Đáp Án Và Lởi Giải Chi Tiết Toán B1

de thi toan b1 toán cao cấp b1 giải tích b1 đh khtn bài tập toán cao cấp b1 có lời giải bai giang toan cao cap b1 tài liệu toán cao cấp b1 giao trinh toan cao cap b1 toan cao cap b1 nong lam Ôn luyện môn Toán cao cấp B1 Bài giảng Toán cao cấp B1 Bài giảng toán cao cấp B1 Tóan giải tích B1 TOÁN B1 ĐỀ THI NÔNG LÂM Khoa Khoa học ĐỀ THI NÔNG LÂM Bài giảng Toán cao cấp B1 Bài giảng toán cao cấp B1 Toán cao cấp B1 (Phần: Giải tích) Tài liệu học tập Toán cao cấp

TOÁN B1 CHƯƠNG I GIỚI HẠN HÀM MỘT BIẾN Câu 1: ( 2điểm ) 1 1  x 3   lim 1  2x   1  x     2x Ta có: lim  lim x 0 x 0 x 0 x  x2 x  x2 x  x2 Khi x  1  x  1 x   x , 1  2x    (2x)   (0,5 điểm) (0,5 điểm) Nên x x x  x   x     2x  lim  lim  lim x   lim  lim  lim x 0 x 0 x  x x 0 x  x x 0 x 0 x x 0 xx x 2 (1,0 điểm) Câu 2: ( 2điểm ) 1 Ta có: lim  cosx  x 1+ tanx  x  lim 1  cosx - 1 cosx-1 x 0 x 0 cosx -1 x 1+ tanx  t anx t anx x e lim x 0 cosx -1 x e lim x 0 (1,0 điểm) Khi x  cosx -   x , t anx  x nên x lim  cosx +sinx   e x 0 x2 lim x 0 x  e lim (0,5điểm) x x 0 x e (0,5 điểm) Câu 3: ( 2điểm ) t anx x 1  cosx + cosx  cosx  2sin x  1  cosx cos2x  Ta có: lim      lim x 0 x 0 x2 x2        cosx   2sin x 1  cosx   = lim   lim    x 0  x  x x2     Khi x   cosx  x2 ,  2sin x   x2  1  cosx cos2x  Vậy lim  = lim  22  x  x 0 x  x      2 (0,5 điểm)   1      (0,5 điểm)    sin x (0,5 điểm)    cosx sin x    lim    1  x 0 x     (0,5 điểm) Câu 4: ( 2điểm ) 1  xsinx  cos2x  lim x 0 x tan Ta có: lim x 0   1  xsinx    1  2sin x   1  tan x  (0,5 điểm) Khi x  : 1  xsinx    Do lim x 0 Vậy lim x 0 1 xsinx  x ,  2sin x 2      sin x   x , tan 2 x  x sin x  1  cos x  x2  lim 21  lim   lim  x 0 x 0 x 0 x x x x tan tan 2  xsinx  cos2x  xsinx  1  cos2x  lim  lim 6 x  x  x x x tan tan tan 2 2 x x2  (1,0 điểm) (5,0 điểm) Câu 5: ( 2điểm ) s inx - sinx t anx - sinx s inx(1-cosx) cosx Ta có: lim  lim  lim x 0 arctanx x 0 x  arctanx cosx arctanx x2 Khi x  sinx  x,1-cosx  ,arctanx  x (0,5 điểm) (0,5 điểm) x3 t anx - sinx lim  lim  3 x 0 arctanx x 0 cosx x (1,0 điểm) Câu 6: ( 2điểm ) Khi x  : sin 2012 x  x 2012 , t an x  x ,ln(1 + x )  x Do sin 2012 x  tan x  x  x , ln(1  x )  x  2 x (0,5 điểm) s in 2012 x + t an x + x x 1 (1,5 điểm)  lim  x 0 x  2x ln(1 + x )  2x Nên lim Câu 7: ( 2điểm )  3x  3x 3x 1 1 1    16  3x  16 16  Ta có: lim  lim  lim   lim 64  (2,0 điểm) x 0 x 0 x 0 x 0 x 16 8+2x  x 1+  x 3 1 12 1+    4 Câu 8: ( 2điểm ) Đặt t     x Khi x  t  2 (0,5 điểm) cos t     Vậy lim   x  t anx = lim t t an   t   lim t.co t t = lim t 1  t 0 t 0  t 0 sin t   x  2 Câu 9: ( 2điểm ) (1,5 điểm) Ta có: cosx  cosx cosx  cosx  lim  lim  lim 2 x 0 x 0 x 0 sin x sin x sin x cosx-1  lim x 0 sin x   cosx  cosx-1  lim x 0 sin x  Khi x  sin x  x , cosx-1   lim x 0 cosx  cosx  lim x 0 sin x x (0,5 điểm)   cos x  cosx  x2 (0,5 điểm) x2   lim cosx  x 0 x   x2  1 1    3 12 cos x  cosx   (1,0 điểm) Câu 10: ( 2điểm ) Ta có: lim x x4 4x 12x  lim  lim 0 x  2cos x  x  2x  2s inx x   2cosx (2,0 điểm) Câu 11: ( 2điểm ) Ta có: lim  cot x  x ln x  lim e ln  cot x  ln x lim e x  ln cot x  ln x 1   ln  cot x  lim  lim s in x  lim s in x  1 x  cos x x x ln x cot x x s inx x Vậy lim  cot x  ln x  e1  x (0,5điểm) x e (1,0 điểm) (0,5 điểm) Câu 12: ( 2điểm )  cosx-2 1  s inx-2x    Ta có: lim    lim   lim       x  x sinx  x   x sinx  x   s inx + x.cosx  Câu 13: ( 2điểm ) (2,0 điểm) s inx x  s inx  x - sinx  s inx  s inx-x Ta có: lim   lim    1  x  x  x  x  s inx-x s inx x x - sinx  e 1  e (2,0 điểm) Câu 14: ( 2điểm ) x2 Khi x  arcsin x  x,1  cosx  ,sin x  x , tan x  x ,sin x  x 2 Nên  2arcsin x  cos x  sin x  x  x , tan x  6sin x  x  10 x  x (1,0 điểm)  2arcsin x  cos x  sin x  x 2x  lim 2 x x x tan x  6sin x  x  10x Vậy lim (1,0 điểm) Câu 15: ( 2điểm ) Ta có: A  lim 1  sin 2x  sin x x 0 sin 2x x2 e lim x 0 x (0,5 điểm) Khi x  0 lim   nên A =  x (0,5 điểm) Khi x  0 lim   nên A = x (0,5 điểm) x 0 x 0 Vậy không tồn lim 1  sin 2x  2x (0,5 điểm) x 0 Câu 16: ( 2điểm ) 2  ln  arctanx   2   Ta có: lim x.ln  arctanx   lim  x  x    x -x 1  1+x = lim  lim 1+x   x  x  arctanx    arctanx x  (0,5 điểm) (1,5 điểm) Câu 17: ( 2điểm ) 1  1  Do arctan     xarctan    x x x (1,0 điểm)  1 x  nên lim x.arctan    x 0 x 0 x (1,0 điểm) Mà lim Câu 18: ( 2điểm ) Ta có: lim 1  x  1 arctan   x x 0  lim 1  x  x 1 x arctan   x x 0 e 1 lim x.arctan   x x 0  e0  (2,0 điểm) Câu 19: ( 2điểm )   x  x  e     1 x  e     lim   x x  Theo quy tắc L’ Hospital ta có: lim  lim    x 0 x0 x 0  x x   Đặt x y  1  x  x x   ln(1  x) 1 y   ln 1  x   x  x  ln(1  x) x x 1   ln y  ln 1  x     y   x   x y x2 x2 (1,0 điểm)  x  x  ln(1  x)  ln(1  x)  x 1  Nên A  lim 1  x  x lim x   e.lim  x 0 x 0 x 0 x  x  (0,5 điểm)  1  (x  1)    (x  1)  x       e.lim  (x  1)   e.lim   x   e.lim  1    e  e.lim  x 0 x 0 x 0  (x  1) 2x  x 0  (x  1) 2  2x 2x     ( 0,5 điểm) CHƯƠNG II PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Câu 20: ( 2điểm ) Ta có: y  x s inx  ln y  sinx.lnx  y sinx sinx    cosx.lnx +  y=x s inx  cosx.lnx +  y x x   (2,0 điểm) Câu 21: ( 2điểm ) Ta có: y  x   2x  3 10 x (7x  3) 5  ln y  ln x   ln  2x  3  ln x  ln(7x  3)10 (0,5 điểm) 1  ln y  ln(x  1)  5ln  2x  3  ln x  10 ln(7x  3)  y 10 70     y 3(x  1) 2x  2x 7x  3  y  (0,5 điểm) (0,5 điểm) x   2x    10 70   3(x  1)  2x   2x  7x   10 x (7x  3)   (0,5 điểm) Câu 22: ( 2điểm ) Ta có: y  x x  ln y  x.lnx (0,5 điểm) y  lnx +1 y (0,5 điểm)  y  = y  lnx +1 (0,5 điểm)   y  = x x  lnx +1 (0,5 điểm) Câu 23: ( 2điểm ) Ta có: y   y   y  arctan2x  arctan2x   1  9x  3x  1 2x    arctan2x  4x  9x 1  4x arctan2x  (1,0 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm)  9x Câu 24: ( 2điểm ) Ta có: y  2lnx. ln x    ln 3x 1  ln 3x  (1,0 điểm)  y  2lnx 1   3x  x  ln 3x 3x (0,5 điểm)  y  2lnx  x 2x  ln 3x (0,5 điểm) Câu 25: ( 2điểm ) Ta có: y   1 sin x   sin x 1  arcsin2x       arcsin2x  y  3 sin x  y   y  2sin x  sin x   3sinx sin x 2cosx 3 sin x +  arcsin2x 1  4x (1,0 điểm)  2x  (0,5 điểm) 2sin x.cosx +  4x  arcsin2x 1  4x  arcsin2x (0,5 điểm) Câu 26: ( 2điểm )  1 x2 Ta có: y  4  1 x2  x  1 x2  y   y   y      3  1 x  1 x2    x    x  x 1 x2 (0,5 điểm)    (0,5 điểm) 1 4x  x   x  1  x  4   1 x2 1 x  (0,5 điểm) x 2 1 x 1 x2   1 x  x 1 x4 (0,5 điểm) CHƯƠNG III ĐẠO HÀM – VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Câu 27: ( điểm ) Rõ ràng t  x  y   ( x, y )  (0, 0) 1/ ( điểm ) sin( x  y ) sin t   ( x, y )  (0, 0) x2  y t Do Vì lim ( x , y )  (0,0) f ( x, y)  2/ ( điểm ) ( 0,5 đ ) sin( x  y ) 1  11  ( x , y )  (0,0) x2  y ( 0,5 đ ) lim f liên tục (0,0)  lim f ( x, y)  f (0, 0)  m2016  2m1008    ( m1008  1)  ( 0,5 đ )  m1008  ( x , y )  (0,0) ( 0,5 đ )  m   m  1 Câu 28: ( điểm ) 1/ ( điểm ) Do lim ( x , y )  (0,0) Rõ ràng t  x  y   ( x, y )  (0, 0) e x2  y2 t 1  x2  y2 1  lim t 0 e2 1 (1  t )  t  lim 2t  t 0 t ( 0,5 đ ) 2 ( ( x, y )  (0, 0) nên t  0: e   2t , (1  t )   nên lim ( x , y ) (0,0) f ( x, y )  e lim ( x , y ) (0,0) x2  y 2 1  x  y 1 1 t ) ( 0,5 đ ) 2/ ( điểm ) f liên tục (0,0)  lim ( x , y )  (0,0) f ( x, y)  f (0, 0)  m4  2m    m3 ( m  2)   m   m  ( 0,5 đ ) ( 0,5 đ ) Câu 29: ( điểm ) 1/ ( điểm ) Rõ ràng t  x  y   ( x, y )  (0, 0) 10  1 x ln x   x2  C  (0,5) y (0)  nên  ln1  C  C  Vậy y  1 x ln x   x (0,5) Câu 100: (2điểm) Phương trình cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 1  x2 Với p ( x)  x (1  x ) q ( x)    x2 Suy nghiệm tổng quát phương trình cho 2 1x x   x (1  x2 ) dx   x (1  x ) dx    (0,5) y  e e dx  C   x  1  x2 2x  x Ta có  dx     dx  ln x  ln  x  ln 2  x (1  x )  x2  x 1 x   (0,5)   ln x  1 x  y  e e dx  C    x      1 x   2x  dx  C   2 x  (1  x )   ln  x 1 x2    x2   x2   C   C     x   x2 x   x    x2  Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: y   C  x  x  58 (0,5) Câu 101: (2điểm) y //  y /  y  3e x  x (1) + Giải phương trình nhất: y / /  6y /  5y  (2) Ta có phương trình đặc trưng: k  6k    k1   k  Do nghiệm tổng quát phương trình (2) : y  C1ex  C2 e5x + Tìm nghiệm riêng phương trình y / /  6y /  5y  3ex (0.5) (3) Vì f1 (x)  3e x nên nghiệm riêng phương trình (3) y1  A xex  y1/  A ex  A x ex  y1/ /  2A ex  A x e x Thay y1, y1/ , y1// vào (3) rút gọn ta được:  4A   A    y1   x e x (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y / /  6y /  5y  5x2 Vì f2 (x)  5x nên nghiệm riêng phương trình (4) (4) y2  Ax2  Bx  C  y 2/  2Ax  B  y 2/ /  2A Thay y2 , y 2/ , y2// vào (4) rút gọn ta được: 5Ax2   12A  5B  x   2A  6B  5C   5x   5A   12A  5B   2A  6B  5C     A    B     C  12 62 25 12 62  y2  x2  x  25 (0.5) Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: 12 62 y  y  y1  y2  C1e x  C2 e5x  x ex  x2  x  25 Câu 102: (2điểm) y //  y /  y  xe x  sin x (1) + Giải phương trình nhất: y //  3y /  2y  59 (2) (0.5) Ta có phương trình đặc trưng: k  3k    k   k  Do nghiệm tổng quát phương trình (2): y  C1 e x  C2 e2x ,  C 1, C  (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y //  3y /  2y  4x ex (3) Vì f1 (x)  4xex nên nghiệm riêng phương trình (3) :   y  x (Ax  B) ex  Ax  Bx e x    Ax   y 1/  Ax2  2Ax  Bx  B ex  y 1//   4Ax  Bx  2A  2B ex Thay y1 , y1/ , y1// vào (3) rút gọn ta được:    2A 2Ax  (2A  B)  4x    2A  B   A     B     y1  2 x2  4x ex (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y //  3y /  2y  sin x (4) Vì f2 (x)  s inx nên nghiệm riêng phương trình (4) y  A cosx  Bsin x  y 1/   A sin x  Bcos x  y 1//   A cosx  Bsin x / // Thay y2 , y2 , y2 vào (4) rút gọn ta được: (A  3B) cos x  (3A  B)sin x  sin x  A   A  3B      3A  B   B   y2  10 10 cosx + s inx 10 10 (0.5) Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: y  y  y  y  C1 e x  C2e2x  (2x  4x)ex  cos x  sin x,  C 1,C  10 10 (0.5) Câu 103: (2điểm) y //  y /  y  xe  x  x (1) + Giải phương trình nhất: y //  y /  y  (2) Ta có phương trình đặc trưng: k  6k    k1  k  Do nghiệm tổng quát phương trình (2) : y   C1  xC2  e3x (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y //  6y /  9y  xe  x (3) Vì f1 (x)  xe x nên nghiệm riêng phương trình (3) y1   Ax + Be x 60  y1/   y1//   A  Ax - B e x  Ax  2A  B  e x Thay y1, y1/ , y1// vào (3) rút gọn ta được: 16Ax  8A  16B  x  A  16A   16    16B  8A   B   32  x  x  y1    e  16 32  + Tìm nghiệm riêng phương trình y //  6y /  9y   9x2 (0.5) (4) Vì f2 (x)   9x nên nghiệm riêng phương trình (4) y2  Ax  Bx  C  y 2/  2Ax  B  y 2/ /  2A Thay y2 , y 2/ , y2// vào (4) rút gọn ta được: 9Ax2   12A  9B  x   2A  6B  9C    9x  9  9A    12A  9B   2A  6B  9C    y2   x     A  1   B      C   x  3 (0.5) Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là:  x  y  y  y1  y   C1  xC2  e3x   x   e  x  x  , C1 ,C2   (0.5) 32  3  16 Câu 104: (2điểm) y //  y /  y  2e2 x  20sin x // (1) / + Giải phương trình nhất: y  4y  8y  (2) Ta có phương trình đặc trưng: k  4k    k1   2i  k   2i Do nghiệm tổng quát (2): y   C cos 2x  C sin 2x  e2x ,  C 1,C  (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y //  4y /  8y  2e2x (3) Vì f1 (x)  2e2x nên nghiệm riêng phương trình (3) : y  Ae2 x  y 1/  2A e2 x  y 1//  4A e2 x 61 Thay y1 , y1/ , y1// vào (3) rút gọn ta được: 4A   A  2x e  y1  (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y //  4y /  8y  20sin 2x (4) Vì f2 (x)  20 s in2x nên nghiệm riêng phương trình (4) : y  A cos 2x  Bsin 2x  y 2/   2A sin 2x  2Bcos 2x  y 2//   4A cos 2x  4Bsin 2x Thay y2 , y2/ , y2// vào (4) rút gọn ta được:  4A  8B  cos2x  (8A  4B)sin 2x  20sin 2x  A  2B  2A  4B  A     2A  B  2A  B  B   y  cos2x  sin 2x (0.5) Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho: y  y  y  y  e2x C cos2x  C sin 2x  e2x  cos2x  sin2x,  C 1,C  -(0.5)   Câu 105: (2điểm) x y  y  y   2  et  3 dt  2e x  x  // /  y"  y '  y  2e x  x  (1) + Giải phương trình nhất: y //  y /  6y  (2) Ta có phương trình đặc trưng: k  5k    k1   k  Do nghiệm tổng quát (2): y  C1e2x  C2e3x , C1,C2   // / + Tìm nghiệm riêng phương trình y  5y  6y  e x (0.5) (3) Vì f1(x)  2ex nên nghiệm riêng phương trình (3) : y  Ae x  y 1/  A e x  y 1//  A e x Thay y1 , y1/ , y1// vào (3) rút gọn ta được: 2A   A   y1  ex (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y / /  5y /  6y  6x  (4) Vì f2 (x)  6x  nên nghiệm riêng phương trình (4) : y  A x  B  y 2/  A  y 2//  62 Thay y2 , y2/ , y2// vào (4) rút gọn ta được: 6Ax  ( 5A  6B)  6x    6A A     B   5A  6B   (0.5)  y2  x Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: y  y  y1  y2  C1e2x  C2e3x  e x  x, C1, C2   (0.5) Câu 106: (2điểm) y //  y /  y  e x  xe x (1) // / + Giải phương trình nhất: y  y  y  (2) Ta có phương trình đặc trưng: k  3k    k   k   Do nghiệm tổng quát phương trình (2) : y  C e  x  C e  4x ,  C ,C  - (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y //  3y /  4y  e 4x (3) Vì f1 (x)  e 4x nên nghiệm riêng phương trình (3) y  Ax e  x  y 1/    4Ax  A  e  x  y 1//  16Ax  8A  e x Thay y1, y1/ , y1// vào (3) rút gọn ta được:  5A   A    y1   5 x e x + Tìm nghiệm riêng phương trình y //  3y /  4y  xe x (0.5) (4) Vì f2 (x)  xe x nên nghiệm riêng phương trình (4) y  (Ax  B)e  x  y 2/   Ax  A  B  e  x  y 2//   Ax  A  B  e x Thay y2 , y2/ , y2// vào (4) rút gọn ta được:  6Ax  (A  6B)  x  A    1   6A     A  6B  B    36  x   y2   x  e 36   Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: 1  x 1 y  y  y  y  C 1e x  C e 4x  x e x   x   e ,  C 1,C   36  6 63 (0.5) (0.5) Câu 107: (2điểm) y //  y /  y  x cos x  x  x  x  // (1) / + Giải phương trình nhất: y  y  y  (2) Ta có phương trình đặc trưng: k  3k    k   k  Do nghiệm tổng quát phương trình (2) : y  C e x  C e2x ,  C ,C  (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y //  3y /  2y  x cos x Vì f1(x)  x cos x nên nghiệm riêng phương trình (3) là: y   Ax  B cosx +  Cx  D  s inx (3)  y 1/   A  Cx  D  cosx +   Ax  B  C  s inx  y 1//    Ax  B  2C  cosx +  2A  Cx  D  s inx Thay y1 , y1/ , y1// vào (3) rút gọn ta được:  Ax  3Cx  3A  B  2C  3D  cosx +  3Ax  Cx  2A  3B  3C  D  sinx = x cos x  A  10  A  3C  B    3A  B  2C  3D    25     3A  C  C    2A  3B  3C  D   10   17 D   50   x  -3x 17  (0.5)  y1      cosx +   s inx 50   10 25   10 + Tìm nghiệm riêng phương trình y //  3y /  2y  2x3  x2  6x  (4) Vì f2 (x)  2x3  x2  6x  nên nghiệm riêng phương trình (4) : y  Ax3  Bx2  Cx  D  y 2/  3Ax2  2Bx  C  y 2//  6Ax  2B Thay y2 , y 2/ , y2// vào (4) rút gọn ta được: 2Ax3  9Ax  2Bx  6Ax  6Bx  2Cx  2B  3C  2D  2x3  x2  6x   2A A    9A  2B  B        6A  6B  2C  C  15 2B  3C  2D   D  18 64 (0.5)  y  x3  5x2  15x  18 Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là:   x  -3x 17  y  y  y  y  C ex  C e2x      cosx +   s inx 50   10 25   10  x  5x  15x  18,  C ,C  (0.5) Câu 108: (2 điểm) y //  y /  y  x 2e x  10sin x // (1) / + Giải phương trình nhất: y  5y  4y  (2) Ta có phương trình đặc trưng: k  5k    k1   k  Do nghiệm tổng quát (2): y  C1ex  C2 e4x ,  C ,C  (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y //  5y /  4y  4x2 e2x (3) Vì f1 (x)  4x2e2x nên nghiệm riêng phương trình (3) :   y  Ax2  Bx  C e2 x  y 1/   2Ax  (2A  2B)x  B  2C  e2 x  y 1//   4Ax2  4(2A  B)x  2A  4B  4C  e2 x Thay y1 , y1/ , y1// vào (3) rút gọn ta được: 2 Ax  Ax  Bx  A  B  2 A     2 A  B    A  B  2C    y1   2x  2C  x A    B  C      2x  e2x (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y //  5y /  4y  10sin 2x (4) Vì f2 (x)  10 s in2x nên nghiệm riêng phương trình (4) : y  A cos 2x  Bsin 2x  y 2/  2Bcos 2x  2A sin 2x  y 2//   4A cos 2x  4Bsin 2x Thay y2 , y2/ , y2// vào (4) rút gọn ta được: 10Bcos2x  10A sin 2x  10sin 2x 10A  10 A       10B  B   y  cos2x (0.5) Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: y  y  y  y  C1ex  C2 e4x  2x  2x  e2x  cos2x,  C 1,C  (0.5)   65 Câu 109: (2điểm) y //  y /  y  4e x  x  x  x // (1) / + Giải phương trình nhất: y  y  y  (2) Ta có phương trình đặc trưng: k  2k    k1   2i  k 1  2i Do nghiệm tổng quát phương trình (2) : y  ex  C1 cos2x  C2 sin 2x  C1,C2   (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y //  2y /  5y  4e x (3) Vì f1(x)  4ex nên nghiệm riêng phương trình (3) là: y  Aex  y 1/  Ae x  y 1//  Ae x Thay y1 , y1/ , y1// vào (3) rút gọn ta được: A   A   y  ex (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y //  2y /  5y  5x3  x2  6x (4) Vì f2 (x)  5x3  6x2  6x nên nghiệm riêng phương trình (4) : y  Ax3  Bx2  Cx  D  y 2/  3Ax2  2Bx  C  y 2//  6Ax  2B Thay y2 , y2/ , y2// vào (4) rút gọn ta được:  5Ax3   6A  5B x2   6A  4B  5C  x   2B  2C  5D   5x3  6x  6x  5A   6A  5B     6A  4B  5C  2B  2C  5D   6    A B   C  D 1   0  y  x3 (0.5) Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: y  y  y  y  e x  C1 cos2x  C2 sin 2x   ex  x3 ,  C1,C2  (0.5) Câu 110: (2điểm) y //  y /  y  5e2 x  3x  x  (1) + Giải phương trình nhất: y //  y /  y  (2) Ta có phương trình đặc trưng: k  4k    k1   k  x 3x (0.5) Do nghiệm tổng quát phương trình (2): y  C1e  C2 e , C1,C2   - (0.25) + Tìm nghiệm riêng phương trình y //  2y /  5y  5e 2x Vì f1 (x)  5e2x nên nghiệm riêng phương trình (3) là: 66 (3) y1  Ae 2 x  y1   Ae 2 x  y1  Ae 2 x Thay y1 , y1/ , y1// vào (3) rút gọn ta được: 15 A   A   y1  e 2 x (0.5) + Tìm nghiệm riêng phương trình y  y  y  3x  x  (4) Vì f ( x)  3x  x  nên nghiệm riêng phương trình (4) : y2  A x  Bx  C  y2  Ax  B  y2  A Thay y2 , y 2/ , y2// vào (4) rút gọn ta được: 3Ax  (3 B  A) x  A  B 3 A    3B  A    A  B  3C    3C  x  x  A   B  C    y2  x  x  (0.5) Vậy nghiệm phương trình cho là: y  y  y  y  C1ex  C2 e3x   2x e  x  3x  67 (0.25) CHƯƠNG VI LÝ THUYẾT CHUỖI Câu 111: (1điểm) 3n n!  n  ta có u n  n  n un  3n 1 ( n  1)! nn  lim  lim n   u n   ( n  1) n  3n.n! n (0.25) n n  n     lim   lim     n   n   n  1  n  1   n n1 n      lim 1    n   n  1    1 e (0.5) Theo dấu hiệu D’Alembert chuỗi số cho phân kỳ (0.25) Câu 112: (1điểm) n2  n   n  ta có u n     n    (0.25) n n   n     lim n un  lim   lim   lim 1      n   n   n  n   n   n    n  1     lim n1    n n 1 n   n  n  1     1 e e (0,5) Theo dấu hiệu Cauchy chuỗi cho hội tụ (0,25) Câu 113: (1điểm)  n  1  n  ta có u n     n  1  n  1 lim n un  lim   n   n   n    n ( n  1) n 1  (0,25)  n 1   lim    1 n   n 1   68 n 1     lim    n    n  1   n 1     ( n  1) n 1 lim  n     e 2( n  1) n 1   e2 Theo dấu hiệu Cauchy chuỗi cho hội tụ (0,5) (0,25) Câu 114: (1điểm)  n  1  n  ta có u n     n  1 n ( n  1)   lim n un  lim 1   n   n   n  1   n 1 (0,25)    lim 1   n   n  1  n 1 2  e2  (0,5) Theo dấu hiệu Cauchy chuỗi cho phân kỳ (0,25) Câu 115: (1điểm) (2n)  nn  (2 n)(2n  2)  nn  lim  n  n   (n  1) (2n )    n  ta có u n  lim n   un 1 un (0,25) n n  n  2(n  1) n  lim   n  n   ( n  1) n   n     lim  1 e n n1 n 1     lim 1    n   n  1    (0,5) Theo dấu hiệu D’Alembert chuỗi cho hội tụ 69 (0,25) Câu 116: (1điểm)  n   n  ta có u n     n  1 n2  (0,25) n n n n  2( n  1)        n 1 n lim un  lim  1    nlim 1    nlim   n   n   n      n  1 n  1       1  2     1 e e (0,5) Theo dấu hiệu Cauchy chuỗi cho hội tụ (0,25) Câu 117: (1điểm) n3  n  ta có u n  n  e 3 un  ( n  1) e n  n  1 lim  lim  lim   n   u n   n   e en 1 n3  n  n (0,25) 1   lim 1    1 e n    n e (0,5) Theo dấu hiệu D’Alembert chuỗi cho hội tụ (0,25) Câu 118: (1điểm)  n  ta có u n  n tan lim n   un 1  2n  ( n  1) tan 0 (0,25)  n 2  lim n   n    un n tan n  n 1  lim  1 n   n  lim ( n  1) n n   lim ( n  1).2 n    n.2 n.4 n n 1 Theo dấu hiệu D’Alembert chuỗi cho hội tụ 70  (0,5) (0,25) Câu 119: (1điểm) 3n  (ln n) n lim n un  lim  1 n   n   ln n  n  ta có u n  (0,25) (0,5) Theo dấu hiệu Cauchy chuỗi cho hội tụ (0,25) Câu 120: (1điểm) 4n ( n!)  (1) (2n)! 4n1[( n  1)!]2 (2n)! 2n   lim n  lim 1 n   n   2n  (2n  2)! [n!]  n  ta có u n  lim n   un  un Nhưng un 1 un  2n   1, n  Suy {u n} tăng 2n  (2) (0,25) (0,5) Từ (1),(2) : lim un  n  Vậy chuỗi cho phân kỳ (0,25) 71 72 [...]... 47: ( 2 điểm ) Giả sử tồn tại f ( x, y ) thỏa yêu cầu bài toán (ycbt) ta có: Từ f  x 4  f ( x, y )  x 4 y  C ( x)  f x''2  12 yx 2  C '' ( x) (1) ( 0,5 đ ) y Nhưng f x''  12 x 2 y (2) Từ (1),(2) : C '' ( x)  0  C ( x)  ax  b (a, b   ) ( 0,5 đ ) 2 Khi đó a, b thỏa f (0, 0)  1, f (1,1)  2 với f ( x, y)  x 4 y  ax  b Nên b =1 và a = 0 ( 0,5 đ ) Vậy f ( x, y)  yx 4  1  Thử lại : Rõ... tại f ( x, y ) thỏa yêu cầu bài toán (ycbt) ta có: Từ f  10 xy 2  y 3  f ( x, y )  5 x 2 y 2  y 3 x  C ( y )  f y''2  10 x 2  6 yx  C '' ( y ) (1) ( 0,5 đ ) x Nhưng f y''  10 x 2  6 yx (2) Từ (1),(2) : C '' ( y)  0  C ( y )  ay  b (a, b   ) ( 0,5 đ ) 2 Khi đó a, b thỏa f (0, 0)  1, f (1,1)  7 với f ( x, y)  5 x 2 y 2  y 3 x  ay  b Nên b =1 và a = 0 ( 0,5 đ ) Vậy f ( x, y)... (1, 2)  dx 2  dy 2  0 ( vì L"x (1, 2)  1, L"xy (1, 2)  0, L"y (1, 2)  1 và dx 2  dy 2  0 ) 2 2 25 ( 0,5 đ ) Tại (-1,-2) : dL2 (1, 2)  dx 2  dy 2  0 ( vì L"x (1, 2)  1, L"xy (1, 2)  0, L"y (1, 2)  1 và dx 2  dy 2  0 ) ( 0,5 đ ) 2 2 Vậy f đạt cực tiểu có điều kiện tại (-1,-2) với f (1, 2)  5 và đạt cực đại có điều kiện tại (1,2) với f (1, 2)  5 ( 0,5 đ ) Câu 60 : (2 điểm)... ( 45 , 53 )  5, L"xy ( 54 , 53 )  0, L"y ( 54 , 53 )  5 và dx 2  dy 2  0 ) ( 0,5 đ ) 2 2 Tại ( 45 ,  53 ) : dL2 ( 45 ,  53 )  5(dx 2  dy 2 )  0 ( vì L"x ( 54 ,  53 )  5, L"xy ( 54 ,  53 )  0, L"y ( 54 ,  53 )  5 và dx 2  dy 2  0 ) ( 0,5 đ ) 2 2 Vậy f đạt cực tiểu có điều kiện tại ( 45 , 53 ) với f ( 45 , 53 )  1 và đạt cực đại có điều kiện tại ( 45 ,  53 ) với f ( 45 ,... kiện tại (5,5) và f (5,5)  50 ( 0,5 đ ) Câu 58 : (2 điểm) Hàm Lagrange L: L( x, y )  xy   ( x, y )  xy   ( x  y  10)  L'x  0 y    0 x  5  '   Tọa độ điểm dừng thỏa hệ :  Ly  0  x    0   y  5 ( 0,5 đ x2 )   x  y  10  0    5    ( x, y)  0 Tại (5,5) : dL2 (5, 5)  2 dxdy  2dx 2  0 ( vì L"x  0, L"xy  1, L"y  0 ; d (5,5)  0  dx  dy và dx 2  dy 2 ... y ) (0,0) f ( x, y )  f (0, 0) m  0  m 1 ( 0,5 đ ) g (m ) ( vì g(0) = g(1) = 0 và pt g(m) = 0 có tối đa 2 nghiệm phân biệt (do g”(m)= 3m ln 2 3  0 trên  nên đồ thị hàm g lõm trên  ) ) ( 0,5 đ ) Câu 35: ( 2 điểm ) 1/ ( 1 điểm ) Rõ ràng 0  ( x 2  y 2 ) cos( 1 )  x 2  y 2 với mọi ( x, y)  (0, 0) x  y2 2 và lim ( x , y ) (0,0) x2  y 2  0 ( 0,5 đ ) Áp dụng nguyên lý kẹp ta có: lim ( x... lại : Rõ ràng f ( x, y)  5 x 2 y 2  y 3 x  1 thỏa ycbt  Vậy f ( x, y ) cần tìm định bởi : f ( x, y)  5 x 2 y 2  y 3 x  1 ( 0,5 đ ) Câu 51: ( 2điểm ) Giả sử tồn tại f ( x, y ) thỏa yêu cầu bài toán (ycbt) ta có: Từ f  2 xy  8 x3  f ( x, y)  x 2 y  2 x 4  C ( y )  f y''2  C '' ( y ) (1) x Nhưng f y''  0 (2) Từ (1),(2) : C '' ( y)  0  C ( y )  ay  b (a, b   ) 2 ( 0,5 đ ) ( 0,5... ràng hàm f liên tục trên tập compact D nên tồn tại Max f ( x, y) , Min f ( x, y ) D D So sánh các giá trị ở (1), (2) ta có: Max f ( x, y )  4 tại (2, 0) D Min f ( x, y)  4 tại (0, 2) ( 0,5 đ ) D Câu 65 : ( 2 điểm ) f có tập xác định D : {( x, y )  R 2 |1  x 2  y 2  4} ( 0,5 đ ) Áp dụng bđt Bunyakovsky và bđt cổ điển : ( x, y)  D, 4  x 2  y 2  x 2  y 2  1  (12  12 )(4  x 2  y 2 ... sin m  0  m  k  sin m  0  sin m  1   (k , l   )  m    2l  2 ( 0,5 đ ) Câu 36: ( 2 điểm ) 1/ ( 1 điểm ) Rõ ràng 0  ( x 2  y 2 )sin( 1 )  x 2  y 2 với mọi ( x, y )  (0, 0) 2 x y 2 và lim ( x , y )  (0,0) x2  y 2  0 ( 0,5 đ ) Áp dụng nguyên lý kẹp ta có: lim ( x , y )  (0,0) Vì vậy lim ( x , y ) (0,0) f ( x, y )  ( x 2  y 2 ) sin( 1 ) 0 x  y2 2 lim ( x 2  y 2 ) sin( (... 2m1 1  2m  1  2m  (2m  1)  2m  2m 1  | 2m | ( 0,5 đ )  ( 2m  1 ) 2m  0  2 m  1 ( vì 2 m  0 )  m0 ( 0,5 đ ) Câu 33: ( 2 điểm ) 13 1/ ( 1 điểm ) Rõ ràng 0  (| x |  | y |) arctan( và lim ( x , y ) (0,0) 1  )  (| x |  | y |) với mọi ( x, y )  (0, 0) |x|| y| 2 | x |  | y | 0 ( 0,5 đ ) Áp dụng nguyên lý kẹp ta có: lim ( x , y ) (0,0) Vì vậy lim ( x , y ) (0,0) f ( x, y