hình học affine và euclide

Đ Đ Ạ Ạ I I H H Ọ Ọ C C S S Ư Ư P P H H Ạ Ạ M M T T P P . . H H C C M M K K H H O O A A T T O O Á Á N N - - T T I I N N H H Ì Ì N N H H H H Ọ Ọ C C A A F F F F I I N N E E V V À À E E U U C C L L I I D D E E L L Ớ Ớ P P T T O O Á Á N N V V B B 2 2 - - K K 2 2 ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC HÌNH HỌC AFFINE VÀ HÌNH HỌC EUCLID (5 đvht = 75 tiết). Mô tả môn học Có ba môn hình học được giảng dạy trong chương trình của ngành Toán của ĐHSP: Hình học affine và hình học Euclid; Hình học xạ ảnh và hình học vi phân. Đây là môn hình học đầu tiên. Môn học là sự tổng quát hóa những điều mà SV đã biết khi đang là học sinh PTTH. Không gian được xét là nhiều chiều, được xây dựng bằng một hệ tiên đề chỉ với hai đối tượng cơ bản là điểm và vector. Do đó để học tốt môn này cần nắm vững các kiến thức về Đại số tuyến tính. Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là phương pháp tọa độ. Nhiều kết quả đã biết ở PTTH nay sẽ được phát biểu lại ở dạng tổng quát. Mục tiêu môn học: Giúp SV có cái nhìn tổng quát về hình học giải tích đã được học ở PTTH ở một tầm cao hơn và có phương pháp tổng quát hơn. Qua môn học này tư duy trừu tượng của SV sẽ được nâng cao. Điều này sẽ giúp cho SV sau này sẽ có thể giảng dạy bộ môn hình học ở PTTH một cách chủ động và có nhiều sáng tạo. Phương pháp đánh giá môn học Kiểm tra giữa học kỳ một lần. Điểm kiểm tra là một trong các tiêu chuẩn để xét cho SV làm niên luận hoặc dự thi hết học phần. Một số SV khá và giỏi sẽ cho làm niên luận. Cuối môn học sẽ tổ chức thi hết học phần. PHẦN 1: HÌNH HỌC AFFINE (37 tiết) Chương I: Không gian affine và phẳng. (19LT+4TH=13tiết) 1. Không gian affine. Định nghĩa và ví dụ 2. Phẳng 1 Đạt Ma Trung Định nghĩa và ví dụ. Vị trí tương đối. Tổng và giao của các phẳng. Định lý về số chiều của phẳng tổng. 3. Mục tiêu và tọa độ affine. Định nghĩa mục tiêu và tọa độ affine. Đổi mục tiêu affine. Phương trình tham số và tổng quát của m-phẳng. 4. Tâm tỉ cự. Tập lồi Định nghĩa tâm tỉ cự. Các tính chất và ví dụ. Tập lồi trong không gian affine thực. Đơn hình và hình hộp. 5. Bài tập. Chương II. Ánh xạ affine. Phép biến đổi affine. (8T+4TH=12tiết) 1. Ánh xạ affine. Định nghĩa và một số tính chất cơ bản. Đơn cấu, toàn cấu đẳng cấu. Biểu thức tọa độ của ánh xạ affine. Định lý về sự xác định ánh xạ affine. Định lý cơ bản của ánh xạ affine. 2. Phép biến đổi affine. Biểu thức tọa độ. Nhóm các phép biến đổi affine. Các phép biến đổi affine đặc biệt: phép tịnh tiến, phép vị tự 3. Sơ lược về hình học theo quan điểm Klein. Hình học của một nhóm các phép biến đổi của không gian. Tính chất và khái niệm affine. Hình học affine. 4. Bài tập Chương III. Siêu mặt bậc hai. (8LT+3BT+1KT=12 tiết) 5. Siêu mặt bậc hai. 2 Đạt Ma Trung Định nghĩa và ví dụ. Siêu mặt bậc hai là khái niệm affine. Tâm, phương tiệm cận và đường tiệm cận. Siêu phẳng kính liên hợp với một phương. Tiếp tuyến và siêu tiếp diện của siêu mặt bậc hai 6. Phân loại affine các siêu mặt bậc hai. Phương trình dạng chuẩn tắc. Phương pháp Lagrange xác định phương trình dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai. Phân loại affine các siêu mặt bậc hai. Phân loại affine các đường bậc hai trong A2. Phân loại affine các mặt bậc hai trong A3. 7. Sơ lược về phức hóa không gian affine thực. (Đọc thêm) 8. Bài tập 9. Kiểm tra giữa học kỳ. PHẦN 2. HÌNH HỌC EUCLID (38 tiết). Chương I. Không gian Euclid. (7LT+3TH=10tiết) 1. Không gian Euclid. Định nghĩa không gian Euclid và ví dụ 2. Mục tiêu trực chuẩn. Tọa độ trực chuẩn Định nghĩa và ví dụ. Sự trực giao trong không gian Euclid. Khoảng cách giữa các phẳng. Đường vuông góc chung. Các công thức tính khoảng cách. Góc trong En. Thể tích trong En. 3. Bài tập Chương II. Ánh xạ đẳng cự. Phép biến đổi đẳng cự. (8LT+3TH=11tiết) 1. Ánh xạ đẳng cự. Định nghĩa và các tính chất cơ bản. Các ví dụ. 2. Phép biến đổi đẳng cự (phép dời). 3 Đạt Ma Trung Định nghĩa. Phép dời loại 1 (phép dời thuận), phép dời loại 2 (phép dời nghịch). Dạng chính tắc của phép dời. Các ví dụ: phép đối xứng qua một m-phẳng, phép quay quanh một (n-2)-phẳng.Phân loại phép dời trong trong E2 và E3. 3. Phép đồng dạng và các tính chất. 4. Sơ lược về hình học Euclid và hình học đồng dạng. 5. Bài tập Chương III. Siêu mặt bậc hai Euclid (11LT+5BT+1Ôn tập=17tiết) 1. Siêu mặt bậc 2. 2. Phương chính và siêu phẳng kính chính. 3. Phân loại Euclid các siêu mặt bậc hai. Phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai và tên gọi. Phân loại Euclid các siêu mặt bậc hai. Phân loại Euclid các đường bậc hai trong E2. Phân loại Euclid các mặt bậc hai trong E3. 4. Siêu cầu. Định nghĩa. Miền trong và miền ngoài. Phương tích và siêu phẳng đẳng phương. Góc giữa hai siêu cầu. 5. Phép giải các bài tập affine trong không gian Euclid. 6. Nghiên cứu đường và mặt bậc hai nhờ các bất biến. Các bất biến và bán bất biến của các hàm đa thức. Các bất biến và bán bất biến của đường và mặt bậc hai. Phân loại đường bậc hai nhờ bất biến. Phân loại đường và mặt bậc hai nhờ bất biến. 7. Bài tập 8. Ôn tập 4 Đạt Ma Trung TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Michèle Audin, Geometry, Springer, 2002. 2. Đoàn Quỳnh, Hoàng Xuân Sính & Văn Như Cương, Đại số tuyến tính và hình học, tập 2, NXB Giáo dục, 1989. 3. Đoàn Quỳnh, Hoàng Xuân Sính & Văn Như Cương, Đại số tuyến tính và hình học, tập 3, NXB Giáo dục, 1989. 4. Trần Đạo Dõng & Đoàn Thế Hiếu, Hình học affine và Euclid, Đại học Huế, 1997. 5. Nguyễn Mộng Hy, Hình học cao cấp, NXB Giáo dục, 2001. 6. Nguyễn Mộng Hy, Bài tập hình học cao cấp, NXB Giáo dục, 2001. 7. Văn Như Cương, Hình học afin và Hình học Ơclít, ĐHQG Hà nội, 1998. 8. Đoàn Thế Hiếu, Bài giảng hình học affine và hình học Euclid, 2006. (tài liệu nội bộ) 9. Đoàn Thế Hiếu-Nguyễn Văn Hạnh, Bài tập hình học affine và hình học Euclid, 2006. (tài liệu nội bộ). 5 Đạt Ma Trung Chương 1 Không gian affine và phẳng 1.1 Không gian affine Hình học cổ điển trong chương trình phổ thông trung học (PTTH) được xây dựng với các đối tượng cơ bản là điểm, đường thẳng, mặt phẳng và một hệ tiên đề qui định những mối “quan hệ” ban đầu giữa chúng. Hình học định nghĩa theo cách này có ưu điểm là trực quan, dễ trình bày và phù hợp với khả năng tiếp thu cũng như trình độ của học sinh PTTH, nhưng có nhược điểm là sẽ gặp khó khăn khi mở rộng cho trường hợp nhiều chiều vì sẽ có quá nhiều đối tượng cơ bản (các phẳng) và theo đó chắc chắn sẽ là một hệ thống tiên đề phức tạp. Hơn nữa nhiều chứng minh trong hình học cổ điển thường đòi hỏi sự khôn ngoan, mưu mẹo và thường không có phương pháp thống nhất. Sau các thành tựu của đại số và nhất là của Đại số tuyến tính, người ta đã tìm thấy một cách trình bày lại hình học cổ điển đơn giản hơn, dưới dạng tổng quát hơn và có phương pháp nghiên cứu một cách thống nhất (phương pháp tọa độ). Hình học affine được xây dựng với chỉ hai đối tượng cơ bản là điểm, vector cùng với 8 tiên đề về vector và hai tiên đề về điểm. Các chứng minh trong hình học affine đa số ngắn gọn và chủ yếu sử dụng các thành tựu của Đại số tuyến tính. Các khái niệm như các phẳng (đường thẳng và mặt phẳng là các phẳng 1-chiều và 2-chiều) sẽ có định nghĩa của chúng. Có thể có những định nghĩa khác nhau (nhưng tương đương) về một không gian affine (Bài tập ?? là một ví dụ) nhưng định nghĩa dưới đây là một định nghĩa kinh điển được trình bày trong hầu hết các giáo trình về Hình học affine ở Việt Nam. 1.1.1 Không gian affine Định nghĩa 1. Cho V là một không gian vector trên trường K và A là một tập hợp khác rỗng mà các phần tử của nó được gọi là điểm. Các vector, để thuận tiện cho việc trình bày cũng như để có tính trực quan, thường được ký hiệu bằng các chữ thường với một mũi tên ở bên trên như −→ x , −→ y , . . . , −→ u , −→ v . . . ; còn các điểm thường được ký hiệu bằng các chữ hoa A, B, C . . . , M, N, P, . . . . Giả sử có ánh xạ Φ : A × A −→ V (M, N) −→ Φ(M, N) thoả mãn hai điều kiện sau: 1 6 Đạt Ma Trung Hình học affine và Euclid 1. với điểm M ∈ A và vector −→ v ∈ V, có một và chỉ một điểm N ∈ A sao cho Φ(M, N) = −→ v ; 2. với ba điểm M, N, P tuỳ ý của A ta luôn luôn có Φ(M, N) + Φ(N, P ) = Φ(M, P ). Khi đó ta nói A là một không gian affine, hay đầy đủ hơn A là không gian affine trên trường K liên kết với không gian vector V bởi ánh xạ liên kết Φ. V được gọi là không gian vector liên kết với (hay không gian nền của) A và thường được ký hiệu lại là −→ A . Còn Φ được gọi là ánh xạ liên kết và để thuận tiện cũng như trực quan hơn ta thay ký hiệu Φ(M, N) bằng −−→ MN. Khi đó các điều kiện trong định nghĩa có thể được viết lại như sau: 1. ∀M ∈ A, ∀ −→ v ∈ −→ A ; ∃! N ∈ A, −−→ MN = −→ v ; 2. ∀M, N, P ∈ A; −−→ MN + −−→ NP = −−→ MP . Đẳng thức trong điều kiện 2 của định nghĩa được gọi là hệ thức Chasles. Khi K = R, ta nói A là một không gian affine thực. Khi K = C, ta nói A là một không gian affine phức. Đôi khi ta nói A là một K-không gian affine để nhấn mạnh về trường K. (A, −→ A , Φ) là ký hiệu đầy đủ của một không gian affine. Trong trường hợp không có điều gì gây nhầm lẫn, để đơn giản ta chỉ ghi vắn tắt là A(K) hoặc A. Khi −→ A là không gian vector n-chiều thì ta nói A là không gian affine n-chiều và dùng ký hiệu A n để nhấn mạnh về số chiều của A. Ký hiệu số chiều của A là dim A. Như vậy dim A = dim −→ A . Trong giáo trình này, nếu không nói gì thêm thì không gian affine là không gian affine n-chiều và trường K sẽ là trường số thực R hoặc là trường số phức C. Tuy vậy, một số chương như các chương liên quan đến siêu mặt bậc hai chỉ sẽ chú trọng đến việc trình bày trong không gian thực. Các vấn đề liên quan đến không gian phức sẽ được giới thiệu trong các phụ lục. Các không gian affine trên một trường K tùy ý như K là trường hữu hạn, K là trường có đặc số khác không . sẽ là các đề tài dành cho sinh viên làm tiểu luận, niên luận, khóa luận hoặc đề tài nghiên cứu. 1.1.2 Các ví dụ Ví dụ 1. Đối với hình học giải tích ở PTTH, chúng ta cần phân biệt không gian ba chiều thông thường, là không gian chỉ gồm các điểm, ký hiệu là E 3 và không gian các vector “tự do”, ký hiệu là −→ E 3 . Phép cọng vector và phép nhân vector với một số thực chứng tỏ −→ E 3 là một không gian vector 2 7 Đạt Ma Trung Hình học affine và Euclid ba chiều. Khi đó việc “vẽ” vector nối hai điểm A và B chính là ánh xạ liên kết Φ. Chúng ta có E 3 là một không gian affine liên kết với −→ E 3 vì có thể kiểm tra dễ dàng ánh xạ Φ : E 3 × E 3 −→ −→ E 3 (A, B) −→ −→ AB thoả mãn các điều kiện nêu trong Định nghĩa 1. Ví dụ 2. Cho V là không gian vector trên trường K. Ánh xạ Φ : V × V −→ V ( −→ u , −→ v ) −→ Φ( −→ u , −→ v ) := −→ v − −→ u rõ ràng là thoả mãn các điều kiện của Định nghĩa 1 nên V là không gian affine liên kết với chính nó. Ta nói Φ xác định một cấu trúc affine chính tắc trên không gian vector V hay V là không gian affine với cấu trúc affine chính tắc. Trường hợp đặc biệt, V = K n = K × K · · · × K    n là một không gian affine n chiều với cấu trúc affine chính tắc. Với ví dụ này chúng ta thấy mỗi không gian vector là một không gian affine. Ngược lại chúng ta có thể đưa cấu trúc vector vào không gian affine A bằng cách chọn cố định một điểm O ∈ A và đồng nhất mỗi điểm M ∈ A với vector −−→ OM ∈ −→ A (xem Bài tập ??). Như vậy chúng ta thấy không gian affine và không gian vector cùng chiều (ví dụ không gian nền của nó chẳng hạn) chỉ “khác” nhau ở “một điểm cố định”. Chú ý. Các bài tập ở mục này sẽ cho chúng ta thêm một số ví dụ về “chuyển cấu trúc affine” từ một không gian affine vào một không gian bất kỳ nhờ một song ánh; tích của hai không gian affine (là một không gian affine); không gian affine thương và một định nghĩa khác (tương đương với Định nghĩa 1) của không gian affine v.v. . . . 1.1.3 Một số tính chất đơn giản suy ra từ định nghĩa Sau đây là một số tính chất đơn giản suy ra từ định nghĩa của không gian affine. Với mọi M, N, P, Q ∈ A, ta có 1. −−→ MN = −→ 0 khi và chỉ khi M = N, 2. −−→ MN = − −−→ NM, 3. −−→ MN = −→ P Q khi và chỉ khi −−→ MP = −−→ NQ, 4. −−→ MN = −−→ P N − −−→ P M. Chứng minh. 3 8 Đạt Ma Trung Hình học affine và Euclid 1. Giả sử M = N. Theo hệ thức Chasles ta có −−→ MM + −−→ MM = −−→ MM. Do đó −−→ MM = −→ 0 . Ngược lại, nếu −−→ MN = −→ 0 thì theo chứng minh trên ta cũng có −−→ MM = −→ 0 . Do đó, theo điều kiện thứ nhất trong Định nghĩa 1, ta có M = N. 2. Theo hệ thức Chasles ta có −−→ MN + −−→ NM = −−→ MM = −→ O . Do đó −−→ MN = − −−→ NM. 3. Ta có −−→ MN = −→ P Q ⇔ −−→ MN + −−→ NP = −−→ NP + −→ P Q ⇔ −−→ MP = −−→ NQ. 4. Suy ra từ hệ thức Chasles và tính chất 2. ✷ 1.2 Phẳng-Độc lập affine và phụ thuộc affine-Bao affine 1.2.1 Phẳng Phẳng là khái niệm mở rộng theo số chiều của các khái niệm quen thuộc như điểm (0-chiều), đường thẳng (1-chiều) và mặt phẳng (2-chiều). Trong E 3 , một đường thẳng d được hoàn toàn xác định nếu như chúng ta biết một điểm P ∈ d và một vector chỉ phương −→ v của nó. Một mặt phẳng α được hoàn toàn xác định nếu như chúng ta biết một điểm P ∈ α và một cặp vector chỉ phương { −→ u , −→ v } của nó. Chúng ta có thể mô tả đường thẳng d và mặt phẳng α như sau d = {M ∈ E 3 : −−→ P M = a −→ v ; a ∈ R}, α = {M ∈ E 3 : −−→ P M = a −→ u + b −→ v ; a, b ∈ R}. Theo cách mô tả này, định nghĩa sau đây hoàn toàn tự nhiên Định nghĩa 2. Cho (A, −→ A , Φ) là một không gian affine, P là một điểm thuộc A và −→ α là một không gian vector con của −→ A . Tập hợp α = {M ∈ A : −−→ P M ∈ −→ α } gọi là phẳng đi qua P với (không gian chỉ) phương −→ α . Nếu dim −→ α = m, ta nói α là một phẳng m-chiều hay một m-phẳng và viết dim α = m. Như vậy dim α = dim −→ α . 4 9 Đạt Ma Trung [...]... các đối tượng hình học (phương Đạt Ma Trung 11 Hình học affine và Euclid 17 pháp tọa độ trong hình học) Bắt đầu từ đây chúng ta sẽ thấy dần vai trò của Đại số tuyến tính trong việc nghiên cứu hình học affine Đại số tuyến tính cũng đóng vai trò chính trong việc xây dựng và nghiên cứu Hình học xạ ảnh Điều này giải thích lý do Hình học affine cùng với Hình học xạ ảnh, trong chương trình Hình học dành cho... và Euclid Độc lập affine và phụ thuộc affine Các khái niệm độc lập affine và phụ thuộc affine trong Hình học affine là các khái niệm tương tự các khái niệm độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính trong Đại số tuyến tính 1.2.3 Độc lập affine và phụ thuộc affine Định nghĩa 3 Hệ m + 1 điểm {A0 , A1 , , Am } (m ≥ 1) của không gian affine A được gọi là độc → − −− −− −→ −→ −− −→ lập affine nếu hệ m vector... gọi chung một cái tên là Hình học tuyến tính Chúng ta sẽ thấy nhiều kết quả của Hình học affine (và sau này là các kết quả trong Hình học xạ ảnh) chính là các kết quả của Đại số tuyến tính được “trình bày" lại theo ngôn ngữ hình học 1.4.1 Mục tiêu và tọa độ affine Trong Hình học giải tích ở PTTH hai hệ tọa độ thường được dùng là hệ tọa độ Descartes, hệ tọa độ gồm 1 điểm gốc O và một hệ các vector trực... β α và β có điểm chung nên theo Định lý 1.3.1 ta suy ra β ≡ β 2 Hình 2 Định lý 1.3.3 Trong không gian affine n chiều An cho một siêu phẳng α và một m-phẳng β (1 ≤ m ≤ n − 1) Khi đó α và β hoặc song song hoặc cắt nhau theo một (m − 1)-phẳng Chứng minh Nếu β ⊂ α thì theo định nghĩa ta có α và β song song Nếu β ⊂ α, thì α + β = A Ta có hai trường hợp Đạt Ma Trung 10 Hình học affine và Euclid 16 d Hình. .. tương tự 1.6 Tập lồi trong không gian affine thực 1.6.1 2 Tập lồi Đoạn thẳng Trong không gian affine thực A cho hai điểm P và Q Tập hợp tất cả những điểm −→ − − → − → M sao cho OM = (1 − t)OP + tOQ, với O là một điểm tùy ý và 0 ≤ t ≤ 1, được gọi là đoạn Đạt Ma Trung 21 27 Hình học affine và Euclid Hình 1.7: Các tập lồi Hình 1.8: Các tập không lồi thẳng P Q Hai điểm P và Q gọi là hai mút của đoạn thẳng... α → − − có phẳng γ chứa α và β thì P ∈ γ và phương của γ phải chứa → và β Nói cách khác ta α có γ ⊂ γ Vậy γ là phẳng bé nhất chứa α và β, tức là γ = α + β Do đó − − − → dim(α + β) = dim γ = dim → = dim(→ + β ) γ α → − − − − → = dim → + dim β − dim(→ ∩ β ) α α = dim α + dim β − dim(α ∩ β) Đạt Ma Trung 8 14 Hình học affine và Euclid − − → − → − 2 Giả sử α ∩ β = ∅ Lấy P ∈ α và Q ∈ β, theo Định lý 1.2.3... Ma Trung 9 Hình học affine và Euclid 15 d Hình 1.3: Hai mặt phẳng song song hay hai mặt phẳng chéo nhau cấp 2 Hình 1.4: Đường thẳng song song với mặt phẳng hay đường thẳng và mặt phẳng chéo nhau cấp 1 6 Theo Định lý 1.2.4, trong E3 không tồn tại hai mặt phẳng chéo nhau cấp 0 hoặc cấp 1 Định lý 1.3.1 Cho hai phẳng song song α và β Nếu α ∩ β = ∅ thì α ⊂ β hoặc β ⊂ α Chứng minh − − → Do α và β có điểm... −→ − xi O Ai i=0 2 Nếu chúng ta chọn O = A0 , thì ta có −− −→ C = { M ∈ A : A0 M = m n −− −→ xi A0 Ai , xi ≥ 0, x1 + x2 + · · · + xm ≤ 1} i=1 Đạt Ma Trung 24 Hình học affine và Euclid 30 Hình 1.9: Đơn hình và hình hộp Định lý 1.6.2 Mỗi đơn hình là một tập lồi −→ − −→ −→ − − −→ − m m Chứng minh Giả sử M, N ∈ C, OM = i=0 yi OAi ; xi , yi ≥ 0, i = i=0 xi OAi , ON = m 0, 1, 2, , m; m xi = 1, i=0 yi... tiêu (3) Đạt Ma Trung 27 33 Hình học affine và Euclid Bài tập 1.21 Trong không gian affine An với một mục tiêu affine cho trước, hãy xét giao của đường thẳng và siêu phẳng cho bởi các phương trình x 1 − b1 x 2 − b2 xn − b n = = = a1 a2 an và n ci xi + d = 0 i=1 Bài tập 1.22 Trong A4 viết phương trình tổng quát của phẳng có số chiều bé nhất → − − 1 đi qua điểm A(1, 2, 1, 1) và có phương chứa hai vector... x2 + · · · + xm = 1} i=0 được gọi là một đơn hình m-chiều hay m-đơn hình Các điểm A0 , A1 , , Am gọi là các đỉnh của C Từ định nghĩa, 0-đơn hình là một điểm, 1-đơn hình là một đoạn thẳng Theo cách gọi thông thường 2-đơn hình gọi là tam giác, 3-đơn hình gọi là tứ diện Trong m-đơn hình C lấy (k + 1) đỉnh (0 ≤ k ≤ m − 1) thì (k + 1) đỉnh đó lập thành một k-đơn hình gọi là mặt bên k-chiều của C Khi đó (m . CƯƠNG MÔN HỌC HÌNH HỌC AFFINE VÀ HÌNH HỌC EUCLID (5 đvht = 75 tiết). Mô tả môn học Có ba môn hình học được giảng dạy trong chương trình của ngành Toán của ĐHSP: Hình học affine và hình học Euclid;. phương khác nhau. 5 10 Đạt Ma Trung Hình học affine và Euclid 1.2.2 Độc lập affine và phụ thuộc affine Các khái niệm độc lập affine và phụ thuộc affine trong Hình học affine là các khái niệm tương. Cương, Hình học afin và Hình học Ơclít, ĐHQG Hà nội, 1998. 8. Đoàn Thế Hiếu, Bài giảng hình học affine và hình học Euclid, 2006. (tài liệu nội bộ) 9. Đoàn Thế Hiếu-Nguyễn Văn Hạnh, Bài tập hình