bài tập sức bền vật liệu

Trên các mặt cắt ngang của thanh ta có thể xác định được véctơ hợp lực của nội lực dựa vμo sự cân bằng của nội vμ ngoại lực trên đoạn thanh đang xét.. - Mz : Momen xoắn quay xung quanh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG

BỘ MÔN CƠ HỌC VẬT LIỆU

PGS.TS NGUYỄN VĂN BA

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP SỨC BỀN VẬT LIỆU

Lời nói đầu

Sức bền vật liệu lμ môn học phục vụ cho việc tính toán thiết kế các công trình vμ máy móc, vì vậy ngoμi việc nắm vững lý luận khoa học của nó, việc lμm bμi tập để củng cố kiến thức vμ lμm quen với tính toán thiết kế cũng rất quan trọng đối với người học Vì thời gian trên lớp không thể đủ để hướng dẫn vμ chữa hết các bμi tập cần thiết trong chương trình môn học yêu cầu, chúng tôi soạn cuốn sách nμy nhằm giúp sinh viên có thể tự đọc để hiểu rõ thêm nội dung thực hμnh tính toán của môn học, bổ xung những điều mμ trên lớp giảng viên không có điều kiện trình bμy hết, đồng thời cũng đưa vμo những bμi tập để sinh viên tự lμm

Nội dung cuốn sách gồm phần hướng dẫn chung để giải các bμi tập trong từng chương, nêu lại những công thức cơ bản dùng nhiều trong bμi tập, một số thí dụ minh hoạ, phần bμi tập tự lμm cho sinh viên giải ở nhμ Nội dung trên được trình bμy theo chương trình môn học áp dụng cho các ngμnh cơ khí của các trường Đại học Với những ngμnh khác cũng có thể tham khảo tốt vì tính chất chung của môn học

Cuốn sách được soạn dựa trên nhiều tμi liệu tham khảo vμ kinh nghiệm của tác giả sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy vμ quản lý đμo tạo Mặc dù đã hết sức cố gắng, nhưng chắc chắn còn nhiều sai sót, chúng tôi mong nhận được sự góp ý của bạn đọc để bổ xung cho lần xuất bản sau tốt hơn

Tác giả

Chương 1: Biểu đồ nội lực

Đ1 giới thiệu chung Một thanh dưới tác dụng của ngoại lực, trong thanh sẽ xuất hiện nội lực tương ứng với ngoại lực đó Trên các mặt cắt ngang của thanh ta có thể xác định được véctơ hợp lực của nội lực dựa vμo sự cân bằng của nội vμ ngoại lực trên đoạn thanh đang xét Chiếu các véctơ đó lên các trục tọa độ vμ lấy momen của nó đối với các trục tọa độ ta được 6 thμnh phần nội lực đó lμ:

- Nz : Lực dọc (song song với trục thanh)

- Qx ,Qy : Lực cắt (song song với trục x vμ trục y)

- Mx , My : momen uốn (quay xung quanh trục x vμ trục y)

- Mz : Momen xoắn (quay xung quanh trục z)

Trong chương nμy chúng ta chỉ nghiên cứu phương pháp xây dựng biểu đồ nội lực của hệ phẳng, tức lμ các thanh, khung có trục chỉ nằm trong các mặt phẳng vμ tất cả ngoại lực cũng chỉ nằm trong các mặt phẳng đó Với bμi tập như vậy, trên các mặt phẳng ngang của nó chỉ có 3 thμnh phần nội lực nằm trong mặt phẳng của thanh đó lμ: Nz, Qy, Mx còn các thμnh phần khác triệt tiêu

Việc xây dựng biểu đồ nội lực của các thanh thực chất lμ lμm thế nμo để xác định

được các giá trị Nz, Qy, Mx trên mọi mặt cắt ngang của nó, sau đó biểu diễn các giá trị nμy trên đồ thị có trục hoμnh song song với trục thanh Để lμm được việc nμy ta có thể tiến hμnh bằng hai cách phổ biến sau:

Cách thứ nhất lμ lập phương trình trên từng đoạn dưới dạng một biểu thức giải thích với biến số lμ tọa độ z (Nz = N(z); Qy = Q(z); Mx = M(z)) bằng phương pháp mặt cắt, sau đó biểu diễn những phương trình nμy trên đồ thị ta sẽ có được biểu đồ nội lực Cách thứ hai dựa vμo những nhận xét về sự tương ứng giữa nội lực vμ ngoại lực ta có thể xác định được hình dạng của biểu đồ trên từng đoạn, giá trị của nó tại các điểm đặc biệt Căn cứ vμo đó

ta vẽ được biểu đồ mμ không cần lập biểu thức giải tích

Theo cách thứ nhất cần tiến hμnh theo các bước sau:

1 Xác định các thμnh phần ngoại lực chưa biết vμ cần thiết cho việc lập phương trình nội lực (thường lμ các phản lực liên kết)

- Để xác định được các phản lực liên kết đó, trước hết ta cần căn cứ vμo các liên kết của hệ để xác định được các thμnh phần phản lực vμ phương của nó, trên các phương đó ta giả thiết cho nó có một chiều nμo đấy Căn cứ vμo phương vμ chiều giả thiết, lập phương trình cân bằng tĩnh học của toμn hệ (coi như vật rắn tuyệt đối) Từ đó tìm được các phản lực tương ứng với chiều giả thiết, căn cứ vμo dấu của nó để xác định chiều thực

2 Dùng các mặt cắt ngang chia hệ lμm hai phần (trên mặt cắt có các thμnh phần nội lực) Xét sự cân bằng của một phần hệ (gồm có nội lực vμ ngoại lực), từ đó lập được phương trình nội lực trên từng đoạn

3 Căn cứ vμo phương trình nội lực lập được, vẽ biểu đồ nội lực trên cả hệ Để vẽ

được thuận lợi vμ chính xác ta tiến hμnh như sau:

- Tìm giá trị nội lực ở các điểm đặc biệt (các điểm đầu mỗi đoạn, các điểm cực trị, điểm đạt giá trị không )

- Nhận xét về dạng của biểu đồ trên mỗi đoạn

- Kẻ đường thẳng song song với trục lμm đường chuẩn, trên đường chuẩn nμy vẽ biểu đồ với các giá trị tương ứng

- Kiểm tra lại đồ thị

Tuy nhiên, theo từng kết cấu của hệ vμ liên kết của nó ta có thể phân hệ lμm năm loại cấu kiện để tiện cho việc theo dõi vμ có những phương pháp thích hợp trong khi lμm bμi tập Đó lμ thanh một đầu ngμm, thanh trên hai gối tựa, thanh nhiều nhịp, khung, thanh cong

Khi tiến hμnh cần chú ý:

- Sau khi phân tích được các phương của phản lực, ta cứ giả thiết cho nó có một chiều nμo đấy để tính Kết quả nếu giá trị mang dấu dương thì chiều thực trùng với chiều giả thiết, nếu mang dấu âm thì ngược lại

- Sau khi dùng mặt cắt tách thanh lμm hai phần, giữ lại phần nμo đơn giản hơn để xét sự cân bằng của nó Trên mặt cắt đó ta đặt các véctơ nội lực theo chiều dương của nó, trên cơ sở đó lập phương trình cân bằng Sau khi giải ta sẽ được giá trị của các nội lực với dấu của nó

- Đối với biểu đồ momen uốn, luôn luôn vẽ về phía thớ căng của nó để dễ nhận xét khi tính toán sau nμy

Thanh có liên kết ngμm ở một đầu còn đầu kia tự do gọi lμ thanh ngμm một đầu hay dầm công-sôn Với loại nμy, khi xét sự cân bằng để tìm giá trị nội lực nếu ta chọn phía đầu

tự do để xét thì ngoại lực đã biết hoμn toμn (trong phần xét không có mặt của phản lực liên kết) vì thế ta không cần xác định phản lực của nó

Thí dụ 1-1: Vẽ biểu đồ nội lực của thanh ngμm một đầu như hình 1.1?

Thí dụ 1-2: Vẽ biểu đồ thanh chịu lực như hình1.2?

Biết P1 = 2qa; P2 = qa; M = 4qa2

1 1

P.l

l z

Hình 1.1

Các giá trị nội lực ở các điểm đặc biệt được tính trên bảng:

-2qa -2qa2

-qa 0,5qa2

0 0,5qa2

Qa

Qa2

Trên đoạn: AB lực cắt không đổi, momen uốn bật nhất

BC vμ CD lực cắt bậc nhất momen uốn bậc 2

Căn cứ vμo đó ta vẽ được biểu đồ (hình 1-2)

Đ3 biểu đồ nội lực của thanh trên hai gối đỡ

Để cố định thanh trên mặt phẳng ta có thể dùng hai gối đỡ: một cố định vμ một di

động Để vẽ được biểu đồ nội lực trước hết lμ phải xác định được các phản lực liên kết của

nó ở gối di động có một thμnh phần phản lực vuông góc với phương di động của nó Còn trên khớp cố định phản lực theo phương nμo đấy mμ ta chưa biết, nhưng có thể phân lμm hai thμnh phần: một song song với trục thanh, một vuông góc với trục thanh Tuy nhiên đối

3

P1

Qy2qa

Mx2qa

2qa 0,5qa

với những bμi toán: thanh thẳng, tải trọng gồm những lực vuông góc với trục thanh vμ momen nằm trong mặt phẳng của trục thanh, gối di động khống chế chuyển động vuông góc với trục thanh, khi ta chiếu tất cả các lực lên phương của trục thanh thì trong phương trình nμy chỉ có một thμnh phần lμ phản lực ngang của gối cố định vì thế nó phải bằng không Như thế phản lực ở gối cố định cũng chỉ có một thμnh phần vuông góc với trục thanh

Thí dụ 1-3 : Vẽ biểu đồ nội lực của thanh như hình 1.3?

1q

Hình 1.3

= 2,2qaz2 -

2

2 2

1,8qa 0,8qa2

-2,2qa

0 Trên đoạn AC : Biểu đồ Qy không đổi, Mx bậc nhất

Trên đoạn BC : Biểu đồ Qy bậc nhất , Mx bậc hai

Trên đoạn BC : Qy đổi dấu vμ nó triệt tiêu tại z2 = 2,2a Tại đó M max= 2,42.qa2

11

Qy

ặ RB =

a

M qa

a P qa

32

322

2

2

++

ì+

qa

3

5,15,25

,

= 5 (KN)

Kiểm tra ΣY = - qa - qa - P + RA + RB = -0,8ì2 - 0,8ì2 - 3 + 5 + 1,2 = 0

Vậy kết quả tính toán đúng

Các giá trị đều dương do đó chiều thực của phản lực trùng với chiều giả thiết

b Phương trình nội lực

Ta phải chia lμm 6 đoạn để xét

+ Đoạn CA: Dùng mặt cắt 1-1 cách C một đoạn z1(0≤ z1 ≤ a)

3,4 -1,6

3,4 1,8

0,4 1,8

0,4 2,2

0,4 2,2

-1,2 1,4

-1,2 1,4

-1,2 -1

0 -1

0 -1

QY = 0 khi z6 = 1,5(m).Tại đây Mmax= 2,3(KNm)

Căn cứ vμo tính toán trên ta vẽ đ−ợc biểu đồ (hình 1-5)

Thí dụ 1-6 : Vẽ biểu đồ nội lực của thanh chịu lực nh− hình 1.6

23a=5aRB - 11qa

ặRB = 2,2qa

ΣMB = RA5a - 2aqa -

2

13aq(

3

13a + 2a) = RA5a - 6,5qa = 0

Qy-1,6

0,4

-1,2

Mx

1,42,3

2,21,8

5

6

q

E3

aa/2

Vậy kết quả tính toán

đúng

Các giá trị đều mang dấu

dương nên chiều giả thiết của

Mx = RAìz1 -

2

1

q1z1ì3

qz

= 2,2qaz2

-2

2 2

- 0,2.qa 2,4qa2

-2,2qa

0

QY= 0 Tại z1 = 2,8a

Tại đó : Mmax= 2,42.qa2

Trên đoạn AC : Biểu đồ QY lμ một đường cong bậc 2, biểu đồ MX lμ một đường cong bậc 3 Trên đoạn BC : Biểu đồ QY lμ bậc nhất, biểu đồ MX lμ bậc 2

Căn cứ vμo tính toán trên ta vẽ được biểu đồ (hình 1-6)

Hình 1.6

B

C A

2,4qa2

2,42qa2

z1

z2

Đ4 biểu đồ nội lực của dầm nhiều nhịp

Có những trường hợp hai hay nhiều thanh được nối với nhau bằng những liên kết (ngoμi liên kết cố định với mặt phẳng) những liên kết nμy gọi lμ nội liên kết Xét cả toμn bộ

hệ thì nó vẫn lμ hệ tĩnh định, tuy nhiên nếu bỏ các nội liên kết đi thì sẽ có những đoạn thanh không cố định trong mặt phẳng được vì thiếu liên kết vμ có những đoạn thanh khác vẫn cố định trên mặt phẳng được vμ có thể coi như một thanh tĩnh định độc lập

Thí dụ như hệ trên

hình 1-7 gồm hai đoạn thanh

AC vμ CD nối với nhau bằng

= -R’C (Giá trị bằng nhau nhưng ngược chiều)

Với những bμi toán như thế nμy ta tiến hμnh như sau :

Phân các đoạn thμnh

dầm chính vμ dầm phụ Trên

dầm phụ tiến hμnh như dầm có

hai gối tựa ta sẽ tìm được phản

lực tại các gối tựa vμ ta sẽ vẽ

được các biểu đồ của nó Trên

dầm chính tại liên kết nội ta đặt

thêm một lực bằng giá trị vμ

ngược chiều với phản lực của

dầm phụ vừa tìm được tại đấy,

sau đó tiến hμnh như thường lệ

Thí dụ 1-7: Vẽ biểu đồ nội lực

AB : Dựa vμo tính đối xứng ta xác định ngay các phản RA= RB = P vμ chiều của nó đi lên như hình vẽ

Với dầm chính: Sau khi đặt lực RB’ vμo, dầm chính lμ dầm một đầu ngμm chịu lực tập trung RB’ ở đầu tự do, biểu đồ nội lực xác định được khá dễ dμng (xem hình vẽ)

Tiến hμnh vẽ biểu đồ của nó ta được biểu đồ (hình vẽ)

Ghép lại ta được biểu đồ của cả dầm

Thí dụ 1-8: Vẽ biểu đồ nội lực của dầm chịu lực như hình 1.9

Giải:

Trước hết ta phân tích liên kết tại C Đây lμ

một liên kết đặc biệt được cấu tạo bởi hai liên kết

đơn (gối di động) đặt song song với nhau vμ song

song với trục thanh Như vậy liên kết nμy cho phép

chuyển động tịnh tiến theo phương vuông góc với

trục thanh nhưng không thể xoay quanh điểm C

được, tại C sẽ có mômen phản lực MC để chống lại

chuyển động quay nếu nó xuất hiện

đối với dầm nμy ta chia lμm hai đoạn : dầm

+Xét dầm chính AC: Tại C sẽ có mômen MC’

ngược chiều với MC vμ có giá trị bằng MC. Bằng cách

thông thường ta cũng vẽ được biểu đồ của nó.(Xem hình 1-9)

Đ5 biểu đồ nội lực của thanh cong Với thanh cong phẳng, trên các mặt phẳng của nó thường lμ có cả ba thμnh phần :

NZ, QY, MX Mặt cắt ngang ở đây chính lμ những mặt phẳng đi qua tâm cong của trục thanh

vμ vuông góc với tiếp tuyến của trục tại điểm xét vì thế ta dùng tọa độ cực để xác định vị trí của mặt cắt Sau khi dùng mặt cắt ta cũng tiến hμnh đặt các véctơ nội lực lên mặt cắt thay cho phần thanh bỏ đi rồi viết phương trình cân bằng hình chiếu của các lực lên phương tiếp tuyến vμ phương hướng kính tại mặt cắt đó, phương trình cân bằng mômen của tất cả các lực vμ mômen với trọng tâm mặt cắt Từ những phương trình nμy ta xác định được các giá trị nội lực NZ, QY, MX Trục chính của biểu đồ lμ đường cong song song với trục thanh Với mômen uốn ta qui định nếu mômen lμm cho thanh cong thêm thì mang dấu dương vμ ngược lại, khi vẽ ta cũng vẽ về phía thớ căng của thanh Còn với lực dọc NZ vμ lực ngang

QY thì vẫn qui định như với thanh thẳng

Thí dụ 1-9: Vẽ biểu đồ nội lực của thanh cong ngμm một đầu chịu lực như hình 1.10?

Giải:

đây lμ thanh ngμm một đầu nên ta không cần xác định phản lực mμ xét từ đầu tự do trở vμo Dùng mặt cắt 1-1 hợp với OA một góc ϕ (0<ϕ<900)

Hình 1.9 a

-(P 2)/2 (P 2)/2

2PR/2

-(P 3)/2 P/2 (P 3)/2

ΣMB = RA2R + PR(1+

2

2)= PR = 0

1

ϕ

ϕ R

PA

0B

H×nh 1.10

PRa

Qy

RB

NZ= -PSinϕ1 - RBcosϕ1

QY= Pcosϕ1 - RBsinϕ1

Mx = PRsinϕ1 - RBR(1-cosϕ1)

+Đoạn DC: Dùng mặt cắt 2-2 hợp với OB một gócϕ2 (0<ϕ2<1350)

NZ= - PSinϕ2 - PSin(ϕ2 - 900) - RBCosϕ2

QY= Pcosϕ2 - RBSinϕ2 + Pcos(ϕ2 – 900)

MX= RARSinϕ2 - RBR(1- Cosϕ2)+PRSin(ϕ2 - 900)

+ Đoạn AC: Dùng mặt cắt 3-3 hợp với OA một góc ϕ3

-5,92

0 10,89

-5 -3,23 7,08

-5 1,77 7,08

-4,79 -2,18 6,21

0,21 -2,18 6,21

1,77 -1,47

0 Căn cứ vμo tính toán trên ta vẽ đ−ợc biểu đồ (hình 1-11)

Nz

1,77P

Đ6 Biểu đồ nội lực của khung phẳng Khung phẳng lμ một hệ gồm nhiều đoạn thanh có trục nằm trên cùng một mặt phẳng Tương tự như các thanh cong, trên các mặt cắt của nó thường có 3 thμnh phần nội lực: NZ, QY, MX Trục chuẩn của biểu đồ lμ đường gãy khúc song song với trục thanh Để

đảm bảo chính xác khi tính toán ta có thể kiểm tra kết quả dựa vμo sự cân bằng ở các nút Khi thay nội lực vμo mặt cắt để xét sự cân bằng cần chú ý; Đối với momen uốn ta không qui định dấu của nó, vì vậy sau khi dùng mặt cắt để tách khung ra, trên phần xét ta cứ đặt momen theo một chiều nμo đó để tính toán, sau khi tính sẽ xác định được chiều thực của nó dựa vμo kết quả tính toán với các dấu âm hay dương Khi vẽ ta luôn luôn vẽ về phía thớ căng của khung Còn lực dọc NZ vμ lực ngang QY thì cứ lμm như bình thường

Thí dụ 1-11: Vẽ biểu đồ nội lực của khung phẳng chịu lực như hình 1-12?

KiÓm tra: §Ó kiÓm tra ta t¸ch c¸c nót C vμ D bëi c¸c mÆt c¾t s¸t nót vμ xÐt sù c©n b»ng cña nã

+ Nót C : thay c¸c gi¸ trÞ néi

Qua các thí dụ tính toán vμ dựa vμo sự liên hệ vi phân giữa momen uốn, lực cắt vμ tải trọng phân bố ta rút ra mấy nhận xét sau:

- Trên những đoạn không có tải trọng phân bố thì biểu đồ lực cắt lμ một đường thẳng nằm ngang, biểu đồ momen uốn lμ đường bậc nhất Trên những đoạn có lực phân bố không đổi thì biểu đồ lực cắt lμ đường bậc nhất thoải theo chiều tác dụng của lực phân bố khi đi từ trái sang phải, biểu đồ momen uốn lμ đường cong bậc hai có chiều lõm hứng lấy chiều tác dụng của lực phân bố Trên những đoạn có lực phân bố thay đổi thì biểu đồ lực cắt vμ biểu đồ momen lμ những đường cong có bậc cao hơn 1 vμ 2 so với bậc của đường biểu diễn lực phân bố

- Hệ số góc của đường biểu diễn lực cắt vμ momen bằng giá trị của cường độ lực phân bố vμ lực cắt tại thiết diện tương ứng

- Tại những tiết diện có lực cắt bằng không thì momen đạt cực trị

- Tại những mặt cắt có lực tập trung, biểu đồ lực cắt có bước nhảy đúng bằng lực tập trung đó Nếu ta lấy trục biểu diễn lực cắt có chiều dương đi lên (giá trị dương vẽ về phía trên đường chuẩn) vμ đi từ trái sang phải thì chiều của bước nhảy theo chiều tác dụng của lực tập trung đó

- Tại những mặt cắt có momen tập trung, biểu đồ momen có bước nhảy đúng bằng giá trị của momen tập trung đó Nếu vẽ momen về phía thớ căng của thanh (Momen dương thì vẽ về phía dưới) thì chiều của bước nhảy theo chiều cắt của momen đối với trục dầm khi

đi qua mặt cắt có momen tập trung đó

Căn cứ vμo các nhận xét trên ta có thể tiến hμnh vẽ biểu đồ nội lực một cách nhanh chóng mμ không cần lập phương trình nội lực trên từng đoạn thanh Ta tiến hμnh theo các bước sau:

- Xác định được các phản lực (Nếu lμ thanh ngμm một đầu thì không cần)

- Dựa vμo các nhận xét trên xác định các giá trị nội lực ở những điểm đặc biệt vμ nhận xét về dạng biểu đồ trên từng đoạn

Tại A có lực tập trung đi xuống,

vậy tại đó có biểu đồ lực cắt có bước

nhảy đi xuống (ΔQy= P = qa).Vì ở tiết

diện đầu nên ta xuất phát từ Qy = 0, như

thế mμ bước nhảy đi xuống tức lμ tại đó

giá trị của lực cắt Qy = - qa

Qy 2qa

a

a a

Hình 1.13

+b- Biểu đồ momen uốn

Tại A: Mx= 0 (Không có momen tập trung)

Trên AB: Biểu đồ lμ đường bậc nhất có hệ số góc bằng giá trị của lực cắt tgβ = - qa Tại B có momen tập trung, khi đi qua B nó cắt trục thanh từ trên xuống dưới (nét

đứt trên hình 1-13) vì thế biểu đồ momen nhảy xuống một lượng Mx= M = qa2 Như vậy tại bên trái mặt cắt MT = qa2 vμ bên phải mặt cắt MP = qa2 - qa2 = 0

Trên BC biểu đồ vẫn lμ đường thẳng có hệ số góc bằng hệ số góc trên đoạn AB Tại C: MC = - P ì2a + M = - qa2 ở đây không có bước nhảy

Trên CD biểu đồ Mx lμ đường bậc hai có chiều lõm hướng lên trên (chú ý khái niệm nμy ngược với toán học về hình thức vì ta lấy chiều dương xuống dưới )

Thí dụ 1-13: Vẽ biểu đồ nội lực của dầm hai gối tựa Biết: P = qa, M = qa2

Tại C có P đi xuống nên biểu đồ có bước nhảy xuống ΔQy= P = qa

Vậy phía phải mặt cắt Qy =

+ Biểu đồ momen uốn:

Trên CD : q = Const Mx lμ đường bậc hai có chiều lõm hướng lên

Tại B: Có momen tâp trung cắt trục thanh theo chiều đi xuống khi qua C vì vậy ở đây biểu

đồ momen có hướng nhảy đi xuống

Tại B: MX = 0

Căn cứ vμo đó ta dễ dμng vẽ được biểu đồ

Đ8 vẽ biểu đồ nội lực khi lực di động

Có những trường hợp khi lực tác dụng trên thanh không phải cố định mμ nó di động theo một qui luật nμo đấy Thí dụ khi xe qua cầu, bộ phận nâng di chuyển trên dầm cầu trục ở đây ta phải xác định được sự phân bố nội lực trên dầm khi lực di chuyển trên đó tại mọi điểm, để từ đó xác định được những vị trí nguy hiểm nhất vμ giá trị nội lực của nó lμm cơ sở cho việc tính toán bền

Thí dụ 1-14: Cơ cấu nâng của cầu trụ di chuyển trên cầu (hình 1-15).Tìm vị trí nguy hiểm

nhất của cơ cấu (Vị trí đạt được Mmax)? Biết sự phân bố tải trọng lên hai bánh xe lμ : P1 = 5P2 = 5P

Hình 1.15

Như thế điểm nguy hiểm nhất sẽ lμ điểm nμy (điểm đặc lực P1), vì vậy ta chỉ cần xét các

điểm nμy xem ứng với tọa độ z bằng bao nhiêu để momen ở đây lμ lớn nhất

Cho (1) triệt tiêu ta tìm được : z=l/2 - a/12

Như vậy ứng với : z= 1/2- a/12 thì đạt được MDmax (Vị trí xe để cầu nguy hiểm nhất)

MDmax =

24

Dl

(a/l - 6)2

Chú ý : Biểu đồ momen trong trường hợp nμy có thể vẽ dễ dμng theo cách sau; hợp

hai lực P1 vμ P2 về hợp lực R Ta vẽ ngay được biểu đồ do R gây nên (đường nét đứt) Dóng

2 điểm D vμ E xuống cắt đồ thị tại D’ vμ E’ Nối D’ vμ E’ ta tìm ngay được biểu đồ của bμi toán (Phần chứng minh dμnh cho độc giả tự tìm hiểu)

Đ9 bμi toán ngược

Có những trường hợp, cho biết biểu đồ momen uốn hay lực cắt của nó cũng có thể biết mỗi biểu đồ một ít người ta yêu cầu xác định tải trọng trên dầm vμ những phần còn lại của biểu đồ nội lực Những bμi toán như vậy gọi lμ bμi toán ngược

Để giải những bμi toán nμy chúng ta chú ý mấy nhận xét sau đây :

Theo liên hệ vi phân giữa momen uốn, lực cắt vμ lực phân bố ta thấy ngay: đạo hμm phương trình momen uốn ta sẽ được lực cắt vμ đạo hμm phương trình lực cắt ta sẽ được cường độ lực phân bố Diện tích biểu đồ lực cắt hoặc lực phân bố trên một đoạn chính bằng hiệu giá trị ở hai đầu của biểu đồ momen hoặc biểu đồ lực cắt trên đoạn đó

Trong khi giải cần hết sức linh hoạt, vận dụng các nhận xét ở tiết 7 (Đ7) vμ nhận xét trên để lμm được nhanh

Thí dụ 1-15 : Cho biểu đồ momen uốn của dầm 2 gối tựa AB như hình 1.16, xác định biểu

đồ lực cắt vμ tải trọng tác dụng trên dầm

Giải:

Trên CD: MX bậc 2, lõm giảm dần

Vậy QY bậc nhất, còn q không đổi vμ hướng xuống

Tại C : MX cực đại vì thế QY = 0 Như vậy trên CD biểu đồ QY sẽ lμ một hình tam giác, tại D có QD

Diện tích biểu đồ QY trên đoạn nμy :

Gọi cường độ tải trọng phân bố lμ q1 có diện tích biểu đồ Ω

Trên AE tương tự như DA ta có :

Q3 = 3; q3 = 0

Trên EB cũng tương tự ta có :

Q4 = 3 ; q4= 0

Tại E biểu đồ momen có bước nhảy

xuống vì vậy tại đó có momen tập trung thuận

chiều kim đồng hồ M1= 2

Tại B biểu đồ momen có bước nhảy

lên vì vậy tại đó có momen tập trung ngược

chiều kim đồng hồ M2 = 3

Tại A biểu đồ lực cắt có bước nhảy lên

vì vậy phản lực gối tựa lμ RA = 7 vμ đi lên

TạI B biểu đồ lực cắt có bước nhảy

xuống lμ 3 vì vậy phản lực gối tựa ở đây RB =

3 4

q

Ra=7

8 4

Rb

Qy

Mx A

D C

q

l f)

M=ql2

lP=ql

1.2 Vẽ biểu đồ nội lực của dầm trên hai gối đỡ chịu tải nh− hình BT.1.2?

1.3 Vẽ biểu đồ nội lực của dầm chịu tải nh− hình BT.1.3?

M

d)

3l 2l

M=ql2 q

q

l c)

q

l

e)

lP=2ql

q

3l 2lf)

q

g)

l P=ql

l

qz=qSinπx/l

z

q q)

l

qz=qx2/l2

z

1.4 Vẽ biểu đồ nội lực của khung phẳng trên hình BT.1.4?

c)

l

P

f)

P

M=ql2

q f)

2l l

qg)

1.5 Vẽ biểu đồ nội lực của dầm nhiều nhịp nh− hình BT.1.5?

1.6 Vẽ biểu đồ biến thiên của mô men uốn tại mặt cắt C khi lực P di chuyển trên dầm của dầm chịu tải nh− hình B.T.1.6?

l

d)

l

q P=ql

r q)

900

q=20KN/mr=120

1.7 Phân tích các điểm đặc tr−ng rồi vẽ biểu đồ nội lực của các thanh chịu tải nh− hình BT.1.7?

1.8 Cho sơ đồ liên kết vμ biểu đồ môn men uốn của dầm (hình BT.1.8), hãy tìm tải trọng trên dầm vμ biểu đồ lực cắt của nó?

Hình BT.1.6

2le)

Mx Bậc 2

2

Mx

1

6 c)

6

2

Mx

1 4f)

2

ql2/2 h)

Bậc 2

Bậc 2

40 1020

20

i)

H×nh BT.1.8

Chương 2: Kéo, (nén) đúng tâm

Đ1 Giới thiệu chung Trong trường hợp đặc biệt, trên các mặt cắt ngang của thanh chỉ xuất hiện một thμnh phần nội lực duy nhất, lực dọc Nz, ta gọi lμ thanh chịu kéo (hoặc nén) đúng tâm ở

đây, ứng suất tại mọi điểm trên mỗi mặt cắt ngang của nó không đổi vμ được tính theo công thức :

σz=

F

N Z

Trong đó : N Z : Lực dọc trên tiết diện

F : Diện tích tiết diện

Thanh sẽ có biến dạng tỷ đối dọc theo trục thanh

Ε

= Z Z

σεTrong đó: σz: ứng suất pháp tại điểm đang xét

E : Mô đuyn đμn hồi khi kéo (nén) của vật liệu

Đồng thời theo phương ngang cũng bị biến dạng

εx= εy =- à εz

Trong đó: εx , εy: Biến dạng tỷ đối theo x vμ y

à : Hệ số poisson (Lμ hằng số đối với mỗi loại vật liệu) Dấu (-) ở đây chứng tỏ biến dạng ngang luôn luôn ngược với biến dạng dọc

Chiều dμi thanh sẽ bị thay đổi so với kích thước ban đầu (dμi ra hoặc ngắn lại một lượng Δl) gọi lμ biến dạng dμi tuyệt đối

∫

=

Δ l

F E

dz Nz l

1

Trong đó: li :Chiều dμi đoạn thứ i

Ni : Lực dọc trên đoạn thứ i

Ei, Fi : Mô duyn đμn hồi vμ diện tích tiết diện đoạn thứ i

Để thanh chịu kéo (nén) đúng tâm đủ bền thì ứng suất trong thanh không được vượt quá một giới hạn cho phép ứng với mỗi loại vật liệu lμm thanh gọi lμ ứng suất cho phép

F

Nz

][σ

- Khi nén: n

z z

F

N

] [ σ

Trong đó: [σ ] k , [ σ ] n : ứng suất cho phép khi kéo vμ nén của vật liệu lμm thanh Đối với vật liệu dòn thì hai giá trị nμy khác nhau khá nhiều, đối với vật liệu dẻo thì [σ ]k = [σ ]n

= [σ ]

Đây chính lμ điều kiện bền của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm Dựa vμo điều kiện nμy

ta có 3 bμi toán cơ bản khác nhau trong khi tính toán thanh theo độ bền

1 Bμi toán kiểm tra bền: Người ta cho biết tải trọng, vật liệu lμm thanh (biết [σ]),

kết cấu, tiết diện thanh; yêu cầu kiểm tra xem thanh có đủ bền không Từ tải trọng ta tìm nội lực trong thanh; từ đó tìm ứng suất lớn nhất của thanh Đem so sánh giá trị ứng suất lớn nμy với ứng suất cho phép, nếu thỏa mãn điều kiện bền của nó ta kết luận thanh đủ bền

- Nếu lμ vật liệu dòn thì phải tìm ứng suất kéo lớn nhất vμ ứng suất nén lớn nhất rồi

so sánh với ứng suất cho phép khi kéo vμ nén, thanh đủ bền khi cả hai giá trị nμy đều đảm bảo

- Khi so sánh : Nếu ứng suất lớn hơn ứng suất cho phép không quá 5% thì vẫn coi như thanh đủ bền, nếu ứng suất nhỏ hơn ứng suất cho phép quá 10% thì thanh thừa bền

(đảm bảo lμm việc được nhưng không tiết kiệm)

2 Bμi toán chọn tiết diện thanh: Người ta cho biết tải trọng vật liệu, căn cứ vμo đó

chọn tiết diện thanh cho phù hợp

Theo điều kiện bền ta có:

F

[ ]σ

Nz

≥

3 Bμi toán xác định tải trọng cho phép: Người ta cho biết diện tích tiết diện thanh,

vật liệu, yêu cầu xác định lực lớn nhất có thể tác dụng lên cơ cấu

Theo điều kiện bền ta có:

Nz ≥ F.[σ ] = [ Nz]

Trong đó: [Nz]: Lμ lực dọc cho phép trên thanh

Từ [Nz], theo sự tương quan giữa nội lực, ngoại lực ta tìm được tải trọng cho phép

của cơ cấu nμy

Khi tính toán thanh chịu kéo (nén) đúng tâm, tùy theo kết cấu vμ liên kết của hệ ta

có hai loại bμi toán khác nhau Bμi toán tĩnh định vμ bμi toán siêu tĩnh Với mỗi loại bμi toán nμy sẽ có cách giải thích hợp

Đ2 BμI TOáN Về Độ BềN CủA Hệ TĩNH ĐịNH Những bμi toán mμ chỉ cần các phương trình tĩnh học của hệ lực cân bằng lμ ta có thể xác định được các thμnh phần ngoại lực vμ nội lực của nó, ta gọi lμ bμi toán tĩnh định

Để tính toán được các yêu cầu tiếp theo, đầu tiên ta phải xác định được lực dọc của

nó, tức lμ vẽ được biểu đồ lực dọc Đối với bước nμy ta cũng tiến hμnh tương tự như ở chương 1 Từ biểu đồ lực dọc, ta sẽ tìm được biểu đồ ứng suất vμ biến dạng của thanh

Thí dụ 2-1: Vẽ biểu đồ nội lực vμ ứng suất của thanh chịu lực như hình 2.1? Biết:

P1= 10kN; P2= 16 kN; P3= 24 kN; F1= 1,5 cm2; F2= 1 cm2; F3= 2 cm2

ở đây ta phải chia lμm 5 đoạn để tính

+ Đoạn 1: N1=P1= 10 KN

2 2

kN F

kN F

2 2

3

cm

kN F

2 3

4

cm

kN F

2 3

5

cm

kN F

1V V

1 1

P1 I

P3

2Cos

N

= 2

32

2

hd

P

= 4

20

Thí thụ 2-3: Cột bê tông có tiết diện ngang hình tròn chịu nén đúng tâm bởi lực P =

4000kN (hình 2.3) Xác định kích thước mặt cắt ngang vμ so sánh thể tích của cột đó khi nó

có các dạng sau:

a Mặt cắt ngang không đổi

b Mặt cắt ngang thay đổi theo ba bậc

c Mặt cắt ngang thay đổi theo bậc nhất

492240003

]

[

m h

8,4922492240003

ì

ì+

=

ư

++

h

F

h F

h

P

γσ

γγ

Hình 2.3

Gọi G lμ trọng lượng cột; d lμ đường kính đáy ta có:

,3)06,206,2(12

14,3

,

1200]

m P

F G

σγd) Cột chịu nén đều

7,2.33,

3 = 5,46 m 2 ặ d = 2,64 m

22

400046

,51200]

m p

để tính chuyển vị của một điểm nμo đó trong thanh trước hết phải xác định được vị trí của nó sau khi biến dạng Nói chung vị trí của thanh sau khi biến dạng được xác định do biến dạng của các thanh khác lμm nó chuyển dịch vμ biến dạng của chính nó gây nên Ta

có thể phân tích sự dịch chuyển của thanh lμm 3 quá trình khác nhau:

- Quá trình tịnh tiến tới vị trí mới (Theo một điểm nμo

đó)

- Quá trình quay xung quanh một điểm nμo đó

- Quá trình biến dạng dμi của thanh

Thí dụ xét sự dịch chuyển của thanh AB tới vị trí mới

B’

Hình 2.4

+ Xét thanh AC : sau khi

biến dạng sẽ tới vị trí AC’

Ta có thể tiến hμnh theo hai

cách :

Cho AC quay tới vị

trí AC2, rồi dμi ra một đoạn

+ Xác định nội lực trong thanh:

Xét sự cân bằng của nút A có họa đồ lực (hình 2-6b) vμ tính đ−ợc các giá trị

α C C'

Sin Sin

Sin Sin

10022

2005,26

Sau biÕn d¹ng hÖ thèng sÏ ë vÞ trÝ BA’C, qu¸ tr×nh dÞch chuyÓn ®−îc ph©n ra

- C¸c thanh AB vμ AC bÞ dμi ra mét ®o¹n Δl1, vμ Δl2

- C¸c thanh BA1 vμ CA2 quay xung quanh B vμ C tíi vÞ trÝ míi BA’ vμ CA’(xem h×nh 2-6c)

ThÕ c¸c gi¸ trÞ vμo vμ gi¶i ta ®−îc: Δx = 0,053 cm ; y Δ = 0,136 cm

ThÝ dô 2-5: Cho hÖ thèng chÞu lùc nh− h×nh vÏ ( h×nh 2-7a) T×m chuyÓn vÞ Δx vμ yΔ cña

+Biến dạng của thanh 1 vμ 2

+ Xét sự chuyển vị của khung BCD

Vì biến dạng của các thanh 1 vμ khung BCD sẽ bị quay quanh điểm B tới BC’D’

Ta có : CC1 = Δl2 → CC’ = Δl2 2

Vμ : DD’=

BC

BD CC'.

=

2

22

2

a

a l

Δ

= 2Δl2 + Xét sự chuyển dịch của thanh AE, thanh AE sẽ quay tới vị trí AE’

Chuyển vị ngang của điểm E(Δx) sẽ bằng chuyển vị của điểm D cộng với biến dạng dμi của thanh 1 nên:

x

Δ = 2Δl2.+Δl1=

2 2

.3

.4

F E

Pa

+

1 1

a

Δ

=α

Chú ý: khi tính chuyển vị đối với những hệ có các thanh cứng tuyệt đối trước hết ta phải xác định được vị trí của nó trong khi hệ biến dạng, vị trí nμy sẽ lμm căn cứ cho việc tính toán quan hệ biến dạng của các thanh khác

Đ4 bμi toán siêu tĩnh Những bμi toán mμ chỉ dùng các phương trình tĩnh học, thì chưa thể tìm được tất cả nội lực trên các thanh gọi lμ bμi toán siêu tĩnh Để giải những bμi toán nμy ta cần căn cứ vμo điều kiện biến dạng của hệ, căn cứ vμo đó để có thêm điều kiện đủ để tìm nội lực của các thanh

Có nhiều trường hợp dù chưa có lực tác dụng, nhưng do chế tạo không chính xác lμm cho chiều dμi các thanh không đúng kích thước lắp ráp, khi lắp vμo với nhau nó sẽ sinh

ra biến dạng vμ nội lực của cả hệ

Cũng có khi thay đổi nhiệt độ mμ lμm các thanh bị biến dạng vμ sinh ra nội lực của các thanh

Thí dụ 2-6: Có hệ thống gồm: lõi gang III, đường kính d3=10cm; ở trong ống thép đường kính ngoμi d2=15cm; ống thép lại ở trong ống nhôm đường kính ngoμi d1=20cm (Hình

2.8) ở trên được gắn bởi miếng cứng tuyệt đối chịu lực nén P = 600 kN Tìm ứng suất

trong ống vμ lõi? Biết: Ethép = 2.104 kN/cm 2 , Enhôm = 0,7.104 kN/cm 2 ,

Khi chịu lực trong lõi vμ các ống sẽ có các nội lực Ngang, Nthép, Nnhôm

Xét trên mặt cắt ngang 1-1 nμo đấy ta có điều kiện cân bằng

d

ìπ

Nnhôm = Fnhôm σnhô m=

4

π.(d12-d22) = 137,6 σnhô mVậy ta có phương trình:

78,5 σgang+ 98,2σthep+137,6 σnhô m= 600 (1)

+ Xét điều kiện biến dạng: vì tấm trên tuyệt đối cứng

vμ chiều dμi của thanh như nhau nên ta có :

m nh thep thep

gang

gang

E E

ôσσ

σ = 1,09 kN/cm 2

Thí dụ 2-7: Cho hệ thống chịu lực như hình 2.9 Xác định phản lực gối A vμ nội lực trong

các thanh1, 2? Biết: P = 10 kN; M = 8 kNm; l = 3 m; Thanh AD tuyệt đối cứng, Thanh 1 có

F1 = 3 cm 2; Thanh 2 có F2 = 5 cm 2; hai thanh đều bằng thép có E1 = E2

cứng tuyệt đối đ−ợc giữ

bởi khớp C vμ hai thanh

N1=1,73N1 (1) + Phương trình biến dạng:

5,0

= 1,73 ặ 1,73Δl2+Δl1 = Δ (2) Mặt khác :

N

N

2

.F

2

1 + = Δ

(3) Mặt khác :

=1,84(KN/cm2)

Thí dụ 2-9: Tính nội lực trong các thanh AB, BC, BD (hình 2.11) khi hệ thống bị đốt nóng

lên Δ ? Cho mô đuyn đμn hồi của vật liệu E, hệ số dãn nỡ nhiệt α t0

Khi đốt nóng lên Δ các thanh bị biến dạng, điểm nút B tới B’ t0

Tõ B’ h¹ c¸c ®−êng vu«ng gãc víi c¸c ph−¬ng cña c¸c thanh 1,2,3 ta ®−îc c¸c thμnh phÇn biÕn

a

N

t

tΔ+α(ChiÒu dμi thanh BD = BC2 +CD2 = (2a)2 +C2 = a 5 )

ChiÕu tÊt c¶ c¸c thμnh phÇn biÕn d¹ng lªn ph−¬ng BD

t

t 22

t

t 22

5

1 (4)

(

551

bμi tập tự lμm 2.1 Xây dựng biểu đồ lực dọc, biểu đồ ứng xuất pháp vμ tính biến dạng dμi tuyệt đối của

thanh chịu tải nh− hình BT.2.1? Biết E = 2.10 4 KN/Cm2, F = 5Cm2,P = 50 KN, q= 50 KN/m, l = 100Cm

P

3F

F 3P

tính ứng suất pháp lớn nhất trong

các thanh chịu tải nh− hình BT.2.2?

Biết P =ql, E

Fq

c) Hình BT.2.2

l l

P3P

l l 2,1l

Φ40 Φ30

a)

b) Hình BT.2.3