LƠI GIẢI CHI TIẾT TOÁN 10 ĐHSP 2013

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2013 Môn thi : TOÁN (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường THPT chuyên ĐHSP) Thời gian làm bài :120 phút Câu 1(2,5 điểm) 1.Cho biểu thức 3 2 2 3 3 a b a a b b ab a a b Q a b ab a b b a −   + +  ÷ − +   = + + − với a>0 ; b>0 a ≠ b. Chứng minh rằng giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b 2.Các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=0.Chứng minh đẳng thức ( ) 4442222 2)( cbacba ++=++ Câu 2(2 điểm) Cho Parabol (P) : y=x 2 và đường thẳng (d) : 2 2 1 m mxy +−= ( tham số m ≠ 0). 1.Chứng minh rằng với m ≠ 0 đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt 2. Gọi ( ) ( ) 2211 ;;; yxByxA là giao điểm của (d) và (P).Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 1 yyM += Câu 3 (1,5 điểm)GiảI sử a,b,c là các số thực a ≠ b sao cho hai phương trình ;01 2 =++ axx ;0 2 =++ cbxx có nghiệm chung và 2 phương trình ;0 2 =++ axx ;0 2 =++ bcxx có nghiệm chung. Tính a+b+c. Câu 4 (3 điểm): Cho tam giác ABC không cân có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AA 1 ;BB 1 ;CC 1 của tam giác ABC cắt nhau tại H.Các đường thẳng A 1 C 1 và AC cắt nhau tại điểm D, gọi X là giao điểm thức hai của đường thẳng BD với đường tròn (O) 1.Chứng minh rằng DX.DB=DC 1 .DA 1 2.Gọi M là trung điểm cạnh AC .Chứng minh DH ⊥ BM Câu 5: (1 điểm) Cho các số thực x,y,z thỏa mãn      +++++=+++++ +++++=+++++ 201320122011201320122011 201320122011201320122011 yxzxzy xzyzyx Chứng minh rằng x=y=z Hết Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh số báo danh GV: KIỀU ĐÌNH PHÚ -THCS TT SÔNG THAO.CẨM KHÊ-PHÚ THỌ hướng dẫn giải : Câu 1: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 1 3 3 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 3 3 a b a a b b a b a a b b a a b ab a a b Q a b ab a a b a a b ab a a b a a b b a b b a a a b b a a a b b a a b ab a b a b ab a b a a a b b a a b a b ab a b ab a b −   + +  ÷ − + + − − +   = + = − + − + − − − + + + − + = − = − + + + + − + + − − = = + + b) Ta có )(*)(2)( 2222222222444 accbbacbacba ++−++=++ Từ a+b+c=0 ta có 2 )( )(2 2 )(2 2 2222 222222 2 222 222222 222 cba accbba cba cbaabcaccbba cba cabcab ++ =++⇔         ++ =+++++⇔ ++ =++ Thay vào (*) Ta có ĐPCM Câu 2 1. Ta có tọa độ giao (d) và (P) là nghiệm của hệ PT      =−+ = ⇔      +−= = (*);0 2 1 2 1 2 2 2 2 2 m mxx xy m mxy xy Xét PT(*) có 022 2 2 2 >≥+=∆ m m ⇒ Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với m∀ ≠ 0 Vậy ( )d cắt ( )P tại 2 điểm phân biệt 2. Ta có ( ) ( ) [ ] 2 2 2 1 2 21 2 21 2 2 2 1 2 2 2 2 1 4 2 4 1 2 2 2 1 222 xxxxxxxxxxxxyyM −−+=−+=+=+= Áp dụng định lý Viet:      − = −=+ 2 21 21 2 1 m xx mxx thay vào M ta có 222 2 1 2 11 4 4 4 2 2 2 +≥++=−       += m m mm mM Min(M)= 22 + O C1 A1 E H M X D C B A khi 8 1 2 m = ± Câu 3: Giả sử phương trình x 2 +ax +1 =0 (1) và x 2 +bx +c =0 (2)có nghiệm chung x 0 tính được : x 0 ( a-b) = c-1 ba c x − − =⇔ 1 0 ( vì a )b≠ suy ra nghiệm còn lại của phương trình (1) là: x 2 = 1− − c ba (c ≠ 1 vì 0 không là nghiệm của pt (1) ) Giả sử Phương trình : x 2 +x +a =0 (3) và x 2 + cx +b=0 (4) có nghiệm chung x 1 ta có : x 1 ( 1-c) = b-a ⇔ x 1 = 1− − c ab = x 2 vậy pt (1) ; (2) (3) có nghiệm chung x 1 từ (1) và (3) ta có (a-1) (x 1 -1) =0 nếu a=1 ⇔ x 2 +x+1 =0 vô lý vậy x 1 =1 từ đó tính được a+b +c =-3 Bài 4: 1) Dễ đang chứng minh tứ giác AC 1 A 1 C nội tiếp suy ra DA.DC = DC 1 .DA 1 tứ giác DXBC nội tiếp nên AD.DC= DX. DB Vậy DX.DB = DC 1 .DA 1 2) Vì : DX.DB = DC 1 .DA 1 nên tứ giác A 1 BX C 1 nội tiếp suy ra BXC 1 + BA 1 C 1 =180 0 do tứ giác BA 1 HC 1 nội tiếp BA 1 C 1 = BHC 1 nên tứ giác BXC 1 H nội tiếp suy ra BXH =90 0 vậy HX ⊥ BD (1) kẻ đường kính BE dễ dàng chừng minh tứ giác AEHC là hình bình hành từ đó suy ra HME thẳng hàng tứ giác BCEX nội tiếp nên BXE =90 0 vậy EX ⊥ BD (2) từ (1) và (2) suy ra X,H,M,E thẳng hàng vậy MX ⊥ BD lại có BH ⊥ DM nên H là trực tâm tam giác DBM suy ra DH ⊥ BM Câu 5. 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 x y z y z x y z x z x y  + + + + + = + + + + +   + + + + + = + + + + +   Đặt 2011, 2011, 2011a x b y c z = + = + = + Ta có hệ 1 2 1 2 1 2 1 2 A B B C a b c b c a b c a c a b  + + + + = + + + +    + + + + = + + + +    1 4 4 4 2 4 4 43 1 4 4 4 2 4 4 43 1 4 4 4 2 4 4 43 1 4 4 4 2 4 4 43 vai trò x,y z bình đẳng Giả sử ax{a;b;c}c m = vì A C = Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 * 1 2 1 2 1 1 a b c c a b a a b b c c a a b b c c c c a a b b c c c c + + + + = + + + + ⇔ + − + + − + = + − ⇔ + − + + − + = + − + + + − ⇔ + = + + + + + + + + + + + Mặt khác, 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 c a a a c c c b b b c c ≥ ⇒ ≤ + + + + ≥ ⇒ ≤ + + + + + + Suy ra (*) xảy ra khi a=b=c, suy ra x=y=z. .      +++++=+++++ +++++=+++++ 20132 012201 120132 0122011 20132 012201 120132 0122011 yxzxzy xzyzyx Chứng minh rằng x=y=z Hết Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh. BH ⊥ DM nên H là trực tâm tam giác DBM suy ra DH ⊥ BM Câu 5. 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 x y z y z x y z x z x y  + + + + + = + + + + +   + + + + + = + +. THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2013 Môn thi : TOÁN (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường THPT chuyên ĐHSP) Thời gian làm bài :120 phút Câu 1(2,5 điểm) 1.Cho biểu