Đề thi olympic toán Thanh Oai

phòng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Đề thi olympic lớp 6 Năm học 2012 - 2013 Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 120 phút (không kể thời gian giao đề ) Cõu 1 ( 6 im ) Tỡm x tha món mt trong cỏc iu kin sau: 1. 3,1%30 =+ xx 2. 4 3 2 1 3 1 3 2 2 1 6 1 3 1 4 x )( zx 3. | x | + x = 0 Cõu 2 ( 5 im ) 1. Tỡm a, b l s t nhiờn bit: 15 22 5 = b a )0,( ba 2. Hai s t nhiờn x v 2x u cú tng cỏc ch s bng y. Chng minh rng: x chia ht cho 9. 3. Chng minh rng : 2 1 10000 1 196 1 144 1 100 1 64 1 36 1 16 1 4 1 <++++++++ Cõu 3 ( 3 im ) Cựng mt cụng vic nu mi ngi lm riờng thỡ 3 ngi A, B, C hon thnh cụng vic trong thi gian ln lt l 6 gi, 8 gi, 12 gi. Hai ngi B v C lm chung trong 2 gi sau ú C chuyn i lm vic khỏc, A cựng lm vi B tip tc hon thnh cụng vic cho n xong. Hi A lm trong my gi? Cõu 4 ( 5 im ) Cho: xoy = 120 0 , xoz = 50 0 . Tớnh xom bit rng om l tia phõn ca gúc yoz. Cõu 5 ( 1 im ) Tỡm s t nhiờn x bit tng cỏc ch s ca x bng y, tng cỏc ch s ca y bng z v x + y + z = 60. __________________________________________________________ phòng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Đề thi olympic lớp 7 Năm học 2012 - 2013 Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 120 phút Đề chính thức Đề chính thức (không kể thời gian giao đề ) Cõu 1 ( 6 im ) 1. Tỡm x tha món mt trong cỏc iu kin sau : a, ( ) 121 9 32 2 =+ x b, , | x 5 | = 5- x 2. Chng minh a thc x 2 + 2x + 2 khụng cú nghim. Cõu 2 ( 4 im ) Cho: d c b a = ),,,,,( dcbaodcba . Chng minh: a, dc c ba a + = + b, dc c ba a = c, ( ) ( ) cd ab dc ba = 2 2 Cõu 3 ( 4 im ) 1. Chng minh rng vi mi a,b Q ta cú : | a + b | | a | + | b | 2. So sỏnh 127 23 v 513 18 Cõu 4 ( 5 im ) Cho tam giỏc ABC vuụng C, ng cao CD. Cỏc tia phõn giỏc ca cỏc gúc ACD v DCB ct cnh huyn AB theo th t K v M. a, Chng minh: ACM cõn. b, Chng minh im cỏch u 3 nh ca KCM thỡ cng cỏch u ba cnh ca ABC. Cõu 5 ( 1 im ) Cho cỏc s nguyờn dng a, b, c, d, e, f bit : f e d c b a >> v af be = 1 Chng minh : d b + f __________________________________________________________ phòng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Đề thi olympic lớp 8 Năm học 2012 - 2013 Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 120 phút (không kể thời gian giao đề ) Đề chính thức Câu 1 ( 6 điểm ) 1. Giải phương trình: a, | 2x - 3 | = - x + 21 b, 9x 2 + 6x – 8 = 0 2. Chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 2 2 < −− +− xx xx Câu 2 ( 5 điểm ) 1. Tìm các hằng số a, b để : x 4 – 9x 3 + 21x 2 + ax + b chia hết cho x 2 – x – 2 với mọi x є Q. 2. Giải phương trình nghiệm nguyên x 2 +2y 2 + 3xy – x – y + 3 = 0 Câu 3 ( 2 điểm ) Tìm giá trị nhỏ nhất của : A= a 3 + b 3 + c 3 biết a, b, c lớn hơn -1 và a 2 + b 2 + c 2 = 12 Câu 4 ( 7 điểm ) Cho tam giác ABC. Gọi P là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó. Đường thẳng qua P và vuông góc với CP, cắt CA và CB theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng: a, ∆ AMP ~ ∆ APB b, 2 2 BP AP BN AM = c, BC . AP 2 + CA. BP 2 + AB. CP 2 = AB . BC. CA __________________________________________________________ phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o Thanh oai Híng dÉn chÊm thi olympic N¨m häc 2012 - 2013 M«n thi : To¸n Líp 6 Câu Nội dung Điểm Câu 1 (6 điểm) 1. 10 13 100 30 1 − =       +x 10 13 10 13 − =x -> x = -1 1,0đ. 1,0đ. 2. 12 11 3 2 3 1 3 13 − ⋅≤≤ − ⋅ x 18 11 9 13 − ≤≤ − x -> x= - 1 3. / x / = -x -> x ≤ 0 1,0đ. 1,0đ. 2,0đ. Câu 2 (5 điểm) 1. 15 2 25 =− ba 15 23 15 2 5 2 − =−= aa b -> b( 3a - 2 ) = 30 -> 3a – 2 ∈ Ư (30) Do 3a – 2 chia 3 dư 1 -> 3a – 2 = 1 hoặc 10 -> (a, b) = ( 4, 3); (1, 30). 2. Do 1 số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 9. Do đó hiệu của chúng chia hết cho 9 Ta có 2x – y  9 và x – y  x => ( 2x – y ) – ( x – y)  9 -> x  9 3. S = 10000 1 196 1 144 1 100 1 64 1 36 1 16 1 4 1 +⋅⋅⋅+++++++ = 2222 100 1 6 1 4 1 2 1 +⋅⋅⋅+++ =       +⋅⋅⋅+++++++ 2222222 50 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 4 1 Do 2500 1 2499 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 50 1 3 1 2 1 222 −+⋅⋅⋅+−+−+−<+⋅⋅⋅++ = 1 2500 1 1 <− -> S < 2 1 )11( 4 1 =+ 0,5đ. 0,5đ. 0,5đ. 0,5đ. 1,0đ. 0,5đ. 0,5đ. 0,5đ. 0,5đ. Câu 3 (3 điểm) Trong 1 giờ mỗi người A, B, C lần lượt làm được )( 6 1 CV , )( 8 1 CV , )( 12 1 CV , B và C làm được )( 24 5 12 1 8 1 CV=+ 2 giờ B và C làm được )( 12 5 2 24 5 CV=⋅ A và B làm được )( 12 7 12 5 1 CV=− 1 giờ A và B cùng làm được: )( 24 7 8 1 6 1 CV=+ Thời gian A cùng làm với B là: 2 24 7 : 12 7 = giờ. 1,0đ. 0,5đ. 0,5đ. 0,5đ. 0,5đ. Câu 4 (5 điểm) 2 trường hợp : a, Trường hợp 1 : 2 tia oy, oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ ox xoz = 50 0 < 120 0 = xoy -> oz nằm giữa ox và oy. yoz = xoy – xoz = 120 0 – 50 0 = 70 0 zom = 2 yoz = 35 0 xom = xoz + zom =50 0 + 35 0 = 85 0 b, Trường hợp 2 : 2 tia oy và oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ ox. Từ đầu bài -> 0x nằm giữa 2 tia oy và oz. yoz = 120 0 + 50 0 = 170 0 zom = = 2 170 85 0 xom = 85 0 – 50 0 = 30 0 0,5đ. 1,0đ. 1,0đ. 0,5đ. 1,0đ. 1,0đ Câu 5 (1 điểm) Từ đầu bài ta có x là số có 2 chữ số. Đặt x = ab x = 10a + b -> y = a + b, z có 2 trường hợp : * Nếu y = a + b ≤ 9 -> z = a + b ta có : ( 10a + b) + ( a + b ) + ( a + b ) = 60 -> 4a + b = 20 b  4 -> b = 0; 4; 8 -> a = 5, 4, 3 loại a = 3, b = 8 ( do a + b > 9) * Nếu y = a + b ≥ 10 -> z = a + b – 9 Ta có : ( 10a + b ) + ( a + b ) + ( a + b – 9 ) = 60 -> 4a + b = 23 -> a = 4 , b = 7 -> ab = 44, 47, 50. 0,5đ. 0,5đ. phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o Thanh oai Híng dÉn chÊm thi olympic N¨m häc 2012 - 2013 M«n thi : To¸n Líp 7 Câu Nội dung Điểm Câu 1 (6 điểm) 1. a, ( 2x + 3) 2 = 2 11 3 121 9       ±= => x = 11 15 − hoặc x= 11 18 − 1,0đ. 1,0đ. b, | x – 5| = 5 – x = - ( x – 5 ) <-> x – 5 ≤ 0 <-> x ≤ 5 2. x 2 + 2x + 2 = x 2 + x + x +1 + 1 = (x + 1) 2 + 1 > 0 -> đpcm 1,0đ. 1,0đ. 1,0đ. 1,0đ. Câu 2 (4 điểm) Chứng minh câu a, câu b mỗi câu cho 1 điểm c, d c b a = -> dc ba d b c a − − == => ( ) ( ) 2 2 dc ba dc ba dc ba d b c a cd ab − − = − − ⋅ − − =⋅= 2,0đ. 1,0đ. 1,0đ. Câu 3 (4 điểm) 1. a, Nếu a +b ≥ 0 -> | a + b| = a + b Do: a ≤ |a| ; b ≤ | b| ( a,b є Q ) -> | a+ b | = a + b ≤ | a | + | b| (1) b, Nếu a + b < 0 -> | a+b | = - a – b mà – a ≤ | a | , - b ≤ | b | -> | a+b | = - a - b ≤ | a | + | b | . (2) Từ (1), (2) -> đpcm dấu = xảy ra  ab ≥ 0 2. 127 23 < 128 23 = (2 7 ) 23 = 2 161 513 18 > 512 18 = (2 9 ) 18 = 2 162 -> 513 18 > 127 23 0,5đ. 0,5đ. 0,5đ. 0,5đ. 1,0đ. 1,0đ. Câu 4 (5 điểm) 1, AMC = 2 ˆ ˆ CB + , ACM = ACD + 1 ˆ C Do 1 ˆ C = 2 ˆ C , B ˆ = ACD -> ACM = AMC -> ∆ACM cân. 2. CM tương tự ta có BC = 8K. Vậy đường thẳng chứa tia phân giác của góc A cũng là đường trung trực của CM. Và đường thẳng chứa tia phân giác của góc B cũng là trung trực của CK. => Giao điểm 3 đường trung trực của ∆KCM trùng với giao điểm 3 đường phân giác của ∆ABC -> đpcm 2,5đ. 2,5đ. Câu 5 (1 điểm) d = d( af – be ) = adf – bed = ( adf – bcf ) + ( bcf – bed ) = f( ad – bc ) + b ( cd – ed ) ≥ f.1 + b.1 = f + b 0,5đ. 0,5đ. phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o Thanh oai Híng dÉn chÊm thi olympic N¨m häc 2012 - 2013 M«n thi : To¸n Líp 8 Câu Nội dung Điểm Câu 1 (6 điểm) 1. a, | 2x -3 | = - x + 21 x = 8 , x = - 18 b, 9x 2 + 6x – 8 = 9x 2 – 6x + 12x – 8 2,0đ. 1,0đ. 0,5đ. = ( 3x – 2)( 3x + 4) = 0 -> x = 3 2 , x = 3 4− 2. Xét hiệu : 1 2 1 2 1 1 1 223 2 +− − = −− =− −− +− xxxxxx xx Do x 2 - x + 1 > 0 -> 0 1 2 2 < +− − xx -> đpcm 0,5đ. 1,0đ. 1,0đ. Câu 2 (5 điểm) 1. x 4 – 9x 3 + 21x 2 + ax + b = ( x 2 – x – 2). Q(x) ∀(x) = ( x + 1)(x – 2 ). Qx Với x = -1 có: -a + b = -31 x = 2 có: 2a + b = - 28 -> a = 1, b= -30 2. Pt <-> ( x + y)( x + 2y – 1) = -3 = 1.(-3) = 3. ( -1) Xét 4 trường hợp ta có : (x ; y) = ( -8 ; 5), ( -6 ;5), (6 ;-3), (4 ;-3) 1,0đ. 0,5đ. 0,5đ. 0,5đ. 1,5đ. 1,0đ. Câu 3 (2 điểm) ( a 3 +1) - 3(a 2 – 1) = (a + 1)( a 2 – a + 1) – 3( a - 1)( a +1) = = ( a + 1)( a – 2) 2 ≥ 0 ( do a > - 1 ) -> a 3 – 3a 2 ≥ - 4 , tương tự b 3 – 3b 2 ≥ - 4, c 3 – 3c 2 ≥ - 4 -> ( a 3 + b 3 + c 3 ) – 3( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ - 12 -> B – 36 ≥ -12 -> B ≥ 24 ->GTNN B = 24 <-> a = b = c= 2 1,0đ. 0,5đ. 0,5đ. Câu 4 (7 điểm) a, AMP = 90 0 + 2 C  APB = 90 0 + 2 C  BNP = 90 0 + 2 C  21 AA  = -> ∆ AMP ~ ∆ APB b, CM tương tự : ∆ APB ~ ∆PNB => ∆AMP ~ ∆ APB ~ ∆PNB => NB PN PB AP MP AM == => 2 2 PB AP NB PN MP AM =⋅ => 2 2 BP AP NB AM = ( do MP = NP ) c, Do ∆AMP ~ ∆PNB => NB PN MP AM = => AM.NB = MP.PN = MP 2 => AM.NP = CM 2 – CP 2 = ( CA–AM )(CB–BN ) – CP 2 1,0đ. 1,0đ. 1,0đ. 0,5đ. 0,5đ. 1,0đ. 1,0đ. = CA.CB – CA.BN – AM.CB + AM.BN – CP 2 => AM.CB + BN.CA+ CP 2 = CA.CB => AM.CB.AB + BN.CA.AB + CP 2 .AB = AB.BC.CA (1) Từ câu (b) có : AB AP AP AM = -> AM.AB = AP 2 (2) AB BP BP BN = -> BN.AB = BP 2 (3) Từ (1), (2), (3) ->đpcm 0,5đ. 0,5đ. . Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Đề thi olympic lớp 7 Năm học 2012 - 2013 Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 120 phút Đề chính thức Đề chính thức (không kể thời gian giao đề ) Cõu 1 ( 6 im ) 1 f __________________________________________________________ phòng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Đề thi olympic lớp 8 Năm học 2012 - 2013 Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 120 phút (không kể thời gian giao đề ) Đề chính thức Câu 1 ( 6 điểm ) 1 phòng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Đề thi olympic lớp 6 Năm học 2012 - 2013 Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 120 phút (không kể thời gian giao đề ) Cõu 1 ( 6 im ) Tỡm x tha món mt