ĐỀ TOÁN và đáp án THPT CHUYÊN đh VINH lần 1

Tính diện tích toàn phần S của hình trụ có hai đáy lần lượt ngoại tiếp hai đáy của hình hộp chữ nhật đã cho.. Trong biểu thức này, số a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức...

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN Bài thi : TOÁN

( Đề thi gồm 6 trang ) Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

( 50 câu hỏi trắc nghiệm )

Câu 1: Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?

   Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Đồ thị của hàm số y f x  không có tiệm cận ngang

B Đồ thị của hàm số y f x  có một tiệm cận đứng là đường thẳng y = 0

C Đồ thị của hàm số y f x  có một tiệm cận ngang là trục hoành

D Đồ thị của hàm số y f x  nằm phía trên trục hoành

Câu 4: Cho hàm số 2  

3

yx x Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ; 0 

C.Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   0; 2

B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  2;  

D Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   ;3 

Câu 5: Cho hàm sốF x  là một nguyên hàm của   3x

f x e thỏa mãnF  0  1 Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A   1 3x

1 3

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1 Trên cạnh SC lấy

điểm E sao cho SE = 2EC Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD

A Hàm số đã cho có hai điểm cực trị

B Hàm số đã cho không có giá trị cực đại

C Hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị

D Hàm số đã cho không có giá trị cực tiểu

Câu 14: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh và thể tích bằng

Câu 15: Các giá trị của tham số m để hàm số ymx3 3 xm 2 3x  2 nghịch biến trên R và đồ thị của

nó không có tiếp tuyến song song với trục hoành là

A    1 m 0 B    1 m 0 C    1 m 0 D    1 m 0

Câu 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a , cạnh bên SC = 2a và SC vuông góc

với mặt phẳng đáy Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

A 2a

R B R 3a C a 13

R D R 2a

 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A d/ / 'd B d d' C d và d’ cắt nhau D d và d’ chéo nhau

 trên tập D   2;1  Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Giá trị lớn nhất của f x  trênD bằng 5

C Giá trị nhỏ nhất của f x  trênD bằng 1

B Hàm số f x  có một điểm cực trị trên D

D Không tồn tại giá trị lớn nhất của f x  trên D

Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1; 2; 4), B(-1; 1; 4),C(0; 0; 4) Tìm số đo

   

 

Câu 24: Hình vẽ bên là đồ thị của một hàm trùng phương Giá trị của

m để phương trình f x  mcó 4 nghiệm đôi một khác nhau là

Câu 34: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ' ' 'A B C D' có ABAD  2a, AA'  3 2a Tính diện tích toàn

phần S của hình trụ có hai đáy lần lượt ngoại tiếp hai đáy của hình hộp chữ nhật đã cho

A S 7 a2 B S  16 a2

C S  12 a2 D S  20 a2

Câu 35: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường yx3, y  2 xvà y 0 Mệnh đề nào sau đây là đúng?



 Biết rằng đồ thị hàm số y f x  đối xứng với  C

qua trục tung Khi đó f x  là

Câu 42: Gọi M là một điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn 3z i  2z  z 3i Tập hợp tất cả các

điểm M như vậy là

A Một parabol B Một đường thẳng C Một đường tròn D Một elip Câu 43: Trong nông nghiệpbèo hoa dâu được dùng làm phân bón, nó rất tốt cho cây trồng Mới đây một

nhóm các nhà khoa học Việt Nam đã phát hiện ra bèo hoa dâu có thể được dùng để chiết xuất ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hỗ trợ điều trị bệnh ung thư Bèo hoa dâu được thả nuôi trên mặt nước Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt hồ Biết rằng cứ đúng sau một tuần bèo phát

C Hai phương trình f x  mvà f x    1  m 1có cùng số nghiệm với mọi m

D Hai phương trình f x  mvà f x    1  m 1có cùng số nghiệm với mọi m.

Câu 46: Cho số phức z thỏa mãn 2

2

z  và điểm A trong hình vẽ bên là

điểm biểu diễn của z Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số

w iz

 là một trong bốn điểm M,N, P, Q Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là

a

3

6 12

a

3

3 4

Câu 48: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó,đặt CAB 

và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB Tìm  sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay

tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất

Câu 49: Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã

được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thằng đứng với vận tốc tuân theo quy luật vt 10t t 2, trong đó t ( phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v(t) được tính theo đơn vị mét / phút (m/p) Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của

khí cầu là

A v = 5 (m/p) B v = 7 (m/p) C v = 9 (m/p) D v = 3 (m/p) Câu 50: : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, chohai điểm M (-2; -2; 1) , A (1; 2; -3) và đường thẳng

của đường thẳng đi qua M, vuông góc với đường thẳng

d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất

A u  2;1;6  B u  1;0; 2  C u  3; 4 4   D u  2; 2; 1  

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Thực hiện: Ban chuyên môn Tuyensinh247.com Câu 1

Phương pháp: Một số điều cần lưu ý về khối đa diện

Cách giải: Hình bát diện có 12 cạnh

Phương pháp: Để tìm đường tiệm cận của hàm số y = f(x) ta dựa vào tập xác định D để biết

số giới hạn phải tìm Nếu tập xác định D có đầu mút là khoảng thì phải tìm giới hạn của hàm

số khi x tiến đến đầu mút đó

giới hạn là

- Để tìm đường tiệm cận ngang ta phải có giới hạn của hàm số ở vô tận:

- Để tìm đường tiệm cận xiên của (C) : y = f(x), trước hết ta phải có điều kiện

Sau đó để tìm phương trình đường tiệm cận xiên ta

có hai cách : + Phân tích biểu thức y = f(x) thành dạng y = f(x) = ax + b + ε(x) thì (Δ) : y = ax + b

(a ≠ 0) là đường tiệm cận xiên của (C) : y = f(x) + Hoặc ta tìm a và b bởi công thức:

Khi đó y = ax + b là phương trình đường tiệm cận xiên của (C) : y = f(x)

Ghi chú :

Đường tiệm cận của một số hàm số thông dụng :

- Hàm số có hai đường tiệm cận đứng và ngang lần lượt có phương trình

là

- Với hàm số (không chia hết và a.p ≠ 0), ta chia đa thức để có:

thì hàm số có hai đường tiệm cận đứng và xiên lần lượt có phương trình là:

- Bước 2: Tìm các điểm tại đó f'(x)= 0 hoặc f'(x) không xác định

- Bước 3: Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

- Bước 4: Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số theo định lý sau:

Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trên K a) Nếu f’(x) ≥ 0,  x K, f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì f(x) đồng biến trên khoảng K

b) Nếu f’(x) ≤ 0, x K, f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì f(x) nghịch biến trên khoảng K

Nếu f(x) đồng biến trên K thì f’(x) ≥ 0, x K  ; nếu f(x) nghịch biến trên K thì f’(x) ≤ 0,

Phương pháp: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) sử dụng công thức u x( ) u x( )

e dx e C



Cách giải:

3 3

3 3

x e

F x  

Chọn C Câu 6

Phương pháp: công thức tính độ dài đoạn thẳng khi biết tọa độ điểm: A(x A; y A; z A );

Phương pháp: Ta có mặt phẳng (P): ax + by + cz = 0 (a2

+ b2 + c2 ≠0) Thì vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n a b c ( , , )

Cách giải: Ta có mp (P): -3x + 2z – 1 = 0 nên có vtpt n( 3, 0, 2) 

Chọn C Câu 8

Phương pháp: Số phức là số có dạng a+bi, trong đó a và b là các số thực, i là đơn vị ảo,

với i 2 =-1 Trong biểu thức này, số a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức

trục ảo, do đó một số phức a+bi được xác định bằng một điểm có tọa độ (a,b)

Một số phức nếu có phần thực bằng không thì gọi là số thuần ảo, nếu có phần ảo bằng không thì trở thành là số thực

Cách giải:

Dựa vào hình vẽ thì ta thấy rằng số phức này có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2

 z = 3 + 2i nên z  3 2i, Số phức liên hợp có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng -2

- Hàm số y = xn với n nguyên dương, xác định với mọi x∈R

- Hàm sốy = xn , với n nguyên âm hoặc n = 0 , xác định với mọi x≠0

- Hàm số y = xn, với n không nguyên , có tập xác định là tập hợp các số thực dương Cách giải:

Hàm số đầu bài rơi vào trường hợp thứ 3

Hàm số xác định  2x – x2> 0  0 < x < 2

Chọn B

- Nếu < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm

- Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm

3 3

ABCD A B C D ABCD

– 6mx – 3 < 0mx2 – 2mx – 1 < 0 +) Với m = 0 thì -1 < 0 ( luôn đúng)

khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp

Bài toán: Xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SA1A2…An

Phương pháp 1: Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SA1A2…An

- Xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A1A2…An

- Dựng trục ∆ của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A1A2…An.( ∆ là đường thẳng đi qua tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy.)

- Vẽ mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên bất kì của hình chóp

- Giả sử I=∆ (P) khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp cần dựng

Lưu ý:

a) Trong trường hợp sau đây mặt phẳng trung trực có thể thay bằng đường trung trực

+ Khi hình chóp đều (vì ∆ đi qua đỉnh S) + Khi hình chóp có một cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy

Phương pháp 2: Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SA1A2…An

- Dựng trục ∆1 của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A1A2…An.( ∆ làđường thẳng đi qua tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông gócvới mặt phẳng đáy.)

- Dựng trục ∆2 của đường tròn ngoại tiếp tam giác của mặt bên sao cho ∆1,∆2 đồng phẳng

- Giả sử I= ∆1 ∆2, khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp

Phương pháp: Công thức tính đạo hàm:

' (ln ) 'u u

; (xn)’ = n.x n-1 ; (u.v)’ = u’.v + u.v’

Cách giải: Ta có: y’= (x2ex)’ = 2x.e x

Phương pháp: xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian

Trong không gian cho 2 đường thẳng: d 1 qua M 1 và có VTCP u1

; d 2 qua M 2 và có VTCP u2

; Khi đó giữa 2 đường thẳng có các vị trí tương đối như sau:

- Nếu cơ số a là một số dương khác 1 thì af(x) = ag(x) <=> f(x) = g(x)

- Nếu cơ số a thay đổi thì af(x) = ag(x) <=>

0 ( 1) ( ) ( ) 0

( 1) ln 2 ln 3 1 log 3

ln 2 1

x x

Phương pháp: Sử dụng công thức:

o Phần 1: Giữ nguyên đồ thị (C) phía trên trục hoành

o Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị (C) phía dưới trục hoành qua trục hoành (bỏ phần

o Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị (C) phía bên phải trục tung qua trục tung

o Hợp hai phần đồ thị trên ta được đồ thị hàm số y f  x , C   2 3.Với y f  x , C   3 :

 Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên Ox, bỏ phần phía dưới Ox

 Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị vừa giữ

Dạng 2: Hàm nhất biến

Cho hàm số  

 

ax+b cx+d

P x y

P x

Q x

Q x

P x y

o Vậy đồ thị (H 1 ) được suy ra từ đồ thị (H) bằng cách:

 Giữ nguyên phần đồ thị (H) ở miền Q(x)>0

 Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (H) ở miền Q(x)<0 và bỏ phần đồ thị

P x

Q x

Q x

P x y

 Đề ( )f x m có 4 nghiệm phân biệt thì đường

thẳng y = m và y = -m sẽ cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt Ta lấy đồ thị đối xứng với phần phía dưới trục hoành qua trục hoành, sau đó bỏ đi phần đồ thị bên dưới trục hoành

Dựa vào đồ thị vừa vẽ ta có được m = 3; m = 0 thỏa mãn

- Nếu < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm

- Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm

Cách giải:

Để tìm hình chiếu của điểm lên đường thẳng d ta làm các bước sau:

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d ở dạng tham số

Mà do H là hình chiếu của M lên d MH u. d   0 2(2 t 3) ( t 1) 2(2 t 1)          0 t 1

 H(1;-3;2) mà M’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM’

 M’(0;-3;3)

Dựa vào các đáp án, ta có nhận xét sau:

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:

+) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y a 0

c

  , đồ thị hàm số có tiệm cận đứng

0

d y c



 

+) Hàm số đã cho là hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định nên:



Phương pháp:

Công thức tính thể tích hình trụ: chính bằng diện tích của mặt đáy nhân với chiều cao

Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: Bằng chu vi hình tròn đáy nhân với chiều cao

Công thức tính diện tích toàn phần hình trụ: bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích của

b a

S  f x dx

2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và hai đường thẳng x = a, x = b Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a,b] và hai đường thẳng x = a, x = b, ta có công thức sau: ( ) g(x)

b a

S   f x  dx

Cách giải:

b a

S  f x dx

2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và hai đường thẳng x = a, x = b Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a,b] và hai đường thẳng x = a, x = b, ta có công thức sau: ( ) g(x)

b a

S   f x  dx

Số phức z = a + bi, (a, b R) Khi đó mô đun của số phức z là: 2 2

 Hai điểm (x;y) và (x;-y) đối xứng nhau qua trục hoành

 Hai điểm (x;y) và (-x;y) đối xứng nhau qua trục tung

 Hai điểm (x;y) và (-x;-y) đối xứng qua gốc tọa độ

 Đồ thị hàm số y=f(x) và y=-f(x) đối xứng nhau qua trục hoành

Cách giải: Hàm số f(x) và hàm số f(-x) đối xứng nhau qua trục tung

Sau 1 tuần số lượng bèo là 3A suy ra sau n tuần lượng bèo là 3n.A

Để lượng bèo phủ kín mặt hồ thì 3 100 log3100 log 253

Cho số phức z   a bi z a2b2

Điểm biểu diễn của z nằm trong góc phần tư thứ nhất là: z = a + bi Điểm biểu diễn của z nằm trong góc phần tư thứ hai là: z = - a + bi Điểm biểu diễn của z nằm trong góc phần tư thứ nhất là: z = - a - bi Điểm biểu diễn của z nằm trong góc phần tư thứ nhất là: z = a - bi

AM  BCC B Suy ra hình chiếu vuông góc của AB’ trên (BCC’B’) là B’M

Vậy góc giữa đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BCC’B’) là góc AB’M và góc AB’M = 300

a

a V

là t 1

1 0

3

4, 93

10, 93 9

t

t

t t dt t t

t t

Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với d Phương trình của (P): 2x + 2y – a + 0 = 0 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên ∆, (P)