TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO Tổ: TOÁN ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN IV NĂM 2013 Môn: TOÁN (Đáp án-thang điểm gồm 7 trang) ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm 1. (2điểm) ( ) ( ) 3 2 3 1 2 1 5 3y x m x m x m= + + + − − − ( ) 1 a.(1,0 điểm) Với 1m = − ta có: 3 3 2y x x = − + ( ) C 1 0 . Tập xác định: ¡ 0,25 2 0 . Sự biến thiên a) Giới hạn của hàm số tại vô cực: lim x y →+∞ = +∞ và lim x y →−∞ = −∞ 0,25 b) Bảng biến thiên 2 ' 3 3y x = − 2 ' 0 3 3 0 1y x x = ⇔ − = ⇔ = ± . Bảng bt x −∞ 1 − 1 +∞ 'y + 0 − 0 + y 4 +∞ −∞ 0 Vậy: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ) ; 1−∞ − và ( ) 1;+∞ Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 1;1 − Hàm số đạt cực đại tại điểm: x CĐ = 1 − , y CĐ = ( ) 1 4y − = Hàm số đạt cực tiểu tại điểm: 1 CT x = , ( ) 1 0 CT y y= = . 0,25 3 0 . Đồ thị • Điểm uốn: '' 6y x= '' 0 0y x= ⇔ = , ( ) 0 2y = . Tọa độ điểm uốn của ( ) C là: ( ) 0;2I . • Giao điểm của đồ thị ( ) C với các trục Đồ thị ( ) C cắt trục tung tại điểm: ( ) 0;2 ( ) ( ) 2 3 0 3 2 0 1 2 0 1; 2y x x x x x x = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ = = − . ⇒ Đồ thị ( ) C cắt trục hoành tại 2 điểm: ( ) ( ) 1;0 ; 2;0− . • Đồ thị 0,25 • Nhận xét: Đồ thị ( ) C nhận điểm uốn ( ) 0;2I làm tâm đối xứng. b.(1,0 điểm) PT hoành độ giao điểm của ĐT hs ( ) 1 với trục hoành ( ) ( ) ( ) 3 2 3 1 2 1 5 3 0 2x m x m x m+ + + − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 4 5 3 0 1 3 4 5 3 0 3 x x m x m x x m x m ⇔ − + + + + = = ⇔ + + + + = 0,25 Để ĐT HS ( ) 1 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3 , ,x x x đk là pt ( ) 2 có 3 nghiệm pb 1 2 3 , ,x x x ⇔ pt ( ) 3 có 2 nghiệm pb khác 1 ( ) 1 *m⇔ ≠ − 0,25 Với đk ( ) * thì pt ( ) 2 có 3 nghiệm pb 1 2 3 , ,x x x trong đó có một nghiệm bằng 1. Giả sử 3 1x = .Khi đó 1 2 ,x x là nghiệm của phương trình ( ) 3 . Theo định lí Vi’et có : ( ) 1 2 1 2 3 4 5 3 x x m x x m + = − + = + Từ giả thiết có: 2 2 2 1 2 3 6x x x + + = 2 2 1 2 5x x ⇔ + = 0,25 ( ) 2 1 2 1 2 2 5x x x x ⇔ + − = 2 9 14 5 0m m⇔ + + = ( ) 2 1 2 1 2 2 5x x x x ⇔ + − = ( ) ( ) 1 5 / 9 m loai m t m = − ⇔ = − Vậy 5 9 m = − thỏa mãn ycbt. 0,25 2.(1,0 điểm) ( ) ( ) cos2 sin 1 tan tan 1 1 3 6 x x x x π π − − − + = ÷ ÷ Đk: ( ) ( ) cos 0 * 3 sin 2 0 3 3 2 cos 0 6 x l x x l x π π π π π − ≠ ÷ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ + ÷ ∈ + ≠ ÷ ¢ 0,25 Ta có: tan tan 1 3 6 x x π π − + = − ÷ ÷ 0,25 PT ( ) 1 cos2 sin 1 1x x⇔ − + + = cos2 sin 2 2 2 6 3 x x x k k x π π π π ⇔ = = − + ⇔ = + 0,25 Kết hợp với đk ( ) * . PT ( ) 1 có các nghiệm : 2 2 x k π π = − + 2 6 x k π π = + ( ) k ∈¢ 0,25 3.(1.0 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 9 2012 2 4 2013 2 x x x y y y xy y y x + + + + + + = − + + = + + + Đk: 9 0y xy− + ≥ PT ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1x x y y ⇔ + + + + = − + − + 0,25 Xét hàm số: ( ) 2 1f t t t = + + trên ¡ Cm ( ) f t đồng biến trên ¡ ta được 1x y + = − 0,25 Pt ( ) 2 trở thành: 2 2 8 3 2013 2012x x x+ − + = − ( ) 3 x ∀ ∈ ¡ có 2 2 8 3 2013 2012 0 0x x x x+ > + ⇒ − > ⇒ > PT ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 2 2 8 3 3 2 2013 1 0x x x⇔ + − − + − − − = ( ) 2 2 1 1 1 2013 0 8 3 3 2 x x x x x + + ⇔ − − − = + − + − 0,25 Đặt: 2 2 1 1 2013 8 3 3 2 x x T x x + + = − − + − + − Do 0x > nên 0T < nên 1 0 1x x − = ⇔ = (thỏa mãn) Vậy hệ pt đã cho có nghiệm: ( ) 1; 2 − 0,25 4.(1,0 điểm) 3 3 3 2 2 2 0 0 0 sin x sin x dx cos cos cos x xdx I dx x x x π π π + = = + ∫ ∫ ∫ Ta có : ( ) 3 3 2 2 0 0 cos sin x dx 1 1 3 cos cos cos 0 d x x x x π π π = − = = ∫ ∫ 0,5 Đặt 2 tan cos u x dx du dx v x dv x = = ⇒ = = 3 3 2 0 0 tan tan ln cos ln 2 3 3 cos 3 3 0 0 xdx x x xdx x x π π π π π π ⇒ = − = + = − ∫ ∫ Vậy 1 ln 2 3 I π = + − 0,5 5. (1,0 điểm) Diện tích ABC∆ là: ( ) 2 1 . 2 3 2 dt ABC AB AC a∆ = = Trong mp ( ) ABC kẻ HK BC⊥ tại K ( ) BC SHK⇒ ⊥ Từ gt ta có: 0 30SKH∠ = 0,25 Có 2 2 4BC AB AC a= + = 3 3 sin 2 2 AC HK a ABC HK BC HB ∠ = = = ⇒ = Trong SHK∆ có: .tan 2 a SH HK SKH= ∠ = Thể tích của khối chóp là: ( ) 3 1 3 . 3 3 a V SH dt ABC= = (đvdt) 0,25 Trong mp ( ) SAB kẻ HD SA⊥ tại D . Ta có: 2 2 2 1 1 1 5 5 a HD DH HA HS = + ⇒ = Chứng minh: ( ) ( ) AC SAB AC DH DH SAC⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ( ) ( ) 5 ; 5 a DH d H SAC⇒ = = 0,25 Do H là trung điểm của AB và ( ) BH SAC A∩ = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 ; 2 ; 5 a d B SAC d H SAC⇒ = = 0,25 6.(1,0 Điểm) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2 3 3 2T a b c abc a b c abc= + + + + + + + Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3a b c a b c a b b c c a+ + = + + − + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 1 1 1 1 3 c a b ab bc ca abc = − − − − = − + + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2a b c a b c ab bc ca ab bc ca+ + = + + − + + = − + + 0,25 Do đó: ( ) 5 6 2 3T ab bc ca abc= − + + − Đặt: ( ) 2 3S ab bc ca abc= + + − . Ta tìm GTLN của S Có: ( ) ( ) 2 3 2S ab c c a b= − + + • Nếu 2 2 3 0 3 c c− < ⇔ > thì ( ) 2S c a b< + • Nếu 2 2 3 0 3 c c− > ⇔ < thì ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2S ab c c a b c a b= − + + > + Suy ra: Chỉ cần xét: 2 0 3 c< < 0,25 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 3 2 1 2 3 2 a b S c c c ab c c c + = − + − ≤ − + − ÷ ; 1a b c + = − 3 3 2 4 c c S − + + ⇒ ≤ 0,25 Xét hàm số: ( ) 3 3 2f c c c= − + + trên 2 0; 3 ÷ Ta được : ( ) 1 20 3 9 f c f ≤ = ÷ 5 9 S⇒ ≤ . Dấu “=” xảy ra khi 1 3 a b c= = = Vậy: 5 min 3 T = xảy ra khi 1 3 a b c= = = . 0,25 Theo chương trình chuẩn 7.a(1,0 điểm) Giả sử ( ) ( ) 2 2 ; 0n a b a b= + > r là VTPT của AB . ( ) 1 ;n b a⇒ = − ur là VTPT của AD ( ) ( ) : 2 2 0AB a x b y⇒ + + − = ( ) ( ) : 2 3 0AD b x a y− − − = 0,25 ( ) 2 2 3 , a b d I AB a b − = + ; ( ) 2 2 2 , a b d I AD a b − = + Có: ( ) ( ) 3 2 3 ; 2 ;AB AD d I AD d I AB= ⇒ = 0 6 3 6 2 5 12 b a b a b b a = ⇔ − = − ⇔ = • Với 5 12b a= , chọn 5 12a b= ⇒ = :5 12 14 0AB x y⇒ + − = :12 5 9 0AD x y− − = 178 123 ; 169 169 A ⇒ ÷ (loại) 0,25 • Với 0b = chọn 1a = : 2 0AB x⇒ + = : 3 0AD y − = ( ) ( ) 2;3 4; 1A C⇒ − ⇒ − 0,25 Giả sử : ( ) ( ) ( ) 2; , 3 4;2B b b D b− ≠ ⇒ − ( ) ( ) 0; 3 ; 6; 1AB b AD b= − = − − uuur uuur Do AB AD⊥ nên ( ) ( ) . 0 3 1 0 3AB AD b b b= ⇔ − + = ⇔ = uuuruuuur (loại) hoặc 1b = − (thỏa mãn) Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) 2;3 ; 4; 1 ; 2; 1 ; 4;3A C B D− − − − 0,25 8.a(1,0 Điểm) G/s : ( ) ( ) 1 2 1 2 ; ;A d d B d d A d B d α α = ∩ = ∩ ⇒ = ∩ = ∩ 0,25 Xác định được tọa độ các điểm : ( ) 4; 9;4A − ( ) 4;3;2B − 0,25 ( ) 8;12; 2AB − − uuur 0,25 Phương trình đường thẳng 4 4 : 3 6 2 x t d y t z t = − + = − = + 0,25 9.a(1,0 điểm) G/s: z a bi= + , với ,a b∈¡ . ( ) 3 3iz b ai+ = − + Do 3iz + là số ảo nên: 3 0 3b b − = ⇔ = 0,25 ( ) 21 5 21 5z a bi− = ⇔ − + = ( ) 2 2 21 25a b⇔ − + = 0,25 ( ) 2 25 21 16 17 a a a = ⇒ − = ⇔ = 0,25 Vậy: 25 3z i= + hoặc 17 3z i= + 0,25 Theo chương trình nâng cao 7.b(1,0 Điểm) ( ) T có tâm ( ) 2;1I ; bkính: 1R = ( ) 8 ; 1 17 d I d = > ⇒ ( ) d T∩ = ∅ A d ⇒ ∀ ∈ , từ A đều kẻ được 2 tiếp tuyến đến ( ) T 0,25 A d ∈ nên giả sử ( ) ( ) ;4 1 2;4A a a IA a a− ⇒ = − uur 2 2 2 2 2 17 4 3AB AC IA R a a⇒ = = − = − + ,B C⇒ thuộc đường tròn ( ) 1 T tâm A , bán kính AB ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 : 4 1 17 4 3 2 2 4 1 4 2 0 T x a y a a a x y ax a y a − + − + = − + ⇔ + − − − − − = 0,25 ( ) : 2 4 2 3 0BC a x ay a− + + + = 0,25 Do BC đi qua ( ) 4; 5E − − nên ta có : 1 11 22 0 2 a a− = ⇔ = Vậy 1 ;1 2 A ÷ 0,25 8.b(1,0 điểm) Gọi I là trung điểm của AB ( ) 1;1;2I⇒ − Và: 2MA MB MI+ = uuur uuur uuur MA MB⇒ + uuur uuur nhỏ nhất khi MI uuur nhỏ nhất Khi đó M là hình chiếu vuông góc của điểm I trên d 0,25 ( ) 1;2; 1u = − r là VTCP của d M d ∈ nên g/s: ( ) ( ) 2 ;1 2 ; 1 2 3 ;2 ; 3 2M t t t IM t t t+ + − − ⇒ = + − − uuur 0,25 . 0 6 6 0 1IM d IM u t t⊥ ⇒ = ⇔ + = ⇔ = − uuur r 0,25 Vậy: ( ) 1; 1;0M − 0,25 9.b (1,0 Điểm) Số cách lập đội tuyển gồm 4 em từ 15 em là: 4 15 C =1365 cách 0,25 Chọn 4 học sinh trong đó có ít nhất 2 em nữ, có 2 phương án sau: • Phương án 1: Chọn 2 nữ từ 3 nữ và 2 nam từ 12 nam, số cách chọn là: 2 2 3 12 .C C cách • Phương án 2: Chọn 3 nữ từ 3 nữ và 1 nam từ 12 nam, số cách chọn là: 3 1 3 12 .C C cách 0,25 Theo qui tắc cộng có: 2 2 3 12 .C C + 3 1 3 12 .C C =210 cách chọn 4 em hs mà có ít nhất 2 em nữ 0,25 Theo định nghĩa cổ điển, xác suất đội tuyển có ít nhất 2 em nữ là: 210 2 1365 13 = 0,25 GHI CHÚ:Học sinh có cách làm khác, đúng thì vẫn được điểm! …………………Hết………………. . TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO Tổ: TOÁN ĐÁP ÁN- THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN IV NĂM 2013 Môn: TOÁN (Đáp án- thang điểm gồm 7 trang) ĐÁP ÁN- THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm 1. (2điểm) ( ). ( ) ;4 1 2;4A a a IA a a− ⇒ = − uur 2 2 2 2 2 17 4 3AB AC IA R a a⇒ = = − = − + ,B C⇒ thuộc đường tròn ( ) 1 T tâm A , bán kính AB ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 : 4 1 17 4 3 2 2 4 1 4 2 0 T. ) 2;3 ; 4; 1 ; 2; 1 ; 4; 3A C B D− − − − 0,25 8.a(1,0 Điểm) G/s : ( ) ( ) 1 2 1 2 ; ;A d d B d d A d B d α α = ∩ = ∩ ⇒ = ∩ = ∩ 0,25 Xác định được tọa độ các điểm : ( ) 4; 9;4A − ( ) 4; 3;2B