SKKN Phương pháp giải PT căn bậc hai, bậc ba (CẤP TỈNH CỰC HAY)

Cơ sở lý luận và thực tiển Để khắc phục những tồn tại trên khi dạy cho học sinh giải phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba, giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản

“ Căn bậc hai, căn bậc ba ” thì được làm quen ngay với giải phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba và cũng được các thầy, cô dạy các phuơng pháp giải phương trình Đặc biệt, với học sinh khá, giỏi; học sinh học bồi dưỡng thi huyện, thi tỉnh Nhưng học sinh thường hay thụ động đứng trức bài toán giải phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba Vì các em khó xác định cách làm cụ thể cho từng loại toán, đồng thời các em còn hay mắc sai lầm khi làm và sai ngay cả khi xác định rõ được cách làm Đôi khi, một bài toán có nhiều phương pháp giải nhưng học sinh không biết lựa chọn phương pháp tối ưu nhất Điều đó dẫn đến học sinh ngại làm, nản học hay không tự tin khi giải phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba

2 Ý nghĩa và tác dụng

Với thực tế nêu trên, đối với mỗi giáo viên dạy toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo

Chính vì thế, việc tìm hiểu chất lượng học sinh lớp 9 học như thế nào về phương trình chứa căn thức và dạy lớp 9 một số phương pháp giải “Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba” để giúp học sinh định hướng bài làm, khắc phục sai lầm khi làm và tự tin hơn khi gặp bài toán giải phương trình chứa căn thức là cần thiết và quan trọng đối với mỗi giáo viên toán và với mỗi nhà trường trong thời điểm hiện nay

3 Phạm vi nghiên cứu

Một số phương pháp giải “Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba ” ở chương I “ Căn bậc hai, căn bậc ba ” trong chương trình toán 9 Từ đó, phân tích nguyên nhân và đề ra giải pháp trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy; giúp nâng cao khả năng giải phương trình chứa căn thức của học sinh

Giáo viên dạy toán kinh nghiệm các trường trong huyện và học sinh lớp 9 trường THCS Cẩm xá, Mỹ Hào, Hưng Yên ở năm học 2012 – 2013; 2013 – 2014

II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH

1 Cơ sở lý luận và thực tiển

Để khắc phục những tồn tại trên khi dạy cho học sinh giải phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba, giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa và kiến thức mở rộng, hình thành các phương pháp giải một cách kịp thời Với mỗi phương trình cần để cho học sinh nhận dạng phát hiện

ra cách giải và tìm ra cách giải phù hợp nhất, nhanh nhất; qua mỗi dạng tổng quát cách giải và hướng dẫn học sinh đặt đề toán tương tự, từ đó khắc sâu cách làm cho học sinh Nếu biết phân dạng, chọn các ví dụ tiêu biểu, hình thành đường lối tư duy cho học sinh thì sẽ tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu và nâng cao hiệu quả giáo dục

Trong quá trình dạy học nhiều năm ở trường THCS Cẩm xá tôi nhận thấy đa

số học sinh (Cả học sinh khá, giỏi; học sinh đi thi huyện, thi tỉnh) đều chưa phát

huy hết năng lực giải toán của mình đối với phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba

Qua khảo sát cho học sinh làm bài kiểm tra ở lớp 9B (lớp gồm nhiều học sinh

khá, giỏi) của trường THCS Cẩm xá năm học 2012 - 2013 (chưa áp dụng đề tài )

Tổng số Trên trung bình Dưới trung bình

2 Phiện pháp tiến hành, thời gian

* Phương pháp

Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc tài liệu sách báo, tạp chí, Internet có

nội dung liên quan đến giải phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba

Phương pháp phân tích, tổng hợp: Phân tích các số liệu từ tài liệu để sử

dụng trong đề tài Sau đó tổng hợp các số liệu

Phương pháp điều tra, quan sát: Tìm hiểu thực trạng về năng lực giải Toán

Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba của học sinh lớp 9; đặc biệt là học sinh khá, giỏi và các em trong đội tuyển toán huyện

Cụ thể :

Quan sát trực tiếp các đối tượng học sinh để phát hiện ra những vấn đề mà học sinh thấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên yêu cầu giải phương trình

Điều tra toàn diện các đối tượng học sinh trong lớp 9 khá, giỏi của trường

(41 học sinh lớp 9B) trong năm học 2012 – 2013 và (32 học sinh lớp 9A) trong

năm học 2013 – 2014 để thống kê học lực của học sinh tìm hiểu tâm lý, quan điểm của các em khi học phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba

Thực nghiệm giáo dục trong khi giải bài mới, trong các tiết luyện tập, tiết phụ đạo, bồi dưỡng, kiểm tra tôi đã đưa vấn đề này ra hướng dẫn học sinh cùng trao đổi, thảo luận bằng nhiều hình thức khác nhau như hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để học sinh khắc sâu kiến thức, tránh được những sai lầm trong khi giải bài tập Yêu cầu học sinh giải một số bài tập theo nội dung trong sách giáo khoa rồi đưa thêm vào đó những yếu tố mới, những điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức và suy luận của học sinh

Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đang nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm tìm ra nguyên nhân những sai lầm mà

học sinh thường mắc phải khi giải toán Từ đó tổ chức có hiệu quả hơn trong các giờ dạy tiếp theo

* Thời gian ( Được chia làm 3 giai đoạn chính)

+ Giai đoạn 1

Bắt đầu từ tháng 9 năm 2012 đến tháng 04 năm 2013 ( Thời gian học và ôn

thi học sinh giỏi huyện và thi vào 10 để : Tìm hiểu thực trạng thực tiễn, phát hiện nguyên nhân và đó ra biện pháp bồi dưỡng )

+ Giai đoạn 2

Bắt đầu từ tháng 9 năm 2013 đến tháng 12 năm 2014 (Thời gian học và ôn

thi học sinh giỏi huyện để: Áp dụng các biện pháp vào giảng dạy)

+ Giai đoạn 3

Hoàn thành và đánh giá sáng kiến kinh nghiệm từ tháng 01/ 14 đến 3/ 14.

+ Giúp các thầy cô dạy toán rễ ràng phân tích để đưa ra biện pháp tối ưu khi

áp dụng phương pháp vào dạy học; đồng thời cũng tạo cơ sở để các thầy cô dạy toán xây dựng sáng kiến khác có phạm vi và quy mô xuyên suốt hơn

+ Qua sáng kiến này tôi muốn đưa ra “Một số phương pháp giải phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba.” cho học sinh lớp 9 trường Cẩm xá nói riêng và lớp

9 nói chung trong quá trình học phương trình có căn, giải bài tập hoặc trong thi cử, kiểm tra được thuận lợi, nhẹ nhàng hơn

+ Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinh nghiệm để làm tài liệu cho phương pháp dạy học mới của tôi những năm tiếp theo

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

1 Hệ thống hoá các kiến thức cơ bản và bổ sung kiến thức.

- Các tính chất của luỹ thừa bậc 2, bậc 3, tổng quát hoá các tính chất của luỹ thừa bậc chẵn và luỹ thừa bậc lẻ; căn bậc hai

+ (f(x))2n ≥ 0; (f( )x )2n =(− f( )x )2n với mọi x (n∈N)

+ ( ( ) )2n+ 1 = −( ( ) )2n+ 1

x f x

f với mọi x (n∈N)

+ f( )x xác định với f( )x ≥ 0; 3 f( )x xác định với mọi x+ ( f( )x )2 = f( )x ; (f( )x )2 = f( )x ; 3 (f( )x )3 =( f( )x )3 = f( )x

- Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thứ

+ Đặt nhân tử chung + Dùng hằng đẳng thức + Nhóm hạng tử, phối hợp các phương pháp + Tách hạng tử, thêm bớt hạng tử

+ 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

- Các bất đẳng thức côsi, bunhiacopski, bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối

+ a+b≥ 2 ab dấu bằng khi : x = y

+ (a2 +b2)(x2 + y2)≥(ax+by)2 dấu bằng khi b a = y x+ a + b ≥ a+b dấu bằng khi a.b ≥ 0

a − b ≤ a+b dấu bằng khi a.b ≤ 0 và a ≥ b

A B

+ A+ B = 0 ⇔ A=B= 0

2 Một số phương pháp giải phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba

2.1 Phương pháp 1: Nâng lên lũy thừa

Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 3

* Nhận xét lỗi hay mắc ở học sinh :

- Học sinh hay bình phương luôn 2 vế mà không đặt điều kiện x+ 1, x - 1hoặc chỉ đặt x+ 1 xác định hoặc chỉ x – 1 ≥ 0 hoặc đặt cả hai điều kiện trên

* Cách sửa cho học sinh :

- Giáo viên nhắc học sinh nhận dạng A = B ⇔

B

trước, rồi áp dụng cách làm

- Chú ý ta phải đặt 2 diều kiện: A xác định và B ≥ 0 ; ta chỉ cần B ≥ 0 vì khi đó A = B2 tự nhiên sẽ có A ≥ 0

- Một số trường hợp đặc biệt: không có x để A, B cùng thỏa mãn Nếu nhận thấy điều kiện này sẽ giúp ta kết luận ngay phương trình vô nghiệm

* Ví dụ 2 Giải phương trình: x− 4 = 2 −x (2)

- Ta thấy x− 4 xác định <=> x ≥ 4, khi đó thì 2 – x < 0 => PT vô nghiệm Sau đây là bài tập tương tự:

* Bài tập tương tự Giải các phương trình sau:

a x− 9 = 2x− 3 b 4 −x =x− 3

c 2x− 9 = 2 −x d 6x− 1 − 3x− 5 = 0

2.1.2 Dạng 2 : f (x) + g(x) h(x) =

* Ví dụ 3 Giải phương trình: x 3 5 + = − x 2 − (2)

Giải: Với điều kiện x ≥ 2 Ta có:

Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 6

* Nhận xét lỗi hay mắc ở học sinh :

- Học sinh hay bình phương luôn 2 vế mà không đặt điều kiện hoặc cứ để như đề rồi bình phương mà không chuyển

* Cách sửa cho học sinh :

- Ở phương trình trên hai vế đều có căn bậc hai, học sinh có thể mắc sai lầm

để nguyên hai vế như vậy và bình phương hai vế để làm mất căn Vì vậy, giáo viên cần phân tích kỹ sai lầm mà học sinh có thể mắc phải tức cần khắc sâu cho học sinh tính chất của luỹ thừa bậc 2: a = b ⇔ a2 = b2 ( khi a, b cùng dấu )

- Muốn vậy, khi bình phương hai vế được phương trình mới tương đương với phương tŕnh ban đầu khi hai vế cùng dấu

* Bài tập tương tự Giải các phương trình sau:

* Nhận xét:

- Tương tự, giáo viên sai thường gặp của học sinh

- Ở phương tŕnh (4), VP ≥ 0 , nhưng vế trái chưa chắc đã ≥ 0 vì vậy ta nên chuyển vế đưa vế phương trình có 2 vế cùng ≥ 0

(4) ⇔ x− 1 = 5x− 1 + 3x− 2

Đến đây học sinh có thể b́nh phương hai vế:

2 3 1 5

⇔ 4 − 14x+ 49x2 = 4 ( 15x2 − 13x+ 2 )

0 4 24

+ Khi giải chưa chú ý đến điều kiện để các căn thức có nghĩa nên sau khi

giải không đối chiếu với điều kiện ở (4) : đk x≥ 1 vì vậy

11

2

1 =

x không phải là nghiệm của (4)

+ Khi bình phương hai vế của phương trình (*) cần có điều kiện

7

2 0

7

2 − x≥ ⇔x≤ vậy x2 = 2 không là nghiệm của (4)

- Sau khi phân tích sai lầm mà học sinh thường gặp, từ đó tôi cho học sinh tìm ra cách giải đúng không phạm sai lầm đã phân tích

Cách 1: Sau khi tìm được

11

2

=

x và x= 2 thử lại (4) không nghiệm đúng

vậy (4) vô nghiệm (cách thử lại này làm khi việc tìm TXĐ của phương tŕnh đă cho

1 5

1 1

x

x x

x

Cách 2: Sau đặt điều kiện tồn tại của các căn thức của (4)

Sau khi giải đến (*) khi bình phương hai vế đặt thêm điều kiện

x

x

nên phương trình (4) vô nghiệm

Cách 3: Có thể dựa vào điều kiện của ẩn để xét nghiệm của phương trình

điều kiện của (4) : x≥ 1 do đóx< 5x⇒ x− 1 < 5x− 1 ⇒ x− 1 < 5x− 1

Vế trái <0 VP ≥ 0 nên phương tŕnh (4) vô nghiệm

Sau đây tôi ra một số bài tập tương tự cho học sinh trình bày lời giải

Bài tập tương tự : Giải phương trình

a 4x+ 1 − 3x+ 4 = x− 2 b x− 2 − x+ 1 = 2x− 1 − x+ 3

c x 1 + − x 7 − = 12 x −

2.1.4 Với phương trình chứa căn thức bậc ba ta cũng làm tương tự

* Ví dụ 5 : Giải phương tŕnh :

2 7

0 7

0 1

x x

+ Ở luỹ thừa bậc lẻ: a = b ⇔a2n+1 = b2n+1; (n∈N) nên không cần xét đến dấu

của hai vế

Giải:

+ Lập phương hai vế

( 1) 7 3 1 ( 7 ) 8 3

x+ 1 + 7 −x+ 33 (x+ 1 )( 7 −x) (3 x+ 1 + 3 7 −x)= 8 (I)

(đến đây thay 3 x+ 1 + 3 7 −x = 2 vào phương trình) ta được:

0 ) 7 )(

1 ( 8 2 ) 7 )(

1 ( 3

8 + 3 x+ −x = ⇔ x+ −x = (II)

Giải ra: x1 = − 1 ;x2 = 7; Thay lại vào PT đã cho ta thấy nghiệm đúng, nên để

là 2 nghiệm của PT ban đầu

Vậy phương trình (5) có 2 nghiệm : x1 = − 1 ;x2 = 7

+ Ở phương trình (5) ngoài việc lập phương hai vế cần sử dụng hằng đẳng thức một cách linh hoạt để đưa phương trình về dạng đơn giản A.B = 0 rồi giải

Chú ý:

Do từ (I) suy ra (II) ta thực hiện phép biến đổi không tương đương, vì nó chỉ tương đương khi x thoả mãn : 3 x+ 1 + 3 7 −x = 2 Vì vậy việc thay lại nghiệm của (II) vào phương trình đă cho là cần thiết Nếu không thử lại có thể sẽ có nghiệm ngoại lai

* Bài tập tương tự : Giải phương trình :

a 3 −x+ 1 + 3 x− 1 = 3 5x

b 3 2x+ 1 + 3 3 − 2x = 4

c.3 2x− 1 + 3 2x+ 1 = 3 10x

2.2 Phương pháp 2: Trị tuyệt đối hóa

Phương pháp này là: Khi gặp phương trình mà biểu thức trong căn có thể

viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức:

A

A2 = để làm mất dấu căn đưa về phương trình đơn giản

* Ví dụ 6 : Giải phương trình

5 3 2 8 13 2 3 2 2 2

2x− + x− + x+ + x− = (6) Nhận xét:

+ Ở phương tŕnh (6) học sinh có thể nhận xét vế trái có cùng căn bậc hai nên

có thể bình phương hai vế; nhưng ở phương trình này sau khi bình phương (lần 1)

vẫn còn chứa căn nên rất phức tạp

+ Biểu thức trong căn có thể viết dưới dạng bình phương của một biểu thức.

Giải : ĐKXĐ:

2

3 0

5 4 3 2 1

3 2

5 16 4 3 2 2 ) 3 2 ( 1 3 2 2 ) 3 2 (

5 3 2 8 13 2 3 2 2 2 2

2 2

=

−

− + +

+

−

⇔

= +

−

−

− +

+

− +

−

⇔

=

− +

+ +

− +

−

x x

x x

x x

x x

x x

x x

Cách 1: Đến đây để giải (*) ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối, trước khi phá

dấu A thì cần xét dấu của A

Nhận xét: 2x− 3 + 1 > 0 vậy chỉ xét dấu 2x− 3 − 4

+ Nếu

2

19 2

3

16 3 2 0 4 3

3 4 3

2x− < ⇔ ≤ x≤

thì 2x− 3 + 1 − 2x− 3 + 4 = 5 ⇔ 0x= 0 vô số nghiệm x thoả mãn

2

19 2

3 ≤ x≤

Cách 2: ( Để giải (*) cũng có thể sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối

.

B A

0 3 2 4

Ở phương trình này nếu bình phương 2 vế sẽ đưa về một phương tŕnh bậc 4

− thoả mãn là nghiệm của phương trình (7)

* Ví dụ 8 : Giải phương trình

0 7 12 6

2x−x2 + x2 − x+ = (8)

Hướng dẫn

ĐKXĐ :6x2 − 12x+ 7 ≥ 0 ; ∀x

Ta biến đổi để thấy được mối quan hệ giữa các biểu thức trong phương trình:

0 7 ) 2 ( 6

2x−x2 + x2 − x + = Đặt :x2 − 2x=a ta có phương tŕnh: 6a+ 7 =a(I)

Giải (I) tìm a từ đó tìm x

* Ví dụ 9: Giải phương trình

x x

x 1 )( 1 1 ) 2 1

Hướng dẫn:

Ở bài này ta tìm mối liên hệ các biểu thức bằng cách đặt : 1 +x =u ;

Rút x theo u thay vào các biểu thức còn lại trong phương tŕnh để đưa về phương trình ẩn u

Giải: ĐKXĐ : -1≤x≤ 1

Cách 1: Đặt 1 +x=u

) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 2

)(

1 ( ) 9

(

1 )

2 0

(

2 2

2

2

+

− +

u u

u u

u x u

− +

0 1

u u

+ Nếu :u− 1 = 0 ⇒u= 1 (thoả mãn) ⇒ x+ 1 = 1 ⇒x= 0 (Thoả mãn ĐK)

) 1 2 ( 2

0 1 2 ) 1 ( 2 1

2 2

⇔ +

= +

u u

u u

u

Giải ra: u1 = − 1 (loại);

25

24 1 5

1 5

= +

−

2

) 1 )(

1 (

2 2

2 2

b a

b a b

- Nếu bình phương hai vế đưa về phương trình bậc 4 khó nhẩm nghiệm vô

tỷ Nên ta có thể đặt ẩn phụ nhưng chưa đưa về phương trình chỉ chứa một ẩn

- Hãy tìm cách đưa về một hệ phương trình có 2 ẩn là ẩn chính và ẩn phụ Tìm mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ từ đó đưa về phương trình đơn giản

0 2

2

x x

y x

2

2

2 2

Đây là hệ phương trình đối xứng

−

⇒

y x

y x x

y x y

1 0 ) 1 )(

2 + x+ =

x

Cách 1: Đặt x+ 2006 = y ta có hệ phương trình

= +

y x

−

= +

2006

x x

y x

y x

từ đó sử dụng phương pháp 1 để giải tiếp

Chú ý : Cách này thường sử dụng khi quan hệ ẩn chính và ẩn phụ đưa được

− +

− +

= + +

2006 2

1 2 1

2

1 2006 2

1

2

1 2006 2

1 4

1 2006 2006

4

2

x x

x x

x x

x x

x x

Đến đây tiếp tục giải theo phương pháp 1

Bài tập tương tự : Giải phương trình

= +

x y

y x

2 1

2 1

3 3

* Ví dụ 12: Giải phương trình

1 1 2

3 −x+ x− = (12)

Nhận xét: Ở vế trái của căn bậc 2 và căn bậc 3 nên việc nâng luỹ thừa 2 vế

để làm mất dấu căn là rất khó

+ Hai biểu thức trong căn có mối quan hệ: 2 −x+x− 1 = 1 (hằng số)

+ Đặt 2 ẩn phụ: Sẽ đưa về hệ 2 phương trình không chứa căn và giải

= +

1

1

3

3 v u

v u

giải ra u1 = 0 ;u2 = 1 ;u3 = − 2

Từ đó: x1 = 1 ;x2 = 2 ;x3 = 10 ( thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình (12) có 3 nghiệm: x1 = 1 ;x2 = 2 ;x3 = 10

* Ví dụ 13: Giải phương trình

3 1 2

3

3

2

3 b a

b a

Giải ra: a = 1; b = 1 ; từ đó giải ra tìm được x = 3

Tổng quát: Đối với phương trình có dạng:

c x f b x f

= +

b a v u

c v u m

b a v u

c v u m n

Giải hệ này tìm u, v sau đó tìm x

* Ví dụ 14: Giải phương trình

3 x+ 2 + x− + x − = (14)

Nhận xét: