SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC VẪN ĐỀ TRONG KHẢO SÁT HÀM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN BÀI TẬP LỚN HỌC PHẦN RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM 3 ĐỀ TÀI: SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC VẪN ĐỀ TRONG KHẢO SÁT HÀM Giảng viên hướng d

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

KHOA TOÁN

BÀI TẬP LỚN

HỌC PHẦN RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM 3

ĐỀ TÀI: SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE ĐỂ GIẢI QUYẾT

CÁC VẪN ĐỀ TRONG KHẢO SÁT HÀM

Giảng viên hướng dẫn Lớp toán 3B - nhóm 06

T.S.Nguyễn Đăng Minh Phúc Lê Thị Minh Trang

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

I Giới thiệu về phần mềm maple 3

II Sử dụng lệnh trong maple 5

1 Khảo sát hàm số 5

1.1 Các lệnh trong khảo sát hàm a Tìm miền xác định của hàm số y=f(x) 5

b Tìm khoảng đơn điệu của hàm số 6

c Tìm miền lồi, lõm của hàm số 7

d Tìm điểm cực đại, cực tiểu 7

e Tìm điểm uốn 9

f Tìm GTLN_GTNN của hàm số 10

g Xác định đường tiệm cận 11

h Xác định giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ 12

i Vẽ đồ thị hàm số 13

1.2 Quy trình để khảo sát hàm y=ax3+bx2+cx+d 13

2 Giải phương trình và hệ phương trình 19

2.1 Giải phương trình siêu việt 19

a Giải phương trình lượng giác, lượng giác ngược 20

b Giải phương trình mũ và logarit 20

2.2 Giải hệ phương trình siêu việt 25

III Kết luận 27

IV Tài liệu tham khảo 27

1

LỜI NÓI ĐẦU

Toán học là một ngành khoa học luôn tạo ra niềm hứng thú và say mê tìm tòi cho những ai yêu thích nó

Việc nghiên cứu và giải quyết các vấn đề dù đơn giản hay phức tạp trong toán học luôn thu hút nhiều nhà toán học cũng như những người có lòng đam mê đối với toán học Một bài toán đặt ra có thề sẽ có rất nhiều cách giải quyết khác nhau Tuy nhiên, để tìm ra những cách giải quyết vấn đề hiệu quả và nhanh chóng để đi đến kết quả cụ thể và dễ hiểu cho bạn đọc luôn là đều mà chúng ta hướng tới Như các bạn đã biết thì bên cạnh những cách thức tính toán cổ điển từ lâu, cùng với sự phát triến của khoa học kĩ thuật, việc áp dụng các phần mềm toán học để giải quyết các bài toán tưởng chừng như phức tạp cũng trờ nên nhanh chóng và dễ dàng hơn rất nhiều

Để minh chứng cho đều đó thì hôm nay nhóm chúng tôi sẽ giới thiệu phần mềm Maple Trong quá trình tiếp cận và nghiên cứu Maple, chúng tôi nhận thấy rằng ngoài các tính năng tính toán và minh họa rất mạnh mẽ bằng các câu lệnh riêng biệt (thường chỉ cho ta kết quả cuối cùng), Maple còn là một ngôn ngữ lập trình hướng thủ tục (procedure) Thủ tục là một dãy các lệnh của Maple theo thứ tự mà người lập trình định sẵn để xử lí một công việc nào

đó, khi thực hiện thủ tục này Maple sẽ tự động thực hiện các lệnh có trong thủ tục đó một cách tuần tự và sau đó trả lại kết quả cuối cùng Sử dụng phần mềm maple giúp ta thực hiện các thao tác về ma trận như: tìm hạng, tìm ma trận khả nghịch; khảo sát hàm số, tính tích phân, tìm đa thức đặc trưng,…và ứng dụng để giải hệ phương trình Sau đây chúng tôi cũng xin giới thiệu ứng dụng của Maple vào việc khảo sát hàm số và giải phương trình Qua ứng dụng này thì chúng ta cũng sẽ thấy được việc áp dụng phần mềm Maple sẽ giải quyết được những bài toán một cách nhanh chóng nhất

có trình trợ giúp rất dễ sử dụng Từ phiên bản 7, Maple cung cấp ngày càng nhiều các công cụ trực quan, các gói lệnh tự học gắn liền với toán phổ thông và đại học Ưu điểm đó khiến ngày càng có nhiều nước trên thế giới lựa chọn sử dụng Maple trong dạy-học toán tương

tác trước đòi hỏi của thực tiễn và sự phát triển của giáo dục

Ta có thể sử dụng các hàm của Maple khi khảo sát hàm số, chẳng hạn như xác định miền giá trị, khoảng đơn điệu, miền lồi, cực trị và điểm uốn, vễ đô thị, giải các phương trình và hệ phương trình,…

Một số ưu nhược điểm của maple:

Ưu điểm: Maple là một trong những phần mềm tính toán khoa học mạnh nhất hiện nay Trong thư viện của Maple có những gói trợ giúp cho tính toán của rất nhiều ngành toán học: từ sơ cấp đến hiện đại Kể từ version

8, Maple hỗ trợ cho việc vẽ đồ thị động Maple 9 còn hõ trợ cả việc tự học của sinh viên (gói Students) Các kết quả của Maple có thể Export ra các dạng văn bản khác (như Latex, WordPerfect, RTF, HTML (Web))

4

Các đồ thị do Maple vẽ ra có thể xuất ra các file hình ảnh ps, eps và cả các file ảnh động (gif động) Giao diện và các thao tác soạn thảo (đánh dấu khối, copy, dán, ) của Maple rất giống các Office như Word,

PowerPoint nên dễ dàng sử dụng ngay lúc ban đầu

Nhược điểm: Bên cạnh những ưu điểm cơ bản trên, Maple còn một số nhược điểm sau:

Dung lượng lớn (Maple 9 sau khi cài đặt sẽ có dung lượng khoảng 170 MB)

Các lệnh (macro) bằng tiếng Anh khá dài nên khó nhớ

Các trợ giúp cho việc dạy hình học ít, không đủ mạnh

Dưới đây chúng tôi chỉ giới thiệu một số chức năng của Maple mà chúng tôi nghĩ là hữu ích đối với các giáo viên và học sinh phổ thông Các file mẫu: daiso.mws (tính toán trong đại số và số học), giaitich mws (tính toán trong giải tích: giới hạn, phép tính vi-tích phân), dothi mws (vẽ đồ thị) có lưu trong đĩa CD học tập Sau khi cài đặt Maple trên máy tính cá nhân, các bạn nên chép các file này vào ổ cứng Khi cần sử dụng Maple,

ta mở file chứa chủ đề ta cần, tìm và thay đổi các khai báo đã có bằng các khai báo mới ta cần tính toán, minh hoạ

Các bạn có thể tải maple 12 trong địa chỉ này: ( gồm 3 bản, tải xuống thì giải nén)

http://www.mediafire.com/download/8e02b0tkwwupew5/Maplesoft.Maple.v12.0-TBE.part1.rar

http://www.mediafire.com/download/58xgpn100liserw/Maplesoft.Maple.v12.0-TBE.part2.rar

http://www.mediafire.com/download/jo1flss1q2wl3x3/Maplesoft.Maple.v12.0-TBE.part3.rar

𝑦 =𝑥

2+ 𝑥 + 12𝑥 + 2

Ta dung cá nhóm lệnh sau:

[> restart;

Y:=(x^2+x+1)/(2*x+2);

Y:=simplify(Y):

print(‘Tap xac dinh cua ham so la:’);

a:=solve(denom(Y)=0,x):

if(type(denom(Y),realcons)=true)or(coeff(denom(y),x^2)<>0 and

type(a[1],realsons)=falssel then D=R;fi:

if coeff(denom(y),x^2)=0 and coeff(denom(y),x)<>0 then D={x<>a};fi;↵

6

Kết quả thực hiện chương trình:

b Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số với lệnh: [>diff(f(x),x);

Bước 2: Xác định chiều biến thiên:

Xác định khoảng đồng biến của hàm số (tức là tìm những khoảng mà đạọ hàm mà đạo hàm của hàm số không âm) ta sử dụng lệnh: [>dhbn := bieuthuc r(x)>=0;

Bước 3: Giải phương trình bằng lệnh: [>solve(dhbn, {x});

Xác định khoảng nghịch biến của hàm số, tương tự như trên, ta dung lệnh:

[>dhbn := bieuthuc f’(x)<=0; Và giải phương trình bằng lệnh:

[>solve(dhbn,{x});

Thí dụ: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số y=x3-6x2+4x-8

Bước 1: Tính đạo hàm:

Bước 2: Thiết lập bất phương trình dhbn:0 ≤ 3𝑥2 − 12𝑥 + 4

Bước 3: Giải bất phương trình: [>solve(dhbn,{x});↵

7

c Tìm miền lồi, miền lõm của hàm số

Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất: [>dhb1:=diff(f(x),x);

Bước 2: Tính đạo hàm bậc hai: [>dhb2:=diff(dhbl,x);

Bước 3: Giải bất phương trình f’’(x)≥ 0 để tìm miền lồi của hàm số, bằng lệnh: (dhb2>=0,x);

Ví dụ xét hàm số y=𝑥4 − 2𝑥2

Bước 1: Tìm đạo hàm bậc nhất:

Bước 2: Tìm đạo hàm bậc hai:

Bước 3: Giải phương trình tìm miền dương của đạo hàm bậc 2 (miền lồi của hàm số)

d Tìm điểm cực đại , cực tiểu:

Để xác định điểm cực đại, cực tiểu của hàm số ta xét đạo hàm bậc nhất và tính đơn điệu của hàm sô, hoặc dung tính lồi thông qua đạo hàm bậc hai, cụ thể:

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: [>diff(f(x),x);

Bước 2: Giải phương trình 𝑓′ 𝑥 = 0 để tìm các ddiemr là cực trị

[> 𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒 𝑓 𝑥 = 0, 𝑥 ; Bước 3: Tìm khoangr đông biến nghịch biến của hàm số:

[> 𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒 𝑓 𝑥 >= 0, 𝑥 ; Bước 4: Xét tại x0 :

8

1) Nếu đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì x0 là điểm cực đại 2) Nếu đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì x0 là điểm cực tiểu 3) Nếu qua x0 đạo hàm không đổi dấu thì x0 không là điểm cực trị

Ví dụ tìm cực trị của hàm số 𝑦 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 4𝑥 − 8

Bước 4:

Qua 𝑥1 = 2 −2 6

3 nên đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm nên

x1 là điểm cực đại., còn qua 𝑥12 = 2 +2 6

3 đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ

âm sang dương nên x2 là điểm cực tiểu của hàm số 𝑦 = 𝑥3 − 6𝑥2 +4𝑥 − 8

Nếu dựa vào đạo hàm bậc hai ta có thể tiến hành các bươc sau:

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: [>dhb1:=diff(f(x),x);

Bước 2: Giải phương trình f’(x)=0 để tìm điểm cực trị

[>solve(dhb1=0,x);

Bước 3: Tìm đạo hàm bậc hai: [>dhb2:=diff(dhbl,x);

Ví dụ tìm cực trị của hàm số 𝑦 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 4𝑥 − 8

Bước 1:

Các hàm minimize(expr, vars, ranges) và maximize(expr, vars,

ranges) dùng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số được xác định bởi biểu thức expr theo giá trị của các đối số được liệt

kê (vars) trong một phạm vi nào đó (ranges)

Ví dụ:

11

g Xác định các đường tiệm cận:

Ta sử dụng lệnh tách mẫu số của f(x) bởi lệnh denom(), dung lệnh

solve (tìm nghiệm của mẫu số để đc tiệm cận đứng)

Lần lượt tính giới hạn lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥)

𝑥 = 𝑎 và lim𝑥→∞ 𝑓 𝑥 − 𝑎𝑥 = 𝑏 , chúng tồn tại sẽ cho ta tiệm cận xiên 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

Ví dụ xác định tiệm cận xiên của hàm số 𝑦 = 𝑥2+𝑥+1

if a<>infinity or a <>-infinity then print('tiem can dung:',x=ms);

print(tiem can xien y=',x*a+b); fi;↵

12

Kết quả thực hiện chương trình:

h Xác định giao điểm của đồ thị hàm số Y=f(x) với các trục tọa độ

Sử dụng gói công cụ student, sau đó dung các lệnh : Tìm giao điểm với trục tung intercept(y=Y, x=0,{x,y}), Tìm giao điểm với trục hoành intercept(y=Y,y=0,{x,y}),

Ví dụ xác định giao điểm với các trục tọa độ của hàm số 𝑌 = 𝑥2+𝑥+1

2𝑥+2

[>restart:with(student):

Y:=(x^2+x+1)/(2*x+2); # mở gói công cụ và khai báo hàm

[>intercept(y=Y, y=0, {x,y});# giao điểm với trục hoành

intercept(y=Y,x=0,{x,y});# giao điểm với trục tung ↵

Kết qu thực hiện chương trình:

Như vậy đồ thị hàm số không cắt trục hoành mà chỉ có một giao điểm với trục tung duy nhất là x=0, y=1/2

print('Mien xac dinh cua ham so la R');

print('khao sat chieu bien thien'); dhbn:=diff(Y,x);

print(‘Dao ham bac nhat'); print('dhbn =',dhbn); dhbh:=diff(diff(y,x),x); xct:=solve(dhbn=0); A:=solve(dhbn>=0); B:=solve(dhbn<=0);

if A=x then print('Ham so dong bien tren toan truc so:');

print('Ham so khong co cuc tri: '); print('Gioi han cua ham so’);

print(limit(y,x=infinity)=limit(y,x=infinity));

print(limit(y,x=-infinity)=limit(y,x=-infinity));

print('Ham so loi tren cac khoang');

print(solve(dhbh<0,{x}));

print('cac khoang loi lom va diem uon');

print('Dao ham bac hai la:'); print(dhbh);

print('Ham so lom tren khoang');

15

print(plot(y1,x1=-6 6,-20 20)); fi;

if B=x then

print('Ham so nghich bien tren toan truc so:');

print('Ham so khong co cuc tri: ');

print(‘Gioi han cua ham so');

print(limit(y,x=infinity)=limit(y,x=infinity));

print(limit(y,x=-infnity)=limit(y,x=-infinity));

print('Ham so loi tren cac khoang');

print(solve(dhbh<0,{x}));

print('cac khoang loi lom va diem uon');

print('Dao ham bac hai la:'); print(dhbh);

print('Ham so lom tren khoang');

print(plot(y1,x1=-6 6,-20 20)); fi;

if B=x then

print('Ham so nghich bien tren toan truc so:');

print('Ham so khong co cuc tri: ');

print(‘Gioi han cua ham so');

print(limit(y,x=infinity)=limit(y,x=infinity));

print(limit(y,x=-infnity)=limit(y,x=-infinity));

print('cac khoang loi lom va diem uon');

16

print('Dao ham bac hai la:'); print(dhbh);

print(‘Ham so loi tren cac khoang');

print('cac khoang loi lom va diem uon');

print('Dao ham bac hai la:');

print('dhbh =',dhbh);

17

print('Ham so loi tren cac khoang'), print(solve(dhbh<0,{x}));

print('Ham so lom tren khoang');

print(plot(Y1,x1=-6 6,-20 20)); fi;

if a<0 then

print(plot(y,x=-3+xu+xg[3] 3+xu+xg[2],-5+f(xct[1]) 5+f(xct[2])));

print('Do thi ham so sau khi doi truc toa do');

print(plot(Y1,x1=-6 6,-20 20)); fi; fi;

end:↵

 Ví dụ minh họa: Khảo sát hàm số y= 𝟏

𝟑𝒙𝟑 − 𝒎𝒙𝟐− 𝒙 + 𝒎 +

𝟐

𝟑 với m=0 (ĐH thái nguyên 1999)

 Ta sử dụng chương trình con sau:

18

if(type(denom(y),realcons)=true) then D=R;fi;

print('Tinh dao ham bác nhai cua ham so),

19

𝑌𝑚𝑖𝑛_𝑚𝑎𝑥 ≔ 0,4

3

Tinh dao ham bac hai cua ham so z:=2x

Diem uon cua do thi ham so la

2 Giải phương trình và hệ phương trình

2.1 Giải phương trình siêu việt

Để giải một phương trình ta có thể làm theo 2 bước:

Bước 1: sử dụng lệnh eqn:= để xác định phương trình cần giải

Bước 2: giải phương trình bằng lệnh solve(eqn,{ x } );

20

Tuy nhiên cũng có thể chỉ dùng 1 lệnh solve và có ngay đáp số

a Giải phương trình lượng giác, lượng giác ngược

Đối với phương trình lượng giác ta thực hiện như ở trên đã nói, kết quả cho ta các giá trị cụ thể của nghiệm, ta hiểu nghiệm cuối cùng của bài toán là có thêm đuôi k2𝜋

Ta chỉ cần dung một lệnh sẽ có kết quả:

[>solve(arccos(x)-arctan(x)=0, {x});

Hoặc có những phương trình cần thêm lệnh đánh giá xấp xỉ thập phân

Evalf(?)(không tìm đc ký hiệu) như phương trình sau:

Vídụ 3: arcsin2x – 2arccosx = 0

[>solve(arcsin(2*x)-2*arccos(x)=0,{x});

[>evalf(?);(không tìm đc ký hiệu)

{x=0.7861513775}

b Giải phương trình mũ và logarit

Với các phương trình siêu việt, việc tính toán nghiệm thường là rất khó khăn, máy thường chỉ tính được một nghiệm Muốn tìm được các nghiệm khác nữa ta cần làm them một số phương pháp khác, với maple chúng ta

có thể sử dụng phương pháp đồ thị Ta vẽ đồ thị của hàm số trên một

21

miền đủ rộng để quan sát Thấy vùng nào có nghiệm ta phóng đại vùng

đó (bằngcáchthunhỏvùngvẽ) để nhìn thấy nghiệm chính xác hơn, và ta có thể lặp lại nhiều lần quá trình này cho đến khi có được nghiệm đến độ chính xác mà ta muốn

Vídụ 4: Giải phương trình mũ: 3.2x + 2.3x – 5x -1 =0 (1)

Để giải phương trình này ta dung hai lệnh solve và lệnh đánh giá xấp xỉ thập phân evalf(?) (ký hiệu thay thế)

[>solve(3*2^x+2*3^x-5^x-1) ;

[>evalf(?)(ký hiệu thay thế) 2.232119390

Như vậy máy chỉ tính cho ta 1 nghiệm để tìm nghiệm còn lại ta dung phương pháp đánh giáng hiệm và phương pháp đồ thị Ta có thể làm như sau:

-Đánh giá miền nghiệm của phương trình (1) bằng phương pháp đạo hàm:

24

[>

plot(3*2^x+2*3^x-5^x-1,x=-1.907 -1.906) ;

Đến đây ta có thể lấy nghiệm xấp xỉ x=-1.9065, tuy nhiên nếu muốn

chính xác hơn ta lặp lại quá trình trên

Như vậy ta đã tìm ra hai nghiệm của phương trình đã cho

Vídụ 5: Giải phương trình logarit; log32x +log53x –log7x + 3 =0

Đến đây ta cũng đi đánh giá nghiệm của phương trình bằng phương pháp

đạo hàm, để ý rằng điều kiện xác định của (2) là x>0 nên ta chỉ xét trên

𝑥 > 0, 𝑥 > 0

25

 Ham số đồng biến trên (0; +∞), do đó phương trình nếu có nghiệm là duy nhất Vậy phương trình có duy nhất 1 nghiệm x=0.01442756079 Đối với các phương trình khác ta cũng có thể giải hoàn toàn tương tự nếu

có nghiệm khác thì ta có thể tìm gần đúng bằng phương pháp đồ thị

2.2 Giải hệ phương trình siêu việt

Để giải một hệ phương trình siêu việt hay một hệ phương trình đại số thông thường ta làm theo hai bước :

Bước 1: Vào các lệnh xác định các hệ phương trình của hệ, dung lệnh

Như vậy hệ phương trình trên có 3 nghiệm, 2 nghiệm thựcvà 1 nghiệm

ảo Máy đã tìm cho ta cả nghiệm ảo củ abài toán, nếu trong chương trình phổ thông ta chỉ lấy hai nghiệm thực và kết luận hệ phương trình có hai nghiệm (16,16) và (1

4,1

4)

Với một số ví dụ cụ thể ở trên chúng tôi hi vọng có thể khẳng định thêm vai trò của Maple trong dạy và học toán