Gọi P,Q,R,S lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB.. b CMR :PQRS là tứ giác nội tiếp.. 2 Cho hình vuông ABCD và MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q lần lượt thuộc các cạnh A
Trang 1/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/de-thi-hsg-tinh-phu-tho-2012-2013-doc-0-14225580186497/ztp1399331259.doc
SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu1( 3,0 điểm)
1) Giải phương trình nghiệm nguyên
2
8x −3xy−5y=25
2)Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho A= 4n 3 7n
Câu 2( 4,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức: A= 2 10 30 2 2 6 : 2
2) Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn x2 yz y2 zx z2 xy
− = − = −
Chứng minh rằng
− = − = −
Câu 3( 4,0 điểm)
1) Cho phương trình: x2−6x− =m 0 (Với m là tham số) Tìm m để phương trình đã cho
có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn 2 2
2) Giải hệ phương trình:
8x 27 18 4x 6x
+ =
+ =
Câu 4( 7,0 điểm)
1) Cho đường tròn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC của đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn vuông góc và cắt BD tại H Gọi P,Q,R,S lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB
a) CMR:HA2+HB2+HC2+HD2 không đổi
b) CMR :PQRS là tứ giác nội tiếp
2) Cho hình vuông ABCD và MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q lần lượt thuộc các cạnh AB,BC,CD,DA của hình vuông CMR:S ABCD ≤
4
MN NP PQ QM
Câu 5( 2,0 điểm)
Cho a,b,c là các số thực dương CMR:
+ +
-Hêt—
Trang 2Hướng dẫn Câu1.1)8x2−3xy−5y=25
Z x
x y x
x y x
x
+
−
−
=
⇔ +
−
=
⇔
−
=
+
⇔
5 3
25 40 24 9 5 3
25 8
25 8
)
5
3
Khi 3x+5 là ước 25 từ đó tìm được (x;y)∈{(−10;−31);(−2;−7);(0;−5)}
( cách khac nhân 2 vế với 9 đưavề tích)
1.2) Với n chẵn n=2k thì
(m N)
m t
n
t k k
k k
2
1 7 7
1 2 7 ) 9 16 ( 4 )
1 2 ( 3
4
Với n lẻ n=2k+1
(m N)
m n t k k k
k
A= ( 2 + 1 ) 4 2k+ 1 + 3 2k+ 1 = 2 4 2k+ 1 + ( 4 2k+ 1 + 3 2k+ 1 ) M 7 ⇒ 2 M 7 ⇒ = 7 ⇒ = 14 + 1 ∈
Vậy n=14m+6 hoặc n=14m+1 ( với mọi n∈N) thì A chia hết cho 7
Câu2.1) 2 10 30 2 2 6 : 2
2
1 2
1 3 2
1 3 2
1 3 4
3 2 4 2
1 3 2
3 2 2
1 3 )
1 5 (
2
2
) 1 5 ( 6 )
1
5
(
2
−
− +
−
2.2)
− = − = −
) 3 ( ) 3 (
2 :
) 2 ( ) 3 (
2 :
) 1 ( ) 3 (
2
3 3 3
2 2
3 3 2 2 2 2 2 4
2
3 3 3
2 2
3 3
2 2 2 2 2 4
2
3 3 3
2 2
3 3 2 2 2 2 2
4
2 2
2 2
xyz z
y x z
ab c xyz
z y z x y x
ab y
x xyz Z
c Tuongtu
xyz z
y x y
ac b z
xy yz y x z x
ac z
x xz y y
b Tuongtu
xyz z
y x x
bc a yz
x xz xy z y
bc z
y yz x x
a xy
z
c xz y
b yz
x
a
− + +
−
= +
−
−
= +
−
− + +
−
= +
−
−
= +
−
− + +
−
= +
−
−
= +
−
⇔
−
=
−
=
−
⇔
Từ (1) (2) (3) ta co ĐPCM
Câu 3.1) Để phương trình có nghiệm ∆/ ≥0⇔m≥−9(*)
2 4
2
6
12
6
2
2 1 1
2 1
2 1
2 1
2 2
2 1
2 1
2 1
−
=
⇔
=
−
=
=
⇔
=
−
−
=
= +
⇔
=
−
−
=
= +
m x
m x x x x
x
m x x
x x x
x
m x x
x x
TM ĐK (*)
3.2)Giải hệ phương trình
= +
= +
2 2
3 3
3
6 4
18 27 8
y x y x
y y
x
Trang 3HD y =0 không là nghiệm của hệ chia 2 vế PT(1) cho y3 PT(2) cho y2 Ta có hệ
=
+
=
+
1 6
4
18
27
8
2
2
3
3
y
x
y
x
y
x
Đặt
=
=
b y
a x
3
2
ta có hệ
=
= +
⇔
= +
= +
1
3 3
18 2 2
3 3
ab
b a ab
b a
b a
Hệ có 2 nghiệm
−
+
+
−
∈
5 3
6
; 4
5 3
; 5 3
6
; 4
5 3 ) ,
( y x
Câu 4.1)
O H
R S
P
Q
D
C
B
A
a) theo Pitago HA2 +HB2 =AB2;HC2 +HB2 =BC2;HC2 +HD2 =CD2;HA2 +HD2 =AD2; suy ra đpcm
b)Tứ giác HPBS nội tiếp ⇒∠HPS =∠HBS =∠DBC
Tứ giác HPAQ là hình chữ nhật ⇒∠HPQ=∠HAQ=∠CAD=∠CBD
Do đó ∠SPQ=∠HPS+∠HPQ=2∠CBC
Tương tự ∠SQR=2∠BDC
Do đó ∠DBC+∠BDC=1800 ⇔∠SPQ+∠SRQ=1800 nên tứ giác PQRS nội tiếp ( đ/lí đảo)
4.2)
Trang 4L K
P
Q
I
C
N
D
M
Cách 1 Gọi T, K, L là trung điểm MQ, MP, NP theo t/c đường trung bình và trung tuyến tam
giác vuông ta có MN+NP+PQ+QM =2(KL+CL+IK+AI)≥2AC từ đó suy ra đpcm
Cách 2 Ta có theo Pitago
2 2
)
2 2
MN BN
BM BM
BN
( áp dụng BĐT Bunhiacoopsky
Tương Tự
2
; 2
; 2
AM AQ MQ DQ DP PQ NP CN
Nên
(MN NP PQ QM) a dpcm
a
a a AM QA DQ PD CP NC NB BM QM PQ
NP
MN
⇔
= +
+ +
=
= + + + + + + +
≥ + +
+
2 4
2
2 2 2
4 2
Dấu “=” xảy ra khi MNPQ là hình chữ nhật
Câu 5
Cho a,b c>0 Chứng minh rằng:
6 2
3 3 2
2 3
c b a c b a
ca c
b a
bc c
b a
+ +
+ + +
+ + +
Dự đoán a=b=c tách mẫu để a+c=b+c=2b
Tacó áp dụng BĐT x+ y+z x + y+ z≥ ⇔ x+y+z ≤ x+ y+ z
1 1 1 9
1 1
9 1 1 1 ) (
(1)
Tương tự
Trang 51 1 1 1
(2)
(2)
Từ (1) (2) (3)
6 2
9
c a
ab bc c
b
ac ab b
a
bc ac
+
+ + +
+ + +
+
≤
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c
GV Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Phú Thọ