SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG KHỐI 12 NĂM 2013 TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐỨC MẬU Môn thi: TOÁN; Khối A và khối A1 (Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 3 2 3 2 y x x . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng 2 2 ( 2) 2 6 y m x m luôn cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. Tìm m để tổng các hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm đó bằng 27. Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: 2 4sin 2 8sin cos 2 3 3 6 2sin 2 cos2 1 x x x x x . 2. Giải bất phương trình: 2 3 23 2 1 3 5 (x ) x x x x x x R . Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: 2 1 0 ( 1)ln 1 x xe x I x xe dx . Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy góc 60 0 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BB’. Tính thể tích khối tứ diện A’AMN và côsin của góc giữa hai đường thẳng A’M và AN. Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y,z thỏa mãn: 2 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) xy yz zx x y z x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 1 P x y z xyz x y z . II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sính chỉ được làm một trong 2 phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;0). Đường phân giác trong kẻ từ A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình 2 0 x y và 5 4 7 0 x y . Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C biết C có hoành độ âm. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;0;0) và các đường thẳng 2 d: 1 1 1 x y z ; 2 d': 1 1 1 x y z . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các đường thẳng d, d’ lần lượt tại B, C sao cho ABC đều và hoành độ đỉnh B có giá trị không âm. Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z, biết z+ 1- 5i z+ 3- i và 4 10 z i nhỏ nhất. B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD đáy lớn CD. Các đường thẳng AC, BD lần lượt có phương trình 2 1 0 x y và 2 1 0 x y . Gọi M là trung điểm của AB. Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết đường thẳng DM có phương trình 3 8 11 0 x y và B có hoành độ âm. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): 2 2 2 ( 4) ( 4) ( 1) 9 x y z và đường thẳng 1 1 1 : 2 1 2 x y z . Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (S), đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng . Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm số phức z, biết z+ 1- 2i z- 2i = 1 vµ z+ 3+ 4i z+ i là số thuần ảo. HẾT Họ và tên thí sinh:………………………………… ; Số báo danh:……………… ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm 1. (1,0 điểm) 3 2 3 + 2 (C) y x x 2 )TX§ : R ) lim ; lim 0 ) ' 3 6 ' 0 2 x x y y x y x x y x 0,25 -BBT : x 0 2 y’ + 0 - 0 + 2 y -2 0,25 - Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 0) và (2 ; ) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) -Hàm số y đạt cực đại tại : x = 0 , y(0) = 2 Hàm số y đạt cực tiểu tại : x = 2 , y(2) = -2 0,25 -Đồ thị : y’’= 6x- 6 y”=0 x=1 Điểm uốn: U(1;0) Đồ thị qua các điểm : (-1 ; -2) , (0;2) , (1;0) , (2;-2) , (3;2) và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. 0,25 2. (1,0 điểm ) - Xét phương trình : 3 2 2 2 3 2 ( 2) 2 6 (1) x x m x m 3 2 2 2 2 2 2 (*) x=2 x -3x -2x+8-m (x-2)=0 (x-2)(x -x-4-m )=0 x -x-4-m =0 0,25 I (2,0 điểm) 2 2 = 17+ m 0 - XÐt (*) cã: víi 4- 2- 4- m 0 (*) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 2 víi m (1 ) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt víi m (d ) lu«n c¾t (C) t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt víi mäi m m m 0,25 1 2 2 1 1 1 2 3 2 2 2 1 2 k '(2) 0 - Khi ®ã c¸c hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn ví i (C) lµ: '( ) 3 6 '( ) 3 6 (víi x , lµ 2 nghiÖm ph©n biÖt cña (*)) y k y x x x k y x x x x 0,25 2 2 1 2 3 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 - Ta cã: k k k 27 3( ) 6( ) 27 3( ) 6 6( ) 27 1 1 x x x x x x x x x x m m 0,25 1. (1,0 điểm) 2 4sin 2 8sin cos 2 3 3 6 2sin (1) 2 cos2 1 x x x x x 2 2 2 -§K: x 3 (1) 4sin 2 8sin cos 2 3 2sin (2cos2 1) 2 6 6 4 cos 2 8sin cos 2 3 2sin (3 4sin ) 6 6 k x x x x x x x x x x 0,25 2 4 cos 2 (1- 2sin x)- 3= 2sin3x 4 cos 2 cos2x- 3= 2sin3x 6 6 x x 0,25 2 cos 4 cos 3 2sin3 cos 4 sin3 6 6 6 x x x x 0,25 2 2 21 7 cos 4 cos 3 6 2 2 3 2 2 - KÕt hîp §K bµi to¸n ta cã nghiÖm: 21 7 k x x x x k k x 0,25 2. (1,0 điểm) : 2 3 2 3 2 1 3 5 (2) x x x x x x 3 2 23 3 2 2 3 1 - §K: x 2 (2) 5 3 2 1 0 5 2 ( 2) 2 1 1 0 x x x x x x x x x x x x 0,25 II (2,0 điểm) 3 2 2 2 3 2 3 23 3 3 2 2 ( 2) 0 2 1 1 5 2 5 4 x x x x x x x x x x x x x 0,25 2 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2 3 2 3 3 ( 1)( 2 3) 2( 1) ( 1)( 2) 0 2 1 1 5 2 5 4 2 3 2 ( 1) 2 0 2 1 1 5 2 5 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 0,25 2 2 3 2 3 23 3 2 3 2 2 1 ( 1) 0 2 1 1 5 2 5 4 x-1 0 x 1 1 - KÕt hîp §K bµi to¸n ta cã tËp nghiÖm cña BPT(2): T= ;1 2 x x x x x x x x x x x x 0,25 1 2 0 0 I= ( 1) ln 1 dt= (e ) (1 ) - §Æt t= xe x= 0 t=0 I= ln(1 ) x=1 t= e x x x x x e x x xe xe dx xe dx x e dx t t dt 0,25 2 2 2 0 0 1 u'= u=ln(1 ) ln(1 ) 1 1 - §Æt I= 2 2 1 ' 2 e e t t t t t dt t v t t v 0,25 2 1 e e 2 1 0 0 e ln(1+e) 1 = - 2 2 t 1 -XÐt I = dt= t-1+ dt 1+t 1+t I 0,25 III (1,0 điểm) e 2 2 2 2 0 t e (e - 1)ln(1+ e) e e = -t+ln(t+1) = - e+ ln(e+1) I= - 2 2 2 4 2 0,25 IV (1,0 điểm) H P K I N M C B A C' B' A' - Gọi I là trung điểm của BC 0 ' 60 (( ' ),( )) ( ' , ) ' ' BC AI BC A I A BC ABC A I AI A IA BC AA - Trong tam giác A’AI vuông tại A ta có: A’A= AI.tan60 0 3 2 a - Gọi K là trung điểm AB ta có: ( ' ') ' CK AB CK ABB A CK A A 1 1 3 d(M, (A'AN))= ( ,(A'AN)) 2 2 4 a d C CK - Và có: 2 ' ' ' ' ' 3 S 4 A AN ABB A ABN A B N a S S S - Thể tích khối tứ diện A’AMN là: 3 3 16 a V 0,25 - Gọi P là đỉnh thứ tư hình bình hành ANPA’ ta có: AN// A’P ' , ' , ' A M AN A M A P - Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5a 25a A'M = A'A + AM = ; A'P = A'B' + B'P = ; PM = PB + BM = 3a 2 16 0,25 - Trong tam giác A’PM: 2 2 2 ' ' 7 cos ' 2 ' . ' 5 10 A P A M PM PA M A P A M 7 cos( , ' ) cos ' 5 10 AN A M PA M 0,25 - Ta có: 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 6 § C«-si ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 2 2 2 ( ) 3 27 B T x y z xy yz zx x y z xy yz zx xy yz zx x y z x y z xy yz zx x y z 0,25 3 ( ) 27 3 x y z x y z - Với x, y, z>0 ta có: 3 3 3 3 3 x+ y+ z x + y + z 3 3 x+ y+ z xyz 3 0,25 3 3 3 3 x+ y+ z P= x 1 2 x+ y+ z 1 3 y z xyz x y z - Đặt t= x+ y+ z 3 , 3 1 2 3 1 t P t t 0,25 V (1,0 điểm) - Xét hàm số f(t)= 3 2 3 1 t t liên tục trên [1; ) có [1; ) ( ) 6 khi t= 1 Min f t 2 2 2 6 khi: 1 3 xy yz zx x y z MinP x y z x y z x y z 0,25 VI.a (2,0 điểm) 1. ( 1 điểm) H B' D M G C B A - Gọi d: x+y-2=0 và d’: 5x- 4y- 7=0. 3 2 ( ;2 ) Trung ®iÓm cña BC: M ; 2 2 t t A t t d 0,25 - Ta có: M 1 ' (1;1), M 1; 2 d A 0,25 - Gọi B(-1+ 4t’; -3+ 5t’) ' d , 1 ' (3 4 ';2 5 ') 2 t C t t -Và điểm đối xứng của B qua d là B’(5- 5t’; 3- 4t’) 0,25 - Ta có: A, B’, C thẳng hàng suy ra: B(3;2), C(-1;-3) 0,25 2. (1 điểm) - PTTS của d: 2 x t y t z t và ' d': ' 2 ' x t y t z t - Gọi B(t; 2+t; -t), C(t’;t’; 2+t’) lần lượt thuộc d, d’, với 0. t 0,25 - Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 AB 3 8 AC 3 ' 8 ( ') ( ' 2) ( ' 2) t t BC t t t t t t 0,25 - Tam giác ABC đều 2 2 2 2 AB ' 0 AC t t AB BC 0,25 - Mặt phẳng (ABC) qua A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2) có phẳng trình:x+y+z-2=0 0,25 - Gọi z= x+ yi, với x, y R -Ta có: z+ 1- 5i z+ 3- i ( 1) ( 5) ( 3) ( 1) x y i x y i 0,25 2 2 2 2 ( 1) ( 5) ( 3) ( 1) 3 4 x y x y x y 0,25 - Và 2 2 2 4 10 ( 4) ( 10) ( 4) ( 10) 10 20 100 z i x y i x y y y 0,25 VII.a (1,0 điểm) 2 10( 1) 90 3 10 y - Dấu = có khi: y=1 1 1 x z i 0,25 VI.b (2,0 điểm) 1. (1 điểm) I M D C B A 1 1 - Ta có: DM DB= D(7;4) và AC BD= I ; 3 3 0,25 - Gọi A(t; 1+2t) AC và B(-1+ 2t'; t') BD (2 ' 1; ' 2 1) -Ta có: 2 ' 1 2 ' 1 Trung điểm của AB: M ; 2 2 AB t t t t t t t t 0,25 13 2 ' 11 ' 0 IM AB t= 1 - Ta có: 2 M DM t'= -1 ' 3 1 t'< 2 t t t t t t 0,25 Qua D - Viết hơng trình CD: AC CD= C(-4; -7) VTPT: IM - Và AB, DC cùng hớng A(1;3), B(-3;-1), C(-4; -7), D(7;4) 0,25 2. (1 im) - Mt phng (P) tip xỳc vi (S) v vuụng gúc vi l: (P 1 ): 2x+y-2z-5=0 v (P 2 ): 2x+y-2z-23=0 0,25 - Hỡnh chiu ca tõm I(4;4;-1) trờn (P 1 ), (P 2 ) ln lt l: I 1 (2;3;1) v I 2 (6;5;-3) 0,25 - Giao im gia vi (P 1 ) v (P 2 ) ln lt l : H 1 (1 ;1 ;-1) v H 2 (5 ;3 ;-5) 0,25 - Cỏc ng thng cn tỡm ln lt l: 1 1 2 3 1 I H : 1 2 2 x y z v 2 2 5 3 5 I H : 1 2 2 x y z 0,25 z+ 1- 2i z+ 1- 2i - Ta có: = 1 =1 z+ 1- 2i z+ 3+ 4i (*) z+ 3+ 4i z+ 3+ 4i 0,25 - Gọi z= x+ yi, với x, y (*) x- y= -5 0,25 2 2 z- 2i -Và là số thuần ảo x - y + 3y- 2= 0 z+ i 0,25 Cõu VII.b (1 im) 2 2 12 x= - x- y= -5 12 23 7 - Ta có: - 7 7 23 x - y + 3y- 2= 0 7 z i y 0,25 * Chỳ ý: Nu hc sinh gii cỏch khỏc ỳng vn cho im tng ng cỏc phn. . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG KHỐI 12 NĂM 2013 TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐỨC MẬU Môn thi: TOÁN; Khối A và khối A1 (Thời gian làm bài: 180 phút,. CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 3 2 3 2 y x x . 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng 2 2 (. trên các khoảng ( ; 0) và (2 ; ) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) -Hàm số y đạt cực đại tại : x = 0 , y(0) = 2 Hàm số y đạt cực tiểu tại : x = 2 , y(2) = -2 0,25 -Đồ thị : y’’=