de thi toan b1 toán cao cấp b1 giải tích b1 đh khtn bài tập toán cao cấp b1 có lời giải bai giang toan cao cap b1 tài liệu toán cao cấp b1 giao trinh toan cao cap b1 toan cao cap b1 nong lam Ôn luyện môn Toán cao cấp B1 Bài giảng Toán cao cấp B1 Bài giảng toán cao cấp B1 Tóan giải tích B1 TOÁN B1 ĐỀ THI NÔNG LÂM Khoa Khoa học ĐỀ THI NÔNG LÂM Bài giảng Toán cao cấp B1 Bài giảng toán cao cấp B1 Toán cao cấp B1 (Phần: Giải tích) Tài liệu học tập Toán cao cấp
TOÁN B1 CHƯƠNG I GIỚI HẠN HÀM MỘT BIẾN Câu 1: ( 2điểm ) 1 1 x 3 lim 1 2x 1 x 2x Ta có: lim lim x 0 x 0 x 0 x x2 x x2 x x2 Khi x 1 x 1 x x , 1 2x (2x) (0,5 điểm) (0,5 điểm) Nên x x x x x 2x lim lim lim x lim lim lim x 0 x 0 x x x 0 x x x 0 x 0 x x 0 xx x 2 (1,0 điểm) Câu 2: ( 2điểm ) 1 Ta có: lim cosx x 1+ tanx x lim 1 cosx - 1 cosx-1 x 0 x 0 cosx -1 x 1+ tanx t anx t anx x e lim x 0 cosx -1 x e lim x 0 (1,0 điểm) Khi x cosx - x , t anx x nên x lim cosx +sinx e x 0 x2 lim x 0 x e lim (0,5điểm) x x 0 x e (0,5 điểm) Câu 3: ( 2điểm ) t anx x 1 cosx + cosx cosx 2sin x 1 cosx cos2x Ta có: lim lim x 0 x 0 x2 x2 cosx 2sin x 1 cosx = lim lim x 0 x x x2 Khi x cosx x2 , 2sin x x2 1 cosx cos2x Vậy lim = lim 22 x x 0 x x 2 (0,5 điểm) 1 (0,5 điểm) sin x (0,5 điểm) cosx sin x lim 1 x 0 x (0,5 điểm) Câu 4: ( 2điểm ) 1 xsinx cos2x lim x 0 x tan Ta có: lim x 0 1 xsinx 1 2sin x 1 tan x (0,5 điểm) Khi x : 1 xsinx Do lim x 0 Vậy lim x 0 1 xsinx x , 2sin x 2 sin x x , tan 2 x x sin x 1 cos x x2 lim 21 lim lim x 0 x 0 x 0 x x x x tan tan 2 xsinx cos2x xsinx 1 cos2x lim lim 6 x x x x x tan tan tan 2 2 x x2 (1,0 điểm) (5,0 điểm) Câu 5: ( 2điểm ) s inx - sinx t anx - sinx s inx(1-cosx) cosx Ta có: lim lim lim x 0 arctanx x 0 x arctanx cosx arctanx x2 Khi x sinx x,1-cosx ,arctanx x (0,5 điểm) (0,5 điểm) x3 t anx - sinx lim lim 3 x 0 arctanx x 0 cosx x (1,0 điểm) Câu 6: ( 2điểm ) Khi x : sin 2012 x x 2012 , t an x x ,ln(1 + x ) x Do sin 2012 x tan x x x , ln(1 x ) x 2 x (0,5 điểm) s in 2012 x + t an x + x x 1 (1,5 điểm) lim x 0 x 2x ln(1 + x ) 2x Nên lim Câu 7: ( 2điểm ) 3x 3x 3x 1 1 1 16 3x 16 16 Ta có: lim lim lim lim 64 (2,0 điểm) x 0 x 0 x 0 x 0 x 16 8+2x x 1+ x 3 1 12 1+ 4 Câu 8: ( 2điểm ) Đặt t x Khi x t 2 (0,5 điểm) cos t Vậy lim x t anx = lim t t an t lim t.co t t = lim t 1 t 0 t 0 t 0 sin t x 2 Câu 9: ( 2điểm ) (1,5 điểm) Ta có: cosx cosx cosx cosx lim lim lim 2 x 0 x 0 x 0 sin x sin x sin x cosx-1 lim x 0 sin x cosx cosx-1 lim x 0 sin x Khi x sin x x , cosx-1 lim x 0 cosx cosx lim x 0 sin x x (0,5 điểm) cos x cosx x2 (0,5 điểm) x2 lim cosx x 0 x x2 1 1 3 12 cos x cosx (1,0 điểm) Câu 10: ( 2điểm ) Ta có: lim x x4 4x 12x lim lim 0 x 2cos x x 2x 2s inx x 2cosx (2,0 điểm) Câu 11: ( 2điểm ) Ta có: lim cot x x ln x lim e ln cot x ln x lim e x ln cot x ln x 1 ln cot x lim lim s in x lim s in x 1 x cos x x x ln x cot x x s inx x Vậy lim cot x ln x e1 x (0,5điểm) x e (1,0 điểm) (0,5 điểm) Câu 12: ( 2điểm ) cosx-2 1 s inx-2x Ta có: lim lim lim x x sinx x x sinx x s inx + x.cosx Câu 13: ( 2điểm ) (2,0 điểm) s inx x s inx x - sinx s inx s inx-x Ta có: lim lim 1 x x x x s inx-x s inx x x - sinx e 1 e (2,0 điểm) Câu 14: ( 2điểm ) x2 Khi x arcsin x x,1 cosx ,sin x x , tan x x ,sin x x 2 Nên 2arcsin x cos x sin x x x , tan x 6sin x x 10 x x (1,0 điểm) 2arcsin x cos x sin x x 2x lim 2 x x x tan x 6sin x x 10x Vậy lim (1,0 điểm) Câu 15: ( 2điểm ) Ta có: A lim 1 sin 2x sin x x 0 sin 2x x2 e lim x 0 x (0,5 điểm) Khi x 0 lim nên A = x (0,5 điểm) Khi x 0 lim nên A = x (0,5 điểm) x 0 x 0 Vậy không tồn lim 1 sin 2x 2x (0,5 điểm) x 0 Câu 16: ( 2điểm ) 2 ln arctanx 2 Ta có: lim x.ln arctanx lim x x x -x 1 1+x = lim lim 1+x x x arctanx arctanx x (0,5 điểm) (1,5 điểm) Câu 17: ( 2điểm ) 1 1 Do arctan xarctan x x x (1,0 điểm) 1 x nên lim x.arctan x 0 x 0 x (1,0 điểm) Mà lim Câu 18: ( 2điểm ) Ta có: lim 1 x 1 arctan x x 0 lim 1 x x 1 x arctan x x 0 e 1 lim x.arctan x x 0 e0 (2,0 điểm) Câu 19: ( 2điểm ) x x e 1 x e lim x x Theo quy tắc L’ Hospital ta có: lim lim x 0 x0 x 0 x x Đặt x y 1 x x x ln(1 x) 1 y ln 1 x x x ln(1 x) x x 1 ln y ln 1 x y x x y x2 x2 (1,0 điểm) x x ln(1 x) ln(1 x) x 1 Nên A lim 1 x x lim x e.lim x 0 x 0 x 0 x x (0,5 điểm) 1 (x 1) (x 1) x e.lim (x 1) e.lim x e.lim 1 e e.lim x 0 x 0 x 0 (x 1) 2x x 0 (x 1) 2 2x 2x ( 0,5 điểm) CHƯƠNG II PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Câu 20: ( 2điểm ) Ta có: y x s inx ln y sinx.lnx y sinx sinx cosx.lnx + y=x s inx cosx.lnx + y x x (2,0 điểm) Câu 21: ( 2điểm ) Ta có: y x 2x 3 10 x (7x 3) 5 ln y ln x ln 2x 3 ln x ln(7x 3)10 (0,5 điểm) 1 ln y ln(x 1) 5ln 2x 3 ln x 10 ln(7x 3) y 10 70 y 3(x 1) 2x 2x 7x 3 y (0,5 điểm) (0,5 điểm) x 2x 10 70 3(x 1) 2x 2x 7x 10 x (7x 3) (0,5 điểm) Câu 22: ( 2điểm ) Ta có: y x x ln y x.lnx (0,5 điểm) y lnx +1 y (0,5 điểm) y = y lnx +1 (0,5 điểm) y = x x lnx +1 (0,5 điểm) Câu 23: ( 2điểm ) Ta có: y y y arctan2x arctan2x 1 9x 3x 1 2x arctan2x 4x 9x 1 4x arctan2x (1,0 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) 9x Câu 24: ( 2điểm ) Ta có: y 2lnx. ln x ln 3x 1 ln 3x (1,0 điểm) y 2lnx 1 3x x ln 3x 3x (0,5 điểm) y 2lnx x 2x ln 3x (0,5 điểm) Câu 25: ( 2điểm ) Ta có: y 1 sin x sin x 1 arcsin2x arcsin2x y 3 sin x y y 2sin x sin x 3sinx sin x 2cosx 3 sin x + arcsin2x 1 4x (1,0 điểm) 2x (0,5 điểm) 2sin x.cosx + 4x arcsin2x 1 4x arcsin2x (0,5 điểm) Câu 26: ( 2điểm ) 1 x2 Ta có: y 4 1 x2 x 1 x2 y y y 3 1 x 1 x2 x x x 1 x2 (0,5 điểm) (0,5 điểm) 1 4x x x 1 x 4 1 x2 1 x (0,5 điểm) x 2 1 x 1 x2 1 x x 1 x4 (0,5 điểm) CHƯƠNG III ĐẠO HÀM – VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Câu 27: ( điểm ) Rõ ràng t x y ( x, y ) (0, 0) 1/ ( điểm ) sin( x y ) sin t ( x, y ) (0, 0) x2 y t Do Vì lim ( x , y ) (0,0) f ( x, y) 2/ ( điểm ) ( 0,5 đ ) sin( x y ) 1 11 ( x , y ) (0,0) x2 y ( 0,5 đ ) lim f liên tục (0,0) lim f ( x, y) f (0, 0) m2016 2m1008 ( m1008 1) ( 0,5 đ ) m1008 ( x , y ) (0,0) ( 0,5 đ ) m m 1 Câu 28: ( điểm ) 1/ ( điểm ) Do lim ( x , y ) (0,0) Rõ ràng t x y ( x, y ) (0, 0) e x2 y2 t 1 x2 y2 1 lim t 0 e2 1 (1 t ) t lim 2t t 0 t ( 0,5 đ ) 2 ( ( x, y ) (0, 0) nên t 0: e 2t , (1 t ) nên lim ( x , y ) (0,0) f ( x, y ) e lim ( x , y ) (0,0) x2 y 2 1 x y 1 1 t ) ( 0,5 đ ) 2/ ( điểm ) f liên tục (0,0) lim ( x , y ) (0,0) f ( x, y) f (0, 0) m4 2m m3 ( m 2) m m ( 0,5 đ ) ( 0,5 đ ) Câu 29: ( điểm ) 1/ ( điểm ) Rõ ràng t x y ( x, y ) (0, 0) 10 1 x ln x x2 C (0,5) y (0) nên ln1 C C Vậy y 1 x ln x x (0,5) Câu 100: (2điểm) Phương trình cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 x2 Với p ( x) x (1 x ) q ( x) x2 Suy nghiệm tổng quát phương trình cho 2 1x x x (1 x2 ) dx x (1 x ) dx (0,5) y e e dx C x 1 x2 2x x Ta có dx dx ln x ln x ln 2 x (1 x ) x2 x 1 x (0,5) ln x 1 x y e e dx C x 1 x 2x dx C 2 x (1 x ) ln x 1 x2 x2 x2 C C x x2 x x x2 Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: y C x x 58 (0,5) Câu 101: (2điểm) y // y / y 3e x x (1) + Giải phương trình nhất: y / / 6y / 5y (2) Ta có phương trình đặc trưng: k 6k k1 k Do nghiệm tổng quát phương trình (2) : y C1ex C2 e5x + Tìm nghiệm riêng phương trình y / / 6y / 5y 3ex (0.5) (3) Vì f1 (x) 3e x nên nghiệm riêng phương trình (3) y1 A xex y1/ A ex A x ex y1/ / 2A ex A x e x Thay y1, y1/ , y1// vào (3) rút gọn ta được: 4A A y1 x e x (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y / / 6y / 5y 5x2 Vì f2 (x) 5x nên nghiệm riêng phương trình (4) (4) y2 Ax2 Bx C y 2/ 2Ax B y 2/ / 2A Thay y2 , y 2/ , y2// vào (4) rút gọn ta được: 5Ax2 12A 5B x 2A 6B 5C 5x 5A 12A 5B 2A 6B 5C A B C 12 62 25 12 62 y2 x2 x 25 (0.5) Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: 12 62 y y y1 y2 C1e x C2 e5x x ex x2 x 25 Câu 102: (2điểm) y // y / y xe x sin x (1) + Giải phương trình nhất: y // 3y / 2y 59 (2) (0.5) Ta có phương trình đặc trưng: k 3k k k Do nghiệm tổng quát phương trình (2): y C1 e x C2 e2x , C 1, C (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y // 3y / 2y 4x ex (3) Vì f1 (x) 4xex nên nghiệm riêng phương trình (3) : y x (Ax B) ex Ax Bx e x Ax y 1/ Ax2 2Ax Bx B ex y 1// 4Ax Bx 2A 2B ex Thay y1 , y1/ , y1// vào (3) rút gọn ta được: 2A 2Ax (2A B) 4x 2A B A B y1 2 x2 4x ex (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y // 3y / 2y sin x (4) Vì f2 (x) s inx nên nghiệm riêng phương trình (4) y A cosx Bsin x y 1/ A sin x Bcos x y 1// A cosx Bsin x / // Thay y2 , y2 , y2 vào (4) rút gọn ta được: (A 3B) cos x (3A B)sin x sin x A A 3B 3A B B y2 10 10 cosx + s inx 10 10 (0.5) Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: y y y y C1 e x C2e2x (2x 4x)ex cos x sin x, C 1,C 10 10 (0.5) Câu 103: (2điểm) y // y / y xe x x (1) + Giải phương trình nhất: y // y / y (2) Ta có phương trình đặc trưng: k 6k k1 k Do nghiệm tổng quát phương trình (2) : y C1 xC2 e3x (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y // 6y / 9y xe x (3) Vì f1 (x) xe x nên nghiệm riêng phương trình (3) y1 Ax + Be x 60 y1/ y1// A Ax - B e x Ax 2A B e x Thay y1, y1/ , y1// vào (3) rút gọn ta được: 16Ax 8A 16B x A 16A 16 16B 8A B 32 x x y1 e 16 32 + Tìm nghiệm riêng phương trình y // 6y / 9y 9x2 (0.5) (4) Vì f2 (x) 9x nên nghiệm riêng phương trình (4) y2 Ax Bx C y 2/ 2Ax B y 2/ / 2A Thay y2 , y 2/ , y2// vào (4) rút gọn ta được: 9Ax2 12A 9B x 2A 6B 9C 9x 9 9A 12A 9B 2A 6B 9C y2 x A 1 B C x 3 (0.5) Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: x y y y1 y C1 xC2 e3x x e x x , C1 ,C2 (0.5) 32 3 16 Câu 104: (2điểm) y // y / y 2e2 x 20sin x // (1) / + Giải phương trình nhất: y 4y 8y (2) Ta có phương trình đặc trưng: k 4k k1 2i k 2i Do nghiệm tổng quát (2): y C cos 2x C sin 2x e2x , C 1,C (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y // 4y / 8y 2e2x (3) Vì f1 (x) 2e2x nên nghiệm riêng phương trình (3) : y Ae2 x y 1/ 2A e2 x y 1// 4A e2 x 61 Thay y1 , y1/ , y1// vào (3) rút gọn ta được: 4A A 2x e y1 (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y // 4y / 8y 20sin 2x (4) Vì f2 (x) 20 s in2x nên nghiệm riêng phương trình (4) : y A cos 2x Bsin 2x y 2/ 2A sin 2x 2Bcos 2x y 2// 4A cos 2x 4Bsin 2x Thay y2 , y2/ , y2// vào (4) rút gọn ta được: 4A 8B cos2x (8A 4B)sin 2x 20sin 2x A 2B 2A 4B A 2A B 2A B B y cos2x sin 2x (0.5) Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho: y y y y e2x C cos2x C sin 2x e2x cos2x sin2x, C 1,C -(0.5) Câu 105: (2điểm) x y y y 2 et 3 dt 2e x x // / y" y ' y 2e x x (1) + Giải phương trình nhất: y // y / 6y (2) Ta có phương trình đặc trưng: k 5k k1 k Do nghiệm tổng quát (2): y C1e2x C2e3x , C1,C2 // / + Tìm nghiệm riêng phương trình y 5y 6y e x (0.5) (3) Vì f1(x) 2ex nên nghiệm riêng phương trình (3) : y Ae x y 1/ A e x y 1// A e x Thay y1 , y1/ , y1// vào (3) rút gọn ta được: 2A A y1 ex (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y / / 5y / 6y 6x (4) Vì f2 (x) 6x nên nghiệm riêng phương trình (4) : y A x B y 2/ A y 2// 62 Thay y2 , y2/ , y2// vào (4) rút gọn ta được: 6Ax ( 5A 6B) 6x 6A A B 5A 6B (0.5) y2 x Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: y y y1 y2 C1e2x C2e3x e x x, C1, C2 (0.5) Câu 106: (2điểm) y // y / y e x xe x (1) // / + Giải phương trình nhất: y y y (2) Ta có phương trình đặc trưng: k 3k k k Do nghiệm tổng quát phương trình (2) : y C e x C e 4x , C ,C - (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y // 3y / 4y e 4x (3) Vì f1 (x) e 4x nên nghiệm riêng phương trình (3) y Ax e x y 1/ 4Ax A e x y 1// 16Ax 8A e x Thay y1, y1/ , y1// vào (3) rút gọn ta được: 5A A y1 5 x e x + Tìm nghiệm riêng phương trình y // 3y / 4y xe x (0.5) (4) Vì f2 (x) xe x nên nghiệm riêng phương trình (4) y (Ax B)e x y 2/ Ax A B e x y 2// Ax A B e x Thay y2 , y2/ , y2// vào (4) rút gọn ta được: 6Ax (A 6B) x A 1 6A A 6B B 36 x y2 x e 36 Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: 1 x 1 y y y y C 1e x C e 4x x e x x e , C 1,C 36 6 63 (0.5) (0.5) Câu 107: (2điểm) y // y / y x cos x x x x // (1) / + Giải phương trình nhất: y y y (2) Ta có phương trình đặc trưng: k 3k k k Do nghiệm tổng quát phương trình (2) : y C e x C e2x , C ,C (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y // 3y / 2y x cos x Vì f1(x) x cos x nên nghiệm riêng phương trình (3) là: y Ax B cosx + Cx D s inx (3) y 1/ A Cx D cosx + Ax B C s inx y 1// Ax B 2C cosx + 2A Cx D s inx Thay y1 , y1/ , y1// vào (3) rút gọn ta được: Ax 3Cx 3A B 2C 3D cosx + 3Ax Cx 2A 3B 3C D sinx = x cos x A 10 A 3C B 3A B 2C 3D 25 3A C C 2A 3B 3C D 10 17 D 50 x -3x 17 (0.5) y1 cosx + s inx 50 10 25 10 + Tìm nghiệm riêng phương trình y // 3y / 2y 2x3 x2 6x (4) Vì f2 (x) 2x3 x2 6x nên nghiệm riêng phương trình (4) : y Ax3 Bx2 Cx D y 2/ 3Ax2 2Bx C y 2// 6Ax 2B Thay y2 , y 2/ , y2// vào (4) rút gọn ta được: 2Ax3 9Ax 2Bx 6Ax 6Bx 2Cx 2B 3C 2D 2x3 x2 6x 2A A 9A 2B B 6A 6B 2C C 15 2B 3C 2D D 18 64 (0.5) y x3 5x2 15x 18 Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: x -3x 17 y y y y C ex C e2x cosx + s inx 50 10 25 10 x 5x 15x 18, C ,C (0.5) Câu 108: (2 điểm) y // y / y x 2e x 10sin x // (1) / + Giải phương trình nhất: y 5y 4y (2) Ta có phương trình đặc trưng: k 5k k1 k Do nghiệm tổng quát (2): y C1ex C2 e4x , C ,C (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y // 5y / 4y 4x2 e2x (3) Vì f1 (x) 4x2e2x nên nghiệm riêng phương trình (3) : y Ax2 Bx C e2 x y 1/ 2Ax (2A 2B)x B 2C e2 x y 1// 4Ax2 4(2A B)x 2A 4B 4C e2 x Thay y1 , y1/ , y1// vào (3) rút gọn ta được: 2 Ax Ax Bx A B 2 A 2 A B A B 2C y1 2x 2C x A B C 2x e2x (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y // 5y / 4y 10sin 2x (4) Vì f2 (x) 10 s in2x nên nghiệm riêng phương trình (4) : y A cos 2x Bsin 2x y 2/ 2Bcos 2x 2A sin 2x y 2// 4A cos 2x 4Bsin 2x Thay y2 , y2/ , y2// vào (4) rút gọn ta được: 10Bcos2x 10A sin 2x 10sin 2x 10A 10 A 10B B y cos2x (0.5) Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: y y y y C1ex C2 e4x 2x 2x e2x cos2x, C 1,C (0.5) 65 Câu 109: (2điểm) y // y / y 4e x x x x // (1) / + Giải phương trình nhất: y y y (2) Ta có phương trình đặc trưng: k 2k k1 2i k 1 2i Do nghiệm tổng quát phương trình (2) : y ex C1 cos2x C2 sin 2x C1,C2 (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y // 2y / 5y 4e x (3) Vì f1(x) 4ex nên nghiệm riêng phương trình (3) là: y Aex y 1/ Ae x y 1// Ae x Thay y1 , y1/ , y1// vào (3) rút gọn ta được: A A y ex (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y // 2y / 5y 5x3 x2 6x (4) Vì f2 (x) 5x3 6x2 6x nên nghiệm riêng phương trình (4) : y Ax3 Bx2 Cx D y 2/ 3Ax2 2Bx C y 2// 6Ax 2B Thay y2 , y2/ , y2// vào (4) rút gọn ta được: 5Ax3 6A 5B x2 6A 4B 5C x 2B 2C 5D 5x3 6x 6x 5A 6A 5B 6A 4B 5C 2B 2C 5D 6 A B C D 1 0 y x3 (0.5) Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: y y y y e x C1 cos2x C2 sin 2x ex x3 , C1,C2 (0.5) Câu 110: (2điểm) y // y / y 5e2 x 3x x (1) + Giải phương trình nhất: y // y / y (2) Ta có phương trình đặc trưng: k 4k k1 k x 3x (0.5) Do nghiệm tổng quát phương trình (2): y C1e C2 e , C1,C2 - (0.25) + Tìm nghiệm riêng phương trình y // 2y / 5y 5e 2x Vì f1 (x) 5e2x nên nghiệm riêng phương trình (3) là: 66 (3) y1 Ae 2 x y1 Ae 2 x y1 Ae 2 x Thay y1 , y1/ , y1// vào (3) rút gọn ta được: 15 A A y1 e 2 x (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y y y 3x x (4) Vì f ( x) 3x x nên nghiệm riêng phương trình (4) : y2 A x Bx C y2 Ax B y2 A Thay y2 , y 2/ , y2// vào (4) rút gọn ta được: 3Ax (3 B A) x A B 3 A 3B A A B 3C 3C x x A B C y2 x x (0.5) Vậy nghiệm phương trình cho là: y y y y C1ex C2 e3x 2x e x 3x 67 (0.25) CHƯƠNG VI LÝ THUYẾT CHUỖI Câu 111: (1điểm) 3n n! n ta có u n n n un 3n 1 ( n 1)! nn lim lim n u n ( n 1) n 3n.n! n (0.25) n n n lim lim n n n 1 n 1 n n1 n lim 1 n n 1 1 e (0.5) Theo dấu hiệu D’Alembert chuỗi số cho phân kỳ (0.25) Câu 112: (1điểm) n2 n n ta có u n n (0.25) n n n lim n un lim lim lim 1 n n n n n n n 1 lim n1 n n 1 n n n 1 1 e e (0,5) Theo dấu hiệu Cauchy chuỗi cho hội tụ (0,25) Câu 113: (1điểm) n 1 n ta có u n n 1 n 1 lim n un lim n n n n ( n 1) n 1 (0,25) n 1 lim 1 n n 1 68 n 1 lim n n 1 n 1 ( n 1) n 1 lim n e 2( n 1) n 1 e2 Theo dấu hiệu Cauchy chuỗi cho hội tụ (0,5) (0,25) Câu 114: (1điểm) n 1 n ta có u n n 1 n ( n 1) lim n un lim 1 n n n 1 n 1 (0,25) lim 1 n n 1 n 1 2 e2 (0,5) Theo dấu hiệu Cauchy chuỗi cho phân kỳ (0,25) Câu 115: (1điểm) (2n) nn (2 n)(2n 2) nn lim n n (n 1) (2n ) n ta có u n lim n un 1 un (0,25) n n n 2(n 1) n lim n n ( n 1) n n lim 1 e n n1 n 1 lim 1 n n 1 (0,5) Theo dấu hiệu D’Alembert chuỗi cho hội tụ 69 (0,25) Câu 116: (1điểm) n n ta có u n n 1 n2 (0,25) n n n n 2( n 1) n 1 n lim un lim 1 nlim 1 nlim n n n n 1 n 1 1 2 1 e e (0,5) Theo dấu hiệu Cauchy chuỗi cho hội tụ (0,25) Câu 117: (1điểm) n3 n ta có u n n e 3 un ( n 1) e n n 1 lim lim lim n u n n e en 1 n3 n n (0,25) 1 lim 1 1 e n n e (0,5) Theo dấu hiệu D’Alembert chuỗi cho hội tụ (0,25) Câu 118: (1điểm) n ta có u n n tan lim n un 1 2n ( n 1) tan 0 (0,25) n 2 lim n n un n tan n n 1 lim 1 n n lim ( n 1) n n lim ( n 1).2 n n.2 n.4 n n 1 Theo dấu hiệu D’Alembert chuỗi cho hội tụ 70 (0,5) (0,25) Câu 119: (1điểm) 3n (ln n) n lim n un lim 1 n n ln n n ta có u n (0,25) (0,5) Theo dấu hiệu Cauchy chuỗi cho hội tụ (0,25) Câu 120: (1điểm) 4n ( n!) (1) (2n)! 4n1[( n 1)!]2 (2n)! 2n lim n lim 1 n n 2n (2n 2)! [n!] n ta có u n lim n un un Nhưng un 1 un 2n 1, n Suy {u n} tăng 2n (2) (0,25) (0,5) Từ (1),(2) : lim un n Vậy chuỗi cho phân kỳ (0,25) 71 72 [...]... 47: ( 2 điểm ) Giả sử tồn tại f ( x, y ) thỏa yêu cầu bài toán (ycbt) ta có: Từ f x 4 f ( x, y ) x 4 y C ( x) f x''2 12 yx 2 C '' ( x) (1) ( 0,5 đ ) y Nhưng f x'' 12 x 2 y (2) Từ (1),(2) : C '' ( x) 0 C ( x) ax b (a, b ) ( 0,5 đ ) 2 Khi đó a, b thỏa f (0, 0) 1, f (1,1) 2 với f ( x, y) x 4 y ax b Nên b =1 và a = 0 ( 0,5 đ ) Vậy f ( x, y) yx 4 1 Thử lại : Rõ... tại f ( x, y ) thỏa yêu cầu bài toán (ycbt) ta có: Từ f 10 xy 2 y 3 f ( x, y ) 5 x 2 y 2 y 3 x C ( y ) f y''2 10 x 2 6 yx C '' ( y ) (1) ( 0,5 đ ) x Nhưng f y'' 10 x 2 6 yx (2) Từ (1),(2) : C '' ( y) 0 C ( y ) ay b (a, b ) ( 0,5 đ ) 2 Khi đó a, b thỏa f (0, 0) 1, f (1,1) 7 với f ( x, y) 5 x 2 y 2 y 3 x ay b Nên b =1 và a = 0 ( 0,5 đ ) Vậy f ( x, y)... (1, 2) dx 2 dy 2 0 ( vì L"x (1, 2) 1, L"xy (1, 2) 0, L"y (1, 2) 1 và dx 2 dy 2 0 ) 2 2 25 ( 0,5 đ ) Tại (-1,-2) : dL2 (1, 2) dx 2 dy 2 0 ( vì L"x (1, 2) 1, L"xy (1, 2) 0, L"y (1, 2) 1 và dx 2 dy 2 0 ) ( 0,5 đ ) 2 2 Vậy f đạt cực tiểu có điều kiện tại (-1,-2) với f (1, 2) 5 và đạt cực đại có điều kiện tại (1,2) với f (1, 2) 5 ( 0,5 đ ) Câu 60 : (2 điểm)... ( 45 , 53 ) 5, L"xy ( 54 , 53 ) 0, L"y ( 54 , 53 ) 5 và dx 2 dy 2 0 ) ( 0,5 đ ) 2 2 Tại ( 45 , 53 ) : dL2 ( 45 , 53 ) 5(dx 2 dy 2 ) 0 ( vì L"x ( 54 , 53 ) 5, L"xy ( 54 , 53 ) 0, L"y ( 54 , 53 ) 5 và dx 2 dy 2 0 ) ( 0,5 đ ) 2 2 Vậy f đạt cực tiểu có điều kiện tại ( 45 , 53 ) với f ( 45 , 53 ) 1 và đạt cực đại có điều kiện tại ( 45 , 53 ) với f ( 45 ,... kiện tại (5,5) và f (5,5) 50 ( 0,5 đ ) Câu 58 : (2 điểm) Hàm Lagrange L: L( x, y ) xy ( x, y ) xy ( x y 10) L'x 0 y 0 x 5 ' Tọa độ điểm dừng thỏa hệ : Ly 0 x 0 y 5 ( 0,5 đ x2 ) x y 10 0 5 ( x, y) 0 Tại (5,5) : dL2 (5, 5) 2 dxdy 2dx 2 0 ( vì L"x 0, L"xy 1, L"y 0 ; d (5,5) 0 dx dy và dx 2 dy 2 ... y ) (0,0) f ( x, y ) f (0, 0) m 0 m 1 ( 0,5 đ ) g (m ) ( vì g(0) = g(1) = 0 và pt g(m) = 0 có tối đa 2 nghiệm phân biệt (do g”(m)= 3m ln 2 3 0 trên nên đồ thị hàm g lõm trên ) ) ( 0,5 đ ) Câu 35: ( 2 điểm ) 1/ ( 1 điểm ) Rõ ràng 0 ( x 2 y 2 ) cos( 1 ) x 2 y 2 với mọi ( x, y) (0, 0) x y2 2 và lim ( x , y ) (0,0) x2 y 2 0 ( 0,5 đ ) Áp dụng nguyên lý kẹp ta có: lim ( x... lại : Rõ ràng f ( x, y) 5 x 2 y 2 y 3 x 1 thỏa ycbt Vậy f ( x, y ) cần tìm định bởi : f ( x, y) 5 x 2 y 2 y 3 x 1 ( 0,5 đ ) Câu 51: ( 2điểm ) Giả sử tồn tại f ( x, y ) thỏa yêu cầu bài toán (ycbt) ta có: Từ f 2 xy 8 x3 f ( x, y) x 2 y 2 x 4 C ( y ) f y''2 C '' ( y ) (1) x Nhưng f y'' 0 (2) Từ (1),(2) : C '' ( y) 0 C ( y ) ay b (a, b ) 2 ( 0,5 đ ) ( 0,5... ràng hàm f liên tục trên tập compact D nên tồn tại Max f ( x, y) , Min f ( x, y ) D D So sánh các giá trị ở (1), (2) ta có: Max f ( x, y ) 4 tại (2, 0) D Min f ( x, y) 4 tại (0, 2) ( 0,5 đ ) D Câu 65 : ( 2 điểm ) f có tập xác định D : {( x, y ) R 2 |1 x 2 y 2 4} ( 0,5 đ ) Áp dụng bđt Bunyakovsky và bđt cổ điển : ( x, y) D, 4 x 2 y 2 x 2 y 2 1 (12 12 )(4 x 2 y 2 ... sin m 0 m k sin m 0 sin m 1 (k , l ) m 2l 2 ( 0,5 đ ) Câu 36: ( 2 điểm ) 1/ ( 1 điểm ) Rõ ràng 0 ( x 2 y 2 )sin( 1 ) x 2 y 2 với mọi ( x, y ) (0, 0) 2 x y 2 và lim ( x , y ) (0,0) x2 y 2 0 ( 0,5 đ ) Áp dụng nguyên lý kẹp ta có: lim ( x , y ) (0,0) Vì vậy lim ( x , y ) (0,0) f ( x, y ) ( x 2 y 2 ) sin( 1 ) 0 x y2 2 lim ( x 2 y 2 ) sin( (... 2m1 1 2m 1 2m (2m 1) 2m 2m 1 | 2m | ( 0,5 đ ) ( 2m 1 ) 2m 0 2 m 1 ( vì 2 m 0 ) m0 ( 0,5 đ ) Câu 33: ( 2 điểm ) 13 1/ ( 1 điểm ) Rõ ràng 0 (| x | | y |) arctan( và lim ( x , y ) (0,0) 1 ) (| x | | y |) với mọi ( x, y ) (0, 0) |x|| y| 2 | x | | y | 0 ( 0,5 đ ) Áp dụng nguyên lý kẹp ta có: lim ( x , y ) (0,0) Vì vậy lim ( x , y ) (0,0) f ( x, y