Chứng minh rằng trong An một siêu mặt bậc hai không suy biến mà có tâm thì chỉ có một tâm?. Chứng minh rằng, đường tiệm cận nếu có của một siêu mặt bậc hai không suy biến thì không cắt s
Trang 1Bài tập chương 3
Bài tập 3.1 Trong bảng phân loại các đường bậc hai trong A2, hãy khảo sát các đặc trưng sau của từng đường:
1 Suy biến hay không suy biến? Hạng lớn và hạng bé bằng bao nhiêu? Có tâm hay không có tâm?
2 Tìm phương tiệm cận và đường tiệm cận (nếu có)
Bài tập ??
Bài tập 3.2 Câu hỏi tương tự bài tập ?? đối với phân loại affine các mặt bậc hai trong A3 Bài tập ??
Bài tập 3.3 Chứng minh rằng trong An một siêu mặt bậc hai không suy biến mà có tâm thì chỉ
có một tâm
Bài tập 3.3
Ta có phương trình xác định tâm của (S) là A[x] + a = 0 Do đó nếu (S) không suy biến thì det(A) khác không nên phương trình trên có nghiệm duy nhất Do đó (S) chỉ có một tâm
Bài tập 3.4 Bằng cách chọn mục tiêu thích hợp hãy xét vị trí tương đối giữa một siêu mặt bậc hai và một m-phẳng trong An
Bài tập 3.4
Chọn mục tiêu affine {O−→e
i} sao cho O ∈ α, {−→e1, , en−1} là cơ sở của α Khi đó, phương trình của α là xn= 0
Giả sử phương trình của S là
(S) :
n
X
i,j=1
aijxixj + 2
n
X
i
aixi + a0 = 0
Trang 2Ta có M ∈ (S) ∩ α, M (x1, , xn) khi và chỉ khi
n
X
i,j=1
aijxixj+ 2
n
X
i
aixi+ a0 = 0
xn = 0 hay
n−1
X
i,j=1
aijxixj+ 2
n−1
X
i
aixi+ a0 = 0
xn = 0
1 Nếu rank(aij)n−1ij=1 6= 0 thì (S) ∩ α là một siêu mặt bậc hai chứa trong α
2 Nếu rank(aij)n−1ij=1 = 0 và Pn−1
i=1 |ai| 6= 0 thì (S) ∩ α là (n − 2)-phẳng (siêu phẳng trong α.)
3 Nếu rank(aij)n−1ij=1 = 0 và a1 = a2 = · · · = an−1 = 0, a0 6= 0 thì (S) ∩ α = ∅
4 Nếu rank(aij)n−1ij=1 = 0 và a0 = a1 = a2 = · · · = an−1= 0 thì α ⊂ S
Bài tập 3.5 Chứng minh rằng, đường tiệm cận (nếu có) của một siêu mặt bậc hai không suy biến thì không cắt siêu mặt bậc hai đó
Bài tập 3.5
Bài tập 3.6 Chứng minh rằng, nếu siêu mặt bậc hai S có điểm kỳ dị thì S suy biến
Bài tập 3.6
Bài tập 3.7 Trong A2 với mục tiêu đã chọn, cho các đường bậc hai có phương trình lần lượt là:
1 S1 : 4x1 + x2 + 4x1x2+ 2x2 = 0
2 S2 : 3x1 + x2 − 2x1x2− 2x1+ 2x2+ 1 = 0
3 S3 : x1 − 4x2 + 2x1x2+ 2x2 = 0
4 S4 : 5x2
1+ 13x2
2− 16x1x2+ 4x1− 6x2 = 0
5 S5 : x2
2− 2x1x2− 2x1+ 2x2 + 1 = 0
6 S6 : 4x21+ x22− 4x1x2− 8x1 + 4x2+ 3 = 0
7 S7 : 3x2
1− 6x1x2+ 2x1 + 2x2 = 0
Hãy tìm tâm, điểm kỳ dị, phương tiệm cận và đường tiệm cận của chúng
Bài tập 3.7
Trang 31 S1 có tâm là I(−1, 1) và không có điểm kỳ dị.
2 S2 có tâm là I(0, −1) và điểm kỳ dị là I(0, −1)
3 S3 có tâm là I(−1
5,
1
5) và không có điểm kỳ dị.
4 S4 có tâm là I(−2, −1) và không có điểm kỳ dị
5 S5 có tâm là I(0, −1) và điểm kỳ dị là I(0, −1)
6 S6 có vô số tâm dạng I(t, 2t − 2) và không có điểm kỳ dị
7 S7 có tâm I(1
3,
2
3) và không có điểm kỳ dị.
Bài tập 3.8 Với các đường bậc hai cho Bài tập 3.7, hãy xác định phương trình dạng chuẩn tắc
và mục tiêu affine tương ứng
Bài tập 3.8
1 S1 : 4x2
1 + x2
2+ 4x1x2+ 2x2 = 0
Dùng phép đổi tọa độ: y1 = 2x1+ x2
x1 = 1
2y1+
1
2y2
Ta có phương trình chính tắc của (S4) là y21− 2y2 = 0
2 S4 : 5x2
1 + 13x2
2− 16x1x2+ 4x1− 6x2 = 0
Ta biến đổi phương trình S1 về dạng: (2x1− 3x2+ 1)2+ (x1− 2x2)2− 1 = 0
Dùng phép đổi tọa độ: y1 = 2x1− 3x2+ 1
x1 = 3y1− 4y2− 2
x2 = y1− 2y2− 1
Ta có phương trình chuẩn tắc của (S1) là y12+ y22− 1 = 0 với mục tiêu tương ứng là {I; −→ωi} , trong đó I(−2; −1), −→ω
1 = (3; 1), −→ω
2 = (−4; −2)
3 S5 : x22− 2x1x2− 2x1+ 2x2+ 1 = 0
y2 = x1− x2+ 1 hay
x2 = y1− y2+ 1
Ta có phương trình chuẩn tắc của (S2) là y12− y2
2 = 0
4 S6 : 4x2
1 + x2
2− 4x1x2− 8x1+ 4x2+ 3 = 0
Dùng phép đổi tọa độ: y1 = 2x1− x2− 2
x1 = 1
2y1+
1
2y2+ 1
Ta có phương trình chuẩn tắc của (S3) là y2
1 − 1 = 0
Trang 45 S7 : 3x2
1 − 6x1x2+ 2x1+ 2x2 = 0
Dùng phép đổi tọa độ: y1 = x1+ x2− 1
y2 = 2x1− x2 hay
3y1+
1
3y2+
1 3
x2 = 2
3y1 −1
3y2+
2
3.
Ta có phương trình chuẩn tắc của (S5) là y2
1 − y2
2 − 1 = 0
Bài tập 3.9 1 Cho −→α = (1, −2) Tìm đường thẳng kính liên hợp với phương h−→α i của các đường đã cho ở Bài tập 3.7
2 Cho A(0, 0) ∈ S1, hãy viết phương trình tiếp tuyến tại A của S1 Cho B(0, 1) /∈ S2, hãy viết phương trình tiếp tuyến qua B của S2
Bài tập 3.9
Bài tập 3.10 Trong A3 cho các mặt bậc hai có phương trình đối với mục tiêu đã cho lần lượt là:
1 S1 : 2x21+ 5x22+ 2x23+ 4x1x2+ 2x1x3+ 2x2x3 + 2x2+ 2x3 = 0
2 S2 : x1 + 5x2 + x3 + 2x1x2+ 6x2x3+ 2x1x3− 2x1+ 6x2 + 2x3+ 4 = 0
3 S3 : 4x2
1+ 5x2
2+ x2
3+ 8x1x2+ 4x1x3+ 6x2x3− 2x2 + 2x3− 2 = 0
4 S4 : x2
1− 2x1x2+ 4x1x3 + 2x2
2− 2x2x3+ 4x2
3− 2x1+ 6x2+ 6x3− 4 = 0
5 S5 : x21− 2x1x2+ 4x1x3+ 2x22+ 7x23+ 2x1− 4x2− 2x3+ 2 = 0
6 S6 : x2
1+ 2x1x2+ 6x1x3 − 2x1− 4x2− 14x3− 2 = 0
7 S7 : x1 + x2 + x3 + 2x1x2− 2x1− 2x2− 2x3+ 1 = 0
8 S8 : x21+ 2x1x2+ 6x1x3 − 2x1− 4x2− 12x3− 1 = 0
9 S9 : x1 − x2 + 5x3 − 6x1x3− 4x2x3+ x1+ x2− x3 = 0
Hãy tìm tâm, điểm kỳ dị, phương tiệm cận, nón tiệm cận (nếu có, xem bài tập 3.21)
Bài tập 3.10
1 S1 có tâm I(2/3, −1/3, −2/3) và không có điểm kỳ dị
2 S2 có tâm là I(2, −1, 0) và không có điểm kỳ dị
3 S3 có tâm I(0, −1, 2) và không có điểm kỳ dị
4 S4 có tâm và điểm kỳ dị là I(−10, −5, 3)
5 S5 không có tâm và điểm kỳ dị
6 S6 có vô số tâm I(1 − t, t, 1) và không có điểm kỳ dị
Trang 57 S7
8
9 S8 có vô số tâm và điểm kỳ dị là I(−1/2 + 3t, 1/2 − 2t, t)
Bài tập 3.11 Với các mặt bậc hai cho ở Bài tập 3.10, hãy xác định phương trình dạng chuẩn tắc
và mục tiêu tương ứng Những mặt nào là suy biến?
Bài tập 3.11
1 Dùng phép biến đổi mục tiêu
x1 = 1
2
√ 2y1−1 3
√
3 −1 6
√
6 + 2 3
3
√ 3y2− 1 3
3
√
6 −2 3 Khi đó S1 có phương trình chuẩn tắc y2
1 + y2
2 + y2
3 − 1 = 0
2 Dùng phép biến đổi mục tiêu
x1 = y1− 1
2y2− 1
2y3+ 2
2y2−1
2y3− 1
Khi đó S2 có phương trình chính tắc là y21+ y2
2 − y2
3− 1 = 0
3 Dùng phép đổi mục tiêu
x1 = 1
2y1− y2+1
2y3
x2 = −y1+ y2− 1
Khi đó phương trình của S3 có dạng chuẩn tắc S6 : y2
1 − y2
2− y2
3− 1 = 0
4 Dùng phép biến đổi mục tiêu
x1 = −y1+ y2+ 3y3 − 10
Khi đó phương trình chuẩn tắc của S4 là y21+ y22− y2
3 = 0
Trang 65 Dùng phép đổi mục tiêu
x1 = y1+ y2− 4y3
x2 = y2− 2y3+ 1
Khi đó phương trình chuẩn tắc của S5 là y21+ y2
2− 2y3 = 0
6 Dùng phép đổi mục tiêu
x1 = −y1+ y2+ 2
x2 = −y2− 3y3+ 2
Khi đó phương trình chuẩn tắc của S6 là y2
1− y2
2 − 2y3 = 0
7 Dùng phép biến đổi mục tiêu
x1 = y1− y3
x2 = y3 + 1
x3 = y2 + 1
Khi đó S7 có phương trình chuẩn tắc là y12+ y22− 1 = 0
8 Dùng phép đổi mục tiêu
x1 = −y1+ y2+ 2
x2 = −y2− 3y3+ 2
Khi đó phương trình chuẩn tắc của S8 : y2
1 − y2
2 − 1 = 0
9 Dùng phép biến đổi mục tiêu
x1 = y1+ 3y3− 1
2
x2 = y2− 2y3+1
2
Khi đó phương trình chuẩn tắc của S9 có dạng y21− y2
2 = 0
Bài tập 3.12 1 Cho A(43, −23, −13) ∈ S1, hãy viết phương trình siêu tiếp diện tại A của S1
2 Tự chọn một điểm B trên các mặt bậc hai đã cho ở Bài tập 3.10 và viết phương trình siêu tiếp diện qua B
Bài tập 3.12
Bài tập 3.13 Cho vector −→
d = (1, −2, 1) Tìm siêu phẳng kính liên hợp với phương h−→
d i của các mặt bậc hai cho ở Bài tập 3.10
Bài tập 3.13
Trang 7Bài tập 3.14 Trong A2 cho đường thẳng d có phương trình 2x1+ 3x2− 3 = 0 Hãy xét giao của
d và các đường bậc hai cho ở bài tập 3.7
Bài tập ??
Bài tập 3.15 Trong A3 với mục tiêu affine {O; −→e
1, −→e
2, −→e
3} cho mặt bậc hai S có phương trình
x21− 2x2
2+ x23+ 4x1x2− 8x1x3− 14(x1− x2+ x3) + 17 = 0
1 Hãy tìm tâm của S
2 Hãy chứng tỏ vector −→
c (1, 2, 3) không phải là vector chỉ phương tiệm cận của S Hãy viết phương trình siêu phẳng kính liên hợp với phương h−→c i của S.
3 Chứng tỏ điểm M0(1, −1, 2) ∈ S không là điểm kì dị của S Hãy viết phương trình siêu tiếp diện của S tại điểm M0
Bài tập 3.15
Bài tập 3.16 Trong không gian A3 với mục tiêu {O; −→e
1, −→e
2, −→e
3} cho mặt bậc hai S1 và S2 lần lượt có phương trình:
x21+ x22+ x23+ 2x1x2− 2(x1+ x2+ x3) + 1 = 0 và
x21+ 2x22+ 2x23+ 2x1x2+ 2x1x3+ 2(3x1+ 5x2+ x3) = 0
Hãy cho biết S1 và S2 có tương đương affine với nhau hay không?
Bài tập 3.16
Bài tập 3.17 Trong không gian A3 với mục tiêu {O; −→e
1, −→e
2, −→e
3} cho mặt bậc hai S có phương trình
4x21+ 3x22+ x23− 2x1x2+ 2x1x3+ 2x1 + 2x2 = 0
và điểm I(1, 0, 1)
1 Xác định phương trình dạng chuẩn tắc của S và mục tiêu tương ứng
2 Chứng minh tập hợp tất cả các tiếp tuyến của S đi qua I là một mặt bậc hai và viết phương trình của nó
Bài tập 3.17
Với phép đổi mục tiêu
4
√ 6y3−1 2
x2 = 1
3
√ 3y2+ 1 12
√ 6y3−1 2
4
√ 6y3+1 2
Trang 8phương trình của S có dạng chuẩn tắc
y12+ y22+ y32− 1 = 0
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG
Bài tập 3.18 Chứng minh rằng nếu I là tâm đối xứng của siêu mặt bậc hai S thì I là tâm của S
Bài tập 3.18
Bài tập 3.19 Nhắc lại rằng một siêu mặt bậc hai suy biến trong An với hạng của ma trận bé bằng hạng của ma trận lớn gọi là siêu nón Lúc đó hạng của ma trận bé (bằng hạng của ma trận lớn) được gọi là hạng của siêu nón
1 Chứng minh rằng siêu nón hạng r là một khái niệm affine (khái niệm không thay đổi qua các phép biến đổi affine)
2 Nếu S là một siêu nón hạng r thì tồn tại mục tiêu affine {O; −→e
i} sao cho phương trình của
S có dạng
r
X
i,j=1
aijxixj = 0, aij = aji, với hạng rank(aij) = r
3 Với O là gốc mục tiêu ở câu 2, chứng minh rằng nếu S là siêu nón và M ∈ S thì đường thẳng
OM ⊂ S Các đường OM như vậy gọi là các đường sinh thẳng của S
4 Chứng minh rằng, với một siêu nón hạng r, tập các điểm kỳ dị là một (n − r)-phẳng α gọi
là phẳng đỉnh của siêu nón Chứng minh rằng với mọi M ∈ S \ α, phẳng tổng M + α ⊂ S
5 Hãy phân loại các siêu nón trong A2, A3
Bài tập 3.19
Bài tập 3.20 Nhắc lại rằng một siêu mặt bậc hai suy biến gọi là siêu trụ nếu hạng của ma trận
bé khác hạng của ma trận lớn
1 Chứng minh rằng khái niệm siêu trụ là khái niệm affine
2 Chứng minh rằng, nếu S là siêu trụ thì tồn tại mục tiêu affine {O; −→e
i} sao cho phương trình của S có một trong hai dạng sau:
r
X
i,j=1
aijxixj + a = 0; a 6= 0; aij = aji; i, j = 1, , r; (3.1)
hoặc
r
X
i,j=1
aijxixj+ 2ar+1xr+1 = 0; ar+1 6= 0, aij = aji; i, j = 1, , r (3.2)
Trang 93 Chứng minh rằng siêu trụ không có điểm kỳ dị.
4 Gọi −→α là không gian con sinh bởi {−−→e
r+1, , −→e
n} Chứng minh rằng, nếu M ∈ S thì phẳng
α qua M với phương −→α cũng nằm trên S.
5 Gọi −→
β là không gian vector con sinh bởi {−→e
1, , −→e
r} Chứng minh rằng giao của S với r-phẳng β qua O (với O là gốc mục tiêu ở câu 2) phương −→
β là siêu mặt bậc hai trong β
có phương trình đối với mục tiêu {O; −→e
i} chính là phương trình (3.1) hoặc (3.2) tương ứng Siêu mặt bậc hai (trong β) này được gọi là đáy của siêu trụ, ký hiệu S0
6 Chứng minh rằng nếu ρ : A −→ β là phép chiếu song song lên β theo phương−→β thì ρ(S) = S0
7 Phân loại các siêu trụ trong A2, A3
Bài tập 3.20
1) Xét siêu mặt bậc hai
(S) : [x]tA[x] + 2[a]t[x] + a0 = 0, đối với một mục tiêu affine cho trước {E; Ei}
Khi đó, (S) là siêu nón khi và chỉ khi rank(A) = rank a0 [a]t
< n + 1
Giả sử f : An −→ An là phép biến đổi affine thì f biến một siêu nón thành một siêu nón Thật vậy, ta có {f (E); f (Ei)} cũng là một mục tiêu của An Với mọi M0(x1, , xn) ∈ f (S) đối với mục tiêu {f (E); f (Ei)} Khi đó tồn tại M ∈ (S) sao cho f (M ) = M0 Ta có
−
→
f (−−→
EM ) =−−−−−→
f (E)M0 =X
i
xi−−−−−−−→
f (E)f (Ei)
−
→
f (−−→
i
xi−→
f (−−→
EEi) = −→
f (X
i
xi−−→
EEi)
Suy ra −−→
i
xi
−−→
EEi Vậy M sẽ có tọa độ là M (x1, , xn) đối với mục tiêu {E; Ei}
Mặt khác, ta có M ∈ (S) nên
(S) : [x]tA[x] + 2[a]t[x] + a0 = 0 (∗)
Tóm lại tọa độ của điểm M0 thỏa mãn phương trình (∗) nên f (S) cũng là một siêu nón
Lập luận tương tự như trên, ta có siêu trụ cũng là một khái niệm affine
2) Giả sử (S) là một siêu nón có phương trình (∗) Do rank a0 [a]t
= rank(A) nên ta có
rank(A) ≤ rank[a]t
A
≤ rank a0 [a]t
(1)
Trang 10Xét hệ phương trình
a1x1 + a2x2 + · · · + anxn =a0
a11x1+ a12x2+ · · · + a1nxn =a1
an1x1+ an2x2+ · · · + annxn =an
(I)
Từ (1) suy ra hệ (I) có nghiệm
Gọi v là nghiệm của (I) Khi đó ta có
[a] = A[v]; a0 = [a]t[v]
Xét phép đổi mục tiêu
[x] = [x0] − [v]
Khi đó phương trình của (S) là
([x0] − [v])A([x0] − [v]) + 2[a]t([x0] − [v]) + a0 = 0 hay [x0]A[x0]−2[x0]A[v]+2[x0]t[a]+[v]tA[v]−2[a]t[v]+a0 Ta có A[v] = [a] và [v]tA[v]−2[a]t[v]+a0 = [v]t[a] − 2[v][a]t+ a0 = [v]t[a] − a0 = 0 Vậy phương trình của (S) là
[x0]tA[x0] = 0
3) Giả sử (S) là một siêu trụ bậc hai và có phương trình đối với một mục tiêu affine cho trước là:
(S) : Xaijxixj + 2Xaixi + a0 = 0
Khi biến đổi phương trình của (S) về dạng chính tắc thì (S) chỉ có thể một trong hai dạng (I) hoặc (III) (xem giáo trình) Do đó ta có điều cần chứng minh
Bài tập 3.21 Trong An, cho siêu mặt bậc hai không suy biến S có tâm và có phương tiệm cận Chứng minh rằng, tập tất cả các đường tiệm cận của S đi qua tâm là một siêu nón, gọi là siêu nón tiệm cận Tìm hạng và phương trình của siêu nón đó
Bài tập 3.21
Bài tập 3.22 Cho S là siêu mặt bậc hai không chứa đường thẳng nào, d là tiếp tuyến của S tại
M ∈ S Chứng minh rằng,
1 Phương −→
d không phải là phương tiệm cận,
2 M thuộc siêu phẳng kính liên hợp với phương −→
d Bài tập 3.22
Bài tập 3.23 Trong A2 cho các đường bậc hai có phương trình đối với mục tiêu đã cho lần lượt là:
Trang 111 S1 : 4x2
1 + 4x1x2+ 2x2
2 − 6x2+ 8 = 0 (Đường ellipse)
2 S2 : 4x2
1 + 4x1x2+ x2
2− 2x1 + 4 = 0 (Parabola)
3 S3 : x21+ 4x1x2+ 4x2− 2 = 0 (Hyperbola)
4 S4 : x2
1− 6x1x2− 2x1+ 8x2
2+ 12x2− 8 = 0 (Cặp đường thẳng cắt nhau)
5 S5 : x2
1+ x2
2− 2x1x2− 2x1+ 2x2 − 3 = 0 (Cặp đường thẳng song song)
Hãy tìm tâm, điểm kỳ dị, phương tiệm cận và đường tiệm cận
Bài tập 3.23
Bài tập 3.24 Với các đường bậc hai cho Bài tập 3.23, hãy xác định phương trình dạng chuẩn tắc và mục tiêu tương ứng
Bài tập 3.24
1 S1 : 4x2
1 + 4x1x2+ 2x2
2 − 6x2+ 8 = 0 Ta biến đổi S1 về dạng
S1 : (2x1+ x2)2+ (x2− 3)2− 1 = 0
Đặt
y1 = 2x1+ x2
y2 = x2− 3 hay
x1 = 1
2y1− 1
2y2− 3 2
x2 = y2+ 3 Khi đó ta có phương trình chuẩn tắc của S1 là
S1 : y21 + y22− 1 = 0
2 S2 : 4x2
1 + 4x1x2+ x2
2− 2x1 + 4 = 0 Ta biến đổi S2 về dạng
(2x1+ x2)2− 2(x1− 2) = 0
Đặt
y1 = 2x1+ x2
y2 = x1− 2 . hay
x2 = y1− 2y2 − 4 . Khi đó phương trình chuẩn tắc của S2 là y21− 2y2 = 0
Trang 123 S3 : x2
1+ 4x1x2+ 4x2− 2 = 0 Ta biến đổi S3 về dạng
(x1 + 2x2)2− (2x2− 1)2− 1 = 0
Đặt
y1 = x1+ 2x2
y2 = 2x2− 1 hay
x1 = y1 − y2− 1
2y2+
1 2
Khi đó phương trình của S3 có dạng chuẩn tắc là
S3 : y21− y2
2 − 1 = 0
4 S4 : x2
1− 6x1x2− 2x1+ 8x2
2+ 12x2− 8 = 0 Ta biến đổi S4 về dạng
S4 : (x1− 3x2− 1)2− (x2− 3)2 = 0
Đặt
y1 = x1− 3x2− 1
hay
x1 = y1+ 3y2+ 10
Khi đó phương trình chuẩn tắc của S4 : y2
1 − y2
2 = 0
5 S5 : x2
1+ x2
2− 2x1x2− 2x1+ 2x2 − 3 = 0 Ta biến đổi S5 về dạng
(x1− x2− 1)2− 4 = 0
Đặt
y1 = x1− x2− 1
hay
x1 = y1+ y2+ 1
Khi đó S5 có dạng chính tắc S5 : y2
1 − 4 = 0
Bài tập 3.25 Trong A3 cho các mặt bậc hai có phương trình đối với mục tiêu đã cho lần lượt là:
1 S1 : x21− 2x1x2+ 2x1x3+ 5x22− 6x2x3+ 6x23− 1 = 0
2 S2 : 4x2
1 − 4x1x2− 8x1x3+ 2x2
2+ 6x2x3− 4x2
3− 1 = 0
3 S3 : 9x2
1 − 12x1x2+ 6x1x3+ 3x2
2− 2x2x3− x2
3− 4x2+ 4x3− 5 = 0
Trang 134 S4 : x2
1+ 6x1x2− 2x1x3+ 10x2
2+ 6x2
3− 16x3− 16 = 0
5 S5 : 8x2
1 − 20x1x2+ 4x1x3+ 13x2
2− 4x2x3+ x2
3 − 2 = 0
6 S6 : x21− 6x1x2− 4x1x3+ 5x22+ 8x2x3+ 3x23− 2 = 0
7 S7 : x2
1− 6x1x2+ 8x2
2+ 4x2x3− 2x2− 4x2
3+ 4x3− 1 = 0
8 S8 : x2
1− 2x1x2+ 4x1x3+ 2x1+ x2
2− 4x2x3− 2x2+ 4x2
3+ 4x3 = 0
9 S9 : x2
1− 4x1x2+ 2x1+ 4x2
2 − 4x2+ 1 = 0
10 S10: 4x2
1+ 4x1x2+ 4x1x3+ x2
2+ 2x2x3+ x2
3− 2 = 0
11 S11: 13x21− 12x1x2− 6x1x3+ 4x22− 4x2x3+ 10x23− 1 = 0
12 S12: 4x2
1− 4x1x2− 4x1x3 − 8x2
2− 10x2x3− 3x2
3− 12x2− 8x3− 5 = 0
Hãy tìm tâm, điểm kỳ dị, phương tiệm cận, nón tiệm cận (nếu có)
Bài tập 3.25
Bài tập 3.26 Với các mặt bậc hai cho ở Bài tập 3.25, hãy xác định phương trình dạng chuẩn tắc
và mục tiêu tương ứng Những mặt nào là mặt trụ? Những mặt nào là mặt nón?
Bài tập 3.26
1 S1 : x2
1− 2x1x2+ 2x1x3+ 5x2
2− 6x2x3+ 6x2
3− 1 = 0
Ta biến đổi phương trình S1 về dạng: (x1− x2+ x3)2+ (2x2− x3)2+ 4x2
3 − 1 = 0 Dùng phép đổi tọa độ:
y1 = x1− x2+ x3
y2 = 2x2− x3
hay
x1 = y1− 1
2y2+
1
4y3
2y2+
1
4y3
2y3.
Ta có phương trình chuẩn tắc của (S1) là y12 + y22 + y23 − 1 = 0 với mục tiêu tương ứng là {O; −→ωi} , trong đó O(0; 0; 0), −→ω1 = (1; 0; 0), −→ω
2 = (−12;12; 0), −→ω
3 = (14;14;12)
2 S2 : 4x2
1 − 4x1x2− 8x1x3+ 2x2
2+ 6x2x3− 4x2
3− 1 = 0 Dùng phép đổi tọa độ:
y1 = 2x1− x2− 2x3
hay
x1 = 1
2y1+
1
2y2+
1
6y3
3y3
3y3.
Ta có phương trình chuẩn tắc của (S2) là y2
1 + y2
2 − y2
3 − 1 = 0