1 https://sites.google.com/site/dethithudaihockhoia/ Đ ẠI HỌC S Ư PH ẠM H À N ỘI TRƯỜNG THPT CHUYÊN Đ Ề THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1, 2012 MÔN: TOÁN Ngày thi: 08-01-2012 Thời gian làm bài: 180 phút Câu I. Cho hàm số 3 2 2 2 2( 1) ( 4 1) 2( 1) ( ) y x m x m m x m Cm 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số khi 0 m 2) Tìm m để hàm số ( ) Cm có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng 9 5 2 y x . Câu II. 1) Giải phương trình: 2 2 sin7 sin9 2 cos cos 2 4 4 x x x x 2) Giải bất phương trình: 2 9 2 1 1 x x x Câu III. 1)Tìm nguyên hàm: tan .cot 6 3 I x x dx 2) Giải phương trình: 2 4 2 2 log log .log ( 2 1 1) x x x Câu IV. Cho hình chóp SABC có hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên đáy nằm trong ABC , các mặt bên tạo với đáy góc bằng 0 60 . Biết 0 60 ; 4 ; 2 7 ABC AB a AC a . Tính thể tích khối chóp SABC Câu V. Cho các số thực , , (0;1) a b c . Chứng minh rằng: 2 (1 )(1 ) 1 (1 ) 4 ab a b ab Câu VI. 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A các đỉnh , A B thuộc đường thẳng 2 y , phương trình cạnh : 3 2 0 BC x y . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 3 . 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy hãy viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm (1;1), (2;4) M N và tiếp xúc với đường thẳng 2 9 0 x y . Hết 2 https://sites.google.com/site/dethithudaihockhoia/ HƯỚNG DẪN GIẢI Câu I. (Tự giải) Câu II.1 (can_hang2007)________________________________________________________________ Ta có 2 2cos 1 cos 2 1 sin 2 4 2 x x x và 2 2cos 2 1 cos 4 1 sin4 4 2 x x x nên phương trình đã cho tương đương với sin7 sin9 sin2 sin 4 , x x x x tức 2sin8 cos 2sin3 cos . x x x x Đến đây thì dễ rồi.^^ Câu II.2 (can_hang2007)__________________________________________________________________ + Điều kiện: 0 x + Khi đó, bất phương trình đã cho tương đương với: 2 (9 1) 2 1 0 3 1 (3 1)(3 1) 0 2 1 1 (3 1) 3 1 0 2 1 1 3 x x x x x x x x x x x x x (Vì 1 3 1 0 2 1 x x x với 0 x .) + Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: 1 ; 3 S Câu III.1 (Dấu chấm)____________________________________________________________________ Ta có : tan cot tan tan tan tan 6 3 6 2 3 6 6 x x x x x x Mặt khác ta lại có tan tan 6 6 tan tan 1 6 6 tan 6 6 x x x x x x 3 https://sites.google.com/site/dethithudaihockhoia/ tan tan 6 6 1 3 3 1 tan tan 3 6 6 sin sin 3 6 6 1 3 cos cos 6 6 x x x x x x x x Do đó ta có sin sin 3 3 6 6 d d d 3 3 cos cos 6 6 x x I x x x x x d cos d cos 6 6 3 3 d 3 3 cos cos 6 6 x x I x x x 3 3 ln cos ln cos 3 6 3 3 I x x x C Câu III.2. (jet_nguyen)__________________________________________________________________ Hướng dẫn: ĐK: 1 x Ta có: 2 4 4 2 log 2log ·log 2 1 1 . PT x x x 4 2 4 log 2·log 2 1 ì 1 .( : log 0) x x V x 2 ( 2 1 1) . x x Câu IV. (iceage3)_______________________________________________________________________ Theo định lý cosin trong tam giác ABC ta tính được: 2 2 2 2 . 6 AB BC AB BC AC BC a Do hình chiếu của S xuống mặt đáy tạo các góc bằng nhau nên hình chiếu của S xuống ( ) ABC là I tâm đường tròn nội tiếp ABC 2 1 .4 .6 . 60 6 3 2 o ABC S a a sin a Nửa chu vi 1 ( ) (5 7) 2 ABC p AB BC CA a Ta có 21 5 3 3 ABC ABC S S pr r a p Chiều cao hình chóp: . 60 (5 7) o h r tan a 4 https://sites.google.com/site/dethithudaihockhoia/ Thể tích hình chóp: 3 . 1 . . ( 2 21 10 3) 3 S ABC ABC V h S a Câu V. (can_hang2007)____________________________________________________________________ Ta có 2 (1 )(1 ) 1 ( ) 1 2 1 a b a b ab ab ab ab nên 2 2 2 2 1 (1 )(1 ) . (1 ) (1 ) 1 ab ab ab a b ab ab ab ab Mà 2 1 4 ab ab và 0 1 ab nên ta có 2 1 . 4 4 4 1 ab ab ab ab ab Đó chính là điều phải chứng minh. Câu VI.1.______________________________________________________________________________ Cách 1. (F7T7) Dễ dàng tìm được (0,2) B Do tam giác ABC vuông tại A nên 2 R BC AB AC Đặt AB a , suy ra ( 3 1) 2 3 2 2 3 3 2 3 1 a R a a a R a Vậy 2 3 ( ;2) 3 1 A Do AC vuông góc với 2 y nên A, C có cùng hoành độ - Nếu 2 3 ( ;2) 3 1 A thì 2 3 4 2 3 ; 3 1 3 1 C - Nếu 2 3 ( ;2) 3 1 A thì 2 3 8 2 3 ; 3 1 3 1 C Từ đây dễ dàng tìm được tọa độ G theo tọa độ 3 điểm A, B, C Cách 2. (can_hang2007) Từ giả thiết, ta suy ra tọa độ của B chính là nghiệm của hệ phương trình 2 3 2 0 y x y Giải hệ này, ta tìm được 0, 2. x y Do đó (0,2). B Bây giờ, giả sử A có tọa độ ( ,2) A a ( 0). a Thế thì, do tam giác ABC vuông tại A nên C phải nằm trên đường thẳng vuông góc với AB (tức đường thẳng y = 2) tại A, tức C thuộc phương trình . x a Vậy tọa độ của C chính là nghiệm của hệ phương trình 3 2 0 x a x y Giải ra, ta tìm được , 3 2 . C a a Và như vậy, ta có 5 https://sites.google.com/site/dethithudaihockhoia/ 2 2 | |, 3 2| |, | | 3. AB a BC a a a AC a Đến đây, ta tính được 2 1 3 · · 2 2 ABC S AB AC a và (gọi p là nửa chu vi tam giác) 3 3 | | . 2 2 a AB BC CA p Theo giả thiết, ta có 3 r ( r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác) và ABC S r p nên suy ra 2 3 2 3, 3 3 | | 2 a a hay tương đương | | 3 3. a Từ đây ta tìm được 3 3 a hoặc 3 3. a [*] Với 3 3, a ta có 3 3,2 , (0,2), 3 3,3 3 5 . A B C Suy ra tọa độ trọng tâm G của tam giác là 3 3 0 3 3 2 2 3 3 5 2 , 2 ,3 3 . 3 3 3 G G [*] Với 3 3 a , ta có 3 3,2 , (0,2), 3 3, 3 3 2 . A B C Suy ra tọa độ trọng tâm G của tam giác là 3 3 0 3 3 2 2 3 3 2 2 , 2 ,2 3 . 3 3 3 G G Bài toán được giải quyết xong. Câu VI.2._____________________________________________________________________________ Cách 1. (iceage3) Đặt tâm của đường tròn là ( ; ) I a b 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 2) ( 4) 3 9(1) IM IN a b a b a b Do đường thẳng (d) 2 9 0 x y tiếp xúc với đường tròn nên: 2 2 2 [ ;( )] (2 9) 5[( 1) ( 1) ](2) d I d IM a b a b Từ (1),(2) tìm được 3, 2 a b hay 357, 122 a b Cách 2. (lonelyplanet) Trung điểm của MN là ( ; 3 , 2 5 ) 2 H 1;3 MN Tâm O của đường tròn thuộc đường trung trực d của MN. d đi qua H và nhận 1;3 MN làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình :( ) 3 ) 3 2 5 ( 0. 2 d x y Suy ra : 3 9 d x y . Do đó (9 3 ; ) O O O y y Lại có (O) tiếp xúc với 1 : 2 9 0 d x y , nên 6 https://sites.google.com/site/dethithudaihockhoia/ 2 2 1 2 2 2 2(9 3 ) 9 ( ; ) (8 3 ) ( 1) 5 2 7 9 5 10 50 65 124 244 0 122 O O O O O O O O O O O y y d O d OM y y y y y y y y y Ta tìm được hai điểm O thỏa mãn (3;2) và ( 357;122) Hướng dẫn giải được tổng hợp bởi https://sites.google.com/site/dethithudaihockhoia/ Từ lời giải của các thành viên diễn đàn Boxmath.vn, Onluyentoan.vn . https://sites.google.com/site/dethithudaihockhoia/ Đ ẠI HỌC S Ư PH ẠM H À N ỘI TRƯỜNG THPT CHUYÊN Đ Ề THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1, 2012 MÔN: TOÁN Ngày thi: 08-01 -2012 Thời gian làm bài: 180 phút Câu I. Cho hàm số 3 2 2. 3 3 2 2 3 3 2 2 , 2 ,2 3 . 3 3 3 G G Bài toán được giải quyết xong. Câu VI.2._____________________________________________________________________________. vi tam giác) 3 3 | | . 2 2 a AB BC CA p Theo giả thiết, ta có 3 r ( r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác) và ABC S r p nên suy ra 2 3 2 3, 3 3 | | 2 a a