Trường THCS Bình Thành Tổ: Toán - Lý-Tin-KT Biên soạn: Lê Công Thuận CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ (phương trình chứa ẩn số dấu bậc hai) I CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Phương pháp luỹ thừa hai vế: Dạng tổng quát: c 0; f ( x ) f ( x) c 2 f ( x ) c g ( x ) 0; f ( x) f ( x) g ( x) 2 f ( x ) g ( x) h( x ) 0, g ( x) 0, h( x ) f ( x) g ( x ) h( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) h( x) h( x ) 0, h( x )2 f ( x ) g ( x ) 2 f ( x) g ( x) [h( x ) f ( x ) g ( x )] Ví dụ 1: Giải phương trình: a x = - x Giải: a b x3 x2 2 x x2 x2 = - x 2 x 4x x x (2 x ) x2 x2 x 5x ( x 2)( x 3) x2 x x Vì x nên x = (loại ) Vậy phương trình b x x x x 3 x2 x x2 ĐK: Với x : x = - x có nghiệm x = (1) x x ( x x 2)2 52 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 25 Trường THCS Bình Thành Tổ: Toán - Lý-Tin-KT Biên soạn: Lê Công Thuận x x ( x 3)( x 2) 25 ( x 3)( x 2) 24 x ( x 3)( x 2) 12 x (*) ĐK: 12 - x x 12 (*) ( x 3)( x 2) (12 x )2 x2 + x - = 144 - 24x + x2 (2) 25x = 150 x = Đối chiếu với điều kiện (1) (2) x = thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x = x3 x2 Phương pháp đưa phương trình chứa dấu : Dạng tổng quát: f ( x) g ( x) h( x ) Cách giải: Bước 1: Biến đổi f(x) = [A(x)]2 g(x) = [B(x)]2 Bước 2: Biến đổi f ( x) g ( x) h( x ) A( x ) B ( x ) h( x ) h( x ) A( x) B ( x) h( x ) h( x ) Bước 3: Bỏ dấu trị tuyệt đối giải ta tìm x Ví dụ 2: Giải phương trình: x2 x x2 x Giải: Vì x2 - 2x + = (x - 1)2 x2 + 4x + = (x + 2)2 nên: x2 x x2 x x x (*) Nếu x > (*) x - + x + = 2x = x = ( không thỏa điều kiện x > 1) Nếu 2 x (*) - x + x + = 0x = Phương trình (*) nghiệm với 2 x Nếu x < -2 phương trình (*) - x - x - = -2x = x = -2 ( không thỏa điều kiện x < -2) 2 Vậy phương trình x x x x có nghiệm 2 x Phương pháp đặt ẩn phụ ( phương pháp hữu tỷ hóa): Dạng tổng quát: f ( x) g ( x) h( x ) Cách giải: CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 26 Trường THCS Bình Thành Tổ: Toán - Lý-Tin-KT Biên soạn: Lê Công Thuận Bước 1: Đặt điều kiện f ( x) g ( x) h( x) Bước 2: Đặt ẩn phụ t = f ( x) ( t 0) biến đổi g ( x ) theo ẩn t Bước 3: Thay ẩn t vào phương trình f ( x) g ( x) h( x ) giải phương trình theo ẩn t Bước 4: Thay gía trị ẩn t vào bước ta tìm x Ví dụ: Giải phương trình: x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0 x 1 Giải: Điều kiện: x x 1 x 1 x Đặt t = x 1 ( t > 0) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 t x 1 x 1 x 1 3 2 t 2t - 2= 3t 2t - 3t -2 = x 1 x 1 t (*) Giải phương trình (*) ta được: t1 = t2 = -0,5 ( loại ) Thay t = ta được: Vậy phương trình x 1 x 1 =2 x + = 4x - x 1 x 1 ( thỏa điều kiện x > 1) x= x 1 x 1 có nghiệm x = x 1 x 1 Chú ý: + Ngoài phương pháp giải nêu trên, giải phương trình vô tỷ ta vận dụng tính chất bất đẳng thức để giải nhân với lượng liên hợp để đưa dạng phương trình đơn giản + Trong trình biến đổi ta cần lưu ý điều kiện nghiệm phương trình trung gian Nếu phương trình trung gian có nghiệm nghiệm không thỏa điều kiện nghiệm phương trình ban đầu phương trình ban đầu vô nghiệm + Phương trình dạng 2n+1 f ( x) g ( x ) Ta biến đổi thành phương trình: f(x) = g(x)2n+1 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 27 Trường THCS Bình Thành Tổ: Toán - Lý-Tin-KT Biên soạn: Lê Công Thuận II BÀI TẬP ÁP DỤNG: Giải phương trình: a x x b x x c 14 x x x d x x 3x e x x 10 x x Giải phương trình sau: a x x x x b x x x x c + x x x x Giải phương trình: a.3x x x x d c (5 x ) x (5 6) x 10 d x2 + 2x = x x + 20 x x 1 x x 1 b 3x2 + 2x = x x + - x CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 28 ... điều kiện nghiệm phương trình trung gian Nếu phương trình trung gian có nghiệm nghiệm không thỏa điều kiện nghiệm phương trình ban đầu phương trình ban đầu vô nghiệm + Phương trình dạng 2n+1 f... Chú ý: + Ngoài phương pháp giải nêu trên, giải phương trình vô tỷ ta vận dụng tính chất bất đẳng thức để giải nhân với lượng liên hợp để đưa dạng phương trình đơn giản + Trong trình biến đổi... 0x = Phương trình (*) nghiệm với 2 x Nếu x < -2 phương trình (*) - x - x - = -2x = x = -2 ( không thỏa điều kiện x < -2) 2 Vậy phương trình x x x x có nghiệm 2 x Phương