh AF  CF ...  CM , suy ra ACMD là hình bình hành  AC // DM M t khác BN  AC , suy ra: BN  DM (*)   900  N  (S)   ANC  900 hay AN  CN T (*) ta có BND w w w fa b) DE là phân giác c a  ADC G i L là hình chi u c a E lên AD và CB c t EL t i V , khi đó:   CBH   BAC  VBE   BVE  ABC (c nh huy n – góc nh n)    BE  AC VE  BC  AD Suy ra   LE  VE  VL  AD  AL  DL hay LE  DL , suy ra DEL... A3  3 2   3 2    Chùm tính ch t 6: Cho hình ch nh t ABCD 1) G i H là hình chi u vuông góc c a B trên AC Trên tia đ i c a tia BH và CB l n l đi m E, M sao cho BE  AC ; CM  BC Bi t BH giao DM t i N t l y hai a) Ch ng minh r ng BN  DM và AN  CN b) Ch ng minh DE là phân giác c a  ADC c) O, K l n l t là trung đi m c a AH , CD Ch ng minh BO  KO (hãy t ng quát tính ch t này)   900 Ch ng... BA  BV  AL    450  ADC hay DE là phân giác c a  Suy ra LDE ADC 2 c) Ch ng minh BO  KO HB BC HB BC HB BC   tan BKC   BOH   BKC  Ta có: AHB ~ ABC        tan BOH AH AB OH KC 2OH 2KC   1800  BCK   900 hay BO  KO Suy BCKO là t giác n i ti p, khi đó BOK www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01... d ng đi m F sao cho DFB 3) Trên đo n BD l y đi m T sao cho DT  4BT L y R đ i x ng v i A qua T và g i P , Q l n l t là hình chi u vuông góc c a R trên BC, DC Ch ng minh T , P , Q th ng hàng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Gi i L V E A ai H oc 01 F T G P ie H D C Q up s/ Ta iL K R uO...GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CH NG MINH M H A B 3 1 P Q K 1 3 3 1 N 1 3 1 C T nT 1) Ch ng minh CM  DN ai H oc 1 hi D D 01 I uO D  C N D N   900  CIN   900 hay CM  DN Ta có BCM  CDN (c – g – c )  C 1 1 1 1 1 1 Ta iL ie   DAM   900  ADIM n i ti p... DAM   900  ADIM n i ti p đ ng tròn 2) Ch ng minh AD  AI Ta có DIM   I (cùng ch n cung AM ) L i có BCM  ADM  C D  , khi đó : D 3 1 1 3 G i Q là giao đi m c a PK và AD , khi đó AHPQ là hình vuông up 3)a) Ch ng minh DP  HK s/    900  C   900  D   900  I   ADI  900  D AID , suy ra AID cân t i A AD  AI 1 1 3 1 ce bo ok c om /g ro  PQ  PH   DQP  KPH  DP  KH... KO ) ta ch c n “thi t k đ ” sao cho    OH KC  KC  kAB  kDC Hay nói cách khác là O, K chia các đo n AH , DC theo các t s b ng nhau 2) Ch ng minh AF  CF   900  F  (S)   Ta có DFB AFC  900 hay AF  CF 01 3) Ch ng minh T , P , Q th ng hàng w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi D ai H oc BD BG 2    TB AB AT TG  TB  G i G là giao đi m c a RP v i BD    1  BD 5 5 TG