Phương trinh vô tỷ

Cách Giải Các Phương Trình Cơ bản Danh Cho Học Sinh Lớp 8 - 12 Để đáp ứng nhu cầu tự học tập và rèn luyện của các em học sinh, giúp các em tiếp cận gần hơn với các kì thi lớn Thầy đã biên tập một cách hệ thống về chuyên đề “Giải Phương Trình” – một trong những chuyên đề quan trọng có mặt khắp các chuyên đề khác của toán học. Các em hoàn toàn có thể tự học một cách dễ dàng, kể cả học sinh THCS muốn nâng cao trình độ tư duy toán học. Kiến thức được hệ thống từ dễ đến khó. Hãy chuẩn bị Nghị Lực - Sức Lực và một chút Trí lực cho hành trình khám phá tri thức trong tài liệu này nhé ! Good luck ! P/s. Kiến tha lâu đầy tổ, người khắc khổ ắt thành công! Thầy Minh Phúc I. Phương trình bậc 1. Phương trình bậc nhất là phương trình có dạng 0ax b + = trong đó 0a ≠ Phương trình này luôn có một nghiệm là b x a = − Ví dụ1: Giải phương trình a) 3 1 0x + = b) 3 4 0x − = c) 3 2 0x− = Các em cần xác định các hằng số a và b một cách chính xác trước khi giải  Ở câu a) ta có 3 1a ;b= = vậy ta sẽ có lời giải như sau 1 3 1 0 3 x x+ = ⇔ = −  Ở câu b) ta có 3 4a ;b= = − vậy ta sẽ có lời giải như sau 4 3 4 0 3 x x− = ⇔ =  Ở câu c) ta có 2 3a ;b= − = ( Lưu ý a là hằng số được viết trước biến số x ) vậy ta sẽ có lời giải như sau 3 3 2 0 2 x x− = ⇔ = II. Phương trình bậc hai Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ( ) 2 0 0ax bx c ; a+ + = ≠ Để giải phương trình này các em xác định rõ các hệ số a;b;c sau đó xem rơi vào trường hợp nào dưới đây và ta sẽ giải theo đúng trường hợp đó. • TH1: Nếu ta có 0a b c + + = thì 2 0ax bx c+ + = có hai nghiệm là 1 và c a Copyright By MinhPhuc THPT Lak 1 • TH2: Nếu ta có 0a b c− + = thì 2 0ax bx c+ + = có hai nghiệm là 1− và c a − • TH3: Nếu không rơi vào hai trường hợp trên thì ta sẽ tính biệt thức Delta 2 4b ac ∆ = − Khi đó có thể có 3 trường hợp có thể xảy ra  Nếu 0 ∆ < thì pt 2 0ax bx c+ + = vô nghiệm  Nếu 0 ∆ = thì pt 2 0ax bx c+ + = có một nghiệm là 2 b x a = −  Nếu 0 ∆ > thì pt 2 0ax bx c+ + = có hai nghiệm được tính bởi công thức sau 1 2 2 2 b b x & x a a ∆ ∆ − − − + = = Ví Dụ 2: Giải các phương trình sau a) 2 2 3 5 0x x+ − = b) 2 3 2 0x x+ + = c) 2 1 0x x+ + = d) 2 2 1 0x x+ + = e) 2 1 0x x+ − = f) 2 99 100 0x x+ − = Trước tiên các em cần xác định các hệ số a;b;c trong phương trình  Trong bài a) ta có 2 3 5a ;b ;c= = = − , ta dễ thấy rằng 0a b c + + = nên pt có hai nghiệm là 1 và c a . Do đó ta có bài giải như sau 2 1 2 3 5 0 5 2 x x x x =   + − = ⇔  =   Trong bài b) ta có 1 3 2a ;b ;c= = = , ta dễ thấy rằng 0a b c+ + = nên pt có hai nghiệm là 1− và c a − . Do đó ta có bài giải như sau 2 1 3 2 0 2 x x x x = −  + + = ⇔  = −   Trong bài c) ta có 1 1 1a ;b ;c= = = , ta tính biệt thức 2 2 4 1 4 1 1 3 0b ac . .∆ = − = − = − ⇒ ∆ < . Do đó phương trình 2 1 0x x+ + = vô nghiệm.  Trong bài d) ta có 1 2 1a ;b ;c= = = , ta tính biệt thức 2 2 4 2 4 1 1 0b ac . .∆ = − = − = . Do đó pt có một nghiệm duy nhất 2 b x a = − . Ta có lời giải sau 2 2 1 0 1x x x+ + = ⇔ = Copyright By MinhPhuc THPT Lak 2  Trong bài e) ta có 1 1 1a ;b ;c= = = − , ta tính biệt thức ( ) 2 2 4 1 4 1 1 5 0b ac . .∆ = − = − − = ⇒ ∆ > . Do đó phương trình 2 1 0x x+ − = có 2 nghiệm 1 2 2 2 b b x & x a a ∆ ∆ − − − + = = Ta có lời giải sau 2 1 5 2 1 0 1 5 2 x x x x  − − =   + − = ⇔  − + =   III. Phương trình bậc 3 Là phương trình có dạng sau ( ) 3 2 0 0ax bx cx d ; a+ + + = ≠ Để giải phương trình này các em cần nhẩm được một nghiệm của phương trình ( Để làm điều này các em có thể dùng máy tính !) sau đó ta sẽ sử dụng sơ đồ Hoocne để phân tích thành nhân tử. Ta giả sử đã nhẩm được một nghiệm là 0 x . Ta viết lại các hệ số a;b;c;d theo thứ tự như sau a b c d 0 x a m n 0p = Ta được 2 ax mx n+ + Chú ý ta luôn có được 0p = Sau khi đã tính toán được các hệ số m;n ta sẽ viết lại phương trình như sau Copyright By MinhPhuc THPT Lak 3 Hệ số được viết lại Tính Tính Tính ( ) ( ) 3 2 2 0 0 0ax bx cx d x x ax mx n+ + + = ⇔ − + + = Đến đây ta hoàn toàn có thể giải tiếp bằng cách giải phương trình bậc hai đã được học ở trên ! Ví dụ 3: Giải phương trình sau 3 2 2 5 4 0x x x− + − = Ta nhẩm được một nghiệm của phương trình là 1x = . Ta viết sơ đồ Hoocne như sau với 1 2 5 4a ;b ;c ;d= = − = = − 1 2 − 5 4 − 1 1 1 − ( ) 1 1 2 1. + − = − 4 ( ) 1 1 5 4. − + = 0 ( ) 1 4 4 0. + − = Ta được 2 4x x− + Do đó ta có lời giải như sau ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 0 2 5 4 0 1 4 0 1 0 4 0 1 x x x x x x x x x vô n x − + − = ⇔ − − + = − =  ⇔  − + =   ⇔ = Ví dụ 4: Giải phương trình sau 3 2 2 2 0x x x+ − − = Ta nhẩm được một nghiệm của phương trình là 1x = − . Ta viết sơ đồ Hoocne như sau với 1 2 1 2a ;b ;c ;d= = = − = − Copyright By MinhPhuc THPT Lak 4 Hệ số được viết lại Tính Tính Tính 1 2 1 − 2 − 1 − 1 1 ( ) 1 1 2 1.− + = 2 − ( ) ( ) 1 1 1 2.− + − = − 0 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 0.− − + − = Ta được 2 2x x+ − Do đó ta có lời giải như sau ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 0 1 2 0 1 0 2 0 1 1 2 x x x x x x x x x x x x + − − = ⇔ + + − = + =  ⇔  + − =  = −   ⇔ =   = −  Ví dụ 5: Giải các phương trình sau a) 3 2 3 6 0x x x− − + = Hd: Ta biến đổi về thành ( ) ( ) 2 2 3 0x x x− − − = b) 3 2 2 4 5x x x− − + Hd: Ta biến đổi về thành ( ) ( ) 2 1 5 0x x x− − − = c) 3 2 2 3 4 0x x x+ − − = Hd: Ta biến đổi về thành ( ) ( ) 2 1 4 0x x x+ + − = Chú ý: Để giải triệt để tất cả các phương trình bậc 3 các em phải sử dụng công thức Cardano ! IV. Phương trình bậc 4 Ta có thể giải pt bậc 4 bằng sơ đồ Hoocne như trên nếu nhẩm được nghiệm. 1. Phương trình trùng phương Là phương trình có dạng 4 2 0 0ax bx c ; a+ + = ≠ Copyright By MinhPhuc THPT Lak 5 Hệ số được viết lại Tính Tính Tính Để giải phương trình này ta đặt 2 t x= với điều kiện 0t > khi đó pt trở thành phương trình sau 2 0at bt c+ + = , ta giải pt bậc hai này theo t sau đó giải x . Ví dụ 6: Giải phương trình sau 4 2 3 2 0x x− + = Đặt 2 0t x ; t= > ta được phương trình sau 2 2 2 1 1 1 3 2 0 2 2 2 x t x t t t x x = ±   = =  − + = ⇔ ⇔ ⇔    = = ± =    2. Phương trình đối xứng Là phương trình có dạng 4 3 2 0ax bx cx bx a+ + + + = Để giải phương trình này ta chia hai vế cho 2 x và đặt 1 t x x = + , ta được một phương trình bậc hai theo t. Ta giải phương trình theo t sau đó giải x . Ví dụ 7: Giải phương trình sau 4 3 2 2 6 2 1 0x x x x+ − + + = Giải: Ta thấy 0x = không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho 2 x ta được 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 1 0 2 1 2 6 0 1 1 2 6 0 1 1 2 2 6 0 1 1 2 8 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − + + = ⇔ + − + + =     ⇔ + + + − =  ÷  ÷         ⇔ + − + + − =  ÷  ÷         ⇔ + + + − =  ÷  ÷     Đặt 1 2t x ; |t | x = + ≥ ta có phương trình sau 2 2 2 8 0 4 t t t t =  + − = ⇔  = −   ( ) 2 2 3 1 4 4 4 1 0 0 2 3 x t x x x ; x x x  = − + = − ⇔ + = − ⇔ + + = ≠ ⇔  = − −    ( ) 2 1 2 2 2 1 0 0 1t x x x ; x x x = ⇔ + = ⇔ − + = ≠ ⇔ = Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm . Chú ý khi đặt 1 t x x = + ta luôn có điều kiện 2|t |≥ Ví dụ 8: Giải các phương trình sau Copyright By MinhPhuc THPT Lak 6 a) 4 3 2 3 8 3 1 0x x x x+ − + + = Hd: Phương trình có 3 nghiệm là 5 21 5 21 1 2 2 ; ; − + − − b) 4 3 2 2 3 10 3 2 0x x x x+ − + + = Hd: Phương trình có 3 nghiệm là 7 33 7 33 1 4 4 ; ; − + − − 3. Phương trình tựa đối xứng Là phương trình có dạng 4 3 2 0ax bx cx bx a+ + − + = Để giải phương trình này ta chia hai vế cho 2 x và đặt 1 t x x = − , ta được một phương trình bậc hai theo t. Ta giải phương trình theo t sau đó giải x . Ví dụ 9: Giải phương trình sau 4 3 2 2 6 2 1 0x x x x+ − − + = Giải: Ta thấy 0x = không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho 2 x ta được 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 1 0 2 1 2 6 0 1 1 2 6 0 1 1 2 2 6 0 1 1 2 4 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − − + = ⇔ + − − + =     ⇔ + + − − =  ÷  ÷         ⇔ − + + − − =  ÷  ÷         ⇔ − + − − =  ÷  ÷     Đặt 1 t x x = − ta có phương trình sau 2 1 5 2 4 0 1 5 t t t t  = − + + − = ⇔  = − −    ( ) ( ) 2 1 5 10 2 5 1 2 1 5 1 5 1 5 1 0 0 1 5 10 2 5 2 x t x x x ; x x x  − + + −  =  = − + ⇔ − = − + ⇔ + − − = ≠ ⇔  − + − −  =    ( ) ( ) 2 1 5 10 2 5 1 2 1 5 1 5 1 5 1 0 0 1 5 10 2 5 2 x t x x x ; x x x  − − + +  =  = − − ⇔ − = − − ⇔ + + − = ≠ ⇔  − − − +  =   Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm . Chú ý khi đặt 1 t x x = − ta không có điều kiện cho t . Copyright By MinhPhuc THPT Lak 7 Ví dụ 10: Giải các phương trình sau a) 4 2 2 2 5 2 1 0x x x x− − + + = Đ/s: 1 5 1 5 3 13 3 13 2 2 2 2 ; ; ; − + − − + − b) 4 2 2 3 2 7 2 3 0x x x x− − + + = Đ/s: 1 5 1 5 1 37 1 37 2 2 6 6 ; ; ; + − − + − − 4. Phương trình bậc hai tam thức Là phương trình có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) 0x a x b x c x d e ; a b c d+ + + + + = + = + Ta biến đổi tương đương thành ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0x a+b x+ab x c d x cd e+ + + + + = Sau đó đặt ( ) ( ) 2 2 t x a b x x c d x= + + = + + Ta được pt bậc hai theo t sau đó giải t rồi giải x Ví dụ 11: Giải pt sau ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 1 0x x x x+ + + + − = Các em chú ý ta có 1 4 2 3 + = + Do đó ta biến đổi pt tương đương như sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 3 4 1 0 5 4 5 5 1 0 x x x x x x x x + + + + − = ⇔ + + + + − = Đặt 2 5t x x= + ta được pt sau ( ) ( ) 2 4 5 1 0 9 19 0 9 15 2 9 15 2 t t t t t t + + − = ⇔ + + =  − + =   ⇔  − − =    2 5 7 2 15 9 15 9 15 2 5 2 2 5 7 2 15 2 x t x x x  − + +  = − + − +  = ⇔ + = ⇔  − − +  =    2 9 15 9 15 5 2 2 t x x − − − − = ⇔ + = pt vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm 5 7 2 15 5 7 2 15 2 2 x & x − + + − − + = = Ví dụ 12: Giải các phương trình sau a) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 7 0x x x x+ + + − = Đ/s: 3 5 8 2 3 5 8 2 2 2 & − − + − + + Copyright By MinhPhuc THPT Lak 8 b) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 5 2 4 7 0x x x x+ + + + − = Đ/s: 3 10 2 37 3 10 2 37 2 2 & − − + − + + 5. Phương trình ẩn trùng phương Là phương trình có dạng ( ) ( ) 4 4 x a x b c+ + + = Để giải phương trình này ta đặt 2 a b t x + = + sau đó khai triển và rút gọn được pt trùng phương Ví dụ 13: Giải phương trình sau ( ) ( ) 4 4 3 1 33x x+ + − = Giải: Đặt 1t x = + ta có phương trình sau ( ) ( ) 4 4 4 2 2 2 2 2 2 33 2 48 1 0 24 17 2 2 24 17 2 2 24 17 2 2 24 17 2 2 24 17 2 1 2 t t t t t t t t x + + − = ⇔ + − =  − + =   ⇔  − − =   − + ⇔ = − + ⇔ = ± − + ⇒ = ± − Ví dụ 12: Giải các phương trình sau a) ( ) ( ) 4 4 1 3 40x x+ + − = Đ/s: 1 12 2 37 1 12 2 37&− − + + − + b) ( ) ( ) 4 4 5 1 200x x+ + − = Đ/s: 2 27 2 187 2 27 2 187&− − − + − + − + c) ( ) ( ) 4 4 3 1 45x x− + − = Đ/s: 4 12 2 122 4 12 2 122 2 2 & − − + + − + Chú ý: Để giải triệt để tất cả các phương trình bậc 4 các em phải tham khảo cách giải của Ferrari – một học trò của Cardano ! Cách giải các phương trình vô tỉ và hệ phương trình sẽ được biên soạn trong thời gian gần nhất, mời các em đón đọc ! Trước khi đi vào giải một số dạng phương trình khác các em hãy xem lại các hằng đẳng thức sau để tiện lợi hơn trong quá trình giải toán ! Copyright By MinhPhuc THPT Lak 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 1 2 2 2 3 4 3 3 5 3 3 6 7 8 2 2 2 9 2 2 2 10 . a b a ab b . a b a ab b . a b a b a b . a b a a b ab b . a b a a b ab b . a b a b a ab b . a b a b a ab b . a b c a b c ab bc ca . a b c a b c ab bc ca . a b c a b + = + + − = − + − = − + + = + + + − = − + − − = − + + + = + − + + + = + + + + + − + = + + − − + + + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 5 5 5 5 2 2 2 5 5 5 2 2 3 11 5 12 5 c a b b c c a . a b c a b c a b b c c a a b c ab bc ca . a b a b ab a b a b ab + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + = + + + + + V. Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối 1. Phương trình có dạng A B= Để giải phương trình này các em bình phương hai vế và thêm điều kiện 0B ≥ 2 2 0 A B A B B  = = ⇔  ≥  Ví dụ 13: Giải phương trình sau 2 2x + = Các em để ý ta đã thấy 4 0B = > do đó ta không cần đặt điều kiện cho B nữa Ta có lời giải như sau ( ) 2 2 2 0 2 2 2 2 4 0 4 x x x x x x =  + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔  = −  Ví dụ 14: Giải phương trình sau 2 3 1 2 1x x x+ − = + Lần này ta cần phải có điều kiện cho B , do đó khi giải được nghiệm các em phải thay vào điều kiện 0B ≥ nếu thỏa mãn thì nhận, nếu không thỏa mãn thì loại ! Ta có lời giải như sau ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1 0 x x x x x x ; x + − = + ⇔ + − = + + ≥ Copyright By MinhPhuc THPT Lak 10 [...]... Đ/s: ? x + x + 1 = x2 + x Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ Các phương trình vô tỉ thường phức tạp, khác hoàn toàn với các dạng cơ bản đã giới thiệu ở trên Do đó, một trong những công việc quan trọng nhất cần làm đầu tiên là tìm tập xác định, hoặc điều kiện của phương trình đó ! Copyright By MinhPhuc THPT Lak 15 1 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2,3,4 Các phương trình được cho thường có... dạng phương trình có nhiều loại căn thức như thế này các em cần nghĩ dến việc đặt mỗi một căn là một ẩn phụ mới và đưa về thành hệ phương trình đơn giản hơn ! Cụ thể trong bài này ta sẽ đặt a = 3 x − 2 & b = x + 1 , khi đó ta có hai ẩn a & b , ta cần có hai phương trình để giải hai ẩn này Từ phương trình bài toán ta có ngay một phương trình là 2a + 5b − 12 = 0 Ngoài phương trình này ta sẽ có một phương. .. MinhPhuc THPT Lak 11 Ví dụ 17: Giải các phương trình sau 2 2 a) x − 3x + 1 = 2 x + 3x + 3 −3 − 7 & − 3 + 7 2 b) x − 3x + 1 = x + 3 Đ/s: 2+ 6 & 2− 6 2 c) x − x + 1 = x + 2 VI Đ/s: Đ/s: 1+ 2 & 1− 2 Phương trình chứa căn cơ bản 1 Phương trình dạng A=B Để giải phương trình này ta cần bình phương hai vế và đặt điều kiện B ≥ 0 A = B ⇔ A = B2 ; B ≥ 0 2x +1 = x −1 Ví dụ 18: Giải phương trình sau Các em cần phải có... = −5 ( ktm ) ( tm ) ( ktm ) 2 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là 0 & 1 Chú ý ở dòng số 3 sang dòng số 4 ta sử dụng hằng đẳng thức số 3 các em nhé ! Ví dụ 15 Giải các phương trình sau 2 2 a) x − 4 x + 1 = 2 x − 3 Đ/s: −2 − 2 2 & 2 2 b) x − 5 x + 1 = 2 x − 3 x + 2 Đ/s: −1 ; 4− 7 3 2 + 10 3 & 4+ 7 3 2 Phương trình dạng A = B Để giải phương trình này các em bình phương hai vế mà không cần thêm điều... x 2 + x − 1 = x + 1; Vậy phương trình có hai nghiệm Ví dụ 22: Giải các phương trình sau a) Đ/s: x2 − 2 x − 7 = x + 2 ⇔ 3x 2 = 2 2 ⇔ x2 = 3  2 x = 3 ⇔  2 x = − 3  x +1 ≥ 0 ( tm ) ( tm ) 3+3 5 3−3 5 & 2 2 b) 2 x 2 − x − 7 = 3 x + 2 Đ/s: 2 − 22 2 + 22 & 2 2 c) Đ/s: −1 − 19 −1 + 19 & 2 2 2 x 2 − 3x − 7 = 2 − 5 x 3 Phương trình dạng A= B Để giải phương trình này các em bình phương hai vế mà không cần... ta có hệ phương trình sau Copyright By MinhPhuc THPT Lak 18 −5b + 12   2a + 5b − 12 = 0 a = ⇔ 2  2 3 b − a = 3 b 2 − a 3 = 3  ( 1) ( 2) Thay (1) vào (2) ta được 3  −5b + 12  b − ÷ =3 2   223 2 125 3 ⇔− b + b + 270b − 219 = 0 2 8 ⇔b=2 2  b = 2 ⇔ x +1 = 2 ⇒ x = 3 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 3 Trên đây ta đã giải hệ phương trình bằng phương pháp thế ! Ví dụ 32: Giải phương trình... −7  x + y = −7 ⇔ ( vn )  P = 16  xy = 16   Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 & x = 4 Ví dụ 33: Giải phương trình sau x3 − 3 3 2 + 3x = 2 Copyright By MinhPhuc THPT Lak 19 Ta đặt y = 3 2 + 3 x khi đó ta sẽ có hệ phương trình đối xứng loại II sau  x3 − 3 y = 2  (1)  3  y − 3x = 2  Để giải hệ phương trình này ta trừ vế của hai phương trình trong hệ ta được x3 − y 3 + 3x − 3 y = 0... x = 3 2 + 3 x ⇔ x = 3x + 2 ⇔  Thay x = 2 & x = −1 lần lượt vào phương trình ban đầu ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2 & x = −1 Để hiểu hơn về cách giải hệ phương trình đối xứng bậc I, bậc II mời các em đón đọc trong phần tiếp theo của tài liệu - các loại Hệ Phương Trình và cách giải ! Ví dụ 34: Giải các phương trình sau x + 7 − x =1 Đ/s: 9 x +3 − 3 x =1 Đ/s: 1 c) 3 12... ta cần ghi điều kiện cho x trong phương trình cuối cùng ! Điều kiện của pt (*) là 0 ≤ x ≤ 9 Đặt t = x ( 9 − x ) , t ≥ 0 Ta được phương trình sau Copyright By MinhPhuc THPT Lak 16 t = 0 t 2 + 2t = 0 ⇔   t = −2  t = −2 ( loại vì không thỏa mãn điều kiện t ≥ 0 ) x = 0 x = 9  t = 0 ⇔ x ( 9 − x) = 0 ⇔  Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là 0 và 9 Ví dụ 28: Giải các phương trình sau a) ( x + 5 ) (... 2 Vậy Phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 0 Ví dụ 30: Giải các phương trình sau a) x 2 + 3x + 1 = ( x + 3) x 2 + 1 Đ/s: ±2 2 b) 9 x 2 + 17 x + 10 = 6 ( x + 1) x 2 − x + 1 Đ/s: −13 + 73 −25 + 145 & 6 30 c) 9 x 2 + 15 x + 11 = 6 ( x + 1) x 2 − 3x + 2 Đ/s: −9 + 309 −15 + 141 & 10 6 d) 2 x 2 + 10 x + 23 = 2 ( x + 5 ) x 2 + 2 Đ/s: − 7 47 & − 6 14 3 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình Ví dụ 31: Giải phương . công! Thầy Minh Phúc I. Phương trình bậc 1. Phương trình bậc nhất là phương trình có dạng 0ax b + = trong đó 0a ≠ Phương trình này luôn có một nghiệm là b x a = − Ví dụ1: Giải phương trình a) 3. các phương trình bậc 3 các em phải sử dụng công thức Cardano ! IV. Phương trình bậc 4 Ta có thể giải pt bậc 4 bằng sơ đồ Hoocne như trên nếu nhẩm được nghiệm. 1. Phương trình trùng phương Là phương. + + 5. Phương trình ẩn trùng phương Là phương trình có dạng ( ) ( ) 4 4 x a x b c+ + + = Để giải phương trình này ta đặt 2 a b t x + = + sau đó khai triển và rút gọn được pt trùng phương Ví