Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF.. Chứng minh ba điểm M, B, D thẳng hàng c.. Tính diện tích tứ giác ACFE theo a và b.. 1,0 điểm M thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng AC Mà ABCD l
Trang 1PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ UễNG BÍ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2012-2013
MễN: TOÁN Ngày thi: 24/4/2013 Thời gian làm bài: 150 phỳt
(Khụng kể thời gian giao đề)
Bài 1: (3,0 điểm)
Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện abc =2013 Tính giá trị biểu thức:
P =
2013
Bài 2: (3,0 điểm):
Cho hai đa thức:
P(x) = x1 x3 x5 x7a và Q(x) = x2 8x9
Tìm giá trị của a để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x).
Bài 3: (6,0 điểm):
Giải các phơng trình:
a 2x2 + 2xy + y2 + 9 = 6x - y 3
b (2x2 x 2013)24(x2 5x 2012)2 4(2x2 x 2013)(x2 5x 2012)
Bài 4: (6,0 điểm):
Cho hình vuông ABCD, cạnh a, điểm N thuộc cạnh AB Tia CN cắt tia DA tại E Tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF.
a Chứng minh CE = CF
b Chứng minh ba điểm M, B, D thẳng hàng
c Đặt BN = b Tính diện tích tứ giác ACFE theo a và b.
Bài 5: (2,0 điểm):
Cho x, y thoả mãn x2 + y2 = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x6 + y6
Hết
-Họ và tờn thớ sinh:……… Số bỏo danh: ………
Chữ kớ giỏm thị 1
………
Chữ kớ giỏm thị 2
………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi toán 8
Bài 1
(3 điểm)
P =
2013
ab a bc b ac c
abc
0,5 điểm
Thay abc = 2013 vào P ta có:
c abc
b bc
b abc
abca ab
1
c ac
c b
b c
ac ab
abca
0,5 điểm
1
c c
ac c
ac
ac
0,5 điểm
= abc
1
1
c ac
c ac
Bài 2
(3 điểm)
Ta có:
0,5 điểm
Đặt x2 8x 9 t
Khi đó P(x) = (t – 2)(t + 6) + a = t2 4t a 12 = P(t) 1,0 điểm Chia t2 4t a 12 cho t ta đợc t2 4t a 12 = t t 4 a 12 0,5 điểm P(x) chia hết cho Q(x) t2 4t a 12 chia hết cho t
Vậy với a = 12 thì đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x) 0,25 điểm
Bài 3
(6 điểm)
a 2x2+2xy+y2+9 = 6x- y 3 2x2+2xy+y2+9- 6x+ y 3=0 0,5 điểm
(x2+2xy+y2) + (x2- 6x+9) + y 3 = 0 0,5 điểm
(x+y)2 + (x-3)2 + y 3 = 0 (1) 0,5 điểm Vì (x+y)2 ≥ 0, (x-3)2 ≥ 0, y 3 ≥ 0 với mọi x, y nên 0,5 điểm (x+y)2 + (x-3)2 + y 3 ≥ 0 với mọi x, y 0,75 điểm Vậy (1)
0 3
0 3
0
y
y x
3 3
y x
0,25 điểm
Kết luận nghiệm
b Đặt
2 2
5 2012
0,25 điểm
Phơng trình đã cho trở thành:
a24b2 4ab (a 2 )b 2 0 a 2b 0 a2b
1,25 điểm
Khi đó ta có:
2x x 2013 2( x 5x 2012) 2x x 2013 2 x 10x 4024
2011
11 2011
11
1,25 điểm
Trang 3Bài 4
(6 điểm)
N A
D
C
M
a Chứng minh CDE CBF CE = CF 2 điểm
b Vì M là trung điểm của EF nên
ME = MF = MC = MA= 1
2EF MA = MC
1,0 điểm
M thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng AC
Mà ABCD là hình vuông nên BD là đờng trung trực của đoạn
thẳng AC
M thuộc đờng thẳng BD hay 3 điểm M, B, D thẳng hàng 1,0 điểm
c Ta có BN = b AN = a - b
SACFE = SACE + SECF = 1 1 2
Tính AE: Ta có AE AN AE a b a a b( )
AE
Ta có CE2 = CD2 + DE2 = a2 + (a+AE)2 = a2 +
4 2
a
Tính đợc SACFE =
2 2
2
a a b b
0,5 điểm
Bài 5
(2 điểm)
Ta có A = x6 + y6 = x2 3 y2 3 = (x2+y2)(x4+y4- x2y2)
= x4+y4- x2y2 (Vì x2 + y2 = 1)
= (x2+y2)2 - 3 x2y2 = 1 - 3x2y2
0,75 điểm
Vì x2y2 ≥ 0 với mọi x, y nên 3x2y2 ≥ 0 1-3x2y2 ≤ 1 với mọi x, y
max A = 1 x2y2 = 0
2 2
0 0
x y
(1)
Mà x2 + y2 = 1 nên (1) x y0;0;y x11
0,25 điểm
0,5 điểm
Vậy max Q = 1 x = 0 ; y = 1 hoặc x = 1 ; y = 0 0,25 điểm
Cỏc chỳ ý khi chấm.
1 Hướng dẫn chấm này chỉ trỡnh bày sơ lược một cỏch giải Bài làm của học sinh phải lập luận chặt chẽ, tớnh toỏn chớnh xỏc mới được cho điểm tối đa
2 Với cỏc cỏch giải đỳng nhưng khỏc hướng dẫn chấm, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng khụng được vượt quỏ số điểm dành cho cõu hoặc phần đú Mọi vấn đề phỏt sinh trong quỏ trỡnh chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ.
3 Điểm toàn bài là tổng số điểm của cỏc phần đó chấm, khụng làm trũn điểm.