Quy trình toán học hóa để phát triển các năng lực về thay đổi và các mối quan hệ của học sinh mười lăm tuổi

Từ năm 500 đến 1300 trong thế giới Hồi Giáo, Ấn Độ, Trung Quốc, đại số đã được thiết lập như là một ngành của toán học. Điều này đã mở ra việc nghiên cứu về thay đổi và các mối quan hệ một lĩnh vực mà hiện nay được xem là trọng yếu trong bất kỳ chương trình giáo dục nào, của bất kỳ quốc gia nào. PISA, viết tắt của The Programme for International Student Assessment, là chương trình đánh giá quy mô toàn cầu do các quốc gia công nghiệp phát triển thuộc tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD và một số quốc gia khác tổ chức 3 năm một lần. PISA đánh giá kiến thức và kỹ năng trong 3 lĩnh vực: đọc hiểu phổ thông, làm toán phổ thông và khoa học phổ thông của HS mười lăm tuổi, qua đó kiểm tra khả năng đáp ứng những kiến thức, kỹ năng cần thiết cho cuộc sống sau này theo chuẩn quốc tế. Đánh giá OECDPISA tập trung vào các bài toán thực tế, tiến xa hơn những loại tình huống và vấn đề thường hay gặp trong lớp học. Trong bối cảnh thực tế: tình huống khi mua sắm, đi lại, nấu nướng, giải quyết các vấn đề tài chính cá nhân, phán xét các vấn đề chính trị…ở đó việc áp dụng suy luận thay đổi và các mối quan hệ hay những năng lực toán học khác sẽ giúp làm sáng tỏ, thiết lập và giải quyết vấn đề. Việc sử dụng toán như vậy dựa trên những kỹ năng được học và được thực hành thông qua các bài toán xuất hiện một cách tiêu biểu trong các sách giáo khoa và lớp học. Tuy nhiên, bài toán thực tế đòi hỏi khả năng áp dụng những kỹ năng đó trong một hoàn cảnh ít được cơ cấu hơn. Ở đó, các hướng giải quyết là không rõ ràng và HS phải đưa ra quyết định kiến thức toán nào sẽ phù hợp và hiệu quả đối với vấn đề cần giải quyết. Nội dung toán học trong PISA có thể được minh họa bởi bốn phạm trù bao trùm các vấn đề nảy sinh ra trong quá trình tương tác với các hiện tượng thường ngày. Chúng dựa vào quan niệm về các cách mà nội dung toán học thể hiện ra cho con người. Những nội dung đó được gọi là các ý tưởng bao quát: đại lượng, không gian và hình, thay đổi và các mối quan hệ và tính không chắc chắn. Điều này có sự khác biệt với tiếp cận về nội dung quen thuộc trong quan điểm dạy toán và các mạch kiến thức chương trình tiêu biểu được dạy ở nhà trường. Tuy nhiên, các ý tưởng bao quát bao trùm một cách rộng rãi các chủ đề toán học mà HS dự kiến phải được học trong nhà trường.

1 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục 1 Danh mục các chữ viết tắt 4 Chương 1. MỞ ĐẦU 5 1. Lời giới thiệu 5 1.1. Lý do chọn đề tài 6 1.2. Phát biểu vấn đề nghiên cứu 7 2. Mục đích nghiên cứu 7 3. Câu hỏi nghiên cứu 7 4. Định nghĩa các thuật ngữ 8 5. Ý nghĩa nghiên cứu 8 6. Phương pháp và công cụ nghiên cứu 8 6.1. Phương pháp nghiên cứu 8 6.2. Đối tượng nghiên cứu 9 6.3. Phạm vi nghiên cứu 9 6.4. Công cụ nghiên cứu 9 7. Cấu trúc luận văn 9 Chương 2. TỔNG QUAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 10 1. Nền tảng lịch sử 10 1.1. Toán học có nguồn gốc thực tiễn 10 1.2. Kết nối Toán với thế giới thực 10 1.3. Một số quy trình toán học hóa 13 2. Nền tảng lý thuyết 16 2 2.1. Toán học hóa 16 2.1.1. Khái niệm toán học hóa 16 2.1.2. Quy trình toán học hóa của PISA 18 2.1.3. Bài toán tính thể tích khối tròn xoay 19 2.2. Đánh giá Toán trong PISA 21 2.2.1. Các ý tưởng bao quát 21 2.2.2. Các năng lực 22 2.2.3. Các cụm năng lực 24 2.2.4. Thay đổi và các mối quan hệ 26 Chương 3. THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU 29 1. Thiết kế nghiên cứu 29 2. Đối tượng tham gia 29 3. Công cụ nghiên cứu 29 3.1. Bộ đề kiểm tra 31 3.2. Bảng hỏi 46 4. Hạn chế 48 Chương 4. CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 50 1. Cách thức tổ chức 50 2. Kết quả thu được từ Bộ đề kiểm tra 50 Bài toán 1: Chiều cao của trẻ 52 Bài toán 2: IQ 54 Bài toán 3: Giá thuê môtô nước 56 Bài toán 4: Số HS đậu đại học 58 Bài toán 5: Giá cước taxi 59 Bài toán 6: Đèn giao thông tại ngã 6 61 Bài toán 7: Hợp đồng lao động 62 Bài toán 8: Lượng xăng tiêu thụ 63 Bài toán 9: Hồ cá 65 3 3. Kết quả thu được từ Bảng hỏi 66 Chương 5. KẾT LUẬN, LÝ GIẢI VÀ VẬN DỤNG 70 1. Kết luận 70 1.1. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất 70 1.2. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai 71 1.3. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba 72 2. Lý giải 73 2.1. Lý giải cho các kết luận của câu hỏi nghiên cứu thứ nhất 73 2.2. Lý giải cho các kết luận của câu hỏi nghiên cứu thứ hai 76 2.3. Lý giải cho các kết luận của câu hỏi nghiên cứu thứ ba 78 3. Vận dụng 81 KẾT LUẬN 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO 83 4 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT GV : Giáo viên HS : Học sinh KVNT : Khu vực nông thôn KVTP : Khu vực thành phố NCTM : National Council of Teachers of Mathematics OECD : Organization for Economic Co-operation and Development PISA : Programme for International Student Assessment SCN : Sau công nguyên TCN : Trước công nguyên THPT : Trung học phổ thông 5 Chương 1. MỞ ĐẦU 1. Lời giới thiệu Từ năm 500 đến 1300 trong thế giới Hồi Giáo, Ấn Độ, Trung Quốc, đại số đã được thiết lập như là một ngành của toán học. Điều này đã mở ra việc nghiên cứu về "thay đổi và các mối quan hệ" - một lĩnh vực mà hiện nay được xem là trọng yếu trong bất kỳ chương trình giáo dục nào, của bất kỳ quốc gia nào. PISA, viết tắt của The Programme for International Student Assessment, là chương trình đánh giá quy mô toàn cầu do các quốc gia công nghiệp phát triển thuộc tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD và một số quốc gia khác tổ chức 3 năm một lần. PISA đánh giá kiến thức và kỹ năng trong 3 lĩnh vực: đọc hiểu phổ thông, làm toán phổ thông và khoa học phổ thông của HS mười lăm tuổi, qua đó kiểm tra khả năng đáp ứng những kiến thức, kỹ năng cần thiết cho cuộc sống sau này theo chuẩn quốc tế. Đánh giá OECD/PISA tập trung vào các bài toán thực tế, tiến xa hơn những loại tình huống và vấn đề thường hay gặp trong lớp học. Trong bối cảnh thực tế: tình huống khi mua sắm, đi lại, nấu nướng, giải quyết các vấn đề tài chính cá nhân, phán xét các vấn đề chính trị…ở đó việc áp dụng suy luận "thay đổi và các mối quan hệ" hay những năng lực toán học khác sẽ giúp làm sáng tỏ, thiết lập và giải quyết vấn đề. Việc sử dụng toán như vậy dựa trên những kỹ năng được học và được thực hành thông qua các bài toán xuất hiện một cách tiêu biểu trong các sách giáo khoa và lớp học. Tuy nhiên, bài toán thực tế đòi hỏi khả năng áp dụng những kỹ năng đó trong một hoàn cảnh ít được cơ cấu hơn. Ở đó, các hướng giải quyết là không rõ ràng và HS phải đưa ra quyết định kiến thức toán nào sẽ phù hợp và hiệu quả đối với vấn đề cần giải quyết. Nội dung toán học trong PISA có thể được minh họa bởi bốn phạm trù bao trùm các vấn đề nảy sinh ra trong quá trình tương tác với các hiện tượng thường ngày. Chúng dựa vào quan niệm về các cách mà nội dung toán học thể hiện ra cho con người. Những nội dung đó được gọi là "các ý tưởng bao quát": đại lượng, không gian và hình, thay đổi và các mối quan hệ và tính không chắc chắn. Điều này có sự khác biệt với tiếp cận về nội dung quen thuộc trong quan điểm dạy toán và các mạch kiến thức chương trình tiêu biểu được dạy ở nhà trường. Tuy nhiên, "các ý tưởng bao quát" bao trùm một cách rộng rãi các chủ đề toán học mà HS dự kiến phải được học trong nhà trường. 6 1.1. Lý do chọn đề tài Trong một lần lướt web, tôi gặp bài viết của một người ông về cháu mình như sau: "Tôi có đứa cháu năm nay học lớp 8, học kì I được xếp loại giỏi. Ngày tết ngồi đọc Tuổi trẻ cười, thấy có chuyện cấp cái sổ đỏ 5m 2 , nó ngơ ngẩn hỏi 5m 2 là cỡ bao lớn. Tôi bảo nó cứ tưởng tượng đó là hình chữ nhật 6m 2 xem, các cạnh của nó sẽ có kích thước như thế nào? Nó suy nghĩ một hồi rồi nói là một cạnh 2m, một cạnh 3m nhưng diễn tả ra trên nền nhà thì nó không biết. Nó lúng túng hỏi một viên gạch có kính thước bao nhiêu. Tôi hỏi thêm: Cái giường của con chiếm diện tích bao nhiêu? Nó không trả lời được. Tôi thiệt thấy ngán cái cách dạy và học toán hiện nay. Các bạn thử cho ý kiến thêm xem sao. Nhất là các bạn đang đi học, thử nghĩ xem mình có thể vận dụng toán học để giải quyết được việc gì trong cuộc sống hay không? (ngoài việc đếm tiền)" [15]. Đáng chú ý là mọi ý kiến bình luận đều đồng tình và bày tỏ sự băn khoăn tương tự. Không ít người cảm thấy thất vọng vì đã "uổng công" học toán. Nghe người ta nói thì toán học là "chìa khóa" cho mọi vấn đề, nhưng trên thực tế thì HS sau khi tốt nghiệp lại chẳng biết dùng kiến thức toán đã học được trong nhà trường vào việc gì trong cuộc sống, nhất là những bài toán khó mà họ đã tốn bao công sức nhồi nhét trong các "lò luyện" đủ loại. Đây là một thực tế, xuất phát từ việc xác định nội dung và phương pháp dạy toán chưa hợp lý trong nhà trường hiện nay. Toán học đã bị biến thành một môn "đánh đố thuần túy", thay vì một bộ môn khoa học mang đầy chất thực tiễn. Đã có những ý kiến nói về sự lãng phí của nguồn nhân lực đang làm toán hiện nay và không ít người đã tưởng là sự thật. Tôi thiết nghĩ trong 10.000 người thì chỉ có 1 người làm toán còn 9.999 người còn lại mong muốn dùng toán như là công cụ để giải quyết các vấn đề cuộc sống như các tình huống khi mua sắm, đi lại, nấu nướng, giải quyết vấn các đề tài chính cá nhân, phán xét chính trị… Vì vậy, mong muốn toán học thực tế, gần gũi với cuộc sống là một nhu cầu chính đáng và cấp thiết. Việt Nam sẽ chính thức đăng ký tham gia Chương trình đánh giá HS Quốc tế PISA vào năm 2012. Ngày 25/6/2010 tại Vĩnh Phúc, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã tiến hành Hội thảo Quốc gia lần thứ nhất về Chương trình đánh giá HS quốc tế (PISA). Tham dự Hội thảo có Thứ trưởng Nguyễn Vinh Hiển - Trưởng Ban Chỉ đạo đánh giá trong nước và quốc tế HS phổ thông; PGS.TS Nguyễn Lộc, phó viện trưởng Viện KHGD Việt Nam, giám đốc điều phối quốc gia; giám đốc văn phòng PISA Việt Nam; đại diện Vụ; Cục thuộc Bộ và hơn 100 đại biểu đến từ các Sở Giáo dục và Đào tạo của 63 tỉnh, thành trong cả nước [16]. 7 Với những nhu cầu cấp thiết của khuynh hướng giáo dục trong tương lai, tầm quan trọng đặc biệt và hiệu quả của việc sử dụng quy trình toán học hóa trong sự phát triển tư duy cho HS; với mong muốn làm sao để toán học không khô khan và có sự cuốn hút đặc biệt đối với HS. Đó là những động lực mạnh mẽ cho tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu này. 1.2. Phát biểu vấn đề nghiên cứu Hiểu biết toán là năng lực của một cá nhân để xác định và hiểu vai trò của toán học trong cuộc sống, để đưa ra những phán xét có cơ sở, để sử dụng và gắn kết với toán học theo các cách đáp ứng nhu cầu của cuộc sống và của cá nhân đó với tư cách là một công dân có tính xây dựng, biết quan tâm và biết phản ảnh [10]. Trong khi đó, việc dạy toán của chúng ta hiện nay còn mang tính hàn lâm, chú trọng nhiều đến rèn luyện kỹ năng, chưa thật sự quan tâm đến phát triển năng lực toán và hình thành những hiểu biết toán cho HS; đặc biệt là phát triển năng lực giải quyết các vấn đề thực tế thông qua toán học, một trong những yếu tố quan trọng giúp giáo dục toán trở nên hiệu quả hơn. Có thể thay đổi cách nghĩ của HS từ ba không (khó, khô khan, không thích) sang ba có (thú vị, ý nghĩa, thích). Nếu đánh giá hiệu quả giáo dục toán theo khía cạnh HS áp dụng tri thức đã học vào giải quyết các vấn đề trong bối cảnh mới, đặc biệt là bối cảnh thực tế ra sao thì giáo dục toán của ta đem lại những kết quả khá khiêm tốn. Trong bối cảnh đó, tôi chọn đề tài: "Quy trình toán học hóa để phát triển các năng lực về thay đổi và các mối quan hệ của học sinh mười lăm tuổi" làm vấn đề nghiên cứu của mình. 2. Mục đích nghiên cứu (1) Thăm dò các năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông của HS mười lăm tuổi tại Thừa Thiên Huế. (2) Sử dụng quy trình toán học hóa của PISA để phát triển các năng lực về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông của HS mười lăm tuổi. 3. Câu hỏi nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu đó, đề tài này gắn liền với ba câu hỏi nghiên cứu sau: 1. Các năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông của HS mười lăm tuổi được thể hiện như thế nào? 2. Nâng cao các năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông có vai trò như thế nào với HS mười lăm tuổi? 3. Làm thế nào để nâng cao các năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông của HS mười lăm tuổi? 8 4. Định nghĩa các thuật ngữ  Toán học hóa: là một quá trình cơ bản mà các HS dùng để giải quyết các vấn đề thực tế được đề cập [10];  Năng lực toán: là những quá trình toán học mà HS áp dụng khi các em nỗ lực giải quyết các vấn đề, bao gồm: tư duy và suy luận; giao tiếp; mô hình hóa; đặt vấn đề và giải; biểu diển; sử dụng ngôn ngữ kí hiệu, ngôn ngữ hình thức và các phép toán; sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ [7, tr.40];  Thay đổi và các mối quan hệ: thay đổi và các mối quan hệ liên quan đến các kiến thức về toán học biểu hiện của sự thay đổi, cũng như mối quan hệ chức năng và phụ thuộc giữa các biến [13, tr.22];  Giải quyết vấn đề: là quá trình nhận thức bậc cao đòi hỏi việc sử dụng sự điều ứng và kiểm soát nhiều hơn thói quen hay những kỹ năng cơ bản. Nó chỉ xảy ra khi con người hay trí tuệ nhân tạo chưa biết cách nào tiến hành từ tình trạng đã cho đến tình trạng mong muốn (Goldstein & Levin, 1987). 5. Ý nghĩa nghiên cứu Chúng tôi mong muốn đề tài này sẽ đem đến những ý nghĩa cơ bản sau: Thứ nhất: Nghiên cứu được xem như là một thử nghiệm cho việc sử dụng quy trình toán học hóa của PISA trong việc phát triển năng lực về "thay đổi và các mối quan hệ" của HS mười lăm tuổi trong toán phổ thông. Thứ hai: Kết quả nghiên cứu cho thấy rõ tầm quan trọng của quy trình toán học hóa cũng như việc dạy toán thông qua giải quyết những vấn đề thực tế liên quan đến "thay đổi và các mối quan hệ". Thứ ba: Nghiên cứu đóng góp thêm những kiến thức cần thiết về vai trò của quy trình toán học hóa cũng như việc đem toán học gần với cuộc sống thường ngày. Thứ tư: Nghiên cứu này đề xuất một số biện pháp nhằm phát triển tư duy cho HS về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông thông qua quy trình toán học hóa PISA. 6. Phương pháp và công cụ nghiên cứu 6.1. Phương pháp nghiên cứu Trong nghiên cứu này tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau: - Nghiên cứu có tính lịch sử: khảo sát những vấn đề liên quan đến đề tài như: mô hình toán học hóa của PISA; xu hướng kết nối toán học với thực tiễn trên thế giới cũng như trong nước; nội dung toán "thay đổi và các mối quan hệ"… 9 - Nghiên cứu khảo sát: Thu thập thông tin từ HS về: suy nghĩ về toán và việc học toán; sự thể hiện các năng lực của HS trong nội dung toán "thay đổi và các mối quan hệ" và khả năng vận dụng các năng lực đó vào đời sống thực tế như thế nào. 6.2. Đối tượng nghiên cứu Luận văn tập trung vào nghiên cứu các đối tượng sau: - Quy trình toán học hóa của PISA; - Nội dung toán "thay đổi và các mối quan hệ"; - Năng lực và suy nghĩ của HS mười lăm tuổi tại Huế về "thay đổi và các mối quan hệ". 6.3. Phạm vi nghiên cứu Thành phần tham gia trong nghiên cứu này gồm: - Giáo viên: người nghiên cứu; - Học sinh: gồm 2 lớp trường THPT Hai Bà Trưng; 2 lớp trường THPT chuyên Quốc Học; 1 lớp trường THPT Nguyễn Đình Chiểu; 1 lớp trường THPT Đặng Huy Trứ. Tổng số HS tham gia thực nghiệm sư phạm là 244. 6.4. Công cụ nghiên cứu Ngoài việc sử dụng các tài liệu phục vụ cho nghiên cứu có tính lịch sử, tôi còn sử dụng các công cụ nghiên cứu: Bộ đề kiểm tra; Bảng hỏi. 7. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mục lục, danh mục các chữ viết tắt, tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày trong năm chương: Chương 1. Mở đầu; Chương 2. Tổng quan các kiến thức liên quan; Chương 3. Thiết kế nghiên cứu; Chương 4. Các kết quả nghiên cứu; Chương 5. Kết luận, lý giải và vận dụng. Tóm tắt chương 1: Trong chương này chúng tôi đã nêu lên nhu cầu nghiên cứu của đề tài. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng đã trình một số vấn đề quan trọng khác như mục đích nghiên cứu, câu hỏi nghiêm cứu, ý nghĩa nghiên cứu, phương pháp và công cụ nghiên cứu. 10 Chương 2. TỔNG QUAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN Trong chương này tôi trình bày nền tảng lịch sử; quy trình toán học hóa và nội dung toán "thay đổi và các mối quan hệ" trong khuôn khổ PISA. 1. Nền tảng lịch sử 1.1. Toán học có nguồn gốc thực tiễn Lịch sử đã cho thấy rằng, toán học có nguồn gốc thực tiễn; chính sự phát triển của thực tiễn đã có tác dụng lớn đối với toán học. Thực tiễn là cơ sở để nảy sinh, phát triển và hoàn thiện các lí thuyết toán học. Ví dụ các tập số được xây dựng từ nhu cầu thực tiễn: số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm các đồ vật; tập hợp số nguyên được xây dựng để phép trừ luôn thực hiện được hoặc các phương trình dạng a x b luôn có nghiệm; trong quá trình đo đạc nhiều khi gặp phải những đại lượng không chứa đựng một số tự nhiên hoặc do nhu cầu chia những vật ra nhiều phần bằng nhau mà số biểu diễn bởi phân số được phát sinh; hệ thống số hữu tỉ được hình thành do nhu cầu đo những đại lượng có thể xét theo hai chiều ngược nhau; hệ thống số thực được xây dựng do nhu cầu đo những đoạn thẳng, sao cho mỗi đoạn thẳng, kể cả những đoạn thẳng không đo được bằng số hữu tỉ, đều có một số đo. Trong lịch sử toán học, để giải phương trình bậc ba người ta đã phải giải phương trình bậc hai như một bước trung gian. Khi xét phương trình: 3 0xx , rõ ràng là có ba nghiệm 0, 1, -1 nhưng người ta nhận thấy rằng phương trình bậc hai trung gian của nó lại có biệt số  âm. Việc này phải chăng có mâu thuẫn? Vì phương trình bậc hai vô nghiệm khi biệt số  âm. Nhưng nếu thử chấp nhận một số có bình phương bằng -1 (một cách hình thức) để biểu thị nghiệm của phương trình bậc hai trung gian thì cuối cùng cũng đi đến ba nghiệm của phương trình bậc 3 nói trên. Thực tế này gợi ra việc cần phải mở rộng tập số thực, đưa thêm vào cả những số mà bình phương của nó là một số âm, và như thế số phức ra đời. Toán học không phải là một sản phẩm thuần tuý của trí tuệ mà được phát sinh và phát triển do như cầu thực tế cuộc sống. Chúng ta không phát minh ra toán học mà phát hiện ra chúng. Ngược lại, toán học lại xâm nhập vào thực tiễn và thúc đẩy thực tiễn phát triển. Với vai trò là công cụ, toán học sẽ giúp giải quyết các bài toán do chính thực tiễn đặt ra. 1.2. Kết nối toán với thế giới thực Là GV toán, chúng ta đều muốn làm cho toán học, cái chúng ta dạy trở nên "sinh động" hơn, "thực tế" hơn và nhiều hơn nữa tính "ứng dụng". Bằng cách làm cho nó thêm "sinh động" ta muốn thu hút HS trong việc tìm hiểu toán học. Khi đó, toán học [...]... quá trình này phải được lặp lại Trong luận văn này, chúng tôi tập trung vào phân tích làm rõ quy trình toán học hóa 1 cũng như cách thức vận dụng quy trình này vào giải quy t vấn đề trong thế giới thực trong dạy học để phát triển năng lực về "thay đổi và các mối quan hệ" cho HS mười lăm tuổi 2 Nền tảng lý thuyết 2.1 Toán học hóa Trong OECD/PISA, một quá trình cơ bản mà các HS dùng để giải quy t các. .. ngành của toán học Điều đó đã mở ra việc nghiên cứu về các mối quan hệ Với những phát minh độc lập về phép tính vi tích phân (nghiên cứu về thay đổi, sự phát triển và giới hạn) bởi Newton và Leibniz vào thế kỷ XVII, toán học đã trở thành một nghiên cứu được tích hợp về số, hình, thay đổi và các mối quan hệ Trong hai thế kỷ XIX và XX người ta thấy sự bùng nổ của tri thức toán học Các hiện tượng và vấn... hỏi về phát triển có tính lịch sử, phủ được phạm vi và phản ánh được các mạch kiến thức toán chính yếu của chương trình ở nhà trường 2.2.2 Các năng lực Những quá trình toán học mà HS áp dụng khi các em nỗ lực giải quy t các vấn đề được hiểu là các năng lực toán học Mỗi năng lực có thể đạt được ở các mức độ thành thạo khác nhau Những phần khác nhau của toán học hóa sẽ huy động các năng lực khác nhau Để. .. toàn và có năng lực vào thế giới thực tế Thực ra, học cách để toán học hóa nên là mục đích giáo dục đầu tiên cho HS 17 2.1.2 Quy trình toán học hóa của PISA Sơ đồ 2.1 là quy trình toán học hóa của PISA Trong quy trình này, để giải quy t một vấn đề thực tế, HS cần chuyển vấn đề thành một dạng toán, toàn bộ quá trình được tiếp tục trong toán học Các em sẽ nỗ lực làm việc trên mô hình của mình về bối cảnh... cũng là cách để trả toán học về với bản chất của nó Trong nhiều thập niên qua, các nhà nghiên cứu giáo dục trong và ngoài nước luôn tình kiếm, xây dựng các mô hình; các quy trình mô hình hóa toán học để hỗ trợ đắc lực cho GV trong việc giảng dạy các vấn đề trong thế giới thực Dưới đây là một vài quy trình toán học hóa tiêu biểu trong những thập niên qua 13 Quy trình 1: Quy trình toán học hóa của OECD/PISA... Bộ đề kiểm tra và Bảng hỏi phỏng theo công cụ điều tra chính của PISA và việc đánh giá mức độ hiểu biết của HS cũng dựa trên khung 29 chuẩn của PISA Dưới đây là mô tả các mức độ hiểu biết về "thay đổi và các mối quan hệ" của PISA: Cụm Mức độ năng lực hiểu biết Mức 1 Học sinh cần đạt được về "thay đổi và các mối quan hệ" - Làm việc với những thuật toán đơn giản, công thức, và các quy trình từng bước;... thuộc học  Các phương pháp phức tạp bội  Tổng quát hóa Hình 2.6 Biểu diễn các cụm năng lực 2.2.4 Thay đổi và các mối quan hệ Tất cả các hiện tượng tự nhiên là một biểu hiện của sự thay đổi Một số ví dụ như những sinh vật thay đổi khi chúng lớn, chu kỳ của mùa, dòng chảy của thủy triều, chu kỳ cho tỷ lệ thất nghiệp và thay đổi thời tiết Một số của các quá trình thay đổi có thể được mô tả hoặc mô hình hóa. .. đại lượng, về không gian và hình và về thay đổi và các mối quan hệ tạo nên các khái niệm trung tâm và chính yếu cho bất kỳ một mô tả nào về toán học, và chúng tạo nên "trái tim" của bất kỳ chương trình toán nào ở trung học, cao đẳng hay đại học Nhưng hiểu biết toán có hàm ý rộng hơn Việc xử lý tính không chắc chắn từ một quan điểm khoa học và toán học là chính yếu Với lý do này, các yếu tố của lý thuyết... hình toán học (a) (c) Tình huống thực tế (d) Kết quả toán học Sơ đồ 2.2 Quy trình mô hình hoá toán học 2 14 Quy trình 3: Quy trình mô hình hóa toán học được Frank Swetz và J S Hartzler [5, tr.3] đề xuất như sau: Hiện tượng ở thế giới thật Quan sát, thành lập Mô hình toán học Áp dụng Phân tích Kết luận dự đoán Lý giải Kết quả toán học Sơ đồ 3.3 Quy trình mô hình hoá toán học 3 Quy trình 4: Quy trình. .. Khả năng liên kết các biểu diễn toán học hình thức với các tình huống thực tế phức tạp; - Khả năng giải các bài toán phức toán và có nhiều bước Mức 6 - Sử dụng hiểu biết sâu sắc, các kỹ năng suy luận đã phát triển hoàn hảo và kiến thức có tính kỹ thuật tường minh để giải các bài toán và bắt đầu tổng quát hóa các lời giải toán học lên các bài toán thực tế phức tạp; - Lý giải các thông tin toán học phức