Phan Hoøa Ñaïi THCS Taây Sôn SỞ GD-ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI MTCT CẤP TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2012-2013 Thời gian làm bài: 150’ ĐỀ: Quy định: - Mỗi bài đúng được 5 điểm - Phần kết quả tính bằng MT ghi theo một trong hai cách sau: *Kết quả được ghi sau khi làm tròn đến bốn chữ số thập phân *Hoặc kết quả ghi theo yêu cầu của đề bài. Bài 1: 1.1 Tính kết quả của biểu thức A rồi điền vào ô trống: 3 9 3 7 9 3 7 2012 23,56 A 5 6 7 7 11 15 3 7 2 11 1.2 Tính giá trị gần đúng của biểu thức 1 1 1 1 B 1.3 2.4 3.5 2011.2013 Tóm tắt cách giải Kết quả Bài 2: 2.1 Cho đa thức P(x)=x 5 +ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx+e. Biết P(-2)=1994; P(-1)=2013; P(0)=2013; P(1)= 2018; P(2)= 2064. Tính P(99); P(100) 2.2 Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 1.5% /tháng. Tháng thứ nhất ngườ ấy trả cả vốn lẫn lãi là 2 triệu đồng/ tháng; từ tháng thứ hai trở đi, người ấy trả tháng sau hơn tháng trước đó 100 000 đồng. Hỏi sau bao nhiêu tháng người ấy trả hết nợ của ngân hàng? Tóm tắt cách giải Kết quả Bài 3: 3.1 Cho dãy số U 1 =1; U 2 =3; U n+2 = n 1 n 1 2 U U ;n N* 3 5 . Lập quy trình bấm máy tính để tính gần đúng giá trị U 10 và tổng S 10 của 10 số hạng đầu tiên của dãy số. 3.2 Cho dãy số : u 1 ; u 2 ; u 3 ; ; u n ; ; biết: u 1 =25 ; u 2 =u 1 +121; u 3 =u 1 +u 2 +441; u 4 =u 1 +u 2 +u 3 +1225; u 5 ==u 1 +u 2 +u 3 +u 4 +2809; … a) Viết quy trình bấm phím liên tục tính u n . b) Tính u 25 ; u 50 . Tóm tắt cách giải Kết quả Bài 4: Phan Hoøa Ñaïi THCS Taây Sôn 4.1 Cho số tự nhiên N= 2011 2013 . Viết N thành tổng của k số tự nhiên nào đó n 1 ;n 2 ; ;n k . Đặt S = 3 3 3 1 2 k n n n . Tìm số dư của phép chia S cho 6. 4.2 Cho A = 17 n -1 ( n N*) a) Tìm n N*, để A 25 b) Với n n N* nhỏ nhất để A 25, hãy tìm giá trị của A. Tóm tắt cách giải Kết quả Bài 5: Trong ∆ ABC, Cho AC= 1, 0 0 ABC 30 ;BAC 60 . Gọi D là chân đường cao hạ từ C. Tìm gần đúng ( ghi tất cả các chữ số hiện trên máy tính cầm tay) khoảng cách hai tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ACD và BCD. Tóm tắt cách giải Kết quả Bài 6: Cho ∆ ABC cân tại A, có Â=20 0 . Trên AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Viết quy trình tính tan ACD và tính góc ACD. Tóm tắt cách giải Kết quả Phan Hoøa Ñaïi THCS Taây Sôn BÀI GIẢI Bài 1: a) A 2,5351 b) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B 1.3 2.4 3.5 2011.2013 2 1 3 2 4 3 5 2011 2013 1 1 1 1 1 0,8657 2 1 2 2012 2013 Bài 2: ( 5 đ) 2.1 P(-2)=1994 =>16a-8b+4c-2d+e=2026 (1) ; P(-1)=2013=>a-b+c-d+e=2014 (2) ; P(0)=2013 => e=2013 ; P(1)= 2018=> a+b+c+d+e=2017 (3) ; P(2)= 2064=> 16a +8b+4c+2d+e=2032 (4) Thế e = 2013 vào (1); (2); (3); (4) ta được hệ 4 pt bậc nhất 4 ẩn Giải hệ ta được: a= 0,5; b=0; c= 2; d= 1,5; e = 2013 => P(x)= x 5 +0,5x 4 +2x 2 +1,5x+2013 Nhập vào MT ta tính P(99)= 9557952063 ; P(100)=10050022163 2.2 Lập quy trình ( 570-ES) D=D+1:A=A x 1.015-B:B=B+100000 CALC D0; A 100 000 000; B= 2000000 Ấn =;=;= ;… liên tục đến D=37 ta có A= -4393279,336 => Tới tháng thứ 37 người đó trả hết nợ ngân hàng và còn dư số tiền 4393279,336 đ. Bài 3: 3.1 Lập quy trình ( 570-ES): Cách 1: 2D;1A; 3B ; 4C D=D+1:A= 1 3 B+ 2 5 A:C=C+A: D=D+1: B= 1 3 A+ 2 5 B:C=C+B Khi D= 10 thì B 0.4530 ; C 11.6891 => u 10 0.4530; S 10 11.6891 Cách 2: X=X+1:C= 1 3 B+ 2 5 A:D=D+C: A=B:B=C ( X là biến đếm) 2X;1A; 3B ; 4D 3.2 u 1 =25 =5 2 = (2.1 2 +3) 2 u 2 =u 1 +121=u 1 +11 2 = u 1 +(2.2 2 +3) 2 u 3 =u 1 +u 2 +441= u 1 +u 2 + 21 2 = u 1 +u 2 +(2.3 2 +3) 2 u 4 =u 1 +u 2 +u 3 +1225= u 1 +u 2 +u 3 +35 2 = u 1 +u 2 +u 3 + (2.4 2 +3) 2 u 5 =u 1 +u 2 +u 3 +u 4 +2809= u 1 +u 2 +u 3 +u 4 +53 2 = u 1 +u 2 +u 3 +u 4 +(2.5 2 +3) 2 U n = (u 1 +u 2 +u 3 + +u n-1 )+(2.n 2 +3) 2 Gán 0A; 0 B Phan Hoøa Ñaïi THCS Taây Sôn Nhập màn hình: A=A+1:B=B+(2A 2 +3) 2 b) u 25 = 8681105 ; u 50 = 263182210 Bài 4: 4.1 Ta có S-N = 3 3 3 3 1 1 2 2 3 3 k k n n n n n n n n Vì n 3 –n = (n-1)n(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 với mọi số nguyên n, nên S-N = 3 3 3 3 1 1 2 2 3 3 k k n n n n n n n n 6 S và N có cùng số dư khi chia cho 6 Lại có 2013 2013 2011 1(mod6) 2011 1 1(mod6) => S chia 6 dư 1 4.2 Ta có 17 n -1 25 17 n -1 có 2 chữ số tận cùng là 00; 25; 50 ; 75 17 n có 2 chữ số tận cùng là 01; 26; 51 ; 76 mà 7 n chỉ có thể có chữ số tận cùng là 1; 3; 7 ;9 17 n có 2 chữ số tận cùng là 01 hoặc 51 mà để 7 n có chữ số là 1 thì n = 4k ( với k ) 17 n có 2 chữ số tận cùng là 01 hoặc 51 và n = 4k ( với k ) Ta có 17 4 21 (mod 100) 17 8 (21) 2 41(mod 100) 17 12 (21) 3 61(mod 100) 17 16 (21) 4 81(mod 100) 17 20 (21) 5 01(mod 100) 17 24 17 20 .17 4 01.21 21(mod 100) 17 28 17 20 .17 8 01.41 41(mod 100) 17 32 17 20 .17 12 01.61 61(mod 100) 17 36 17 20 .17 16 01.81 81(mod 100) 17 40 17 20 .17 20 01.01 01(mod 100) 17 44 17 40 .17 4 01.21 21(mod 100) Ta thấy 17 4k có 2 chữ số cuối cùng lặp đi lặp lại là 21; 41; 61; 81; 01 và 17 4k chỉ có hai chữ số cuối là 01 khi n = 4k = 20 m (với m ) Vậy 17 n -1 25 n = 20 m (với m ) => n nhỏ nhất khi k = 1 => A min = 17 20 -1 = 4064231406647572522401600 Bài 5:. Theo công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, ta có: ACD ACD ACD ACD 2S 3 3 3 3 1 P ;S KE 2 8 P 4 BCD BCD BCD BCD 2S 3 3 3 3 3 3 3 P ;S LF 2 8 P 4 Lại có: KH=EF=ED+DF=KM+LN=KE+LF= 0.5 => 2 2 KL KH LF KE 0.5176380902 H N M F L E K D C B A Phan Hoøa Ñaïi THCS Taây Sôn a a 80.0° H D B C A Bài 6: Đặt AD=BC = a ; AC = b. Vẽ DH AC => DH =a.sin20 0 và AH = a.cos 20 0 Lại có: 0 0 a b a.sinB a.sin80 b sinA sinB sinA sin20 => HC= b-AH = 0 0 0 a.sin80 a.cos20 sin20 => 0 0 0 0 2 0 0 0 0 DH a.sin80 tan ACD a.sin20 : a.cos20 HC sin20 sin 20 sin80 sin20 .cos20 => 0 ACD 10 . Hoøa Ñaïi THCS Taây Sôn SỞ GD-ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI MTCT CẤP TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2012-2013 Thời gian làm bài: 150’ ĐỀ: Quy định: - Mỗi bài đúng được 5 điểm - Phần kết quả tính bằng. *Kết quả được ghi sau khi làm tròn đến bốn chữ số thập phân *Hoặc kết quả ghi theo yêu cầu của đề bài. Bài 1: 1.1 Tính kết quả của biểu thức A rồi điền vào ô trống: 3 9 3 7 9 3 7 2012 23,56 A 5