Chuyên đề:Phơng pháp giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực A/ Đặt vấn đề: Trong quá trình học Toán, các em học sinh có thể gặp các bài toán mà đầu đề có vẻ lạ, không bình thờ
Trang 1Chuyên đề:
Phơng pháp giải phơng trình
và hệ phơng trình không mẫu mực
A/ Đặt vấn đề:
Trong quá trình học Toán, các em học sinh có thể gặp các bài toán mà
đầu đề có vẻ lạ, không bình thờng, những bài toán không thể giải trực tiếp bằng các quy tắc, các phơng pháp quen thuộc Những bài toán nh vậy thờng
đợc gọi là “không mẫu mực”, có tác dụng không nhỏ trong việc rèn luyện t duy Toán học và thờng là sự thử thách đối với học sinh trong các kỳ thi HSG, thi vào cấp 3, các lớp chuyên toán,… Tuy nhiên quen thuộc hay “không mẫu mực”, phụ thuộc vào trình độ của ngời giải Toán Tôi xin đa ra một số phơng pháp giải một số phơng trình và hệ phơng trình “không mẫu mực”, với phơng pháp này tôi đã giúp đỡ các em học sinh luyện tập và làm quen với phơng trình và hệ phơng trình “không mẫu mực” để từ đó biết cách t duy suy nghĩ trớc những phơng trình và hệ phơng trình “không mẫu mực” khác
B Giải quyết vấn đề
I Phần I: Phơng trình.
1 Phơng trình một ẩn:
Với phơng trình một ẩn có 4 phơng pháp thờng vận dụng là: Đa về
ph-ơng trình tích, áp dụng các bất đẳng thức chứng minh nghiệm duy nhất và đa
về hệ phơng trình
a Phơng pháp đa về phơng trình tích.
* Các bớc:
- Tìm tập xác định của phơng trình
- Dùng các phép biến đổi đại số, đa phơng trình về dạng f(x).g(x)
….h(x) = 0 (gọi là phơng trình tích) Từ đó suy ra f(x) = 0; g(x) = 0; … h(x)
= 0 là những phơng trình quen thuộc Nghiệm của phơng trình là tập hợp các nghiệm của các phơng trình f(x) = 0, g(x) = 0, … h(x) = 0 thuộc tập xác
định
- Đôi khi dùng ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ân đa phơng trình về dạng tích (với ẩn phụ) Giải phơng trình với ẩn phụ, từ đó tìm nghiệm của phơng trình đã cho
- Dùng cách nhóm số hạng, hoặc tách các số hạng…để đa phơng trình
về dạng quen thuộc mà ta đã biết cách giải
*Ví dụ áp dụng:
Trang 2Ví dụ 1: Giải phơng trình:
6 7 2 3 3 21 10
2
x
ĐK: x ≥ -3
2 3 3 7 0
2 3
0 3 7
0 ) 2 3 )(
3 7 (
0 ) 3 7 (
2 ) 3 7 (
3
0 6 7 2
3 3
) 7 )(
3 (
6 7 2
3 3
21 10
2
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
Vì 2 vế đều dơng nên ta có:
) ( 1
) ( 2 4
3
9 7
TM x
TM x
x
x
Vậy tập hợp nghiệm của phơng trình là S = 1;2
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
3x+1 + 2x.3x - 18x - 27 = 0
TXĐ: xR.
Giải
3x+1 + 2x.3x - 18x - 27 = 0
3x(3 + 2x) – 9(2x + 3) = 0
(2x + 3) (3x - 9) = 0
2 2 3 0 9
3
0 3
2
x x
x
x
Vậy tập nghiệm của phơng trình là S =
; 2 2 3
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
(x2 - 4x + 2)3 = (x2 - x - 1)3 - (3x - 2)3; TXĐ: R
áp dụng hằng đẳng thức (a - b)3 - (a3 - b3) = -3ab(a - b)
(x2 - 4x + 1)3 = (x2 - x - 1) - (3x - 2)3
0 1 4 0 2 3
0 1
0 ) 1 4 )(
2 3 )(
1 (
3
0 2
3 1
2 3 1
2 2
2 2
3 3
2 3
2
x x
x x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
Giải (1): x2 - x - 1 = 0
= 1 + 4 = 5 > 0, Pt có 2 nghiệm
2
5 1
; 2
5 1
2 1
x
Giải (2):
(1 )
(2 )
(3 )
Trang 33x - 2 = 0
3
2
x Gi¶i (3):
x2 - 4x + 1 = 0
’ = 4 - 1 = 3 > 0, Pt cã 2 nghiÖm
3 2
; 3
1 x
VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ:
S=
3 2
; 3 2
; 3
2
; 2 5 1
; 2 5 1
VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
(x - 2)(x - 4)(x + 6)(x + 8) = -36 TX§: R
(*) 36 ) 32 4 )(
12 4 (
36 )
8 ( 4 6
2
2 2
x x x
x
x x x
x
§Æt y = x2 + 4x - 12 x2 4x 32y 20
Ph¬ng tr×nh (*) trë thµnh:
) 2 ( 2 12
4
) 1 ( 18 12
4
2 0
2
18 0
18
0 )
2 )(
18 (
0 36
20
36 )
20 (
2 2 2
x x
x x
y y
y y
y y
y y
y y
Gi¶i (1) ta cã:
0 34 30 4
0 30 4
18 12 4
' 2 2
x x
x x
Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt:
34 2
; 34 2
2
1
x x
Gi¶i (2) ta cã:
0 18 14 4
0 14 4
2 12 4
' 2 2
x x
x x
Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt:
2 3 2 18 2
2 3 2 18 2
2
1
x x
Trang 4Vậy tập nghiệm của phơng trình là:
S = 34 2 ; 34 2 ; 3 2 2 ; 3 2 2
Ví dụ 5: Giải phơng trình:
(x + 2)4 + x4 = 82
Đặt y = x + 1
(x + 2)4 + x4 = 82
(y + 1)4 + (y - 1)4 = 82
y4 + 6y2 - 40 = 0
Đặt y2 = t ≥ 0
t2 + 6t - 40 = 0
’ = 9 + 40 = 49 > 0, Pt có 2 nghiệm phân biệt
t1 = -3 + 7 = 4;
t2 = -3 - 7 = -10 (loại)
y2 = 4, y = 2
Với y = 2 x + 1 = 2 x = 1
Với y = -2 x + 1 = -2 x = -3
Vậy tập nghiệm của phơng trình là: S = {1;-3}
Chú ý: Phơng trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c (a, b, c là hằng số) đặt
ẩn phụ y = x +
2
b
a
, thì phơng trình đa đợc về dạng dy4 + ey2 + g = 0 (d, e,
g là hằng số)
Ví dụ 6: Giải phơng trình
18
1 ) 7 )(
6 (
1 )
6 )(
5 (
1 )
5 )(
4 ( 1
18
1 42 13
1 30
11
1 20
9
1
2 2
2
x x x
x x
x
x x x
x x
x
ĐK: x -4; x -5; x -6; x -7
2 0
2
13 0
13
0 2 13
0 26 11
) 7 )(
4 ( ) 4 ( 18 ) 7 ( 18
18
1 7
1 )
4 (
1
18
1 7
1 6
1 6
1 )
5 (
1 )
5 (
1 )
4 (
1
2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
Trang 5Thoả mãn điều kiện.
Vậy tập nghiệm của phơng trình S = {-13; 2}
b Phơng pháp áp dụng bất đẳng thức.
*Các bớc:
- Biến đổi phơng trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x)a; g(x)a (a là hằng số)
- Nghiệm của phơng trình là các giá trị thoả mãn đồng thời f(x)=a và g(x)=a
- Biến đổi phơng trình về dạng h(x)=m (m là hằng số), mà ta luôn có h(x)m hoặc h(x) m thì nghiệm của phơng trình là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra
- áp dụng các bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki…
*Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
3 6 7 5 10 14 4 2
3( 1) 4 5( 1) 9 5 ( 1) :
2 2
2
3( 1) 4 5 1 9 4 9 5
5 1 5
x
Nên ta có: (x+1)2 = 0 x = -1
Vậy nghiệm của phơng trình là x = -1
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
6 11 6 13 4 5 3 2 ( 3) 2 ( 3) 4 ( 2) 1 3 2
Mà: (x 3) 2 2 (x 3) 2 4 4(x 2) 2 1 2 4 1 3 2
Nên dấu “=”xảy ra
2
( 3) 0
2 0
x x
Điều này không thể xảy ra Vậy phơng trình vô nghiệm
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
x2 3x 3,5 (x2 2x 2)(x2 4x 5)
Ta có:
2
2 2 ( 1) 1 0
4 5 ( 2) 1 0
( 2 2) ( 4 5)
3 3,5
2
Trang 6áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dơng (x2 2x 2);(x2 4x 5) ta
( 2 2)( 4 5) 2
Vậy x2 3x 3,5 (x2 2x 2)(x2 4x 5)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
( 2 2) ( 4 5)
2 3
3 2
x
x
Vậy nghiệm của phơng trình là x=3
2.
Ví dụ 4: Giải phơng trình:
13 x 3x 6 x 2x 7 5x 12x 33
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 4 số :
a2 b2 c2 d2 (ac bd ) 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a.d=b.c
Với a=2 ; b=3 ; c=x2-3x+6 ; d= x2-2x+7 ta có:
2
2 3 3 6 2 7 2 3 6 3 2 7
13 3 6 2 7 5 12 33
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
2
3( 3 6) 2( 2 7)
3 9 18 2 4 14
5 4 0
1 5 4 0
a b c
Phơng trình có 2 nghiệm: x1 1;x2 c 4
a
Vậy nghiệm của phơng trình là x1 1;x2 4
c Phơng pháp chứng minh nghiệm duy nhất.
*Các bớc giải:
ở một số phơng trình ta có thể thử trực tiếp để tìm nghiệm của chúng rồi sau đó tìm cách chứng minh rằng ngoài nghiệm này ra chúng không còn nghiệm nào khác nữa
*Ví dụ áp dụng:
Trang 7Ví dụ 1: Giải phơng trình:
2 3
2x 3x 9(1)
Giải:
+) x=0 là nghiệm của phơng trình (1)
+) Nếu x0 ta có: x 2 0
2 3 0 3 0
2x 3x 2 3 9
Do đó x0 không thể là nghiệm của phơng trình (1)
Vậy nghiệm của phơng trình (1) là x=0
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
2
10 (2);
x x x
Với x > 0
Giải:
+Ta nhận thấy x=1 là nghiệm của phơng trình(2)
+Với x>1 ta có : x x 1x 1
2
x x nên x x 2 0 do đó
2 2
0
10 10 1 10
x x
x x x x
Vậy x>1 không thể là nghiệm của phơng trình
+Với 0<x<1 ta có:
1 1
0
x
x x x x
Nên 10x x 2 10 0 1 10x x 2 x x
Vậy 0<x<1 không thể là nghiệm của phơng trình
Vậy nghiệm của phơng trình là x=1
II Phần II: Hệ phơng trình.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của hệ:
3 9
2 655 660 1992
Giải:
3 9
656 657 1983
3 9 ( )( 657 ) 1983
Xét : (x+y)(x-657y)=1983=661.3
661 660
657 3 1
Không thoả mãn
Trang 8661 660
657 3 1
657 661 1
Thoả mãn
657 661 1
Vậy nghiệm của hệ là: (4;-1) và (-4;1)
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của hệ:
3 ( )( 3)( 3) 8
x y z
(2) Giải:
(3 )(3 )(3 ) 8
Ta có: 8 = 1.1.8 = -1.1.(-8) =(-1).(-1).8 = 2.2.2 = (-2).(-2).2 = 2.(-2).(-2) Trong các bộ số trên chỉ có (-1)+(-1)+8 = 6 và 2+2+2=6
Do đó:
3 1 4
3 1 4
3 8 5
3 8 5
3 1 4
3 1 4
3 1 4
3 8 5
3 1 4
3 2 1
3 2 1
3 2 1
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của hệ:
2
2
2 1 2(1)
1 (2)
x y
xy z
x y
Từ (2) ta có: xy 1 x, y cùng dấu Mặt khác x+y=2 do đó x=y=1 z=0 Vậy nghiệm của hệ là (x;y;z) = (1;1;0)
Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của hệ:
Trang 92
2 4
x y z
xy z
Dễ thấy y 0 Từ hệ phơng trình ta có:
2(x+y+z)y - (2xy - z2) = 4y-4
2 2 2 2 4 4
( ) ( 2) 0
0 2
2
2 0
x
Các giá trị tìm đợc nghiệm đúng với hệ đã cho
Vậy nghiệm nguyên của hệ là (x;y;z) = (2;2;-2)
Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên của hệ:
3 3 3 3
3
x y z
Giải:
Ta có công thức:
3 3 3 3
(x y z ) (x y z ) 3( x y y z z x )( )( )
Do đó ta có:
(3 ) (3 ) (3 ) 6
(3 ).(3 ).(3 ) 8
Suy ra : 3-x ; 3-y ; 3-z chỉ có 1 số chẵn hoặc cả 3 cùng là số chẵn
*Nếu chỉ có 1 số chẵn:
Do vai trò của x; y; z nh nhau, không mất tính tổng quát nên giả sử 3-x là số chẵn Từ đó ta có: x=-5; y=4; z=4
*Nếu cả 2 cùng chẵn thì x = y =z = 1
Vậy nghiệm nguyên cần tìm của hệ là: (x;y;z) = (-5;4;4); (1;1;1) và các hoán
vị của chúng
Ví dụ 6: Tìm nghiệm tự nhiên của hệ:
2
6 6 6 2 2
2( )
31( )
Giải:
2
6 6 6 2 2
2( )(1)
31( )(2)
Từ 1 suy ra x2 2 x 2
Mặt khác từ phơng trình thứ 2 ta có:
Trang 106 6 6 31( 2 2 )
x y z y z nên x>y và x>z
Nên 4x>2(y+z)=x2 vậy x=2 y=z=1
Các giá trị này thoả mãn hệ phơng trình
Vậy nghiệm của hệ phơng trình là: x=2; y=1; z=1
C/ Kết thúc vấn đề:
Trên đây là 1 số phơng pháp giải phơng trình và hệ phơng trình
“Không mẫu mực” của bản thân tôi, trong quá trình giải toán tôi gặp phải và
đã vận dụng, một số ví dụ giải toán để các đồng nghiệp cùng tham khảo Trong quá trình vận dụng cũng cần nhiều đóng góp của đồng nghiệp
Giao Hà, ngày 2 tháng 10 năm 2006
Ngời viết