Bài tập toán lớp 9 học kỳ 2 trường THCS trần quang khải

Trang 1

ANH A >t

Trường THCS Trần Quang Khai

Trang 3

Truong THCS Tran Quang Khai

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHÁT HAI ÂN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẬT HAI AN

ậ1 PHUONG TRINH BAC NHAT HAI AN

1 Ly thuyet:

a) Dinh nghia: Phuong trinh bac nhất hai ân là phương trình có dạng ax + by =c trong đó a, b, c là các hệ số đã biết; a, b không đồng thời băng 0; x, y là ân số

b) Nghiệm phương trình: nghiệm của phương trình bậc nhất hai ân là các cặp giá trị x, y khi

thể vào phương trình ta được đăng thức đúng

Chú ý: phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm Tập nghiệm của phương trình là đường

thăng đi qua 2 điểm

2 Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên hệ trục tọa độ:

Trường hợp 1: a #ặ 0; b # 0 Vắ dụ 1: Cho phương trình 2x + y =3 a) Giải phương trình trên

b) Biểu diễn tập hợp nghiệm của phương trình

Giải:

a) 2x+y=3ềẹẹy=3-2*x

xekR

Nghiệm tông quát:

y=3-2x

b) Biểu diễn tập hợp nghiệm của phương trình

Bảng giá trị : x 0 l y=3-2x 3 | Ổ | Trường hợp 2: a = 0; b# 0 Vắ dụ 2: Cho phương trình 0xỞ 3y = 6

-a) Giải phương trình trên By mon mene

b) Biểu diễn tập hợp nghiệm của phương trình | 1 |

Giải: Ở '

ẹ ' ' +_}>

a) Ox-3y=6@ y=-2

xeR ve

Nghiệm tông quát: | | 2 | 2

_ {yar " l

ee eer Ở~ỞỞỞ~- ỞỞỞỞỞ*

Cee er ee eee = Ổes

_ỞỞ be 9 : up su, SỬ ` 8

Trang 4

Trường THCS Trần Quang Khải

Trường hợp 3: a # 0;b=0

ặ 4

Vắ dụ 3: Cho phương trình x+0y =4 ` VY `Ợ 7T

4a) Giải phương trinh trên

b) Biêu diễn tập hợp nghiệm của phương trình

x=4

Giải: ộ |

a) x+O0vy=4Qx=4 ' {

|

Nghiệm tổng quát x+0y=4e |2 Sổ _ Ộn4

= :

Bài I Giải các phương trình sau, Viết công thức nghiệm tông quát, biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phăng tọa độ

a)x+Sy=3 b) 2x-y=3 c) 2x+3y=5

Trang 5

Trường THCS Tran Quang Khải

ậ2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHÁT HAI AN

1 Định nghĩa: hai phương trình bậc nhất ax+ by =c và a'x+b'y=Ạc lập thành một hệ phương ax+by=c

trinh bac nhat hai ân Viết a'x+b'y=c

Nghiệm chung của hai phương trình được gọi là nghiệm của hệ phương trình

Chú ý: Một hệ phương trình bậc nhất hai ấn có thê có một cặp nghiệm duy nhất, vô nghiệm hay vô

A oA

so nghiém

2 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

, ae La ` 2x-y=3

Vắ dụ 1: Giải hệ phương trình x+2y=4

qua We 2c \- SOF lef vine

ể_ [ J {thse seas | | seaness abe AC An AM) Yann " t Tớ te

A be Dann A Mani fend Aarne DX AD

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (2 ; 1)

Ặ ae _, jaxty=3

Vắ dụ 2: Giải hệ phương trình 6x+3y=5

Giai - HH:

Ở-.-. lO dell nance danansinttanM bmn

"` (Fld TT nh n1 111 1941221511711 111 171117110171 0010 f

_Ở- 0% 1 de entre cổ ộ 4 lOM A RM ieee Dosen ⁄ \

Ộ .,'ÔÔ, A : ể sense DU n6 0.0 ni n 9.00 99 00 09800989 6005.0.9 9001 80.48105.6108010 0809148199 01080 1.11090081909409 14 804948994 918 0990400408404983193333 7 ng ng 0.08 00.0 9.0 09989 6105.009 9.9480 01096104.19/00.0114.019 0000.8001100 014 1981048988418 0990906 00980280350333813387 D05 00 g 06 6.08 19 6.969.610.190 0 00.0008.0109 1980738199 0 0104.19819 00419404 0494 09/01/09 99080890389430233833388 ồ Do ng 0 09.6 0.9.1.9 19.0.98 i0 9 0080910800001 4.81998199091090 18/204919 11091191818 819999 78000020790399003333033817

Trang 6

Trường THCS Trần Quang Khải Vắ dụ 3: Giải hệ phương trình lạ ; ng Giải "_Ở oe ant mmm ỘGB Seo ee 1 1011 1EEeeeeee

Vậy hệ phương trình có vơ số nghiệm

xeR

Nghiệm tông quát:

y=3-2x

Bai 2 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

3xỞ y=5 2 3x+Sy=-12 3) x-2y=4

Sx+2y=12 2x+y=-8 2x+3y=-Ì

Ạ x-2y=-4 ; dx+y=5 Ởx+2y=-4(xỞ])

2x+4y=4 4x+3y=15 Sx+3y=-(x+ y)+8

_ Bài3 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thé:

Am hp mg ` (ý2-1]x-y=v2

x + yv3 =J2 xv2+y=1-Vi0 x+(V2+1)y=1

3 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng:

ể pp j2xty=3

Vi du 1: Giải hệ phương trình

x-y=6

Trang 7

tần ĐA ` 2x+y=3

Vắ dụ 2: Giải hệ phương trình j6x+3y=5

Gial

_ Âm ki eeeeeererrrree \\s< Toll enamel rine

ỔoA ể Can "" CoH Dae

CÓ n1 08 1k6 5.03 1 604.1 0101101074020828241.110084011801922200000000000200799218210208003333311ỷ27

DU ng 1 41K 95.25 1 tt 09118008 10/074090011.418180008171110190270000007000970100210122301202333131

07 DU no ng ng 130 0 E9 8.3.2.2 8.1 ki 089 0001810 tr 00 000100100010908111eEE7E127720090122312322353272722220)

Vậy hệ phương trình vơ nghiệm Bài tập:

Bài 4 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng

h 2x+y=4 | 2 2x+3y=12 3 2x+3y=-Ì

x-y=-l x+3y=9 2x-4y=-8

2xỞ-3y=! 2x+3y=4 2x+y=0

Nàng gy (28+ 3Y 6217

4x-6y=2 5x+7y=~-Ở9 3x+y-1=0

7 2x_-4y=3 8) 4x+3y=-6 9 2x+5=-(x+y)

Ở-x+2y=l 2x-y=2 6x+3y=y-10

Bài 5 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng

one yet yee THÉP

2x + yv2 =- x46 -yAJ2 =2 1,5x-2y =1,5

Bài 6 Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị ( đ) của nó đi qua hai điểm: a) A(1;0) va B(0;1) b) A(0;6) va B(-2;0)

c) A(-1;1) va B(4;1) d) A(-3;4) va B(2;-1)

Bài 7 Xác định ham SỐ y= ax + b biết rằng đô thị của nó đi qua điểm A( 2; l) và cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bang 1

Bài 8 Trên mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A( - 2; 3), B (0; 2) ; C (2:1) a) Chứng minh 3 điểm A, B, C thăng hàng

b)_ Viết phương trình thắng qua D(2; - 1) va song song voi đường thăng AB Bài 9 Trên mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A( - 3; -1), B (-1; 1); C(2;4)

a) Chimg minh 3 diém A, B, C thang hang

b) Viết phương trình thang qua D(3; 3) va song song với đường thắng AB Bài 10.Chứng minh các đường thăng sau đông quy: |

(D,): y= Ở4x+7;(D,): y =x-3;(D;): =3x-7;

Trang 8

- Bài 11.Tìm tọa độ giao điểm của các đường thăng sau:

a) (D):3x-2y =11 va (D): 5x+3y=31 b) (D):4x-7y=1 va (D): 3x+9y-15=0

Bài 12.Trén mat phẳng tọa độ cho ba điểm A(2;5),B(-1;-1); C(4;9) 1) Cm 3 diém A, B, C thang hang

2) Cm đường thăng AB và các đường thắng (D): y=3 và (D: y= -(~ 7) đồng quy

Bài 13 Giải các hệ phương trình sau:

DỊ, , 2) 4, ; Ở+Ở=8 Ở-Ở=Ì x7 4X | Ở3 5 _ 5 | 3 6 tệp: Ở =2 Tiện =0

ZỞy 2x+y 2x-y x+y

( | t=? x+y+ =3 ) ' 6): ad -~ỞỞ =] 3x+3y- =4 [x-2 y-l L xỞy : ( 74Ộ y+ g j1! y+ 73 3x? S-

Ở-I y+2 x+l y+4

Bài 14 Giải các hệ phương trình sau (

ot ? yy? 4 13

ai * y- py *tY X-y c) xỘ+V

2 23, 5 4, 2xỖ -y? =-7

x-2 x-y XẨ+Y xX-y

ae +y? =5 2 Ộre 3x of ay =5

Trang 9

ậ3 GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1 Cách giải:

B1: Chọn ân nêu rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ân

B2: Lập biểu thức liên hệ giữa các đại lượng đã biết và ân

B3: Lập hệ phương trình

B4: Giải hệ phương trình vừa tìm được

B5: Chọn nghiệm phù hợp với điều kiện ở bI và trả lời

Vắ dụ 1 : Cho một số có hai chữ số Nếu đôi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã

cho là 63: Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99 Tìm số đã cho

Giải

Gọi số cân tìm là : (ĐK : : D900 i0 cọ 10800 3650 k8 0008908960089 019800004 ) Số mới là TH HV HH n9 104

Theo đề bài ta có hệ phương trình :

Vậy số ban đầu cân tìm là : 18

Bài 15.Tìm số tự nhiên có 2 chữ SỐ, biết rằng 2 lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục Ì đơn vị và nếu 2 chữ số ấy viết theo chiêu ngược lại thì được Ì số mới (có 2 chữ số ) be hơn số

cũ 27 đơn vị

Bài 16.Cho một số tự nhiên có 2 chữ số Nếu đổi chỗ 2 chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 36 tông của số đã cho và số mới tao thanh 1a 110 Tim số đã cho (3 ;7)

Bài 17.Tìm một số có 2 chữ số , biết rằng tổng các chữ số là 16, nếu đôi chỗ 2 chữ số cho nhau ta

được số mới nhỏ hơn số ban đầu I8 đơnv| (9; 7)

Bài 18 Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 340 m Ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là

20m Tắnh chiều dài và chiều rộng của sân trường ( 100 ; 70 )

Bài 19 Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 80 m, nếu tăng chiều dài thêm 3 m, tăng chiêu rộng : thêm 5 m thi diện tắch của mảnh đất tăng, thêm: 195 cm2' Fink chiều dai và chiều rộng ằ của a mãnh, "

đất (30 ; 10) | TS " " :

Trang 10

Vắ đự 2 : Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc I2 giờ trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35km⁄h thì sẽ

đến B chậm 2 giờ so với dự định Nếu xe chạy với van téc 50 km/h thi sẽ đến B sớm hơn | gid so

với dự định Tắnh độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ôtô tại A Giải

Gọi độ dài của quãng đường AB là x (km)

thời gian dự định đi từ A đến B là y (giờ)

ĐK :

Quãng đường (km) Van toc (km/h) Thời gian (giờ)

Dự định X - y

Di cham

Di nhanh |

Theo dé bai ta có hệ phương trình :

Vậy độ dài của quãng đường AB là 350km

Thời điểm xuất phát của ôtô là : =4 gio sáng

Bài 20 Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm cách nhau 130 km và gặp nhau sau 2 giờ

Tắnh vận tốc của mỗi xe biết xe đi từ B có vận tốc nhanh hơn xe đi từ A là 5km/h (35; 30) Bài 21.Một ôtô đi quãng đường AB với vận tốc 50 km/h, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc

45 km/h Biét tong chiêu dài quãng đường AB và BC là 165 kmvà thời gian ôtô đi quãng đường

AB ắt hơn thời gian ôtô đi quãng đường BC là 30 phút Tắnh thời gian ôtô đi trên quãng đường

AB và BC (1,5; 2)

Bài 22 Một chiếc xe tải đi từ TP.Hồ Chắ Minh đến Cần Thơ , quãng đường dài 189 km Sau khi xe

tải xuất phát 1 giờ Một chiếc xe khách bắt đầu đi từ TP.CằnThơ về TP.Hồ Chắ Minh và gặp xe

tải sau khi đã đi được | gid 48 phút Tắnh vận tốc của mỗi xe , biết rằng mỗi giờ xe khách đi

nhanh hơn xe tải 13 km (36 ; 49)

Trang 11

Bài 23.Hai người ở 2 địa điểm A và B cách nhau 3,6 km khởi hành cùng một lúc đi ngược chiêu nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km Nếu cả 2 cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên , nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì học sẽ gặp

nhau ở chắnh giữa quãng đường Tắnh vận tốc của mỗi xe (4,5 ; 3,6 )

Bài 24.Bác Tư đi xe đạp từ thị xã về làng , cô Ba cũng đi xe đạp nhưng từ làng lên thị xã Họ gặp nhau khi bác Tư đã đi được 1 giờ rưỡi , cịn cơ Ba đã đi được 2 giờ Một lần khác hai người

cũng đi từ hai địa điểm như thế nhưng họ khởi hành đồng thời ; sau 1 giờ I5 phút họ còn cách

nhau 10,5 km Tắnh vận tốc của mỗi người, biết rằng làng cách thị xã 38 km (12; 10 )

Vắ dụ 3 : Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong Mỗi ngày, phân- TẢ việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B Hỏi nêu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn

đường đó trong bao lâu ?

Gọi : x là số ngày để đội A làm một một mình hồn thành tồn bộ cơng việc y là số ngày để đội B làm một một mình hồn thành tồn bộ công việc

ĐK :

Công việc Năng suất Thời gian

Dd A | | X

Đội B | y

Cả hai đội |

Theo đề bài ta có hệ phương trình :

9 9 06 6 06 0/6 9 6 9.9 6.6 6:9 6.9.6.6 09.9 6 9 9.096 6/9 0019.096 4.90 08 0049.049.949 9 9/949 10 0 18.806 8/9.0/8/0/9/9 0/9919 09 4/9/9/9 909/9 8/9/9949 9 98.8 1/99 98.6/9/600/0006000/8090908000609080.008.0.09.5 no 0 6 06 6 9 0 0 9 6 6 909 999.0 6 6 8.609 66.000 6 9.9 0 9 009.9 0 6.608.009.900 8/9/69 09.9 0,4/9/9 8 5 l8 9/119 8 9.0/0)9.0/0/9 8.909 9/9919 019 8.909 9.8 09/99/96 0.90006996099909 860 0000.00.89 ể :: ẼẼ Do 9 9.06 0906 06 60 9 9 995.6 606 6 54 6 0.6.6 01919 9.0.9 0.9 90 609.9 00.0.0009 19805.009.488 9/9 9.9 8/9) 9 8/99 119/09/09 .6/9 809/9 9 8.8 1.8.9 9/99 8.8.9 9.8.0.9 60801.090889494043040610.0.9 DU no Đo 9 9 E6 6 6 05 6 2 9 0 9 9.90 6.0: 96.69 6.6 099.69 9.9 690.0 809 9498/9/96/0 9 09.8/0/8/9.8.000/9/9/99 0 9 19/9 99.9 9.8/609/99.90/9/9/98 9/9 18.8 8.0//9/9 4 9199 9/9 9669.9990096 4080 5000080156

Bài 25 Hai công nhân cùng sơn cửa cho một cơng trình trong 4 ngày thì xong việc Nếu người thứ

nhất làm một mình trong 9 ngày và người thứ hai đến làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc

Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc ' (12; 6) -

Trang 12

Bài 26 Hai người thợ cùng làm chung một công viêc trong 16 giờ thì xong Nếu người thứ nhất

làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hồn thành được 25% công việc Hỏi nếu làm

riêng thì mỗi người hồn thành cơng việc do trong bao lâu (24;48)

Bài 27 Hai vòi nước chảy vào một bề nước cạn (khơng có nước) thì sau 4 giờ đây bê Nếu lúc

đầu chỉ mở vòi thứ I và 9 gid sau mo thém voi thir II thi sau : giờ mới đây bê Hỏi nếu ngay

từ đầu chỉ mở vịi thứ II thì sau bao lâu mới đầy bể (8)

Bài 28 Nêu 2 vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn ( khơng có nước) thì bẻ sẽ đầy trong | gid 20 phút Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được Ế bê Hỏi nếu mở riêng từng vịi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu ( 120 ; 240 )

Bài 29.Trong phịng học có một số bàn ghế dài Nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh khơng có chỗ ngồi Nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa một ghế Hỏi lớp có bao nhiêu ghế và bao

nhiêu học sinh (10; 36)

Bài 30 Trong một phịng họp có một số ghế dài Nếu xếp mỗi ghế 5 người thì có 9 người khơng có chỗ ngơi , nếu xếp ghế 6 người thì thừa 1 ghế Hỏi phịng họp có bao nhiêu ghế và bao nhiêu

Trang 13

CHUONG IV: HAM SO y =axỖ(a#0)

PHƯƠNG TRINH BAC HAI MOT AN HAM SO y=ar (a#0)

Kiến thức cần nhớ

A Đồ thị của hàm số y = axỖ (a# 0) co hinh dang la mot Parabol và nhận Oy làm trục đối

xứng a>O a<0 y Ẩ + O < O ỘXx

Đô thị hướng lên Đồ thị hướng xuống

Ộ- a> 0: hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biễn khi x > 0

=_ a<(0: hàm số đông biến khi x < 0 và nghịch biên khi x > 0

B Các bước vẽ đồ thị hàm số y =axỢ (a # 0)

Bước 1 : Lập bảng giá tri (chon 5 gia tri x, rồi tắnh 5 giá trị y tương ứng)

Bước 2 : Vẽ đồ thị Ay -4 2 O 2 4 + t ah t ' NG : ! on TỊ TS N _ z hae 2 23 k Ì ; ! _ N

Vắ dụ: Vẽ do thi cua ham so y = Ộae | ie Xã N

; \

Bones \

Giai: Bang gia tri

X | - 4 - 2 0 2 4

Trang 14

Trường THCS Tran Quang Khai

Bài 1 Vẽ đỗ thị của các hàm số sau:

a)y =xỖ b)y=-x? c) y = 2xỖ d) y =- 2xỖ

2 2 2

| ly, 1

e ) y 5 =Ởx f) y = xX 2 8) y i =Ở1 h) y= _z

Bài 2 Cho hàm số y=ax? (a # 0)c6 dé thi (P)

a) Tim a biét dé thi (P) cua hàm số đi qua điểm ( - 4; 4 ) Vẽ (P) với a vừa tìm được b) Trong các điểm sau điểm nào thuộc đồ thị hàm (P): A(4; -4); B (A2; =)

Trang 15

Truong THCS Tran Quang Khải

PHUONG TRINH BAC HAI MOT AN

Phuong trinh bac hai : axỖ +bxt+c=0 (a#0) (Ạ9

Công thức nghiệm

Công thức nghiệm thu gọn

(Nếu b:2, đặt b'=2) A=bẼ -4ac * Nếu A <0 thì (*) vô nghiệm

* Nếu A =0 thì (*) có nghiệm kép: A'=bỢ-ac * Néu AỖ <0 thi (*) vô nghiệm

* Nếu A' =0 thì (*) có nghiệm kép:

_pb Ởb'

me x, Ta me X =ỞỞ

* Nếu A >0 thì (*) có 2 nghiệm phân biệt * Nếu A' >0 thì (*) có 2 nghiệm phân biệt

-b+⁄A -b-VA -b+VA' -b-VA'

x, = 2a , xX, = 2a xX, = a > X, = a

Bài 3 Giải trực tiếp các phương trình sau:

I)Ở3x? =0 2) -2x? +3x =0 3) x2 -9=0 4)Ởx?+10=0

5)x +9=0 6) Ởxồ +18=0 7)xỖ Ở5x =0 8) -xẼ+3x=0

9) 1 y?-9=0

2

Bài 4 Giải các phương trình sau:

l)x? Ở7x+12=0

4) 3x? +7x+2=0

7) Ở 4xỖ +2xỞ1 =0 4

Trang 16

Bài 6 Chứng tỏ các phương trình sau ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m ( x la an, m là tham

số)

1) xỖ -4x-mỖ =0 2) x? Ở3x+l-mỖ =0

3) 2xỖ +2(m-1)x-m=0 4) -2xỢ+3x+mỢỞ1=0

5) xồỞ(1+2m)x+2(m-1)=0 6) xỢ +(m+3)x+m+1=0

ậ2 HE THUC VIET VA UNG DUNG

I Dinh ly Vi-et

S=x, + X, =ỞỞ

Nếu xị, x; là hai nghiệm của phương trình axỢ + đxz+c =0 (a #0) thì

P=x,x,= ặ

a HI Các trường hợp đặc biệt của phương trình ỦỢ +ỏx +c =0 (a #0)

1 Nếu a+b+c =0 thì phương trình có 2 nghiệm x, = l;x; = ẹ

a

2 Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm Xị=-Ì;X; = =f a IH Định lý Vi-et đảo:

Nếu 2 số u và v có tổng + v= Ế và u.v = P thì u, v là nghiệm của phương trình bậc hai

X'-ậX+P=0

Bài 7 Tắnh nhâm nghiệm của các phương trình sau:

Trang 17

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐÉN PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA THAM SÓ

Cho phương trình bậc hai axỖ? + bx +c =0 (a # 0)

Gọi xị Ấxạ là các nghiệm của phương trình Ta có các kết quả sau: - Phương trình vơ nghệm <>A<0

- Phương trình có nghiệm kép _ <ẹ A=

- Phương trình có hai nghiệm phân biệt xị, x2 ẹ A>9 - Phương trình có nghiệm (hay có 2 nghiệm x¡,XƯ ) ẹ A>0

1 xX) va x) trai dau (x; <0<x.) ẹ P<0

SỐ Tu

2 xị và x;cùng dâu ( xị, xƯ> ỷ) ẹ

P>0 A20 3 Hai nghiém cling duong (x; > 0 va x2 > 0) ẹ S>0 PỪ0 A>0 4 Hai nghiệm cùng âm (x¡ < 0 và xa < 0) ẹ P>0 S<0

A>0

5 Một nghiệm bằng 0 và ! nghiệm duong( x2 > xị = 0) ẹ 4P =0

| : 1S>0

A>0

6 Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (xị < xƯ = 0) ẹ P=0 <0

Các điều kiện cho trước thường gặp và cách biến doi

1 xi+ xyỢ = (x);t+ Xz)Ẽ Ở 2x)X2 = S? Ở 2P

2 (xi - x9)? = (x) + Xa)Ợ Ở ÂX\XƯ = S? - 4P

Trang 18

Bài 8 Cho phương trình xỢ - 7x+ 4 = 0 không giải phương trình (khơng tắnh x,;x, với x; >x,)

Hãy tắnh: 1 1 xX, Xx A=Ở+Ở B=x/+x; C=~t+^2 xX, X, x, *i x,+1 x, +1 x x D=+Ở ++ E=x +x F=ỞỞ+_Ở^Ợ X, x, x,-3 x,-3 G=x,-x, H=x/-x; [=x -x;

Bài 9 Cho phương trình xỲ + 6xỞ 2 = 0 không giải phương trình (khơng tắnh x,;x, với x; <x,)

Hãy tắnh: A= +L B=xồ +x cant? 72 X, X, X, x,

parmtl, xt! Ba=x3+x! pa, _%

x, xX, x,-3 x,-3

G=x,-x, H=xồ-x} l=xƯỞx;

Các dạng bài tập:

Dạng 1: Tìm tham số m để 2 nghiệm x,;x; thỏa hệ thức cho trước (dạng đối xứng) e BI: Tìm điêu kiện của m để phương trình có nghiệm (A > 0)

e B2: Tinh S, P theo m

e B3: biến đôi biểu thức cần tắnh theo S va P rồi thế S và P theo m ở B2 vào

se B4: Giải pt theo m vừa tìm được ở B3 So với diều kiện ở BI và trả lời

Bài 10 Cho phương trình xỢ -2x + m +2 =0 ( m là tham số)

a) Tim m để phương trình trên có hai nghiệm b) Tim m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa:

4=xƯ+x;=l0 Ba1+2=-3 C=x,-x,=2

: xỪ %

D=x) +x} =15 E =x; +x} +4x,x,=0 F = 2(x7 +x3)-(x,+x,) =2x,x,-5 Bai 11.Cho phuong trinh xỖ -4x+m+1=0 (m la tham sé)

a) Tim m để phương trình trên có hai nghiệm

b)_ Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa:

4=xƯ+x;=l0 pa2,2_10 C=x, -x,=4

Trang 19

Trường THCS Trân Quang Khải

Bài 12.Cho phương trình xỢ + 3x + m =0 (Ì)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm

b)_ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm là - 1 Tìm nghiệm cịn lại

c) Tim m để phương trình (1) có hai nghiệm x,,x, thỏa điều kiện xj +x; =0

Bài 13.Cho phương trình xÝ - 4x + mỞ 3 =0 (1)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm là 2 Tìm nghiệm cịn lại

l

Ở +Ở Ở=~

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm xị,x; thỏa điều kiện XI #*; Bài 14.Cho phương trình *ồ ~2z~Ẽ +2m =0 (1)

a) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với mọi m

b) Tim m để phương trình (1) có nghiệm là 3 Tìm nghiệm còn lại

x+2 x12 _ 2

x, X, 3

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x,, x; thỏa điều kiện

+

Bài 15.Cho phương trình x? +(mỞ3)x+m+1=0 (1)

b) Tìmm để phương trình (1) có nghiệm là -2 Tìm nghiệm cịn lại

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x,, x; thỏa điều kiện (x, + 3x; )(x; +3x ) = 100 |

Bài 16 Cho phương trinh xỖ + 3(mỞ1)xỞ-6m+2=0(1)

b) Timm để phương trình (1) có nghiệm là Ở3 Tim nghiém con lai

c) Tim m để phương trinh (1) c6 hai nghiằm x,,x, thỏa điều kiện

Bài 17.Cho phương trinh: xồ 2mx+m-1=0 (1)

a) Chứng tỏ phương trình q) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Trang 20

c) Tìm m để phương trình (1)có 2 nghiệm đối nhau

d) Tìm m để phương trình (1)có 2 nghiệm nghịch đảo nhau

e) Tìm m để phương trình (1)có 2 nghiệm thỏa: xỶx, + x,x? = l2

Bài 18.Cho phương trình xỢ +(mmỞ2)xỞm+1=0(1)

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x,,x, thỏa điều kiện xỶx, + xjx, =2

Bài 19.Cho phương trình xÝ ~ mx + mỞ l = 0(1)

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x,,x, thỏa điều kiện x?x, + x?x, =2

Bài 20.Cho phương trình xỢ -2x+m+1=0(1)

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x,,x, thỏa điểu kiện x? + x? = 2 Bài 21.Cho phương trình xỢ - 2x Ở mỢ + 4m Ở 3 =0 (1)

a) Chứng minh phương trình (1) có nghiệm với mọi m

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4= xẶ +x; + x;x,

Bài 22.Cho phương trình x? - 2x +2mỞ1=0(1)

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm là Ở3 Tìm nghiệm cịn lại

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x,,x, thỏa điểu kiện xỶ + x? + x, + xẤ < l2

Bài 23.Cho phương trình xỢ -6xỞ mỢ +3mỞ 5 =0 (1)

a) Chứng minh phương trình (1) có nghiệm với mọi m

Trang 21

Dạng 2: Tìm tham số m để 2 nghiệm x,;x, thỏa hệ thức cho trước (dạng không đối xứng) e BI: Tìm điều kiện của m đề phương trình có nghiệm (A > 0)

e B2: Tắnh S, Ptheo m

e B3: Từ điều kiện đề cho và S giải hệ phương trình ta được x,;x, theo m

e_ B4: Thế x,;x, tìm được ở B3 vào P ta được phương trình theo âm m

e_ B5: Giải phương trình vừa tìm được, so sánh với điều kiện ở B] và trả lời

Bài 24.Tìm m để các phương trình sau thỏa hệ thức cho trước:

1) xỖ -(m+5)x-m+6=0 cé 2x, +3x, =13 2) xồ+2x+m=0 có x, = 3x, 3) 4x7 -(m+3)x-24=0 cO (x, + 2x, =-1 4) x?Ở2mx + 3m - 2 =0 có 2x,Ở3x, =ỳ 5) x~2(m+l)x+mồỞ2m+4=0 có Ở x=2*%, 6) xồ+2(m-1)x-2m+5=0 cd 2x, +3x, =| Ở: Dạng 3: Giá trị lớn nhất Ở Giá trị nhỏ nhất

Bài 25.Cho phương trình : x? Ở(3m + 1)x +2mỢ +m ể1 = 0 (với m là tham số, x la dn số)

a) Chimg minh phuong trinh trên ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b)_ Gọi xị ; x; là nghiệm của phương trình Tìm m để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:

A =x, +X, Ở3X,x,

Bai 26.Cho phuong trinh : xỖ -2mxỞ4mỖ -5 =0 (vdi m là tham số, x là ân số)

a)_ Chứng minh phương trình trên ln có nghiệm với mọi m

b) Goi x; 3 x2 1a nghiệm của phương trình Tìm m để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:

A=x, +X,ồ ỞX,X,

Bai 27.Cho phuong trinh : xỖ -2mx +mỖ Ởm+1=0 (voi m là tham số, x là ân số)

a)_ Giải phương trình với m = Ì

b) _ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân bit Xị ; X;

19

Trang 22

c)_ Với điều kiện câu b, hãy tìm m để A =x,x,Ởx,Ởx, đạt GTNN

Bài 28.Cho phương trình : xỢ -2m x+m -2 =0 (x là ẩn số)

a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x,,x;ạ với mọi m

b) Tìm m để biểu thức M = 5 = 4 đạt giá trị nhỏ nhất

X,ồ +x," -6x,x,

Bài 29.Cho phương trình xỢ - 2(m + l)x + 2m Ở 3 = 0

a) Chứng tỏ phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt x,, x; với mọi m -23 b) Tìm m để 4= ; 2+8x,x, ỞXx, -x ; đạt GTNN 2

Dạng 4: Thiết lập hệ thức liên hệ x,; x, không phụ thuộc vào m

e BI: Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm (A>0)

e B2: Tắnh S, P theo m e B3: Tắnh m theo S

e B4: thay mở P bằng biểu thức tìm được ở B3,

Bài 30.Giả sử các phương trình sau có hai nghiệm x,;x, Tìm hệ thức liên hệ *;;xẤ độc lập với m

1) mxỖ Ở(m-3)x+2m+1=0 2) (m-4)x* -2(m-2)x+m-1=0

3) (mỞ2)xỖ-(m+4)x+2-m=0 4) (m+1)x* Ở2(m+2)x+m-3=0

5) x*~(m+1)x+mỖ?+4=0 6) mxỖ -2(m+1)x+m+3=0

Trang 23

SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA (P) VÀ (d) 1/ Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép toán:

y=axồ(a#0)(P) và y=kx+m (3)

e_ BI: viết phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (đ): axỢ = kx+ m

e_ B2: giải phương trình, tìm x

e B3: Thay vào (P) hoặc (d) tìm y

2/ Viết phương trình đường thắng tiếp xúc (P)

Dang 1: (d) tiếp xúc (P) và //(di) ( hoặc vng góc (đ;) e BI: phương trình đường thăng (đ) có dạng y = kz + m

ẹ B2:từ(đ)// (d,) hoặc vng góc (dị): Tắnh k

e B3: viết phương trình hồnh độ giao đềm của (d) và (P) và cho A =0 để tắnh m

Dang 2: (d) tiếp xúc (P) tại điểm T có hồnh độ xị:

e_ BI:BiếtT thuộc (P) tắnh tọa độ T(xr;y+) ( xr là số đã biết) e B2: Phương trình ducing thắng có dạng y = &x +m

e_ B3: vì T(xr;y) thuộc (đ) = tắnh m theo k

e _ B4: viết phương trình hồnh độ giao điểm của (P) va (d) va cho A=0 để tắnh a, suy ra b

Dang 3: (d) tiếp xúc (P) và đi qua A năm ngồi (P)

e Bi: phương trình đường thăng (đ) có dạng y = kxz+m

e B2:viì A(xa;yA) thuộc (d) => tắnh b theo a (tiếp như trên)

x? x

Bai 31.Cho (P): y = 2 va (d): y= s13

a) Vé(P) va (d) trên cùng một mặt phăng tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép toán

c) Viết phương trình đường thăng (dỖ) biết (dỢ) song song (d) và (dỖ) đi qua A ( -2 ; -3)

2

Bài 32.Cho (P) : y = > va (d):y=x-4

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độỢ: xi

Trang 24

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép toán

2

Bài 33.Vẽ Parabol (P): y = = và đường thăng (D) : y = x + l trên cùng một hệ trục tọa độ

a) Cho hàm số y= ax +b có đồ thị là (D) Xác định hệ số a và b biết :

đồ thị (D) song song với đường thăng y = 3 -4x và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2

b) Đồ thị (D) đi qua hai điểm A ( -2 ; 5 ) và B( -3 ; -4)

Bài 34.Cho (P) : y = _.x va (D):y=x-4

a) Vẽ (P) và (D) trên cing mat phang toa d6 Oxy

b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép toán Bài 35 Cho (P) : y = 2x và (D):y=-2x+6

a) Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép toán

c) Tìm giá trị của m để đường thắng y = 7% -2m -3 cắt (P) tại hai điểm có hoành độ trái dấu

Bai 36.Cho (P): y= -x? va (D):y=x-2

a) Vẽ (P) và (D) trên cùng mặt phăng toạ độ Oxy

b) Tìm tọa độ giao điểm A và B của (P) và (D) bằng phép toán (xa < xạ ) c) Tinh OA? +OB? + AB?

2

Bài 37.Cho (P) : y = _= và (d):y=2x+4

a) Vé (P) va (d) trén cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (đ) băng phép toán

c) Tim toa d của điểm A thuộc (P) có tổng khoảng cách từ A đến hai trục toạ độ bằng 6

Bài 38.Cho Parabol (P) : y = axỖ

a) Tìm a để (P) đi qua điểm A (2 ; -2 )

b) Vẽ (Pụ) với a vừa tìm được

Trang 25

Bài 39.Cho (P) : y=f{x) = =x" và (d) :y = 1

a Vẽ (P) và (d ) trên cùng một hệ trục toạ độ

b Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép toán

c So sanh f (3 - V7) va f( 3+ V2)

2

Bai 40.Cho (P) : y =- > và (D):y=-2x+4

a Vẽ (P) và (D) trên cùng mat phăng toạ độ Oxy

b Tìm toạ độ giao điểm của (P) va (D) bang phép toan

Bai 41.Cho ham sé y = ax? có đồ thị là (P)

a) Xác định hệ số a biết đô thị (P) đi qua điểm A ( -4, 4) b) Vẽ đồ thị (P,) với hệ số a vừa tìm được

c)_ Cho đường thẳng (d) y = 2 Ở2 +m Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt (P)) tai Bài 42.Cho hàm số y = = x2 có đồ thị là (P) va ham sé y = a _3 06 dd thj la (D)

a) Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy

b) Bằng phép toán , chứng tỏ (D) cắt (P) tại hai điểm phân biết

c) Gọi xa và xg lần lượt là hoành độ hai giao điểm A và B của (P) và (D) Hãy tắnh : M =xaỖ +xpồ N = |x, ỞXal-

d) Viét phuong trinh duong thang (DỖ) biét (DỖ) song song (D) va di qua điểm C ( -2 ; -l )

Bài 43.Cho hàm số y = x có đồ thị là (P) và hàm số y = =x có đồ thị là (D)

a) Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy

b) Cho A là điểm thuộc (P) và có hồnh độ là - 2 Xác định tọa độ của điểm A

c) Tìm tọa độ của điểm B thuộc (P) để tam giác OAB vuông tại O

Trang 26

PHƯƠNG TRÌNH QUY VẺ PHƯƠNG TRÌNH BẠC HAI

1 Phương trình chứa ấn ở mẫu:

Các bước giải:

e BI: Tìm mẫu thức chung

e _ B2: Tìm điều kiện của ân dé mẫu thức có nghĩa ( mẫu thức khác 0)

e B3: Quy đồng mẫu thức hai về và bỏ mẫu để đưa về phương trình bậc hai e B4: Giải phương trình bậc hai này và chỉ chọn nghiệm thỏa điều kiện

Vi du: Giải phương trình a (1)

XỞ e MTC: ẹ DRXD? oe (1) Oo eee escsscssesssesessssecesssessessecssssscssecsssscsecesesseesssssesessecausesacsecscessescsasseeeecesersesseesee 9 900900909060000000606696000600000009900009000909000000090000000060G0000000002000600%0200006000000000000002040000006000600006060960060000600406060e666es6ee6eeese 99099099606000066069600009090909009060000000000900000000000000000000000000000000000600060006000090000000600606060060666006000000000600606066060000600606666e66666e 000044000900000900600000000600000000002900000000000000000000000000900000%0000000000000000000000906000060600600606000900000060600602006060606666566e 990000006606006000906000096000000000000000009000000000004200000020000000000090000000000006060000000004000400606096000000606006060600006009000606006e606060666ee

ặ Phương trình trùng phương: là phương trình có dạng: ax' +bxỢ+e=0 (a#0) (1) Cách giải: đặt = xỖ ( t goi la ân phụ) (/ >0)

Ta được phương trình: aỘ+bx+c=0_ (2) Giải ph trình (2) để tìm t và chỉ nhận nghiệm 1 >0

Sau đó giải phương trình xỢ =/ ẹ x = +?

Trang 27

Vi du: Giai phuong trinh 2xồ-7xỖ?-4=0 (1)

Giải: Đặt :=xỢ (/>0)

(1) <> 2ằồ - 71-4 =0 (a =2;b =-7;c = -4)

A = bỖ -4ac =(-7) Ở4.2.(-4) =81>0

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

= -b+vJA _ 7+8] =4 (nhận) 2a 2.2 t, = -đ=jA _7- v81 = ~~ (loai) 2a 2.2 2 Với t=4cỦ>(=x?=4Ạ>x=+\4=+2 Bài tập

1) ox -a=Ở_ x -] x+l 2) Joy x3 3x 4 -27 4 +2

3) 2 dl + x4 =0 4) án, + tT _ x13

x?-4 x(x-2) x(x+2) x -3x+2 x-4x+3 x-4x+3

Trang 28

Truong THCS Tran Quang Khải

GIAI TOAN BANG CACH LAP PHUONG TRINH

l Cách giải:

B1: Chọn ân nêu rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ấn

B2: Lập biểu thức liên hệ giữa các đại lượng đã biết và ân

B3: Lập phương trình

B4: Giải phương trình vừa tìm được

B5: Chọn nghiệm phù hợp với điều kiện ở b1 và trả lời

Vắ dụ 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiêu rộng 5m, diện tắch của

mảnh vườn là 300mỢ Tắnh chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn

Giải

Gọi a (m) là chiều rộng của hình chữ nhật (a > 0) Chiêu dài của hình chữ nhật là

Theo đề bài ta có phương trình : << xxx co

Vậy chiêu rộng của mảnh vườn là 15m

Chiều đài của mảnh vườn là -c-ccc cccc căn seessessses

Bài 46 Một khu vườn hình chữ nhật có chiêu rộng ngắn hơn chiều dài 8m có diện tắch 240 m? Tắnh chu vi miễng vườn?

Bài 47.Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng và có diện tắch 128 m? Tắnh

Trang 29

Bài 48.Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 70m nếu tăng chiêu dài thêm 5m và giảm chiêu rộng

đi 5m thì diện tắch mới bằng : diện tắch ban đầu Tắnh chiều dài và chiều rộng khu vườn

lúc đâu?

Bài 49.Một khu vườn hình chữ nhật có chiều rộng bằng : chiều dài Nếu giảm chiều mỗi chiêu đi

5m thì diện tắch mới giảm đi 16% so với diện tắch ban đầu Tắnh chiều dài và chiều rộng

khu vườn lúc đâu?

Vắ dụ 2: Một tổ học sinh được giao nhiệm vụ trồng 56 cây Vì có | ban trong tơ được phân công đi làm việc khác nên đẻ trồng đủ số cây được giao, mỗi bạn còn lại trong tô đều trông

tăng thêm l cây so với dự định lúc đầu Hỏi tổ học sinh có bao nhiêu bạn, biết rằng số cây

phân cho mỗi bạn trồng đều bằng nhau

Giải

Gọi x là số học sinh cân tìm (ĐK : - eees2 )

Số cây Số HS Số cây của mỗi HS

(cây) (nguờn) (cây/ người)

Lúc đầu x

Luc sau

Theo đề bài ta có phương trình :

Trang 30

Bài 50.Một tổ sản xuất phải làm 300 dụng cụ, nếu công nhân giảm đi 5 người thì mỗi người phải

làm thêm 2 dụng cụ Tắnh số công nhân của tổ?

Bài 51 Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng Trước khi vận chuyên đội xe đó được bổ sung

thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ắt hơn I tấn so với dự định Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu

chiếc?

_ Vắ dụ 3: Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km, khởi hành

_ cùng một lúc Vận tốc xe của Bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3 km/h nên bác Hiệp đã

_ đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ Tắnh vận tốc xe của mỗi người

Giải

Goi x (km/⁄h) là vận tốc của @ụ89Ằ0eỦ090seẹẰồ6G969066ẰG60Ằồ7jeeeoeeeoeoeoesd2eoeoeoeoeoeeoeooeeooeeoeeoeoeổoeoeeoeoeoeoeoeoeeeeoeoeeeeesồe Bác Hiệp Cô Liên

Theo đề bài ta có phương trình :

ệệẹẰệẹesoeeeẹeeeoeeeSeeeẹeeddeeeoeedeổedeseeeoeodeeoeeẴoeeesdoeeseoeoeooeeoeoeeoeeeeoeoeeeooeoeeeodeeoeoổaụeeoeocooeosooeoeeoeoeooẹeoeeoeododed2eooeoeeoecoeooeoeooooeeceoeeeeeoeeeoeeaeeaeoesoesoee ồụẾđệẹẰệeỦeoeeeẹẨeẹÂẴẲeẹÂseeeedeeeeoeeeeeodeeeeoeeoeeoẹồeodeoeodee@đeeeeooeoeeoedeeoeỎeoeoeeeoeoeoeeeeoodỎoedeeeedoeeeoeeooeodedododeooeooeoeơgoeeseoeeoụdoeoeoeoooeeodododeoụoụedaoseoezoeoeoeoeeooeoeoeooeoeoesee ồẠệệ ẰẹeeeẴẹẲeeẹeẹoeeeeồeeeeeSẹồeseeeeeeseoeodoeeổeeeoeoeeeoeeoeeeeodồSeeoeoooeodoeoeoẴơeoeoeeeeeoeoeeồeoeeeeoeoeoedeeoeeoedeoeoeoedeeogỏoeeooooeeodeoeezeụeseoeoeodoeeodoeeỏedeeooeooeodeedeeeooceoszoeoeoeeseee ệệẰeAeeeodeeeẹeeeeeeeeeệeệồsồdổoeeoeeeedeeeeeeeooeeeoeeeededeeeeeooeoeoodoeedeod2eoeoeoeeoeeeeedeeoedeeoeooeoeGeẢeeeeoeooẴơoodoeeeoceedeeeooẴoe2ooeodeoeeoeeododooeooeoeeoeeeooeeeeoeoeseooesee ệ99oGẰ@GeeeeeeeoeeẹeeeosồeeceeoeeoeeẹeeeoeeeeỎeoeoeeeseoeesoeeoeoeoeeeooeoododeoedoedeeeooeoeeoeeosoeeeeeoeoedeeodoeeeoeeeeodeeoceeoeooseodoedeooeoeeoeeoeeseooopoeoeoeoeodeoeooooeeoeoeeeoeeae ệệệệẹeeeẹeeẨẴẹẨeeeoeeeoeeoeeeoeeoeoeoeeeoeeoeSeeeeoeeeeeeeồeeeoeeoeedeo9dedoedodoedeoeeaeedoeoeoeeeedeoeoeoeeodeedodeoeeeodoeddedoee2deaeeeoedeeooooeodeodơodoeeedeeosoeoổodedesdoeooeoedeeodoeeoeeososeeeeoeoeeee ệệệ ệeoồeẹeeeeseeeeẹồeẹeỎoồSẹơeệƠÂeeeeodeeeeeoeeoedeeeeeoeeeoeeeneaedeeeeeeeooeoeeẹẨeoee@doeooedoedeooeodeeoeSeeeeeeeooeoeẴoedeocededeeeedeeoecoeodeeodoeeeecdeoeooeocooeocoẴoẰeodoeeeoeeedeod2oeeoeeooeeoeoeeeee ệệeệẰeseeeseeeeeeệồdeeSẹÂeẹÂeoseeoeeodỎoeeese9es+eeeoedodeodedóodeeeeedooeeoeeeeoededoeeoeSẹồeooeedeeeodeoeoeeoeedơooeeeoeooeodeoeoeoeoeeaoeoeoeoooeeococeeeoổdodoeoeeoeoeoeosụgoeoeoeoeeeeeoeoeeeeee Vận tốc xe của bác Hiệp là I 5kmắh

Vận tốc xe của cô Liên là 12km/h

(NGỌ 2 1 0 68 SÁ 9 54 020m 0A2 sex nam 4

Bài 52 (TS 10 - Cần Thơ) Một ô tô dự định đi từ 4 đến ỷ cách nhau 120 km trong một thời gian

quy định Sau khi đi được I giờ thì ơ tơ bị chặn bởi xe cứu hỏa 10 phút Do đó để đến B

Trang 31

Bài 53.(TS 10 Ở Nghệ An) Quang đường AB dài I 56 km Một người đi xe máy tử A, một người đi

xe đạp từ B Hai xe xuất phát cùng một lúc và sau 3 giờ gặp nhau Biết rằng vận tốc của

người đi xe máy nhanh hơn vận tốc của người đi xe đạp là 28 km/h Tinh vận tốc của mỗi

xe? (12 ; 40)

Bài 54.(TS 10 Ở Ha Nội 13-14) Quãng đường từ A đến B dài 90 km Một người đi xe máy tir A đến B Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc

Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5 giờ Tắnh vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B (36km/h)

Bài 55.Quãng đường Thanh Hoá - Hà Nội dài I 50km Một ô tô từ Hà Nội vào Thanh Hoá ,

nghỉ lại Thanh Hoá 3giời 5phút rồi trở về Hà Nội hết tất cả là 10 giờ Tắnh vận tốc của

ô tô lúc về biết rằng vận tốc lúc đi lớn hơn vận tốc lúc về là 10km/h (40km/h)

Bài 56.Một xuỗng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường sông dài 120 km

Trên đường đi, xng có nghỉ lại 1 gid ở thị trần Năm Căn Khi về, xuồng đi theo đường

khác dài hơn đường lúc đi là 5 km và với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 5 km/h Tắnh

vận tốc của xuông lúc đi, biết rang thời gian về băng thời gian di (30km/h)

Vắ dụ 4: Hai đội công nhân cùng làm một công việc Nếu hai đội làm chung thì hồn thành sau 4

ngày Nếu mỗi đội làm riêng thì đội Isẽ hồn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày Hỏi nếu

làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để hoàn thành cơng việc đó?

Giải Gọi thời gian đội I làm một mình xong việc là x (ngày) (ĐK : )

Công việc Thời gian (giờ) Năng suất (cv/giờ)

Đội ỳ l

Đội H l

Cả hai đội l

Theo đê bài ta có phương trình :

D9 g9 9 9 9.6 8.6 8.9 906 6 676 6 6 6 9 9 8: 6.6 018 4.6.9.6 6 9 9 0.6.6 9 8 6.6.6.6 9.0 8 20906 6 4/8 9 0.9.9 8.0.0 0.0.8 9/4 4.8 9 010.9 9 610.0 8.496) 4.9/0.0 9 9.9/9/9/9.6 8.9 6/19/2999 4.9 0 t0, si 8 6 90/2 8.9 008.804 66.6.6648 9/6/40098 6À

`

Trang 32

Thời gian đội I lam mot mình xong việc là 6 ngày Thời gian đội II làm một mình xong việc là 12 ngày

Bài 57.(TS 10 - Bà Rịa Vũng Tàu) Hai đội công nhân cùng làm một công việc Nếu hai đội làm

chung thì hoàn thành sau 12 ngày Nếu mỗi đội làm riêng thì dội một sẽ hồn thành công

việc nhanh hơn đội hai là 7 ngày Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để hoàn thành cơng việc đó?

Bài 58.(TS 10 - Hà Nội 12 -13) Hai người cùng làm chung một công việc trong = giờ thì xong

Nếu mỗi người làm một mình thì thời gian để người thứnhất hồn thành cơng việc ắt hơn người thứ hai là 2 giờ Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để

xong công việc? (4;6)

Vắ dụ 5: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km Một canô đi từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A Kẻ từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tắt cả 6 giờ Hãy tìm

vận tơc của canô trong khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 3 km/h Chú ý: Ở Vuuại = Vụnực Ẩ Vaược Vngược Ộ Vthực - Vnước

Giải Đối 40 phút =

c1

Ca nô đi khi nước đứng yên

Khi xi dịng

Khi ngược dòng

Theo đê bài ta có phương trình :

-990969090906640600606000006066900060009090000000000000200000000600000000600000000600000400000000000

00000900006000000000006060000006620002000600oo60900066666e

Vận tơc ca nô lúc nước yên lặng là 12km/h

Trang 33

Trường THCS Trân Quang Khải -

Chương 3 GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN

ậ1 Góc ở tâm Số đo cung

Kiến thức cơ bản la

1 Góc có đắnh trùng với tâm đường tròn gọi là góc ở tâm của đường tròn 0 B

2 Số đo của nửa đường tròn là 180ồ `

Số đo của cung nhỏ băng số đo của góc ở tâm chăn cung đó > Số đo cung lớn băng 3600 trừ đi số đo của cung nhỏ

sđ AB= AOB Nếu điểm C năm trên cung AB thì: sđ AB = sđÁC + sd CB -

B sđ AC = 650 ; sđCB = 659; Ầứ Ừ sd AB=sdAB+sdCB = 65Ỗ +65" = 130ồ = sdAmB-= 360ồ ỞsdAB = 360ồ ::107ỵ96:: = 230" AC = CB: AC< AB 10

Trén (O;R) cho hai điểm C, D khac nhau Biét CD = R Tinh số đo góc ở tâm COD, sở cung nhỏ CD, sđ cung lớn CD

Trên (O;R) cho hai điểm A, B khác nhau Biết AB = R2 Tắnh số đo góc ở tâm AOB, sđ

cung nhỏ AB, sđ cung lớn AB

Trên (O;R) lấy 3 điểm A, B, C sao cho dây cung AC = R và BC = R42 và tia CO năm giữa hai tia CA và CB Tắnh số đo của cung nhỏ AC, BC, AB

Trên (O;R) lấy 3 điểm B,C, D sao cho dây cung BC = RV3 và CD = R và tia CO năm giữa hai tia CD và CB Tắnh số đo của cung nhỏ BC, CD, BD

Cho đường tròn (O) và điểm A năm trên đường tròn Trên tiếp tuy tuyến tại A, lay điểm 1 T sao cho TA = AO Gọi B là giao điểm của OT với đường tròn Tắnh AOB và số đo cung AB

Hai tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O ; R) cắt nhau tại A Biết OA = 2R Tắnh số đo góc ở tâm COD

Hai tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O) cắt nhau tại K Biết CKD =35ồ a) Tắnh số đo của góc ở tâm COD

b) Tắnh số đo cung nhỏ và cung lớn CD

Vẽ tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) Tắnh AOB

Cho hai đường tròn (O) và (OỖ) cắt nhau tại A, B Đường phân giác của góc OBO' cắt (O) và (OỢ) tương ứng tại C và D Hãy so sánh góc ở tâm BOC và BO'D

Từ một điểm A ngồi đường trịn (O ; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B,C là các tiếp điểm), chúng tạo với nhau một góc Ủ Trên cung nhỏ BC lầy một điểm D Tiếp tuyến tại D cắt AB và AC lân lượt tại E và F Các tia OE, OF cat đường tròn tại M và N

a) Chứng minh inh rang cung nho MN co số đo không đỗi

db) ỘMuon sdMN = 60 th thì A phải cách 0 một khoảng b; bao nhiều ?

Trang 34

ậ2 Liên hệ giữa cung và đây

Định lắ I

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn D

băng nhau : \

a) Hai cung bang nhau cang hai day bang nhau C

b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau =>

A

AB=CDẹ AB=CD Định lắ 2

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn Ở

băng nhau : \⁄

a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn SQ

AB>CD ẹ AB>CD Bo sung

Đường kắnh vng góc với dây

an, ,

Đường kắnh đi qua trung 2 X

Đường kắnh đi qua điểm

điêm của dây chắnh giữa của cung

* Trong một đường tròn, hai cung bị chăn giữa hai dây song song thì băng nhau

Ở Ở AgỢ NB

Đường trịn (O) có: AB//CD = AD = BC fo `

CF

11 Trên (O;R) lẫy theo thứ tự cùng chiều các điểm A, B, C, D sao cho các cung AB, BC, CD có số

đo lần lượt là 60Ợ, 90Ợ, 120Ợ ( B nằm giữa A va C; C nằm giữa B và D)

a) Tắnh sđ cung DA

b) Tắnh sđ các góc AOB, BỌC, COD, DOA C) Tinh sd các cung ABC, BCD, DCA

d) Tắnh theo R độ dài các dây cung AB, BC, CD, DA

Trang 35

Trường THCS Trần Quang Khải 12 13 14 15 16 17 18 19 20

lấy một điểm M: Vẽ dây AN//CM Tắnh độ dài MN

Cho (O;R) và dây cung AB không qua tâm O Gọi M, N lần lượt là điểm chắnh giữa của cung nhỏ AB và cung lớn AB

a) Chứng minh MN là trung trực AB

b) Chứng minh M, O, N thang hàng

c) AB cắt MN tại H Chứng minh HM.HN = HA? = HBỖ

d) Nếu AB = R42, hay tinh AOB, OH, AM, AN theo R

Cho (O:R) các dây AB = R, CD = R2 ,EF = R43

a) Chứng minh AAOB đều và ACOD vuông cân b) Tắnh sđ các cung AB, CD, EF

Cho tam giác ABC (AB > AC) Lấy điểm E thuộc cạnh AB sao cho AE = AC Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác EBC Kẻ OH L BC tại H và OK + BE tại K

a) Chimg minh OH < OK

b) So sanh hai cung nho BE va BC

Cho (O) Trên dây cung AB lấy hai diém E va F sao cho AE = EF = FB Cac ban kinh qua E va F cắt cung nhỏ AB lân lượt tại C va D Chứng minh răng :

a) AC=DB b) AC <CD

Cho (O) Trên nửa đường tròn tâm O đường kắnh AD, lấy hai điểm C, D Từ C kẻ CH 1 AB, #

CH cắt (O) tại E Từ A kẻ AK L DC, AK cắt (O) tại F Chứng minh rang :

a) CF=DB va BF=DE b) DE = BF

Cho (O), đường kắnh AC Từ A kẻ một dây cung AB căng một cung 60 Đường thắng qua B

vng góc với đường kắnh AC cắt đường tròn ở điểm D và đường thắng song song với AC kẻ

từ D căt đường tròn tại điêm E a) Chứng minh DE = DA = AB |

b) Chứng minh ba điêm B,O,E thăng hàng

c) Cho bán kắnh đường tròn R = 6cm Tắnh BD, EA

NÂNG CAO

Cho nửa (O;R) đường kắnh AB Các điểm C và D chia nửa đường tròn thành 3 phân bằng nhau

theo thứ ty A,C,D,B Goi E là điểm chắnh giữa cung AC OE cắt AC tại F

a)_ Chứng minh OCDB là hình thoi và tắnh diện tắch theo R b) Chứng minh BD v2 AB 2

c)_ Tiếp tuyến tại A cắt OE kéo dài tại H và BC kéo dài tại K Chứng minh OH = AK

d) Gọi S là chân đường vng góc kẻ từ C đến đường kắnh AB, BH cắt CS tại ỳ Tắnh độ dai IF theo R

Cho 2 đường tròn (O) và (O'Ẽ) băng nhau và cắt nhau tại hai điêm phân biệt A và B (OvàO'

năm khác phắa đôi với AB) Kẻ các đường kắnh AOC, AOỢU Gọi E là giao điêm thứ hai của hai đường thăng AC với (O))

a) So sánh các cung nhỏ BC và BỷD của hai đường tròn

b) Chứng minh B là điểm chắnh giữa của EZD

c) O'B cắt (O') tại F (F khác B) Chimg minh AB = EF = FD

d) Vẽ đường kắnh EG của (O') Trên cùng nửa mặt phăng bờ OOỢ, vẽ bán kắnh OH cia (O) va OH // OỖE Chimg minh AB, HG, OOỖ dong quy

e) Chimg minh A 1a truc tam cua tam giac BHE

Cho (O;R) day AB= RV3 Vé đường kắnh CD L AB (C thuộc cung lớn AB) Trên cung ~, ÁC -

Trang 36

ậ3 Góc nội tiếp

1.Định nghĩa

Góc nội tiếp của đường trịn là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường trịn đó

Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn

BAC là góc nội tiếp chăn cung BC

2.Định lắ

oo

>

O

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn

sđ BAC = ; sd BC

3.Hệ quả Trong một đường tròn:

a) Các góc nội tiếp băng nhau chắn các cung bằng nhau

ABF = DCE ẹ AF = DE

b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung

băng nhau thì băng nhau

DAC= DBC (cùng chắn cung DC ) > 0 > Ủ Ợ J Ủ o ẹ m

c) Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng

chăn một cung

Ề

sdBAC=Ở sdBOC

d) Góc nội tiếp chăn nửa đường tròn là góc vng

Đường trịn (O) có: Q

BC là đường kắnh => BAC = 90ồ

Trang 37

21 Cho hình vẽ bên Biết sđ 8C =90ồ, 4BD = 40ồ Tắnh số

đo góc BAC, ACD, BDC

22 a) AB là đường kắnh của (O) Hãy chỉ ra các góc nội tiếp là góc vng? Giải thắch

a) Biét sd AC =30ồ,sdBD= 60Ợ Tắnh các góc của tam

giác ABC, ABD

23 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Đường phân giác của góc

BAC cắt (O) tại D

a) Cm tam giac BDC can

b) Goi M la trung diém BC Chứng minh O, M, D thang hang

24 Cho tam giac ABC có 3 góc nhọn đường tròn (O) đường kắnh BC cắt AB, AC lần lượt tại D và E BE và CD cắt nhau tại H

a) Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC

b) Vẽ HF vng góc BC Chứng minh A, H, F thăng hàng

25 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O) 2 đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I Gọi F là điểm chắnh giữa của cung BC -

Trang 38

26 Cho (O) có hai dây AB và CD cắt nhau tại M Chứng

minh MA MB = MC MD

27 Cho (O) và một điểm M nằm ngoài đường tròn, Qua M vẽ

hai cát tuyên MAB và MCD ( A, B, C, D thuộc (O))

Chứng minh MA.MB=MC.MD

28 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn

(O), vẽ OM vng góc BC (M thuộc (O)), AM cat BC tai

I

a) Chimg minh IA.IM = IB.IC b) Chimg minh IB.AC = IC.AB c) Chimg minh AB.AC = AI.AM

d) Chimg minh AlỖ = AB.AC - IBIC

29 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O; R) vẽ

đường cao AH của tam giác ABC và đường kắnh AD của (O)

a) Chứng minh tam giác ABH đồng dạng tam giác ADC b) Chứng minh AB.AC = 2R AH

AB.BC.CA

c) Chimg minh S,,, = AR

30 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có AB là đường kắnh

Phân giác của góc BAC cắt (O) tại D a) Chứng minh OD L BC và AC L BC

b) Goi I 1a giao diém cua AD và BC Chứng minh IA.ID =

IB IC

ẹ) Goi K la giao diém cua BD va AC Chimg minh tam

giác ABK cân có trực tam Ia I

d) Chứng minh KA.KC = KB.KD

Trang 39

31 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), gọi H là

trực tâm tam giác ABC, đường thăng AH cắt BC tại F và

(O) tại E, vẽ đường kắnh AD cua (QO)

a) Chimg minh tam giác ABD đông dang tam giác AFC

b) Chứng minh FA.FE = FB FC

c) Chứng minh tam giác BEH cân, H đối xứng với E qua BC

d) Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân

32 33 34 35

Cho AABC nhọn nội tiếp (O), gọi H là trực tâm của AABC Đường thăng AH cat BC tai AỖ, cắt (O) tại E, vẽ đường kắnh AD của (O) Chứng minh

a) AB.AC = AD.AAỖ va AAỖ.AỖE = AỖB.AỖC b) AHBE can

c) BEDC là hình thang cân

Cho AABC nhọn Đường tròn (O) đường kắnh BC cắt AB, AC lần lượt tại E, D BD và CE cắt

nhau tại H Chứng minh :

a) Gọi F là giao điểm của AH va BC Chimg minh AE.AB = AH.AF = AC AD

b) A, E,H, D cùng thuộc một đường tròn (ID) Xác định tâm I

c) IE, ID là tiếp tuyến cua (O) va OD, OE la tiếp tuyén cua (I) Lá ,

Cho (O) và hai dây AB, AC bằng nhau Qua A vẽ cát tuyên cắt day BC 6 D và cắt (O) ở E Chứng minh ACỖ = AD AE

Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O) và D là điểm thuộc cung nhỏ BC Trên AD lay điểm E sao

cho DE = DB

a) Chimg minh tam giác BED đều b) So sánh hai tam giác ABE và BDC

c) Chimg minh ring AD = DB + DC

Trang 40

ậ4 Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

1.Định nghĩa

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh là tỉa tiếp tuyến và cạnh còn lại là một dây của đường tròn

2.Định lắ

Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung băng nửa số đo của cung bị chắn

BAK =Ở sd AB

3.Hệ quả x

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tỉa tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

BAx = BCA (cùng chăn cung AB )

36 Cho xAy là tiếp tuyến của (O) tại A,

s 4C =110ồ, 4= 659 C a) Tinh yAC;CAx; sd BC b) Tinh sd AB; B:C A Ở." 1

37 Cho (O;R) và xAy là tiếp tuyến tại A của (O),

sd AB =90ồ a) Tinh xAB;yAB

b) Chimg minh tam giác AOB vuông cân tại O, Tắnh độ `0

đài các cạnh của tam giác ABO theo R

Định dạng
Số trang	98
Dung lượng	5,91 MB