Bài tập tự luyện ch ơng I Dạng 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: 1/ 3xy 2 - 6x 2 y + 9xy 2/ xy 2 - 2xy + x 3/ x 2 + y 2 - 2y +1 4/ 4y 2 - 9x 2 + 6x -1 5/ 2(x-2) 2 - x 2 + 4 6/ (2x-3)(x-1)- 4x 2 + 12x - 9 7/ (x-1)(x+2) - 2x 2 + 2 8/ x 2 (x-2) + 9(2-x) 9/ x 2 + 6x + 7 10/ 3x 2 + 7x + 4 9/ x 4 - 3x 2 + 2 10/ (x 2 + x) 2 + 4x 2 + 4x-12 11/ (x+y) 2 + 2x+2y- 8 12/ x 2 + y 2 - 4x - 4y + 2xy +3 13/ x 3 + y 3 + z 3 -3xyz 14/(x+y+z) 3 - x 3 - y 3 - z 3 15/ ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + abc 16/ x 4 +2x 3 + 3x 2 + 2x + 1 17/ x 5 + x + 1 Dạng 2. Tìm x, y biết: 1/x(x-2) - (x+1)(x+2) - 4 = 0 2/(x-2)(x+2)- (x-3) 2 + 4 = 0 3/ x(x-3) - x+ 3 = 0 4/ x 2 (x-2) - 4x + 8 = 0 5/ x 2 (x+3) = x 2 + 3x 6/x 2 - 4x + 4 = (3- 2x) 2 7/ (2x-1) 2 = -4x 2 + 4x + 1 8/ 2(x+5) -x 2 - 5x = 0 9/ x 2 + 5x + 6 = 0 10/ x 4 + 4x 3 + 7x 2 + 6x + 2 = 0 11/ 3x 2 + y 2 +2xy -8x -4y + 6 = 0 Dạng 3. Chứng minh bất đẳng thức: 1/x 2 + 4x + 5 > 0 x 2/ 4x 2 - 4x + 2 > 0 x 3/ x 2 + x + 1 > 0 x 4/ -x + x 2 > -1 x 5/a 2 - ab + b 2 > 0 a, b 6/ x 2 + y 2 -4x -2y + 5 > 0 x, y 7/ 2x 2 + y 2 +2xy - 6x - 4y + 5 0 x, y 8/ x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + zx 9/x 4 - 4x 3 + 6x 2 + 4x +2 > 0 10/Nếu a, b, c là các số đôi một khác nhau và a+ b+ c < 0 thì: a 3 + b 3 + c 3 -3abc < 0 11/Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca) 12/Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 > 2(a 4 + b 4 + c 4 ) 13/ Cho a, b là hai số thực bất kì. Chứng minh rằng: (a - b)(a - 2b)(a - 3b)(a - 4b) + b 4 0 Dạng 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: 1/ A = x 2 - 6x + 2022 2/ B = 4x 2 - 4x + 2 3/ C = x 2 -x + 4/ D = - 3x + x 2 + 4 5/ E = x 2 + 4y 2 + 2(x+2y) -5 6/ F = 3x 2 + y 2 + 2xy + 2x -2y + 4 Dạng 5. Một số bài toán số học 1/Chứng minh rằng biểu thức sau chia hết cho 5 với mọi số nguyên n A= n(2n-3) - 2n(n+1) 2/Chứng minh rằng với mọi n N thì : M= (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 15 chia hết cho x + 6 3/Cho các sô nguyên a 1 , a 2 , a 3 , , a n có tổng chia hết cho 3. Chứng minh rằng P = a 1 3 + a 2 3 + a 3 3 + + a n 3 cũng chia hết cho 3. 4/Cho các sô nguyên a 1 , a 2 , a 3 , , a n có tổng chia hết cho 5. Chứng minh rằng P = a 1 5 + a 2 5 + a 3 5 + + a n 5 cũng chia hết cho 3. 5/Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n 3 - 13n luôn chia hết cho 6. 6/Chứng minh rằng 49 5 - 49 chia hết cho 6. 7/Cho đa thức f(x)=2x 4 -7x 3 - 2x 2 +13x + 6. Chứng minh rằng f(x)6 x Z 8/Xác định số tự nhiên n để giá trị biểu thức sau là số nguyên tố: a/ A = n 3 -3n 2 + n -3. b/ B = 5n 3 - 9n 2 +15n -27 c/ C = (n 2 - 8) 2 + 36 d/ D = n 2 - 3n + 2. 9/Chứng minh rằng với mọi số nguyên a và thì : a/ A= a 3 b - ab 3 chia hết cho 6. b/ B = a 5 b - ab 5 chia hết cho 30. Dạng 6. Giải phơng trình nghiệm nguyên. Xác định x, y nguyên biết: 1/ xy + 2x + y =-1 2/ x 2 + 2x - xy -2y =1 3/ x 3 + x 2 + x +1 = y 3 Dạng 7. Tính giá trị. 1/Tính giá trị của biểu thức (3x+2) 2 + (4x-1) 2 + (2+5x)(2-5x) tại x = 100 1/Tính giá trị của biểu thức x 2 - y 2 -2x + 2y tại x = 2345 và y= 2344 2/Tính giá trị của biểu thức x 2 - 2009x - y 2 + 2009y tại x = 723; y= 1286. 3/ Tính giá trị của đa thức x 4 -2013x 3 + 2013x 2 - 2013x + 2013 tại x = 2012 4/ Cho x+y = a, x.y = b. Tính giá trị các biểu thức sau theo a và b: a/ x 2 +y 2 b/ x 3 + y 3 c/ x 4 + y 4 d/ x 5 + y 5 Dạng 9.Một số bài toán về đa thức 1/Tìm thơng và d của phép chia: a/Đa thức x 3 - 4x 2 + 11x -2 cho đa thức x 2 - 2x + 7 b/Đa thức -8x 2 + 2x 3 -10 + 16 x cho đa thức x 2 + 5 - 3x 2/Cho hai đa thức A = 6x 3 -17x 2 + 8x - 5 và B = 6x 2 -5x + 1.Tìm phần d R trong phép chia A cho B rồi viết A dới dạng A= B.Q + R 3/Tìm số a để đa thức 2x 3 -4x 2 + 6x + a chia hết cho đa thức x+2. 4/Tìm n Z để giá trị của đa thức 6n 2 - n + 5 chia hết cho giá trị của đa thức 2n + 1. 5/Xác định đa thức d của phép chia đa thức x 49 + x 13 -x 8 cho đa thức x 2 -1 6/Tìm d khhi chia đa thức x 99 + x 55 + x 11 + x + 7 cho đa thức x 2 + 1 Tìm giá trị của p và q để x 4 + 1 chia hết cho đa thức x 2 + px + q Dạng 9. Một số dạng khác. 1/Cho a, b, c là các sô khác 0 thỏa mãn a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. Tình giá trị của biểu thức 1 . 1 . 1 a b c E b c a = + + + ữ ữ ữ 2/Cho a, b, c là các số khác 0 thỏa mãn a 3 -b 3 + c 3 = -3abc. Tính giá trị của biểu thức 1 . 1 . 1 a b c F b c a = + ữ ữ ữ 3/Cho a, b, c khác 0 thỏa mãn 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + . Tính giá trị của biểu thức sau ( ) ( ) ( ) 2013 2013 2013 G a b b c c a = + + + 4/Rút gọn các biểu thức A = (3+1)(3 2 +1)(3 4 +1)(3 8 +1)(3 16 +1)(3 32 +1) 5/Chứng minh rằng (a+b) 3 + (b+c) 3 + (c+a) 3 -3(a+b)(b+c)(c+a) 0 a, b, c. 6/Các số sau là bình phơng của số nào? a/ A= { { 99 9 00 0 25 n n b/ B = { 1 11 122 22 5 n n+ 1 2 3 . Một số b i toán số học 1/Chứng minh rằng biểu thức sau chia hết cho 5 v i m i số nguyên n A= n(2n-3) - 2n(n+1) 2/Chứng minh rằng v i m i n N thì : M= (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 15 chia hết cho. Tính giá trị. 1/Tính giá trị của biểu thức (3x+2) 2 + (4x-1) 2 + (2+5x)(2-5x) t i x = 100 1/Tính giá trị của biểu thức x 2 - y 2 -2x + 2y t i x = 2345 và y= 2344 2/Tính giá trị của biểu thức. 2. 9/Chứng minh rằng v i m i số nguyên a và thì : a/ A= a 3 b - ab 3 chia hết cho 6. b/ B = a 5 b - ab 5 chia hết cho 30. Dạng 6. Gi i phơng trình nghiệm nguyên. Xác định x, y nguyên biết: 1/ xy + 2x