Đề thi giáo viên giỏi môn Toán tỉnh Bình Phước 2013-2014 + Gợi ý giải

HI THI GIÁO VIÊN GII TNH CP THPT MÔN TOÁN – CHU K 2010-2015 NGÀY THI: 03-12-2013 Thi gian làm bài: 120 phút không k thi gian giao  GI Ý GII Ngi thc hin: Phm Vn Quý THPT Hùng Vng Bài 1 Gii h phng trình: 2 2 4 2 2 2 3 15 0 2 4 5 0 x y x y x y x y  + + − =   + − − − =   Gii  iu kin: , x y R ∈  Ta có h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 2 2 2 4 4 4 8 5 2 1 4 4 10 x y y x x y x x y y  − − − + − + − =  ⇔  − + + − + =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 4 1 4 2 5 1 2 10 x y x y x y  − − + − + − =  ⇔  − + − =    t 2 1 2 a x b y  = −  = −  ta có h phng trình tr thành: 2 2 4 4 5 10 ab a b a b + + =  ⇔  + =   t 2 ,( 4 0) . S a b S P P a b = +  − ≥  =  ta có h phng trình: 2 4 5 2 10 P S S P + =   − =  ( )  =  = −    = − = −  = −      ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =      − − = + − = = −       = −    =                                                 Vi =   = −      khi ó    là các nghim ca phng trình: = −  − − = ⇔  =            Do ó ta có 2 cp     tha mãn là = −   =      , =   = −      .  Vi = − =  − = −   ⇔    = = − =                    Vi  =    = =   − = =    ⇔ ⇔     = − − = − = = −       =                             Kt lun: H phng trình có ba nghim là: =   =      , = = −     = =             S GIÁO DC ÀO TO BÌNH PHC Nhn xét: - Du hiu  phát hin ra cách gii trên chính là  phng trình th hai ca h, tuy nhiên không phi ai cng d dàng bin i phng trình th nht nh  cách gii trên.  tránh c khó khn này ta s rút 2 1 2 x a y b  = +  = +  ri th vào phng trình u ri rút gn ta cng thu c phng trình: 4 4 5 ab a b + + = . - Ngoài cách t n ph trên, nu quan sát ta thy s xut hin ca x trong h ch là bc hai và bc bn nên ta có th tip cn bài toán theo hng t 2 2 a x b y  =  = +  khi ó ta có h phng trình + =   − + − + =                . Tip tc th b t phng trình trên xung phng trình di ta thu c m!t phng trình bc bn n a, phng trình bc bn n a này có hai nghim là a = 0, a = 4. Khi ó bài toán tr nên n gin. Bài 2 Cho hình lng tr         có áy  là tam giác cân, = = =         . Các mt phng                cùng hp vi mt phng ( )  góc   . Tính th tích khi lng tr        . Gii  Gi H là hình chiu vuông góc ca B trên mt phng (ABC), gi I, J, K ln lt là hình chiu vuông góc ca H trên ng thng cha các cnh BC, CA, AB. Khi ó góc gia các mt phng                vi mt phng (ABC) ln lt là các góc               . T gi thit ta suy ra:    = = =            . T ó suy ra ba tam giác vuông            ôi mt bng nhau  = =      là tâm ng tròn ni tip ca tam giác ABC.  Xét tam giác ABC áp dng nh lí Côsin ta có:   + − = =  =                     ∆  = =             (vdt). Mt khác ta có: =  = =           , (vi r, p ln lt là bán kính ng tròn ni tip và na chu vi ca tam giác ABC). Mà = = =  =         Xét tam giác vuông B’HK ta có: = = =                Ta có th tích ca khi lng tr là: ∆ = = =                   (vtt). 60 0 C B A' C' B' A H K I J Bài 3 Trong mt phng Oxy cho hình thoi ABCD có tâm ( )   và =    . im           thuc ng thng AB, im           thuc ng thng CD. Vit phng trình ng chéo BD bit nh B có hoành  nh hn 3. Gii  Gi N’ là im i xng ca N qua I ta có + =  + =   ⇔   + = + =                               =     ⇔     =                   và N’ thuc AB.  Ta có AB là ng thng qua           và nhn vect   =           là vect ch phng hay nhn vect ( ) = −     là vect pháp tuyn   có phng trình:   − − − =             ⇔ − + =      .  Gi H là chân ng vuông góc k! t I ti AB ta có: = +          , (*). Trong ó − + = = = +              , =    . Thay các kt qu này vào (*) ta có: = + ⇔ = ⇔ = ⇔ =                      Vì  thuc ng thng AB: − + =      nên ta  ca B có dng −       . Vi =   ta có: =   − + − = ⇔ − + = ⇔  =                       Vi =      không tha mãn iu kin hoành  ca B nh hn 3. Vi   =               tha mãn iu kin hoành  ca B nh hn 3.  Vi             ta có BD là ng thng qua I nhn vect   =            làm vect ch phng hay nhn ( ) = −      làm vect pháp tuyn  − − − = ⇔ − − =              .    Kt lun: ng chéo BD có phng trình: − − =      . Nhn xét: Ta có th gii bài toán này theo cách s" dng h s góc ca ng th#ng nh sau: - Lp phng trình ng th#ng AB nh cách trên. - T   =  =  =  =              . Khi ó lp ng th#ng BD bit i qua im I và góc gi$a BD vi AB là   th%a  =     . H N D B I A C N' M Bài 4 Cho ba s th!c      th a mãn i"u kin + + =     và > > >       . Tìm giá tr# nh nh$t c%a biu th&c − − − = + +              . Gii  Ta có gi thit + + = ⇔ + + =             Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − + − + − − + − + − − + − + − = + +                            − − − − − −     = + + − + + + − + + + −                                                    ( ) ( ) ( )           = − + + − + + − + + + + − + +                                                            Áp dng b"t ng thc Cauchy ta có: ( ) ( ) ( )     − − −   − + + − + + − + ≥ + +                                                 ( ) ( ) ( )           ⇔ − + + − + + − + ≥ + + − + +                                                          , (*).  Áp dng b"t ng thc c bn: + + ≥ + +          ta có: + + ≥ + + =                 , (**).  T (*) và (**) ta có       ≥ + + − + − + + = + + −                                    Mt khác ta có:       + + = + + + + + ≥ + + + + + = + =                                                     + + ≥        Vy ta có: ≥ −     D"u “=” xy ra  = =  ⇔ ⇔ = = =   = + +                 Kt lun: Giá tr nh nh"t ca P là −   , t c khi = = =     . Chú ý Ngoài 4 câu hi t# lun trên  thi còn mt câu hi v phn phng pháp là “S dng lc $ Pôlia hng d%n hc sinh gii bài toán: Tìm hai im A, B thuc $ th (C) ca hàm s = − +        sao cho tip tuyn ca (C) ti A và B song song và =    ”. Lc $ Pôlia g$m 4 bc nh sau: Bc 1: Tìm hiu bài toán. Bc 2: Tìm tòi li gii bài toán. Bc 3: Gii bài toán. Bc 4: Nghiên cu li gii và khai thác bài toán. Quý thy cô có th tham kho tài liu v lc $ Pôlia theo link sau: http://www.huecdt.edu.vn/DecuongOnthiTN/PPDHToan(Toan).pdf XIN CM 'N ! . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − + − + − − + − + − − + − + − = + +                            − − − − − −     = + + − + + + − + + + −             .  − + + − + + − + ≥ + +                                                 ( ) ( ) ( )           ⇔ − + + − + + − + ≥ + + − + + . ng thc c bn: + + ≥ + +          ta có: + + ≥ + + =                 , (**).  T (*) và (**) ta có       ≥ + + − + − + + = + + −        