T
Trang 2GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1) 5 x2 + 14 x − 9 − x2 − x − 20 = 5 x + 1
2) x5 − 15 x3 + 45 x − 27 = 0
3)
( x 5 ) 1
25 x
11
2
+
−
4) 4 ( x − 2 )( 4 − x ) +4 x − 2 +4 4 − x + 6 x 3 x = x3 + 30
5)
=
−
−
= +
−
0 x 500 yx
y
0 y 2000 xy
x
2 3
2 3
6) 5 27 x10 − 5 x6 +5 864 = 0
7) x2 + x − 1 + − x2 + x + 1 = x2 − x + 2
8)
= +
−
= +
−
= +
−
3 2
3 2
3 2
x 64 z 48 z 12
z 64 y 48 y 12
y 64 x 48 x 12
9)
+
= +
+
= +
+
= +
2001 5
19
2001 5
19
2001 5
19
y y 1890 x
z
x x 1890 z
y
z z 1890 y
x
10)
+ +
= +
+ +
= +
+ +
= +
x x x 1 z 2
z z z 1 y 2
y y y 1 x 2
2 3
2 3
2 3
11) ( x − 18 )( x − 7 )( x + 35 )( x + 90 ) = 2001 x2 12) ( 2001 − x ) (4 + 2003 − x )4 = 2000
2
x 1
x x 2 x
x 1
+
+
=
−
2
2
x a
x x c b cx
bx a
+
+ +
=
−
Với a ,b,c >0
14) x − 2 + 4 − x = 2 x2 − 5 x − 1
ðề xuất :
2
a b 2 2
b a x 2
a b 2
a b x
a b x b a x
2 2
−
−
−
−
−
=
− +
−
(Với a + 2 < b ) 15) 3 3 x2 − x + 2001 −3 x2 − 7 x + 2002 −3 6 x − 2003 =3 2002
Trang 316) 4004 x 2001
2002
2001 x
17) ( )( ) ( )( ) ( ( )( )( ) ) ( ( )( )( ) ) x
1 c b a b b
c x a x b a c a a
b x c x b c a c c
b x a x
=
−
−
−
− +
−
−
−
− +
−
−
−
−
Trong ñó a;b;c khác nhau và khác không
x 1978 1
1978 1
19) x ( x2 − 1 ) = 2
20) x + 2 x + + 2 x + 2 3 x = x
21) 1 − x2 +4 x2 + x − 1 +6 1 − x − 1 = 0
22)
2
3
2 x
−
=
−
23) 3 x2 − 2 = 2 − x3
24) 1 + 1 − x2 [ ( 1 + x )3 − ( 1 − x )3] = 2 + 1 − x2
1 y
4 2
x
36
−
−
−
−
=
−
+
−
26) x4 − 10 x3 − 2 ( a − 11 ) x2 + 2 ( 5 a + 6 ) x + 2 a + a2 = 0
27) Tìm m ñể phương trình :
( x2 − 1 ) ( x + 3 )( x + 5 ) = m
có 4 nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa mãn
1 x
1 x
1 x
1 x
1
4 3 2 1
−
= + + +
28)
= +
−
= +
−
= +
−
2 x z 2 z z
2 z y 2 y y
2 y x 2 x x
2 4 5
2 4 5
2 4
5
Tìm nghiệm dương của phương trình
29) 18 x2 − 18 x x − 17 x − 8 x − 2 = 0
30) 417 − x8 −3 2 x8 − 1 = 1
31) x2 + 2 − x = 2 x2 2 − x
=
+ +
= + + 8 xyz
z y x 8 z y
33) 19 + 10 x4 − 14 x2 = ( 5 x2 − 38 ) x2 − 2
5
x 12 x
210 x
6125 5
x
2
2
=
− +
+
Trang 435)
=
− +
−
=
− +
−
=
− +
−
0 8 y 12 y 6 z
0 8 z 12 z 6 x
0 8 x 12 x 6 y
2 3
2 3
2 3
36) ( x + 3 x + 2 )( x + 9 x + 18 ) = 168 x
37) Tìm m ñể hệ phương trình sau có ñúng 2 nghiệm
+
= +
= +
2 m y x
256 y
x
8 8 8
38) x = 2 − x 3 − x + 5 − x 3 − x + 5 − x 2 − x
1 x
2 2
+
= + +
1 x
a
>
+ +
= + +
40) 13 x − 1 + 9 x + 1 = 16 x
2
27 1
3
28 x 24 x 27
42) 5 x − 1 +3 9 − x = 2 x2 + 3 x − 1
43)
+ +
+ + +
+
= + +
= + +
1 y x
z y z y
y x x
z z
y y x
1 z y x
44) x3 − 3 x2 + 2 ( x + 2 )3 − 6 x = 0
45)
−
=
−
−
=
−
−
=
−
yz c y
a z c
xy a x
c y b
xz c z
b x a
Trong ñó a;b;c ∈ R*+
46) ( x2 − 12 x − 64 )( x2 + 30 x + 125 ) + 8000 = 0
47) ( x − 2 ) x − 1 − 2 x + 2 = 0
48)
= + +
+ + +
+
= +
+ +
n 8 x
8 x 8 x
n x
x x
n 2
1
n 2
1
Trang 549) Cho hệ phương trình:
1 b
; bn 1 b x
n x
n
1 i
2 i
n
1
=
− +
=
∑
∑
=
=
CMR:Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x1
= x2 = = xn = 1 50) 3 − x = x 3 + x
Tổng quát: bx + c = x px + q với a ; b ; q ; p ∈ R & q2 = − 3 pb
x 1 1 x 2004
2
x e d d x c b
ax = + − − với a;b;c;d;e là các hằng số cho trước
52) 4 x2 − 4 x − 10 = 8 x2 − 6 x − 10
=
−
= + 3 2 y x
1 y 3 2 x
3 3
54)
−
= +
−
−
= +
x 17 y 8 y xy 8 x
49 xy
3 x
2 2
2 3
55) 16 x4 + 5 = 6 3 4 x3 + x
56)
+
−
= +
+
−
= +
+
−
= +
1 z x 2 1 z z
1 y z 2 1 y y
1 x y 2 1 x x
3 2
3 2
3 2
57) 3 3 x + 1 +3 5 − x +3 2 x − 9 −3 4 x − 3 = 0
Tổng quát:
3
3 2 1 3
2 1 3
3 3 3
2 2 3
1
58)
= +
= + 2 x y
2 y x
3 3
2 x y
2 y x
3 k
3 k
∈
= +
= +
+ +
59) x2 − x − 1000 1 + 8000 x = 1000
60) x + 5 + x − 1 = 6
61) Tìm nghiệm dương của phương trình:
x
1 x 3 x
1 1 x
1 x x
Trang 69)
+
= +
+
= +
+
= +
2001 5
19
2001 5
19
2001 5
19
y y 1890 x
z
x x 1890 z
y
z z 1890 y
x
Ta ñi cm hệ trên có nghiệm duy nhất x = y = z Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ ⇒ − − − cũng là nghiệm của hệ ( x; y; z)
⇒ không mất tính tổng quát ta giả sử ít nhất 2 trong 3 số x, y, z không âm Ví dụ:
x≥0; y 0≥ Từ phương trình ( )1 ⇒ ≥z 0 Cộng từng vế phương trình ta có:
(z2001+1890z) (+ x2001+1890x) (+ y2001+1890z) (= z19+z5) (+ x19+x5) (+ y19+y 5)
Ta có: 0< ≤ ⇒t 1 t2001+1890t≥t19+ t5
t +1890≥t +t (ñúng)
t 1> ⇒t +1890t>t + t Thật vậy: 2001 2000 1000
cô si
t +1890 1 t> + ≥ 2t
>t18+ (ñpcm) t4 Vậy x = y = z
Bài 10: + Nếu x < 0 từ( )3 2z 1 0 z 1 y 1 x 1
⇒ + < ⇒ < ⇒ < ⇒ <
Cộng 3 phương trình với nhau:
x 1+ x 1− + y 1+ y 1− + z 1+ z 1− = (*) 0 Với x 1; y 1;z 1 ( )*
< − < − < − ⇒ vô nghiệm
x 0; y 0;z 0
⇒ > > >
Gọi (x; y;z là nghiệm của hệ phương trình, không mất tính tổng quát ta giả sử: )
x=max x;y;z Trừ (1) cho (3) ta ñược:
2 x z− = y x x− +y +xy x y 1+ + +
VT 0
VP 0
≤
dấu " "= ⇔ = = ⇒x y z
Bài 11: PT⇔(x2+17x 630 x− )( 2+83x 630− )=2001x 2
Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình ⇒chia 2 vế phương trình cho x 2
Ta có: x 17 630 x 83 630 2001
ðặt: x 630 t
x
Bài 12: t/d: pt: ( ) (4 )4
x a+ + x b+ = c ðặt: y x a b
2 +
= +
Trang 7Bài 13: ðk: 0< ≤ x 1
PT 1 x 1 2x 12(*)
+ + x 1
2
= là nghiệm pt (*)
+ 1 x 1
2< ≤ : VP 1
VT 1
>
<
+ 0 x 1
2
< < : VT>1
VP<1