ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN 12 TỈNH HÀ NAM 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM 2013 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 02/03/2013 (Đề thi có 01 trang, gồm 5 câu) Câu 1.(4,0 điểm) 1) Cho hàm số 2 1 x y x + = − (H). Tìm điểm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm A,B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có bán kính nhỏ nhất với I là giao 2 đường tiệm cận 2) Cho đồ thị (C) có phương trình : 2 4 2 1y x x x= + + + . Tìm trên trục tung điểm A sao cho qua A kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C) Câu 2. (5,0 điểm) 1)Tìm số thực x thỏa mãn phương trình ( ) 2 2 2 1 2 1 1 log 2 3 log 1 2 2 2 x x x x x x    ÷   + + + + = + + + + 2)Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 1 2 1 1x x x m x− + − + = + Câu 3. (2,0 điểm) Tính tích phân J = ( ) 2 2 2 0 3 1 2 3 4 4 2 1 4 4 1 x x x x dx x x −           − − + + + + ∫ Câu 4.( 7,0điểm) 1) Cho tY diện ABCD có · · · 60 , , ,BAC CAD DAB AB a AC b AD c= = = = = = o a) Tính thể tích khối tY diện theo a,b,c. b) Cho a,b,c thay đ\i thỏa mãn 2013a b c+ + ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác BCD. 2) Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’, đáy ABC là tam giác cân có AB=AC=a( a là một số thực dương) và mặt bên ACC’A’ là hình chữ nhật có AA’ =2a. Hình chiếu H của đỉnh B lên mặt phẳng (ACC’) nằm trên đoạn thẳng A’C. Khi B thay đ\i xác định vị trí của H trên A’C sao cho khối lăng trụ ABCA’B’C’ có thể tích lớn nhất, khi đó tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Câu 5.(2,0 điểm) Cho 0; 2 x π   ∈  ÷   chYng minh rằng sin sinxx < . HẾT Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh Số báo danh Chữ ký của Giám thị 1 Chữ ký của Giám thị 2 . VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM 2013 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 02/03 /2013 (Đề thi có 01 trang,. thời gian giao đề) Ngày thi: 02/03 /2013 (Đề thi có 01 trang, gồm 5 câu) Câu 1.(4,0 điểm) 1) Cho hàm số 2 1 x y x + = − (H). Tìm điểm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai đường tiệm cận. AC b AD c= = = = = = o a) Tính thể tích khối tY diện theo a,b,c. b) Cho a,b,c thay đi thỏa mãn 2013a b c+ + ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác BCD. 2) Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’, đáy