hình học affine và euclide

Chương 1Không gian affine và phẳng 1.1 Không gian affine Hình học cổ điển trong chương trình phổ thông trung học PTTH được xây dựng với các đốitượng cơ bản là điểm, đường thẳng, mặt phẳn

KHOA TOÁN - TIN

AFFINE VÀ EUCLIDE

ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC HÌNH HỌC AFFINE VÀ HÌNH HỌC EUCLID

(5 đvht = 75 tiết)

Mô tả môn học

Có ba môn hình học được giảng dạy trong chương trình của ngành Toán của ĐHSP: Hình học affine và hình học Euclid; Hình học xạ ảnh và hình học vi phân Đây là môn hình học đầu tiên Môn học là sự tổng quát hóa những điều mà SV đã biết khi đang là học sinh PTTH Không gian được xét là nhiều chiều, được xây dựng bằng một hệ tiên đề chỉ với hai đối tượng cơ bản là điểm và vector Do đó để học tốt môn này cần nắm vững các kiến thức về Đại số tuyến tính Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là phương pháp tọa độ Nhiều kết quả đã biết ở PTTH nay sẽ được phát biểu lại ở dạng tổng quát

Mục tiêu môn học:

Giúp SV có cái nhìn tổng quát về hình học giải tích đã được học ở PTTH ở một tầm cao hơn và có phương pháp tổng quát hơn Qua môn học này tư duy trừu tượng của SV sẽ được nâng cao Điều này sẽ giúp cho SV sau này sẽ có thể giảng dạy bộ môn hình học ở PTTH một cách chủ động và có nhiều sáng tạo

Phương pháp đánh giá môn học

Kiểm tra giữa học kỳ một lần Điểm kiểm tra là một trong các tiêu chuẩn để xét cho SV làm niên luận hoặc dự thi hết học phần Một số SV khá và giỏi sẽ cho làm niên luận Cuối môn học sẽ tổ chức thi hết học phần

PHẦN 1: HÌNH HỌC AFFINE (37 tiết)

Chương I: Không gian affine và phẳng (19LT+4TH=13tiết)

1 Không gian affine

Định nghĩa và ví dụ

2 Phẳng

Đạt Ma Trung

Định nghĩa và ví dụ Vị trí tương đối Tổng và giao của các phẳng Định lý về số chiều của phẳng tổng

3 Mục tiêu và tọa độ affine

Định nghĩa mục tiêu và tọa độ affine Đổi mục tiêu affine Phương trình tham số và tổng quát của m-phẳng

Định nghĩa và một số tính chất cơ bản Đơn cấu, toàn cấu đẳng cấu

Biểu thức tọa độ của ánh xạ affine Định lý về sự xác định ánh xạ affine Định lý

cơ bản của ánh xạ affine

2 Phép biến đổi affine

Biểu thức tọa độ Nhóm các phép biến đổi affine Các phép biến đổi affine đặc biệt: phép tịnh tiến, phép vị tự

3 Sơ lược về hình học theo quan điểm Klein

Hình học của một nhóm các phép biến đổi của không gian Tính chất và khái niệm affine Hình học affine

4 Bài tập

Chương III Siêu mặt bậc hai (8LT+3BT+1KT=12 tiết)

5 Siêu mặt bậc hai

Định nghĩa và ví dụ Siêu mặt bậc hai là khái niệm affine Tâm, phương tiệm cận

và đường tiệm cận Siêu phẳng kính liên hợp với một phương Tiếp tuyến và siêu tiếp diện của siêu mặt bậc hai

6 Phân loại affine các siêu mặt bậc hai

Phương trình dạng chuẩn tắc Phương pháp Lagrange xác định phương trình dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai Phân loại affine các siêu mặt bậc hai Phân loại affine các đường bậc hai trong A2 Phân loại affine các mặt bậc hai trong A3

7 Sơ lược về phức hóa không gian affine thực (Đọc thêm)

8 Bài tập

9 Kiểm tra giữa học kỳ

PHẦN 2 HÌNH HỌC EUCLID (38 tiết)

Chương I Không gian Euclid (7LT+3TH=10tiết)

1 Không gian Euclid

Định nghĩa không gian Euclid và ví dụ

2 Mục tiêu trực chuẩn Tọa độ trực chuẩn

Định nghĩa và ví dụ Sự trực giao trong không gian Euclid Khoảng cách giữa các phẳng Đường vuông góc chung Các công thức tính khoảng cách Góc trong En Thể tích trong En

Định nghĩa Phép dời loại 1 (phép dời thuận), phép dời loại 2 (phép dời nghịch) Dạng chính tắc của phép dời Các ví dụ: phép đối xứng qua một m-phẳng, phép quay quanh một (n-2)-phẳng.Phân loại phép dời trong trong E2 và E3

3 Phân loại Euclid các siêu mặt bậc hai

Phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai và tên gọi Phân loại Euclid các siêu mặt bậc hai Phân loại Euclid các đường bậc hai trong E2 Phân loại Euclid các mặt bậc hai trong E3

4 Siêu cầu

Định nghĩa Miền trong và miền ngoài Phương tích và siêu phẳng đẳng phương Góc giữa hai siêu cầu

5 Phép giải các bài tập affine trong không gian Euclid

6 Nghiên cứu đường và mặt bậc hai nhờ các bất biến

Các bất biến và bán bất biến của các hàm đa thức Các bất biến và bán bất biến của đường và mặt bậc hai Phân loại đường bậc hai nhờ bất biến Phân loại đường và mặt bậc hai nhờ bất biến

7 Bài tập

8 Ôn tập

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Michèle Audin, Geometry, Springer, 2002

2 Đoàn Quỳnh, Hoàng Xuân Sính & Văn Như Cương, Đại số tuyến tính

5 Nguyễn Mộng Hy, Hình học cao cấp, NXB Giáo dục, 2001

6 Nguyễn Mộng Hy, Bài tập hình học cao cấp, NXB Giáo dục, 2001

7 Văn Như Cương, Hình học afin và Hình học Ơclít, ĐHQG Hà nội,

Chương 1

Không gian affine và phẳng

1.1 Không gian affine

Hình học cổ điển trong chương trình phổ thông trung học (PTTH) được xây dựng với các đốitượng cơ bản là điểm, đường thẳng, mặt phẳng và một hệ tiên đề qui định những mối “quan hệ”ban đầu giữa chúng Hình học định nghĩa theo cách này có ưu điểm là trực quan, dễ trình bày

và phù hợp với khả năng tiếp thu cũng như trình độ của học sinh PTTH, nhưng có nhược điểm

là sẽ gặp khó khăn khi mở rộng cho trường hợp nhiều chiều vì sẽ có quá nhiều đối tượng cơ bản(các phẳng) và theo đó chắc chắn sẽ là một hệ thống tiên đề phức tạp Hơn nữa nhiều chứng minhtrong hình học cổ điển thường đòi hỏi sự khôn ngoan, mưu mẹo và thường không có phương phápthống nhất Sau các thành tựu của đại số và nhất là của Đại số tuyến tính, người ta đã tìm thấymột cách trình bày lại hình học cổ điển đơn giản hơn, dưới dạng tổng quát hơn và có phương phápnghiên cứu một cách thống nhất (phương pháp tọa độ) Hình học affine được xây dựng với chỉ haiđối tượng cơ bản là điểm, vector cùng với 8 tiên đề về vector và hai tiên đề về điểm Các chứngminh trong hình học affine đa số ngắn gọn và chủ yếu sử dụng các thành tựu của Đại số tuyếntính Các khái niệm như các phẳng (đường thẳng và mặt phẳng là các phẳng 1-chiều và 2-chiều)

sẽ có định nghĩa của chúng Có thể có những định nghĩa khác nhau (nhưng tương đương) về mộtkhông gian affine (Bài tập ?? là một ví dụ) nhưng định nghĩa dưới đây là một định nghĩa kinhđiển được trình bày trong hầu hết các giáo trình về Hình học affine ở Việt Nam

1.1.1 Không gian affine

Định nghĩa 1 Cho V là một không gian vector trên trường K và A là một tập hợp khác rỗng

mà các phần tử của nó được gọi là điểm Các vector, để thuận tiện cho việc trình bày cũng như

để có tính trực quan, thường được ký hiệu bằng các chữ thường với một mũi tên ở bên trên như

−

→x , −→y , , −→u , −→v ; còn các điểm thường được ký hiệu bằng các chữ hoa A, B, C , M, N, P, Giả sử có ánh xạ

Φ : A × A −→ V(M, N ) 7−→ Φ(M, N )thoả mãn hai điều kiện sau:

1 với điểm M ∈ A và vector−→v ∈ V, có một và chỉ một điểm N ∈ A sao cho Φ(M, N) =−→v ;

2 với ba điểm M, N, P tuỳ ý của A ta luôn luôn có

Đẳng thức trong điều kiện 2 của định nghĩa được gọi là hệ thức Chasles

Khi K = R, ta nói A là một không gian affine thực Khi K = C, ta nói A là một không gian affinephức

Đôi khi ta nói A là một K-không gian affine để nhấn mạnh về trường K

(A,−→A , Φ) là ký hiệu đầy đủ của một không gian affine Trong trường hợp không có điều gì gâynhầm lẫn, để đơn giản ta chỉ ghi vắn tắt là A(K) hoặc A

Khi −→

A là không gian vector n-chiều thì ta nói A là không gian affine n-chiều và dùng ký hiệu An

để nhấn mạnh về số chiều của A Ký hiệu số chiều của A là dim A Như vậy

dim A = dim−→A

Trong giáo trình này, nếu không nói gì thêm thì không gian affine là không gian affine n-chiều

và trường K sẽ là trường số thực R hoặc là trường số phức C Tuy vậy, một số chương như cácchương liên quan đến siêu mặt bậc hai chỉ sẽ chú trọng đến việc trình bày trong không gian thực.Các vấn đề liên quan đến không gian phức sẽ được giới thiệu trong các phụ lục Các không gianaffine trên một trường K tùy ý như K là trường hữu hạn, K là trường có đặc số khác không sẽ

là các đề tài dành cho sinh viên làm tiểu luận, niên luận, khóa luận hoặc đề tài nghiên cứu

E3 Phép cọng vector và phép nhân vector với một số thực chứng tỏ−→

E3 là một không gian vector

Đạt Ma Trung

ba chiều Khi đó việc “vẽ” vector nối hai điểm A và B chính là ánh xạ liên kết Φ Chúng ta có E3

là một không gian affine liên kết với −→

E3 vì có thể kiểm tra dễ dàng ánh xạ

Φ : E3× E3 −→−→E3(A, B) 7−→−→

ABthoả mãn các điều kiện nêu trong Định nghĩa 1

Ví dụ 2 Cho V là không gian vector trên trường K Ánh xạ

Φ : V × V −→ V(−→u , −→v ) 7−→ Φ(−→u , −→v ) := −→v − −→u

rõ ràng là thoả mãn các điều kiện của Định nghĩa 1 nên V là không gian affine liên kết với chính

nó Ta nói Φ xác định một cấu trúc affine chính tắc trên không gian vector V hay V là không gianaffine với cấu trúc affine chính tắc

Với ví dụ này chúng ta thấy mỗi không gian vector là một không gian affine Ngược lại chúng ta

có thể đưa cấu trúc vector vào không gian affine A bằng cách chọn cố định một điểm O ∈ A vàđồng nhất mỗi điểm M ∈ A với vector −−→OM ∈−→

A (xem Bài tập ??) Như vậy chúng ta thấy khônggian affine và không gian vector cùng chiều (ví dụ không gian nền của nó chẳng hạn) chỉ “khác”nhau ở “một điểm cố định”

Chú ý Các bài tập ở mục này sẽ cho chúng ta thêm một số ví dụ về “chuyển cấu trúc affine”

từ một không gian affine vào một không gian bất kỳ nhờ một song ánh; tích của hai không gianaffine (là một không gian affine); không gian affine thương và một định nghĩa khác (tương đươngvới Định nghĩa 1) của không gian affine v.v

1.1.3 Một số tính chất đơn giản suy ra từ định nghĩa

Sau đây là một số tính chất đơn giản suy ra từ định nghĩa của không gian affine

1 Giả sử M = N Theo hệ thức Chasles ta có

M N =−→

0 thì theo chứng minh trên ta cũng có −−→

M M = −→

0 Do đó, theo điềukiện thứ nhất trong Định nghĩa 1, ta có M = N

Theo cách mô tả này, định nghĩa sau đây hoàn toàn tự nhiên

Định nghĩa 2 Cho (A,−→A , Φ) là một không gian affine, P là một điểm thuộc A và −→α là mộtkhông gian vector con của −→

A Tập hợp

α = {M ∈ A : −−→P M ∈ −→α }gọi là phẳng đi qua P với (không gian chỉ) phương −→α

Nếu dim −→α = m, ta nói α là một phẳng m-chiều hay một m-phẳng và viết dim α = m Như vậy

dim α = dim −→α

Đạt Ma Trung

P M v

Hình 1.1: Đường thẳng được xác định bởi một

điểm và một vector chỉ phương

P

M

a b

Hình 1.2: Mặt phẳng được xác định bởi mộtđiểm và một cặp vector chỉ phương

Theo cách gọi thông thường, 1-phẳng là đường thẳng, còn 2-phẳng là mặt phẳng Siêu phẳng là têngọi của phẳng có đối chiều 1, tức là nếu số chiều của không gian là n thì số chiều của siêu phẳng

2 0-phẳng là tập chỉ gồm một điểm Do đó ta có thể xem một điểm là một 0-phẳng

3 Điểm P trong định nghĩa của phẳng α không đóng vai trò gì đặc biệt so với các điểm kháccủa α, điểm P bình đẳng với mọi điểm của α Điều này có nghĩa là:

∀Q ∈ α; α = {M ∈ A :−−→QM ∈ −→α }.

4 Giả sử α là phẳng đi qua P với phương −→α và β là phẳng đi qua Q với phương −→β Khi đó

α ⊂ β khi và chỉ khi P ∈ β và −→α ⊂−→β

Từ đó suy ra α ≡ β khi và chỉ khi P ∈ β (hay Q ∈ α) và −→α ≡ −→β

5 Nếu α là phẳng với phương −→α thì α là không gian affine liên kết với −→α bởi ánh xạ liên kết

Φ|α×α : α × α −→ −→α

Chính vì thế chúng ta có thể xem phẳng là không gian affine con

Để xác định phương −→α của một m-phẳng α chúng ta chỉ cần biết một cơ sở của −→α là đủ Chính vìthế ở PTTH người ta dùng các khái niệm vector chỉ phương của một đường thẳng và cặp vectorchỉ phương của một mặt phẳng thay cho khái niệm không gian chỉ phương của chúng

Do đó, trong trường hợp nhiều chiều chúng ta có thể dùng tên gọi hệ vector chỉ phương để chỉ một

cơ sở của không gian chỉ phương Có điều đáng chú ý là một m-phẳng chỉ có một không gian chỉphương duy nhất nhưng có vô số hệ vector chỉ phương khác nhau

1.2.2 Độc lập affine và phụ thuộc affine

Các khái niệm độc lập affine và phụ thuộc affine trong Hình học affine là các khái niệm tương tựcác khái niệm độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính trong Đại số tuyến tính

1.2.3 Độc lập affine và phụ thuộc affine

Định nghĩa 3 Hệ m + 1 điểm {A0, A1, , Am} (m ≥ 1) của không gian affine A được gọi là độclập affine nếu hệ m vector {−−−→

A0A1,−−−→

A0A2, ,−−−→

A0Am} của −→A là một hệ vector độc lập tuyến tính.

Hệ điểm không độc lập affine gọi là phụ thuộc affine

Chú ý

1 Trong giáo trình này, cũng như trong một số các giáo trình về ĐSTT, khái niệm hệ vectorkhác với khái niệm tập hợp, mặc dù dùng ký hiệu như nhau Trong một số giáo trình khác,nhiều tác giả sử dụng ký hiệu ( ) để chỉ một hệ vector

2 Đối với hệ các điểm, đôi khi chúng ta sẽ nói vắn tắt độc lập và phụ thuộc thay cho cụm từđộc lập affine và phụ thuộc affine Còn khi nói về hệ các vector thì các cụm từ độc lập vàphụ thuộc sẽ thay cho độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

3 Tập gồm chỉ một điểm A0 bất kỳ (trường hợp m = 0) luôn được qui ước là độc lập

4 Trong định nghĩa trên điểm A0 bình đẳng như các điểm khác vì dễ chứng minh rằng (chứngminh xin dành cho bạn đọc), hệ {−−−→

6 Hệ con của một hệ độc lập là độc lập, còn hệ con của một hệ phụ thuộc thì chưa chắc đãphụ thuộc

Ví dụ 3 1 Hệ hai điểm {P, Q} trong A là độc lập khi và chỉ khi P 6= Q

2 Hệ ba điểm {P, Q, R} trong A là độc lập khi và chỉ khi chúng không thuộc một đường thẳng(không thẳng hàng)

3 Hệ bốn điểm {P, Q, R, S} trong A là độc lập khi và chỉ khi chúng không cùng thuộc mộtmặt phẳng (không đồng phẳng)

4 Tổng quát, hệ m + 1 điểm {A0, A1, , Am} trong A là độc lập khi và chỉ khi chúng khôngcùng thuộc một (m − 1)-phẳng

Đạt Ma Trung

Định lý 1.2.1 Trong không gian affine n chiều An, với 0 < m ≤ n + 1, luôn tồn tại các hệ mđiểm độc lập Mọi hệ gồm hơn n + 1 điểm đều phụ thuộc.

1.2.4 Giao của các phẳng-Bao affine

Cho {αi : i ∈ I} là một họ không rỗng các phẳng trong không gian affine A

i∈Iαi khi và chỉ khi

M ∈ αi, ∀i ∈ I; tức là khi và chỉ khi−−→

i∈Iαi trong Định lý 1.2.2 được gọi là phẳng giao của các phẳng αi

Từ định nghĩa trên, chúng ta dễ nhận thấy rằng T

i∈Iαi chính là phẳng lớn nhất (theo quan hệbao hàm) chứa trong tất cả các phẳng αi, i ∈ I

Định nghĩa 5 Cho X là một tập con khác rỗng của không gian affine A Khi đó giao của mọiphẳng chứa X trong A sẽ là một cái phẳng, gọi là bao affine của X, ký hiệu hXi

Bao affine hXi của tập X là cái phẳng bé nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa X

Định nghĩa 6 Cho {αi : i ∈ I} là một họ không rỗng các phẳng Bao affine của tập hợp S

i∈Iαi

được gọi là phẳng tổng (hay vắn tắt tổng) của các phẳng αi, ký hiệu P

i∈Iαi

Như vậy phẳng tổng là phẳng bé nhất (có số chiều bé nhất) chứa tất cả các αi, i ∈ I

Khi I là tập hữu hạn, chẳng hạn I = {1, 2, , m} thì ta viết α1+ α2+ + αm hay Pm

i=1αi đểbiểu thị cho tổng của các phẳng αi, thay cho P

i∈Iαi

Dễ thấy rằng nếu X là một hệ hữu hạn điểm, X = {P0, P1, , Pm}, thì tổng P0+ P1 + + Pm(xem các Pi là các 0-phẳng) là phẳng có số chiều bé nhất đi qua các điểm này Hơn nữa dim(P0+

P1 + + Pm) = rank{−−→

P0P1,−−→

P0P1, −−−→

P0Pm} Do đó, nếu hệ điểm {P0, P1, , Pm} độc lập thìdim(P0 + P1 + + Pm) = m

Chứng minh nhận xét này xin dành cho bạn đọc

Định lý 1.2.3 Cho α và β là hai cái phẳng Nếu α ∩ β 6= ∅ thì với mọi điểm P ∈ α và vớimọi điểm Q ∈ β ta có −→

P Q ∈ −→α +−→β Ngược lại nếu có điểm P ∈ α và có điểm Q ∈ β sao cho

dim(α + β) = dim γ = dim −→γ = dim(−→α +−→β )

= dim −→α + dim−→β − dim(−→α ∩−→β )

= dim α + dim β − dim(α ∩ β)

Đạt Ma Trung

2 Giả sử α ∩ β = ∅ Lấy P ∈ α và Q ∈ β, theo Định lý 1.2.3 ta có −→

P Q 6∈ −→α +−→β Gọi −→γ làkhông gian con một chiều sinh bởi −→

P Q, ta có (−→α +−→β ) ∩ −→γ = {−→0 } Gọi η là phẳng đi qua

P với phương là −→α +−→β + −→γ thì rõ ràng α ⊂ η và β ⊂ η Do đó α + β ⊂ η.

Ngoài ra nếu η0 là phẳng chứa α và β thì P ∈ η0 và phương−→

η0 của η0 phải chứa −→α ,−→β và −→γ

Do đó η ⊂ η0 Từ đây suy ra rằng η là cái phẳng bé nhất chứa cả α và β, hay nói cách khác

η = α + β

Do dim((−→α +−→β ) ∩ −→γ ) = 0 nên ta có

dim(α + β) = dim η

= dim(−→α +−→β + −→γ )

= dim −→α + dim−→β + dim −→γ − dim(−→α ∩−→β )

= dim α + dim β + 1 − dim(−→α ∩−→β ).

2

1.3 Vị trí tương đối

Mục này nêu các định nghĩa về các vị trí tương đối có thể xảy ra giữa hai phẳng như cắt nhau,chéo nhau và song song Cần phải chú ý là các định nghĩa nêu ở mục này không hoàn toàn giốngnhư ở các định nghĩa tương tự ở PTTH Các ví dụ ngay sau định nghĩa sẽ giúp chúng ta thấy rõ

sự khác nhau này Lý do chọn các định nghĩa như thế này là để các phát biểu liên quan đến các

vị trí tương đối giữa các phẳng được phát biểu một cách đơn giản và ngắn gọn hơn Cũng có thểtrình bày các định nghĩa sao cho phù hợp với các định nghĩa đã biết ở PTTH Vấn đề này đượcđưa vào phần bài tập (xem Bài tập ??)

Định nghĩa 7 Hai phẳng α và β được gọi là cắt nhau cấp r nếu α ∩ β là một r - phẳng Chúngđược gọi là chéo nhau cấp r nếu α ∩ β = ∅ và dim(−→α ∩−→β ) = r Chúng được gọi là song song (vớinhau) nếu −→α ⊂−→β hoặc →−β ⊂ −→α

Ví dụ 4 Xét trong không gian 3 chiều thông thường E3

1 Hai đường thẳng “cắt nhau theo nghĩa ở PTTH” là hai 1-phẳng cắt nhau cấp 0 Tổng củachúng là mặt phẳng duy nhất xác định bởi hai đường thẳng đó

2 Hai mặt phẳng “cắt nhau theo nghĩa ở PTTH” là hai 2-phẳng cắt nhau cấp 1 Tổng củachúng chính là E3

3 Hai đường thẳng “song song theo nghĩa ở PTTH” là hai 1-phẳng song song Chúng cũng làhai 1-phẳng chéo nhau cấp 1 Tổng của chúng chính là mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó

4 Tương tự, hai mặt phẳng “song song theo nghĩa ở PTTH” là hai 2-phẳng song song Chúngcũng là hai 2-phẳng chéo nhau cấp 2

5 Hai đường thẳng “chéo nhau theo nghĩa ở PTTH” là hai 1-phẳng chéo nhau cấp 0 Tổng củachúng chính là E3

Hình 1.3: Hai mặt phẳng song song hay hai

mặt phẳng chéo nhau cấp 2

d

Hình 1.4: Đường thẳng song song với mặtphẳng hay đường thẳng và mặt phẳng chéonhau cấp 1

6 Theo Định lý 1.2.4, trong E3 không tồn tại hai mặt phẳng chéo nhau cấp 0 hoặc cấp 1.Định lý 1.3.1 Cho hai phẳng song song α và β Nếu α ∩ β 6= ∅ thì α ⊂ β hoặc β ⊂ α

Chứng minh

Do α và β có điểm chung nên giao α ∩ β là một phẳng với phương −→α ∩−→β Do α và β song songnên −→α ⊂−→β hoặc −→β ⊂ −→α Nếu −→α ⊂ −→β thì α ∩ β = α tức là α ⊂ β Nếu −→β ⊂ −→α thì α ∩ β = β,

Định lý 1.3.2 Qua một điểm A có một và chỉ một m-phẳng song song với m-phẳng α đã cho

Chứng minh Gọi β là m-phẳng đi qua A với phương là −→α Khi đó β là phẳng m-chiều songsong với α Nếu β0 cũng là m-phẳng đi qua A và song song với α thì suy ra−→

β0 =−→

β (= −→α ) Do β

và β0 có điểm chung nên theo Định lý 1.3.1 ta suy ra β ≡ β0 2

Hình 2

Định lý 1.3.3 Trong không gian affine n chiều An cho một siêu phẳng α và một m-phẳng

β (1 ≤ m ≤ n − 1) Khi đó α và β hoặc song song hoặc cắt nhau theo một (m − 1)-phẳng.Chứng minh Nếu β ⊂ α thì theo định nghĩa ta có α và β song song

Nếu β 6⊂ α, thì α + β = A Ta có hai trường hợp

Đạt Ma Trung

Hình 1.5: Hai mặt phẳng cắt nhau cấp 1.

d

Hình 1.6: Đường thẳng thuộc mặt phẳng hayđường thẳng và mặt phẳng cắt nhau cấp 1

1 Trường hợp 1: α ∩ β 6= ∅ Áp dụng công thức 1 của Định lý 1.2.4 ta có

dim A = dim α + dim β − dim(α ∩ β),hay

n = n − 1 + m − dim(α ∩ β)

Suy ra dim(α ∩ β) = m − 1

Vậy α và β cắt nhau theo một (m − 1)-phẳng (cắt nhau cấp m − 1)

2 Trường hợp 2: α ∩ β = ∅ Áp dụng công thức 2 của Định lý 1.2.4 ta có

n = n − 1 + m + 1 − dim(−→α ∩−→β ).

Suy ra dim(−→α ∩−→β ) = m Điều này chứng tỏ −→α ∩−→β =−→β , hay −→β ⊂ −→α , tức α và β song

1.4 Mục tiêu affine-Phương trình của phẳng

Trong mục này chúng ta sẽ đưa vào không gian affine một “hệ tọa độ” Nhờ có “hệ tọa độ” này cácđối tượng hình học như điểm, phẳng và sau này là siêu mặt bậc hai v.v sẽ được đồng nhất vớiđối tượng đại số như tọa độ (phần tử của Kn), phương trình, hệ phương trình đại số Nhờ vậy,chúng ta có thể áp dụng Đại số tuyến tính vào việc nghiên cứu các đối tượng hình học (phương

pháp tọa độ trong hình học) Bắt đầu từ đây chúng ta sẽ thấy dần vai trò của Đại số tuyến tínhtrong việc nghiên cứu hình học affine Đại số tuyến tính cũng đóng vai trò chính trong việc xâydựng và nghiên cứu Hình học xạ ảnh Điều này giải thích lý do Hình học affine cùng với Hình học

xạ ảnh, trong chương trình Hình học dành cho Sinh viên Sư phạm Toán, được gọi chung một cáitên là Hình học tuyến tính Chúng ta sẽ thấy nhiều kết quả của Hình học affine (và sau này là cáckết quả trong Hình học xạ ảnh) chính là các kết quả của Đại số tuyến tính được “trình bày" lạitheo ngôn ngữ hình học

1.4.1 Mục tiêu và tọa độ affine

Trong Hình học giải tích ở PTTH hai hệ tọa độ thường được dùng là hệ tọa độ Descartes, hệ tọa

độ gồm 1 điểm gốc O và một hệ các vector trực chuẩn; hệ tọa độ trực giao, hệ tọa độ gồm 1 điểmgốc O và một hệ các vector trực giao Hệ tọa độ affine (hệ tọa độ xiên), ít được thấy giới thiệutrong các sách của PTTH

Định nghĩa 8 Cho An là một không gian affine n chiều Hệ {O; −→e

Điều này có nghĩa là vector−−→

OM có tọa độ (x1, x2, , xn) đối với cơ sở {−→e

i}, xi ∈ K, i = 1, 2, , n.Khi đó bộ (x1, x2, , xn) ∈ Kn, viết tắt (xi), cũng được gọi là tọa độ của M đối với (hay trong)mục tiêu {O; −→e

i} và xi được gọi là tọa độ thứ i của M Để chỉ điểm M có tọa độ (xi) đối với mụctiêu {O; −→e

i}, ta thường dùng một trong các ký hiệu

M (x1, x2, , xn)/{O;−→e

i } hoặc M (xi)/{O;−→e

i }.Tuy nhiên nếu không có gì gây nhầm lẫn, ta chỉ viết

Như vậy, “tọa độ của vector bằng tọa độ của điểm ngọn trừ đi tọa độ của điểm gốc”.

2 Xét mục tiêu affine {O; −→e

i} của An và gọi Ei ∈ An, i = 1, , n là các điểm sao cho

−→

OEi = −→e

i.Khi đó hệ điểm {O, E1, E2, , En} là hệ điểm độc lập affine Ngược lại một hệ gồm n + 1điểm {O, E1, E2, , En} độc lập xác định mục tiêu affine {O; −→ei} với −→ei = −−→

OEi Do đó

ta cũng gọi một hệ n + 1 điểm độc lập trong An là một mục tiêu affine và dùng ký hiệu{O; E1, E2, , En} hoặc {O; Ei}i=1,2, ,nhoặc {O; Ei} để chỉ một mục tiêu với điểm gốc là O.Theo định nghĩa ta có điểm O có tọa độ (0, 0, , 0) và điểm Eicó tọa độ (0, , 0, 1, 0, , 0),

số 1 đứng ở vị trí thứ i, đối với mục tiêu affine {O;−→

Ei}

3 Siêu phẳng đi qua n điểm độc lập O, E1, E2, , Ei−1, Ei+1, , En được gọi là siêu phẳngtọa độ thứ i Dễ thấy điểm M thuộc siêu phẳng tọa độ thứ i khi và chỉ khi xi = 0, với xi làtọa độ thứ i của M

1.4.2 Công thức đổi mục tiêu

Giả sử trong không gian affine An ta có hai mục tiêu affine khác nhau {O; −→e

i} và {O0, −→e

i0} Mộtđiểm M ∈ An sẽ có hai bộ tọa độ khác nhau (xi) và (x0i) tương ứng đối với chúng Vấn đề cầnquan tâm là tìm mối liên hệ giữa các bộ tọa độ này Giả sử

là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở {−→e

i} sang cơ sở {−→ei0}, do đó C không suy biến (det C 6= 0) và

Công thức (1.1) (hay (1.2), (1.3)) và ma trận C lần lượt được gọi là công thức đổi tọa độ (hay côngthức đổi mục tiêu) và ma trận đổi tọa độ (hay ma trận đổi mục tiêu) từ mục tiêu {O; −→e

i} sangmục tiêu {O0; −→e

1 Do ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở {−→e

i} sang cơ sở {−→ei} là ma trận đơn vị nên công thức đổitọa độ từ mục tiêu {O; −→e

i} sang mục tiêu {O0; −→e

i} có dạng

xi = x0i+ bi, i = 1, 2, , n

Đạt Ma Trung

2 Do ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở {−→e

nên công thức đổi tọa độ từ mục tiêu {O; −→e

i} sang mục tiêu {O; −→ei0} có dạng

Điểm M có tọa độ (xi) đối với mục tiêu {O; −→e

i} thuộc α khi và chỉ khi −−→P M ∈ −→α , tức là khi vàchỉ khi có các phần tử tp ∈ K, p = 1, 2, , m sao cho

Hệ phương trình (1.6) được viết dưới dạng tường minh

Hệ phương trình (1.6), (1.7) và (1.8) có thể viết dưới dạng vector

1, b2, , bn) là tọa độ của điểm P cho trước thuộc α còn (xi)

là tọa độ của điểm tùy ý M ∈ α

Đạt Ma Trung

Phương trình tổng quát Trong không gian affine n chiều An cho m-phẳng α có phương trìnhtham số (1.7) Nếu xem phương trình tham số của α là một hệ gồm n phương trình đối với m ẩn

t1, t2, , tm còn các xi, i = 1, 2, , n, là các hằng thì từ điều kiện ma trận hệ số A = (aip)n×m

có hạng là m ta có thể chọn trong n phương trình của hệ một hệ gồm m phương trình độc lập (cóđịnh thức của hệ khác không) Không mất tính tổng quát có thể giả sử đó là hệ gồm m phươngtrình đầu Giải hệ m phương trình đó (là hệ Crammer) ta tìm được các nghiệm t1, t2, , tm, biểuthị một cách duy nhất (do đó các ti là duy nhất) dưới dạng bậc nhất qua các x1, x2, , xm Thay

m giá trị này của các ti vào n − m phương trình còn lại ta thu được hệ phương trình dạng

1 0 0 0

0 1 0 0

. .

0 0 0 1

= 1 6= 0

Mỗi điểm thuộc m-phẳng α sẽ có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình trên và ngược lại

Tóm lại, mỗi m-phẳng trong không gian An được biểu thị bằng một hệ phương trình tuyến tính

c(n−m)1x1+ + c(n−m)nxn+ cn−m= 0

với ma trận hệ số có hạng bằng n − m sẽ xác định một m-phẳng nào đó của An

Thật vậy, do hạng của ma trận hệ số bằng n − m nên hệ phương trình (1.12) luôn có nghiệm theoĐịnh lý Kronecker-Capelli Gọi (b1, b2, , bn) là một nghiệm của hệ và gọi (a1j, a2j, , anj), j =

1, 2, , m là một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng Đặt

P (b1, b2, , bn) ∈ An và −→a

j(a1j, a2j, , anj) ∈ −→

An; j = 1, 2, , m Hệ vector {−→a

j} là hệ vectorđộc lập nên sinh ra một không gian con m-chiều −→α của−→

An Chú ý rằng mỗi vector −→u ∈ −→α có tọa

độ là nghiệm của hệ phương trình tuyến thuần nhất tương ứng Gọi α là m-phẳng đi qua P vớiphương là −→α thì do mỗi nghiệm của hệ phương trình tuyến tính là tổng của một nghiệm riêng vàmột nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng nên ta dễ dàng suy ra điểm

M (xi) ∈ α khi và chi khi (xi) là nghiệm của hệ Thật vậy, M ∈ α khi và chỉ khi−−→

P M = −→u (u

i) ∈ −→α

Về phương diện tọa độ ta có

(xi) − (bi) = (ui),hay

(xi) = (bi) + (ui),tức là (xi) là một nghiệm của hệ

Như vậy, mỗi m-phẳng được đặc trưng bởi một hệ phương trình dạng (1.12) với ma trận hệ số cóhạng bằng n − m Ta gọi hệ phương trình dạng (1.12) là phương trình tổng quát của m-phẳng

trong đó các phần tử ai ∈ K, i = 1, 2, , n không đồng thời bằng không

Như vậy từ phương trình tổng quát của m-phẳng, ta có thể xem một m-phẳng là giao của

trong đó các phần tử ai ∈ K, i = 1, 2, , n không đồng thời bằng không

3 Trong An với mục tiêu cho trước {O; −→e

i}, cho n điểm độc lập A1, , An với Ai có tọa độ(a1i, , ani) đối mục tiêu đã cho Gọi α là siêu phẳng đi qua A1, A2, , An Khi đó điểm M

có tọa độ (x1, x2, , xn) đối với mục tiêu {O; −→e

i} thuộc α khi và chỉ khi vector −−−→A1M cùngvới các vector −−−→

A1Ai, i = 2, 3, , n lập thành một hệ phụ thuộc tuyến tính, tức là khi và chỉkhi

... đơn hình m-chiều hay m-đơn hình Các điểm A0, A1, , Am gọi đỉnh C.

Từ định nghĩa, 0-đơn hình điểm, 1-đơn hình đoạn thẳng Theo cách gọi thơng thường2-đơn hình. .. giác, 3-đơn hình gọi tứ diện

Trong m-đơn hình C lấy (k + 1) đỉnh (0 ≤ k ≤ m − 1) (k + 1) đỉnh lập thành k-đơnhình gọi mặt bên k-chiều C Khi (m − k) đỉnh lại lập thành (m − k − 1)-đơnhình gọi...

1.6 Tập lồi không gian affine thực

Hình 1.7: Các tập lồi.

Hình 1.8: Các tập không