giải phương trình siêu việt bằng matlab

MATLAB cho phép tính toán số với ma trận, vẽ đồ thị hàm số hay biểu đồ thôngtin, thực hiện thuật toán, tạo các giao diện người dùng và liên kết với những chương trìnhmáy tính viết trên n

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ MATLAB

1.1 LÀM QUEN VỚI MATLAB.

MATLAB là từ viết tắt của Matrix Laboratory, được công ty Math Works khai thác

và phát triển

MATLAB cho phép tính toán số với ma trận, vẽ đồ thị hàm số hay biểu đồ thôngtin, thực hiện thuật toán, tạo các giao diện người dùng và liên kết với những chương trìnhmáy tính viết trên nhiều ngôn ngữ lập trình khác

Với thư viện Toolbox, MATLAB cho phép mô phỏng tính toán, thực nghiệm nhiều

mô hình trong thực tế và kỹ thuật

Khả năng nổi trội của MATLAB:

Trong phạm vi đề tài này, nhóm sinh viên sử dụng MATLAB version 2010b

1.1.1 Khởi động và thoát khỏi MATLAB.

Màn hình mặc định của MATLAB khi khởi động như sau:

- Cửa sổ Command Window: cửa sổ lệnh

- Các menu quen thuộc như trong Windows như file, edit, debug,desktop, window

Hình 1.1: Giao diện chính của chương trình.

1.1.2 Trợ giúp trực tuyến trong MATLAB.

MATLAB có trợ giúp trực tuyến đối với tất cả các lệnh và hàm nội trú

Cú pháp: >> help <tên lệnh hoặc tên hàm muốn tìm hiểu>

Ví dụ 1.1:

>> help sin

SIN Sine of argument in radians.

SIN(X) is the sine of the elements of X.

See also asin, sind.

Nếu cuối câu lệnh có dấu ‘;’ thì MATLAB sẽ không hiển thị kết quả câu lệnh đó ở

phía dưới Kết quả sẽ được gán tự động vào biến ans

Chạy chương trình MATLAB với file script được soạn thảo trước, được lưu dưới

dạng file *m, khi chạy file này các lệnh trong file sẽ thứ tự được thực hiện

Ví dụ 1.3:

Ta thực hiện đoạn chương trình trên với M-file, lưu với tên file là pi.m

% Chuong trinh tinh in ra so pi"

x = 1;

format long g;

4*atan(x)

End

<Dấu ‘%’ đặt đầu câu lệnh báo cho chương trình dịch bỏ qua câu lệnh đó>

Trong cửa sổ lệnh ta chỉ việc gõ lệnh >>pi Enter

>> pi

ans =

3.1416

1.1.4 Một số biến gán sẵn và hàm nội trú của MATLAB.

Trong MATLAB có một số tên hàm và biến chuẩn Khi đặt tên m-fle và tên biến

tránh Trùng với các tên đó để tránh xảy ra xung đột Ta có bảng các tên biến và tên hàm

hay được sử dụng như sau:

Bảng 1.1: Danh sách một số biến gán sẵn và hàm nội trú của MATLAB

1 ans Tên biến chứ kết quả nếu chưa gán kết quả tính cho biến nào

2 eps Số epsilon, số thực đủ nhỏ để khi thêm vào một số thành một số khác mà MATLAB sẽ phân biệt được nó với số gốc: Eps

=2.2204.e-16

4 inf Số vô cùng, kết quả của phép chia

5 NaN Not-a-Number, số vô định, kết quả của phép chia

6 i (and) j Đơn vị ảo hay

7 realmin Số dương nhỏ nhất biểu diễn được trên MTĐT: 2.2251

8 realmax Số dương lớn nhất biểu diễn được trên MTĐT: 1.7977

9 abs(x) Hàm giá trị tuyệt đối hoặc modul của số phức x

20 log10(x) Hàm

21 real(x) Hàm lấy phần thực của số phức x

22 sign(x) Hàm dấu của số thực x

1.1.5 Định dạng dữ liệu hiển thị trên màn hình.

Tất cả các biến đều có thể được hiển thị trên màn hình theo các định dạng khácnhau phụ thuộc vào phương án sử dụng câu lệnh Format mới nhất

Cú pháp câu lệnh Format:

format <string1> [ <string 2>]

Giải thích: Lệnh FORMAT dùng để thay đổi qui cách hiển thị dữ liệu

- Nếu <string1> là:

+ ‘long’ : Hiển thị kết quả tới 16 chữ số có nghĩa

+ ‘short’ (giá trị mặc định): Hiển thị kết quả với 5 chữ số có nghĩa

+ ‘rat’: Hiển thị kết quả dạng phân số (giá trị xấp xỉ)

- Nếu <string2> là:

+ ‘e’: Hiển thị kết quả kiểu số thực dấu phẩy động

+ ‘g’: Hiển thị kết quả kiểu số thực dấu phẩy tĩnh

Ví dụ 1.4:

>> 4*atan(1)

ans = 3.1416

>> format long e; ans

ans = 34 3.141592653589793e+00

>> format long g ans

ans =

3.14159265358979

>> format rat ; ans

ans = 355/113

1.1.6 Tạo vector ma trận.

Một thế mạnh của MATLAB là xử lí được vector, ma trận và cả số phức Vector và

ma trận có thể được gán cho các biến theo nhiều cách khác nhau Cú pháp của lệnh tạovector cách đều như sau:

<Var-Name> = [First : Increment : Last]

Lệnh sẽ sinh ra một vector hàng với phần tử đầu là First, phần tử cuối là Last và số gia là Increment, mặc định là 1 Vector này sẽ được gán cho biến <Var-Name>

Ví dụ 1.5:

>> a = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]; % Tạo vector hàng

>> b = [1 ; 2 ; 3; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10];% Tạo vector cột

1.1.7 Xử lý các phần tử ma trận.

Trong MATLAB các phần tử của một vector hay ma trận có thể được xác định theonhiều cách khác nhau Một cách đơn giản nhất là viết tên ma trận đi kèm với các chỉ sốhàng và cột của của phần tử cần xử lý

1 * Phép nhân nói chung: Vô hướng –Vô hướng, Vô hướng -Vector, Vô hướng- Ma trận, Ma trận – Ma trận

2 * Phép nhân phần tử với phần tử tương ứng

4 ^ Phép luỹ thừa của từng phần tử

5 ‘ Phép chuyển vị ma trận hoặc tính số phức liên hợp

Bảng 1.3: Các hàm về kích thước vector và ma trận.

1 length(x) Trả về số phần tử của vector x hoặc max của số hàng và số cột của ma trận x

2 size(a) Trả về vector 2 chiều gồm số hàng và số cột của ma trận A

3 size(a,p) Kết quả là : số hàng nếu p =1, số cột nếu p=2 , bằng 1 nếu p>2

1.1.10 Một số ma trận chuẩn của MATLAB.

Trong MATLAB có một số ma trận được xây dựng sẵn, gọi là các ma trận chuẩn.Các ma trận đơn giản được cho ở bảng dưới đây:

1.2 NHỮNG CÂU LỆNH ĐIỀU KHIỂN CHƯƠNG TRÌNH.

1.2.1 Các toán tử, hàm quan hệ và logic.

Khi so sánh 2 số, kết quả đúng là 1 và kết quả sai là 0 Nếu các ma trận so sánh vớinhau, thì chúng phải cùng cỡ và việc so sánh thực hiện với từng phần tử tương ứng củahai ma trận và kết quả của phép so sánh là một 0-1 ma trận cùng cỡ với chúng

Bảng 1.5: Danh sách các toán tử quan hệ và logic.

2 <= So sánh nhỏ hơn hoặc bẳng

3 > So sánh lớn hơn

4 >= So sánh lớn hơn hoặc bẳng

6 ~= So sánh không bằng nhau

7 & Toán tử logic Hội

1 any(x) Bằng 1 nếu một phần tử của vector x0, ngược lại bằng 0

2 all(x) Bằng 1 nếu mọi phần tử của vector x0, ngược lại bằng 0

3 find(x)

Tạo ra một vector gồm các chỉ số của các phần tử 0 của vectorx; nếu x là ma trận thì nó được coi như vector bằng cách nối cáccột của ma trận với nhau

4 exist(‘item’

)

Bằng 0 nếu Item không tồn tại; Bằng 1 nếu Item là biến; Bằng 2nếu Item là M-file; Bằng 3 nếu Item là một Mex-file; Bằng 4nếu Item là file được dịch từ phần mềm Simulink; Bằng 5 nếuItem là tên hàm nội trú của MATLAB

5 finite(x) Là ma trận cùng cỡ với x có các phần tử là 1 nếu các phần tử

tương ứng của x là hữu hạn, ngược lại là 0

6 isnan(x) Là ma trận cùng cỡ với x có các phần tử là 1 nếu các phần tử

tương ứng của x là NaN, ngược lại là 0

7 isempty(x) Bằng 1 nếu x là ma trận rỗng, ngược lại bằng 0

8 isstr(x) Bằng 1 nếu x là một xâu, ngược lại bằng 0

9 strcmp(x,y) Bằng 1 nếu 2 xâu x và y giống nhau, ngược lại bằng 0

10 xor(x,y)

Hàm logic đối xứng xor(x,y)= x xor y Các biến x và y phải là các ma trận cùng cỡ hoặc một trong chúng phải là vô hướng Kết quả là một 0-1 ma trận cùng cỡ: phần tử của nó là 0 nếu cả

2 phần tử tương ứng của x và y cùng bằng 0 hoặc cùng khác 0

11 sign(x) Hàm dấu của x

Ví dụ: 1.13:

>> A = [ 1 2 3; 4 0 6; 0 0 0];

>> exist('A')

ans =

1

>> B=[ 1 0 3; 4 5 NaN; inf 7 8]; >> isnan(B) ans = 0 0 0

0 0 1

0 0 0

>> finite(B) ans = 1 1 1

1 1 0

0 1 1

>> any(A) ans = 1 1 1

>> any(A') ans = 1 1 0

>> all(A) 44 ans = 0 0 0

>> all(A') ans = 1 0 0

>> C=[ ]; >> isempty(C) ans = 1

>> find(A) ans = 1

2

4

7

8

>>find(A(:,1)) ans = 1

2

>> find(A(:,2))

Có thể không có hoặc có mặt nhiều lần trong cùng một câu lệnh IF

Đầu tiên, MATLAB kiểm tra giá trị của biểu thức logic <ExpL1>: Nếu nó đúng(khác 0) thì thực hiện nhóm lệnh <Commands-1> Ngược lại, nếu <ExpL1>=0,MATLAB sẽ lần lượt kiểm tra các biểu thức logic dạng <ExpL2>, nếu một biểu thứclogic là đúng thì thực hiện nhóm lệnh <Commands-2> tương ứng… hoặc sẽ thực hiện

<Commands-3> nếu không tìm thấy biểu thức logic nào cho giá trị đúng

Ta có thể mô tả câu lệnh bằng sơ đồ sau:

Toán tử phủ định NOT:được ký hiệu bằng dấu ~

Ví dụ 1.15:

Nếu (x>=0) có giá trị đúng thì ~(x>=0) có giá trị sai và ngược lại

Toán tử AND: được ký hiệu bằng dấu &

Ví dụ: nếu các biểu thức (x>=0),(y>=0) đều có giá trị đúng thì biểu thức tổ hợp(x>=0)&(y>=0) có giá trị đúng Ngược lại 1 trong 2 biểu thức trên có giá trị sai thì biểuthức tổ hợp (x>=0)&(y>=0) có giá trị sai

Toán tử OR: được ký hiệu bằng dấu |

Ví dụ: nếu các biểu thức (x>=0),(y>=0) đều có giá trị sai thì biểu thức tổ hợp(x>=0)|(y>=0) có giá trị sai Ngược lại 1 trong 2 biểu thức trên có giá trị đúng thì biểuthức tổ hợp (x>=0)|(y>=0) có giá trị đúng.

Ví dụ 1.16:

Đoạn chương trình được viết trong M-flie: phanloai.m

n = input('Cho biet diem');

Cho biet diem 8

Giải thích Câu lệnh BREAK không có tham số, dùng để chấm dứt tác dụng củamột câu lệnh có cấu trúc như: FOR, WHILE hoặc IF, SWITCH (nhảy về sau câu lệnhEND tương ứng) Nói chung, khi viết chương trình không nên dùng BREAK đối với cáccâu lệnh IF hoặc câu lệnh SWITCH.

1.3 NHÓM LỆNH INPUT, OUTPUT.

1.3.1 File dữ liệu.

Trong MATLAB, ma trận có thể được lưu trữ dưới một trong hai dạng Mat-file vàASCII file Mat-file lưu trữ dữ liệu dạng nhị phân, thích hợp cho xử lí trong các chươngtrình MATLAB ASCII file lưu trữ dữ liệu dưới dạng văn bản, thích hợp với việc truyền

dữ liệu trong các chương trình viết bằng các ngôn ngữ khác nhau

1.3.2 Mở và đóng một ASCII file.

1.3.2.1 Mở file.

Cú pháp:

FID = fopen (<File name>,<Permission>)

Giải thích MATLAB mở file có tên <Filename>, gán file cho biến file có tên FID Kiểu mở file được xác định bởi <Permission> <Permission> là một xâu có thểnhận giá trị và ý nghĩa như sau:

'r' : Mở để đọc (reading);

'w' : Mở để ghi (writing), xóa bỏ nội dung của file cũ;

'a' : Mở hoặc tạo file để ghi, nối (append) dữ liệu vào đuôi file cũ;

'r+' : Mở file (không tạo file mới) để đọc và ghi;

'w+' : Mở hoặc tạo file để đọc và ghi, xóa bỏ nội dung của file;

'a+' : Mở hoặc tạo file để đọc và ghi, nối dữ liệu vào đuôi file cũ

1.3.2.2 Đóng file.

Cú pháp:

fclose(FID) Giải thích: Lệnh FCLOSE thực hiện đóng file đã mở với tên biến là FID

Khi thực hiện các câu lệnh ghi thông tin lên file, MATLAB chỉ thực hiện cập nhậtthông tin với nội dung file đang có trong bộ nhớ Sau câu lệnh FCLOSED, nội dung mớicủa file mới thực sự được cập nhật trên đĩa Nếu không có câu lệnh này, nội dung cậpnhật có thể bị mất

Bảng 1.7: Một số lệnh trích xuất dữ liệu.

1 disp(x) Hiện giá trị của biến x hoặc một xâu kí tự lên màn hình

2 <Biến> = input (‘Lời thoại’) In xâu ‘Lời thoại’ ra màn hình và nhập dữ liệu từ bàn phím cho biến.

3 save <Tên-file> x,y Lưu các ma trận x và y vào Mat-file, mặc định kiểu file

là *.mat trong thư mục chủ

4 load <Tên-file> Nhập dữ liệu từ file, mặc định là kiểu file *.mat trong thư mục chủ

5 fprintf ('Lời thoại % format', x) Đưa ra màn hình lời thoại và giá trị của x theo định dạng của format

6 fprintf(FID, ' Lời thoại % format', x) Ghi xâu ‘Lời thoại’ và giá trị của x theo định dạng của format vào text file được mở với tên biến file là FID

Ví dụ 1.19:

>> h = input (' Cho biet chieu cao: ');

Cho biet chieu cao: | %% Gõ 15.25 và Enter

Hình 1.3: Đồ thị hàm y=sin(x).

1.4 HÀM TRONG MATLAB.

1.4.1 Phân loại hàm.

Có thể chia hàm trong MATLAB thành hai loại:

- Hàm chuẩn là các hàm nội trú, được lập sẵn của MATLAB

- Hàm do người sử dụng tạo ra là các hàm do người sử dụng MATLAB viết dướidạng hàm M-file hay dạng hàm Inline

-4

1.4.2 File kịch bản (script file hay M-file).

Script file là các file chương trình do người sử dụng viết ra được lưu dưới dạng file (*.m) M-file là loại text file nên bạn có thể sử dụng các hệ soạn thảo văn bản khácnhau để soạn thảo file hoặc bạn có thể chọn chức năng mở file (New hoặc Open) trongmenu File Khi gọi thực hiện chương trình, bạn chỉ cần gõ trên file mà không cần gõ cảphần mở rộng của file

M-1.4.3 Hàm M-file và cách tạo hàm M-file trong MATLAB.

Hàm trong MATLAB có thể được viết dưới dạng file hay hàm Inline Hàm file cần được lưu vào thư mục làm việc của MATLAB Cấu trúc của hàm M-file như sau:

M Các dòng chú thích bắt đầu là dấu %

- Một dòng bắt đầu là từ khóa function, sau đó lần lượt là: Danh sách tham số đầu ra(vô hướng hoặc vector), dấu bằng, tên hàm và danh sách các tham số đầu vào để trongngoặc đơn Dòng này được dùng để phân biệt giữa các file hàm với các script-file

- Các dòng lệnh của hàm

- Dòng cuối cùng có thể thêm từ khóa end hoặc không

Những điều cần chú ý khi tạo hàm:

- Trong hàm phải có các lệnh gán giá trị cho tham số ra Khi kết thúc thực hiện hàm,nếu một trong các tham số ra chưa được gán giá trị lần nào thì MATLAB sẽ đưa ra thôngbáo lỗi

- Các biến sử dụng trong hàm đều là các biến địa phương Tên biến trong hàm vàtên biến trong bộ nhớ hay trong chương trình gọi có thể trùng tên nhưng đó là hai biếnkhác biệt

- Trong hàm có các biến đặc biệt mặc định là nargin và nargout, chúng là các biếncục bộ Chúng tự động được gán giá trị bằng số các tham số vào và số các tham số rađược sử dụng trong câu lệnh gọi hàm

Bảng 1.9: Một số lệnh với các m-file

1 echo on/off Hiện hoặc ẩn các câu lệnh của M-file khi chúng thực hiện

2 return Kết thúc thực hiện hàm một cách bất thường

3 type <Tên-file> Xem nội dung file văn bản, mặc định đuôi file là *.m

4 what Xem danh sách M-file và MAT-file trong thư mục hiện hành

5 help <Tên-file> Hiện các câu chú thích trong M-file lên màn hình

Ví dụ 1.20:

Xây dựng m-file giải phương trình bậc 2 có tên Equa2

% Ham giai phuong trinh bac 2

F = inline('Expr','x1', 'x2', ,): Định nghĩa một hàm inline F bằng một biểu thức nằmtrong xâu 'Expr' Tên của các tham số vào của hàm lần lượt là 'x1', 'x2',

F = inline('Exp', N): Với N là một số nguyên, MATLAB sẽ tạo hàm inline F với(N+1) biến bằng một biểu thức nằm trong xâu 'Exp' Tên của các tham số vào của hàmlần lượt là 'x', 'P1' , 'P2', , ’PN’

Khi cần tính toán với một hàm số xác định từ một biểu thức đơn giản chúng ta nênđịnh nghĩa hàm dưới dạng đối tượng Inline

Ví dụ 1.21:

>> F1 = inline('pi^2')

F1 =

Inline function:

F1(x) = pi^2

>> F2 = inline('sin(2*pi*f + theta)') F2 =

1.5.1 Các lệnh tính toán thời gian của máy tính.

Khi nghiên cứu hiệu quả của một giải thuật, cái được người ta quan tâm đầu tiên làvới một bài toán cụ thể thì chương trình thực hiện giải thuật đó chạy hết bao nhiêu thờigian Trong MATLAB có một số hàm giúp người sử dụng kiểm tra thời gian thực hiệntoán của một chương trình

Bảng 1.10: Danh sách các hàm tính toán thời gian máy tính.

1 tic Khởi động đồng hồ tính thời gian

2 toc Dừng đồng hồ tính thời gian và cho biết thời gian tính toán

3 cputime Thời gian làm việc từ khi khởi động MATLAB, tính bằng đơn

Elapsed time is 0.000204 seconds

Để tính thời gian thực hiện chương trình bạn cũng có thể làm như sau:

>> t= cputime; Calpi; t=cputime –t

ans =

1 who Liệt kê các biến đang sử dụng

2 whos Liệt kê các biến đang sử dụng với chi tiết cụ thể

3 clear Xóa tất cả các biến trong bộ nhớ

4 clear x, y, z Xóa 1 hay nhiều biến cụ thể x, y, z

s 1x7 14 char array Grand total is 23 elements using 142 bytes

??? Error using ==> plus

Matrix dimensions must agree

>> t ='Viva';

>> s+t %% Được hiểu là cộng 2 ma trận

ans =

170 210 234 208

1.5.3 Tạo menu đơn giản.

Để người sử dụng có thể linh hoạt trong việc xử lý các tình huống xảy ra trong khithực hiện chương trình, ta nên bổ sung các menu vào chương trình Bạn có thể tìm hiểuphương pháp tạo menu đồ họa cao cấp hơn trong MATLAB Tuy nhiên, trong nội dungcuốn sách về các phương pháp tính toán số chúng tôi chỉ giới thiệu một cách tạo nhữngmenu đơn giản

Hàm MENU

Cú pháp:

Choice = menu (Header, Item1, Item2, ) Choice = menu (Header, ItemList)

Giải thích Hàm MENU dùng để tạo menu trên màn hình, trong đó:

- Header là một xâu dùng để tạo tiêu đề của menu;

- Item1, Item2,… là một danh sách liệt kê các xâu ghi tiêu đề các nút để người sửdụng có thể lựa chọn bằng click chuột trái; MATLAB không hạn chế số lượng xâu

- ItemList là một xâu hoặc một mảng xâu mà mỗi xâu là một tiêu đề của nút có thểđược lựa chọn;

- Kết quả trả về cho biến Choice là số thứ tự của nút được chọn Nếu chọn nút đóngcửa sổ trên menu thì kết quả là số 0 Sau đó Menu biến mất

Ví dụ 1.24:

>> k = menu('Choose a Name', 'Smith', 'Henry', 'Peter', 'Mary')

Kết quả câu lệnh trên cũng tương tự như kết quả sử dụng 2 lệnh liên tiếp:

>> ItemList={ 'Smith', 'Henry', 'Peter', 'Mary' };

>> k = menu('Choose a Name', ItemList)

Khi đó, tại góc trên bên trái màn hình sẽ xuất hiện menu có dạng:

Nếu bạn click chuột trái vào nút “Peter” trên Menu, thì kết quả hiện trên cửa sổCommand sẽ là:

k =

3 Nếu bạn click chuột trái vào nút trên góc trên bên phải của Menu, thì kết quảhiện trên cửa sổ Command sẽ là:

k =

0 Trong cả hai trường hợp trên, khi thực hiện click chuột trái xong thì Menu đều biếnmất Nếu muốn Menu chỉ có thể biến mất khi chọn nút kết thúc thì bạn nên đưa câulệnh MENU vào một vòng lặp while

- Tập Y gọi là miền giá trị.

- x gọi là biến độc lập hay còn gọi là đối số, biến số.

- y gọi là biến phụ thuộc hay còn được gọi là hàm số.

- f(x) được gọi là giá trị của hàm f tại x.

Hình 2.1: Mỗi số thuộc tập X tương ứng với một số duy nhất thuộc tập Y

qua hàm f.

Định nghĩa: Nếu một đại lượng y phụ thuộc vào một đại lượng thay đổi x sao cho một giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x, và x gọi là biến số.

2.1.3 Tập giá trị và tập xác định của hàm số.

Tập giá trị G là tập hợp các giá trị của hàm số y

Tập xác định D là tập hợp các giá trị của biến số x

Trong đó:

- Ox: trục hoành

- Oy: trục tung

- O: gốc tọa độ

- I, II, III, IV: lần lượt là góc phần tư thứ nhất, thứ hai, thứ ba và thứ tư

Biểu diễn điểm A(α, β) trên mặt phẳng tọa độ Oxy:

Ta có : A(α, β) trong đó :

α: hoành độ của điểm A

β: hoành độ của điểm A

Hình 2.2: Đồ thị hàm số y=2x+1 và y=+2x-1.

2.1.5 Sự biến thiên của hàm số.

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R.

Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng của hàm số f(x) cũng tăng lên thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên R (gọi tắt là hàm số đồng biến) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng của hàm số f(x) cũng giảm đi thì

hàm số được gọi là hàm số nghịch biến trên R (gọi tắt là hàm số nghịch biến)

Định lí : với , thuộc R.

- Nếu < mà f() < f() thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R

- Nếu < mà f() > f() thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R

phương trình (1).

Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nóitập nghiệm của nó là rỗng)

Ví dụ 2.5:

Một số loại phương trình

- Phương trình đa thức

- Phương trình chứa căn

- Phương trình chứa logarit

- Phương trình chứa phép tính lượng giác

- Phương trình chứa phân số

Chú ý: Nhiều khi giải một phương trình, ta chỉ cần, hoặc chỉ có thể tính giá trị gầnđúng của nghiệm (với độ chính xác nào đó) Giá trị đó gọi là nghiệm gần đúng củaphương trình

Chẳng hạn, bằng máy tính bỏ túi, ta tính nghiệm gần đúng (chính xác đến hàng

Khi giải phương trình f(x) = g(x), ta cần lưu ý tới điều kiện đối với ẩn số x để f(x)

và g(x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được) Ta cũng nói đó là điều kiệnxác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình)

Khi các phép toán ở hai vế của một phương trình đều thực hiện được với mọi giá trịcủa x thì ta có thể không ghi điều kiện của phương trình

2.2.3 Phương trình nhiều ẩn.

Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số,chẳng hạn:

Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn

có thể có các chữ khác, các chữ này được xem như những hằng số và được gọi là tham

số Tập nghiệm của phương trình có thể phụ thuộc vào tham số

Giải và biện luận phương trình chứa tham số nghĩa là xét xem với giá trị nào củatham số thì phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó

Chẳng hạn:

- Phương trình (m + 1)x - 3 = 0 có thể được coi là một phương trình ẩn x chứa tham

số m

- Phương trình - 2y + t = 0 có thể được coi là một phương trình ẩn y chứa tham số t

2.2.5 Phương trình tương đương và phương trình hệ quả.

2.2.5.1 Phương trình tương đương.

Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tậpnghiệm

Nếu f(x) = g(x) tương đương với (x) = (x) thì ta viết:

- Hai phương trình tương đương trên D

- Với điều kiện D, hai phương trình là tương đương với nhau

Ví dụ 2.7:

Với điều kiện x > 0, ta có hai phương trình = 1 và x = 1 tương đương với nhau.

Phép biến đổi tương đương

Để giải một phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành mộtphương trình tương đương đơn giản hơn Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phépbiến đổi tương đương

Định lí sau đây nêu lên một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng.

Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thayđổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương

- Cộng hay trừ từng vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức

- Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn

Điều kiện của phương trình là: x ≠ 0 và x ≠ 1

Nhân hai vế của phương trình (4) với x(x - 1) ta được phương trình hệ quả:

(4) => x + 3 + 3(x - 1) = x(2 - x)

=> + 2x = 0

=> x(x + 2) = 0

Phương trình cuối cùng có hai nghiệm là x = 0 và x = -2

Ta thấy x = 0 không thỏa mãn điều kiện của phương trình (4), đó là nghiệm ngoạilai, nên bị loại Còn lại x = -2 thỏa mãn điều kiện và thỏa mãn phương trình (4)

Vậy phương trình (4) có nghiệm duy nhất là x = -2

2.3 HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT.

2.3.1 Hàm số.

Hàm số chứa phép toán siêu việt là hàm số có chứa các phép toán căn thức, logarit,phép toán lượng giác hay phép toán mũ

Ví dụ 2.9:

Một số hàm số chứa phép toán siêu việt

2.3.2 Phương trình siêu việt.

Phương trình siêu việt là phương trình chứa các phép toán siêu việt như: lượng giác,logarit, mũ, căn thức Việc giải các phương trình này thường rất khó khăn, chỉ một số ítcác phương pháp được nêu ra và chỉ dành cho một số loại phương trình nhất định

Ta có các ví dụ về các phương trình siêu việt:

Ví dụ 2.10:

Các phương trình siêu việt:

- Phương trình Logarit: Là phương trình có chứa phép toán logarit:

Một số phương trình siêu việt có trong đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng:

* Đối với hàm số, phương trình có chứa căn thức bậc chẵn với n ϵ Z+:

Ví dụ 2.13:

z =

Tập xác định:

* Đối với hàm số, phương trình có chứa phép toán lượng giác:

Lưu ý về tan(x) và cot(x):

Đối với hàm số và phương trình có chứa phép toán mũ

Nếu a < 0 thì b khi tối giản không phải là (n, k ϵ Z, n ≠ 0)

CHƯƠNG 3: CƠ SỞ MATLAB VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT

3.1 CƠ SỞ MATLAB ĐỂ VẼ ĐỒ THỊ TRÊN MATLAB.

3.1.1 Câu lệnh vẽ đồ thị 2D.

Các đồ thị, hình vẽ đóng một vai trò rất quan trọng trong việc trình bày kết quả tínhtoán một vấn đề kỹ thuật nào đó: chúng luôn gây được ấn tượng mạnh mẽ và có sứcthuyết phục người nghe hơn là các con số dày đặc trong các bảng biểu

Hình 3.1: Đồ thị hàm số y = với x ϵ vẽ trên MATLAB.

Câu lệnh trên MATLAB:

>> x = [0:0.001:2];

>> y = 2*x.^2 - 3*x + 1;

>> plot(x,y)

Ý nghĩa: Vẽ đồ thị hàm y đối với x, Hai vector thực x và y phải cùng cỡ 'Symbol' làxâu quy định kiểu màu hoặc đường vẽ.

Màu vẽ cho bởi bảng sau:

Các kiểu đường thể hiện trong PLOT cho bởi bảng sau:

Bảng 3.2: Quy định kiểu đường vẽ.

- đường liên tục

đường đứt nét

- đường gạch chấm

: đường chấm chấm

Kiểu đường liên tục là kiểu đường mặc định của hàm PLOT

Câu lệnh 2: plot (y, 'symbol'): Nếu y là vector thực lệnh vẽ đồ thị của hàm y đối với

x là số thứ tự của toạ độ của y Nếu y là vector phức thì lệnh trên tương đương với:

Plot (real(y), imag(y), 'symbol')

3.1.1.b Xác định tỉ lệ trên đồ thị bằng lệnh AXIS.

Khi thực hiện lệnh plot(x,y) , Mathlab tự động chỉnh tỉ lệ trên 2 trục gồm phạm vithay đổi cuả các đại lượng, cũng như khoảng cách giữa 2 điểm đánh dấu (tick-mark) liềnnhau trên trục sao cho dễ nhìn Chúng ta có thể dùng lệnh axis để can thiệp vào chứcnăng autoscanling của Matlab

Câu lệnh: axis ([xmin xmax ymin ymax])

Ý nghĩa: Thay đổi lại tỷ lệ của các trục toạ độ

Bảng 3.3: Một số câu lệnh bổ sung:

axis auto Mặc định, MATLAB sẽ tự chọn một tỷ lệ thích hợp cho đồ thị

V = axis Trả về một vectơ hàng mô tả tỷ lệ của đồ thị hiện tại, có

dạng V = [xmin xmax ymin ymax]

axis equal Các trục toạ độ có cùng đơn vị

axis square Hộp đồ thị hình vuông

Khi xem đồ thị có thể dùng các công cụ “+” và “ –“ để phóng to thu nhỏ vùng đồ thịmuốn xem

3.1.1.c Các câu lệnh chú thích trên đồ thị.

Text (x, y, 'text'): Đặt một chú thích (trong dấu ' ') lên đồ thị tại tọa độ (x, y).

Gtext (' text '): Đặt chú thích lên đồ thị, vị trí được xác định bởi click chuột.

Title (‘text '): Tựa đề của đồ thị.

Xlabel (' text '): Ghi nhãn cho trục Ox.

Ylabel (' text '): Ghi nhãn cho trục Oy.

Lưu ý: Các hàm xlabel(‘text’), ylabel(‘text’), title(‘text’) có đối số là 1 chuỗi kí tự(string) đi liền sau hàm vẽ plot(x,y) sẽ dán các nhãn lên trục x, trục y và ghi tên đồ thị ởphía trên của hình vẽ Các hàm này phải xuất hiện sau hàm plot(x,y) và được ngăn cáchbởi dấu phẩy

Hold on/off: Bật/tắt chế độ cho phép vẽ nhiều đồ thị trong cùng một hệ trục tọa

độ

Legend (‘text1’,’text2’): Tạo 1 khung chú thích bên trong đồ thị , các chú thíchnày có các nét vẽ tương ứng đi kèm theo đúng thứ tự vẽ: text1 đi kèm với đường y1 vàtext2 đi kèm với đường y2 Chúng ta có thể dùng chuột trái để rê khung này đến vị trímong muốn

Hình 3.2: Minh họa bằng đồ thị.

3.1.1.d Vẽ đồ thị bằng các điểm được đánh dấu.

Lấy tọa độ các điểm trên đồ thị:

+ Hàm Ginput(n): Khi vẽ xong đồ thị, ta muốn lấy tọa độ 1 số điểm trên đường

này, dùng lệnh:

[x,y] = ginput (n), trong đó n là số điểm cần lấy tọa độ Khi đồ thị hiện ra, ta nhấn

phím trái chuột vào các vị trí muốn lấy tọa độ trên đồ thị, các hoành độ sẽ được chứatrong vectơ x và tung độ trong vectơ y

Vẽ đồ thị với các điểm cho trước:

Hình 3.3: Đồ thị vẽ được trên MATLAB

Ta có các kiểu data marker:

Bảng 3.4: Các kiểu data marker.

Các kiểu data marker Ký hiệu trong hàm plot

Cú pháp : FPLOT (‘string’,[xmin xmax]), trong đó:

“string” là chuỗi kí tự dùng để mô tả hàm cần vẽ.

[xmin xmax]: xác định các giá trị bé nhất và lớn nhất của đối số x.

Dạng đầy đủ: fplot(‘string’,[xmin xmax ymin ymax]), trong phạm vi thay đổi của

biến phụ thuộc cũng được xác định