Chuyên đề hình học Cực và đối cực

KHÁM PHÁ ͨNG DͤNG CͦA CͰC VÀ Ĉ͐I CͰC Hoàng Qu͑c Khánh Cͱc và ÿ͑i cͱc là m͙t công cͥ mɞnh và thú vʈ cͧa hình h͍c.V͛i cͱc và ÿ͑i cͱc ta có thʀÿɉa ra cách nhìn khá nhɢt quán v͛i m͙t s͑ dɞng toán ÿɴc trɉng (quan hʄ vuông góc,thɰng hàng,ÿ͓ng quy, ). Cͱc và ÿ͑i cͱc mà thɉ͝ng gɴp ͟ bɪc THPT là cͱc và ÿ͑i cͱc v͛i ÿɉ͝ng tròn hoɴc cɴp ÿɉ͝ng thɰng.Ĉây là m͙t bài viɼt ÿɾ cɪp ÿɼn ͩng d ͥng c ͧa cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i ÿɉ͝ng tròn !!!! A/ ĈIɽU KIʃN CͦA BɝN Ĉ͌C. Ĉʀ có thʀ hiʀu cɴn kɺ bài viɼt này m͗i bɞn ÿ͍c cɤn trang bʈ cho mình nhͯng kiɼn thͩc cɇ s͟ vɾ hình h͍c phɰng và vɾ phép nghʈch ÿɠo, hàng ÿiʀm ÿiɾu hòa,chùm ÿiɾu hòa,tͩ giác ÿiɾu hòa,ÿɉ͝ng tròn trͱc giao,ÿʈnh lí Pappus,ÿʈnh lí Pascal (các bɞn có thʀ xem m͙t chút ͟ÿây http://forum.mathscope.org B/ KIɻN THͨC CɆ S͞ Vɽ CͰC VÀ Ĉ͐I CͰC Ĉ͐I V͚I M͘T ĈɈ͜NG TRÒN I/ĈʇNH NGHŚA Ĉʈnh nghśa : Trên mɴt phɰng cho ÿɉ͝ng tròn (O,R) và m͙t ÿiʀm S khác O. Phép nghʈch ÿɠo cͱc O phɉɇng tích biɼn S thành S'. G͍i d là m͙t ÿɉ͝ng thɰng qua S' và vuông góc v͛i OS. Khi ɢy ta g͍i: d là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿ͑i v͛i ÿɉ͝ng tròn (O) S là cͱc cͧa d ÿ͑i v͛i ÿɉ͝ng tròn (O). *Ghi chú: Có thʀ nhiɾu bɞn sɺ thɢy ÿʈnh nghśa này hình nhɉ khác v͛i các ÿʈnh nghśa ph͕ biɼn ͟ Viʄt Nam (chɰng hɞn xem [2] hoɴc [4]) tuy nhiên tác giɠ thɢy rɮng ÿʈnh nghśa trên ngɬn g͍n hɇn mà vɨn ÿɠm bɠo tính chính xác cͧa vɢn ÿɾ nên ÿã ch͍n nó và cŸng rɢt vui vì thɢy trong [5] cŸng dùng nó. II/M͘T S͐ĈʇNH LÍ: Trong mͥc này ,các ÿʈnh lí sɺ chɉa ÿɉa ra chͩng minh ngay vì lí do riêng. Mong b ɞn ÿ͍c thông cɠm.Khi nào có ÿiɾu kiʄn tôi sɺ gi͛i thiʄu ÿɤy ÿͧ chͩng minh cͧa chúng. Ĉʈnh lí 1: Tɪp hͣp các ÿiʀm P liên hͣp v͛i ÿiʀm S (cho trɉ͛c) ÿ͑i v͛i ÿɉ͝ng tròn (O) là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S. (Ta nói hai ÿiʀm S và P liên hͣp v͛i nhau ÿ͑i v͛i ÿɉ͝ng tròn (O) nɼu ÿɉ͝ng tròn ÿɉ͝ng kính SP trͱc giao v͛i (O).) Tͫÿây ta thu ÿɉͣc : Hʄ quɠ 1: V͛i hai ÿiʀm S,P trên mɴt phɰng mà P nɮm trên ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿ͑i v͛i (O) và SP cɬt (O) ͟ M,N thì b͑n ÿiʀm S,P,M,N lɪp thành 1 hàng ÿiʀm ÿiɾu hòa. Hʄ quɠ 2: (ÿɠo cͧa hʄ quɠ 1).V͛i hai ÿiʀm S,P trên mɴt phɰng mà SP cɬt (O) ͟ M,N th͏a mãn b͑n ÿiʀm S,P,M,N lɪp thành 1 hàng ÿiʀm ÿiɾu hòa thì P nɮm trên ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S và S nɮm trên ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa P. Ĉʈnh lí 2: OS vuông góc v͛i ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S. (hiʀn nhiên!) Ĉʈnh lí 3:V͛i hai ÿiʀm S, Q.Ĉɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿi qua Q khi và chʆ khi ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa Q sɺÿi qua S.(Ĉʈnh lí La Hire) Ĉʈnh lí 4 : Ba ÿiʀm (khác tâm ÿɉ͝ng tròn xét cͱc và ÿ͑i cͱc) thɰng hàng khi và chʆ khi ba ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa chúng ÿ͓ng quy hoɴc song song. Ĉʈnh lí 5: B͑n ÿiʀm (khác tâm ÿɉ͝ng tròn xét cͱc và ÿ͑i cͱc) lɪp thành 1 hàng ÿiʀm ÿiɾu hòa khi và chʆ các ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa chúng lɪp thành 1 chùm ÿiɾu hòa. III/M͘T S͐ CÁCH XÁC ĈʇNH ĈɈ͜NG Ĉ͐ I CͰ C THÔNG DͤNG Ĉây sɺ là m͙t phɤn rɢt quan tr͍ng ÿʀ bɞn có thʀ tɉ duy nhanh theo l͑i cͱc ÿ͑i cͱc! Trɉ͝ng hͣp 1: Khi cͱc S ͟ ngoài ÿɉ͝ng tròn (O) Ta có 2 cách dͱng ÿɇn giɠn sau ÿây : _Cách 1: Tͫ S kɸ t͛i (O) hai tiɼp tuyɼn SA,SB (A,B là tiɼp ÿiʀm ) .Khi ÿó ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿ͑i v͛i (O) là AB Gͣi ý chͩng minh: Dͱa vào ÿʈnh nghśa. _Cách 2:Tͫ S kɸ t͛i (O) hai cát tuyɼn SAB,SCD. Giɠ sͭ AD cɬt BC ͟ E, AC cɬt BD ͟ F.Khi ÿó ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿ͑i v͛i (O) là EF. Gͣi ý chͩng minh: Giɠ sͭ FE cɬt AB,CD lɤn lɉͣt ͟ M,N.Hãy dùng ÿʈnh lí Menelaus hoɴc kiɼn thͩc vɾ tʆ s͑ kép ÿʀ chͩng minh: (SMAB)=(SNCB) =-1 r͓i dùng hʄ quɠ 2 là ra. Trɉ͝ng hͣp 2 :Khi cͱc S nɮm trong ÿɉ͝ng tròn(O) _Cách 1:Qua S dͱng ÿɉ͝ng vuông góc v͛i OS, ÿɉ͝ng này cɬt (O) ͟ A ,B. Tiɼp tuyɼn cͧa (O) tɞi A,B cɬt nhau ͟ P .Khi ÿó ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿ͑i v͛i (O) là ÿɉ͝ng thɰng qua P vuông góc v͛i OS. _Cách 2:Qua S dͱng hai dây cung AB và CD . Giɠ sͭ AD cɬt BC ͟ E, AC cɬt BD ͟ F.Khi ÿó ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿ͑i v͛i (O) là EF. Trɉ͝ng hͣp 3; S nɮm trên (O) Rɢt ÿɇn giɠn : tiɼp tuyɼn cͧa (O) tɞi S chính là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿ͑i v͛i (O)!! IV/M͘T S͐ CÁCH XÁC ĈʇNH CͰC THÔNG DͤNG Ĉiɾu này dành cho bɞn ÿ͍c tͱ tìm hiʀu dͱa vào mͥc trên! C/ KHÁM PHÁ ͨNG DͤNG CͦA CͰC VÀ Ĉ͐I CͰC! Nhͯng bài toán dɉ͛i ÿây ÿɾu là nhͯng bài toán hay và ÿa phɤn chúng có thʀ giɠi bɮng phɉɇng pháp khác ,tuy nhiên nhͯng l͝i giɠi ÿɉͣc ch͍n tɢt nhiên sɺ thʀ hiʄn ý tɉ͟ng cͧa bài viɼt.Chúc các bɞn sɺ có nhiɾu niɾm vui khi theo dõi nó ! I/BÀI TOÁN Vɽ QUAN Hʃ VUÔNG GÓC VÀ SONG SONG GIͮA HAI ĈɈ͜NG THɯNG: Ĉʈnh lí 2 chính là "chͧ tɉ͛ng" cͧa nhͯng ý tɉ͟ng ÿʀ giɠi quyɼt các bài toán ͟ mͥc này.!! Chúng ta hãy ÿɼn v͛i bài toán sau: Bài toán 1:Giɠ sͭÿɉ͝ng tròn(O) v͛i tâm O và bán kính R.Qua M vɺ hai dây cung CD và EF không ÿi qua tâm O.Hai tiɼp tuyɼn tɞi C,D cͧa (O) cɬt nhau tɞi A,hai tiɼp tuyɼn tɞi E,F cͧa (O) cɬt nhau tɞi B.Chͩng minh rɮng OM và AB vuông góc v͛i nhau. (T7/362 Tɞp chí toán h͍c và tu͕i trɸ ) Giɠi: Ta xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (O). Ta thɢy ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa A là CD ÿi qua M nên ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa M sɺÿi qua A (ÿʈnh lí 3)(1) Tɉɇng tͱ có ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa M ÿi qua B (2) Tͫ (1) và (2) suy ra ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa M chính là AB Ĉɼn ÿây theo ÿʈnh lí 2 ta có ÿiɾu phɠi chͩng minh! Tiɼp theo là m͙t ÿʈnh lí rɢt n͕i tiɼng cͧa hình h͍c phɰng cùng cách chͩng minh vô cùng ngɬ n g͍ n dͱa trên cͱc và ÿ͑i cͱc!! Bài toán 2 (Ĉʈnh lí Brokard) :Cho tͩ giác ABCD n͙i tiɼp ÿɉ͝ng tròn (O). Giɠ sͭ AC cɬt BD ͟ M, A B cɬt CD ͟ N, AD cɬt BC ͟ P.Chͩng minh rɮng O là trͱc tâm cͧa tam giác MNP. Giɠi Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (O). Ta thɢy PM là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa N nên theo ÿʈnh lí 2 có ON vuôn góc v͛i PM (1) Tɉɇng tͱ có : OM vuông góc v͛i PN (2) Tͫ (1) và (2) suy ra ÿiɾu cɤn chͩng minh! Và có m͙t ví dͥ ý nghśa nͯa mà các bɞn nên suy nghś trɉ͛c khi ÿ͍c l͝i giɠi: Bài toán 3:Cho tam giác ABC cân tɞi A.Hai ÿɉ͝ng thɰng d1,d2 bɢt kì qua A. Các ÿɉ͝ng thɰng qua B,C tɉɇng ͩng vuông góc v͛i d1,d2 cɬt nhau tɞi D. Ĉɉ͝ng thɰng qua B vuông góc v͛i AB cɬt d1 tɞi E.Ĉɉ͝ng thɰng qua C vuông góc v͛i AC cɬt d2 tɞi F. Chͩng minh rɮng AD vuông góc v͛i EF (Bài tɪ p 5.12 trong [3]) Giɠi Bɞn có thɢy xuɢt hiʄn ÿɉ͝ng tròn nào ͟ÿɾ toán không? Rõ ràng là không nhʆ? Ĉúng là bài toán không có ÿɉ͝ng tròn trong ÿɾ nhɉng xuɢt hiʄn m͙t "yɼu t͑ tròn" ÿáng quan tâm là AB=AC ,ÿʀ tͫÿó "ÿɉ͝ng tròn có ích "xuɢt hiʄn: Ĉɉ͝ng tròn tâm A bán kính AB.(g͍i tɬt là (A) ). Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (A) Ta thêm m͙t s͑ kí hiʄu: d3 là ÿɉ͝ng thɰng qua B và vuông góc v͛i d1 d4 là ÿɉ͝ng thɰng qua C và vuông góc v͛i d2 Dʂ nhɪn thɢy BE,CF là các tiɼp tuyɼn cͧa (A). Nhɪn thɢy : Ĉɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa E sɺÿi qua B và vuông góc v͛i AE , hay chính là d3 Tɉɇng tͱÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa F sɺ là d4 Chú ý ÿɼn ÿʈnh lí 3 ta sɺ có cͱc cͧa EF chính là D, do vɪy theo ÿʈnh lí 2 thì bài toán ÿɉͣc giɠi quyɼt.! Tiɼp ÿɼ n là 3 bài toán có mͩc ÿ͙ cao hɇn m͙t chút: Bài toán 4:Cho tam giác ABC v͛i các ÿɉ͝ng cao BB',CC'.G͍i E,F lɤn lɉͣt là trung ÿiʀm cͧa AC,AB. EF cɬt B'C' ͟ K. Chͩng minh rɮng AK vuông góc v͛i ÿɉ͝ng thɰng Euler cͧa tam giác ABC Giɠi Ta sɺ xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i ÿɉ͝ng tròn Euler cͧa tam giác ABC ( kí hiʄu là (S) v͛i S là tâm) G͍i I là giao ÿiʀm cͧa FB' và EC',G là giao ÿiʀm cͧa CF và BE,H là giao ÿiʀm cͧa BB' và CC' Sͭ dͥng ÿʈnh lí Pappus cho hai b͙ 3 ÿiʀm (F,C',B) và (E,B',C) ta suy ra H,G,I thɰng hàng, do ÿó SI chính là ÿɉ͝ng thɮng Euler cͧa tam giác ABC.(1) Mɴt khác ,chú ý E,F,B',C' cùng nɮm trên (S) thì suy ra AK chính là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa I,ÿɼn ÿây dùn g ÿʈnh lí 2 ta có SI vuông góc v͛i AK.(2) Tͫ (1) và (2) suy ra ÿiɾu cɤn chͩng minh. Bình luɪn:Nhɉ các bɞn ÿã biɼt H và O là hai ÿiʀm ÿɰng giác và nhɉ vɪy bài toán sau xuɢt hiʄn: Bài toán 4.1G͍i hai ÿiʀm P,Q là hai ÿiʀm ÿɰng giác ÿ͑i v͛i tam giác ABC.Kɸ PH,PK lɤn lɉͣt vuông góc v͛i AB,AC ;kɸ QM,QN lɤn lɉͣt vuông góc v͛i AB,AC.Giɠ sͭ HK cɬt MN ͟ S.Khi ÿó AS có vuông góc v͛i PQ hay không? Thɪt tuyʄt v͝i là chúng vɨn vuông góc v͛i nhau!!! Tuy nhiên bɞn cŸng sɺ dʂ dàng cɠm nhɪn ÿɉͣc nɼu làm hoàn toàn tɉɇng tͱ trong bài 4 thì không "trɠm" ÿɉͣc bài này,nói rõ ràng hɇn là ÿʈnh lí Pappus ÿã bʈ rɇi vào thɼ yɼu,chúng ta vɨn dùng ÿɉͣc ý tɉ͟ng cͧa cͱc và ÿ͑i cͱc nhɉng cɤn m͙t công cͥ khác hͯu ích hɇn khi chͩng minh tính thɰng hàng.Các bɞn thͭ suy nghś xem và vɢn ÿɾ sɺ ÿɉͣc giɠi quyɼt trong m͙t bài viɼt t͛i cͧa tác giɠ Bài toán 5: (Hoàng Qu͑c Khánh) Cho tam giác ABC n͙i tiɼp ÿɉ͝ng tròn (O,R).Các phân giác trong BE,CF cɬt lɞi (O) lɤn lɉͣt ͟ M,N .Ĉɉ͝ng thɰng qua M vuông góc v͛i BM cɬt ÿɉ͝ng thɰng qua N vuông góc v͛i CN tɞi S. Chͩng minh rɮng SO vuông góc v͛i EF. Giɠi: Xét cͱc và ÿ͑i cͱc v͛i (O) Ta sɺ xác ÿʈnh ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S , r͓i chͩng minh nó song song v͛i EF SN,SM cɬt lɞi (O) lɤn lɉͣt ͟ L,G Chú ý rɮng ta có C,O,G thɰng hàng;B,O,L thɰng hàng. Tiɼp tuyɼn cͧa (O) tɞi G,N cɬt nhau ͟ Q Tiɼp tuyɼn cͧa (O) ͟ L,M cɬt nhau ͟ P OP cɬt LM ͟ H , OQ cɬt NG ͟ K. Ta thɢy Ĉɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa Q là GN ÿi qua S nên ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧ a S ÿi qua Q.(ÿʈnh lí 3) Tɉɇng tͱ có ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S cŸng ÿi qua P Do ÿó ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S là PQ. Bây gi͝ ta cɤn chͩng minh PQ //EF Chú ý rɮng IE//OP,IF//OQ thɼ nên ÿʀ có PQ//EF ta chʆ cɤn chͩng minh Mɴt khác nhɪn thɢy : Tͫÿó suy ra Q,K,H,P ÿ͓ng viên nên Suy ra ta cɤn có (*) Kɸ ID ,IV lɤn lɉͣt vuông góc v͛i AC,AB chú ý rɮng : (vì ID=IV) (theo ÿʈnh lý hàm sin) (1)(Vì OK là ÿɉ͝ng trung bình cͧa tam giác GNC, OH là ÿɉ͝ng trung bình cͧa tam giác LBM) Lɞi có IE//OH,IF//OK nên Tͫ (1) và (2) suy ra tam giác IEF ÿ͓ng dɞng v ͛i tam giác OKH .Do ÿó (*) ÿúng nên có ÿiɾu cɤn chͩng minh Bài toán 5.1:Giɠ sͭ AD,BE,CF là các ÿɉ͝ng cao và H là trͱc tâm cͧa tam giác nh͍n ABC.G͍i M,N lɤn lɉͣt là giao ÿiʀm cͧa các cɴp ÿɉ͝ng thɰng (DE,CF) và (DF,BE) .Chͩng minh rɮng ÿɉ͝ng thɰng qua A vuông góc v͛i ÿɉ͝ng thɰng MN ÿi qua tâm ÿɉ͝ng tròn ngoɞi tiɼp tam giác BHC. (Tɞp chí toán h͍c và tu͕i trɸ) Bài toán 5 mình nghś ra ÿ͙c lɪp v͛i bài 5.1 nhɉng có 1 ÿiɾu khá thú vʈ là hai bài trên gɤn nhɉ tɉɇn g ÿɉɇng!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Bài toán 6:Cho tͩ giác ABCD ngoɞi tiɼp (I) và n͙i tiɼp (O).Tiɼp ÿiʀm cͧa (I) trên AB,BC,CD,DA lɤn lɉͣt là M,N,P,Q.Chͩng minh rɮng MP vuông góc v͛i NQ. Giɠi Trɉ͝ng hͣp tͩ giác ABCD có ít nhɢt 1 cɴp cɞnh ÿ͑i song song thì ÿɇn giɠn, ta sɺ giɠi bài toán trong trɉ͝ng hͣp còn lɞi. Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (I) AB cɬt CD ͟ E AD cɬt BC ͟ F Ta thɢy cͱc cͧa MP là E ,cͱc cͧa NQ là F. Ĉʀ giɠi bài toán ta cɤn chͩng minh IE và IF vuông góc v͛i nhau. Thɪt vɪy Chú ý IE,IF lɤn lɉͣt là phân giác cͧa Nên g͍i giao ÿiʀm cͧa IF v͛i AB và CD lɤn lɉͣt là S,V thì ta cɤ n chͩng minh tam giác ESV cân tɞi E Ta thɢy suy ra tam giác ESV cân ͟ E. Suy ra ÿiɾu cɤn chͩng minh. Bài toán 7:Cho tam giác ABC có ÿɉ͝ng trong n͙i tiɼp là (I).Tiɼp ÿiʀm cͧa (I) trên BC,CA,AB lɤn lɉͣt là D,E,F. AD cɬt lɞi (I) ͟ M.Ĉɉ͝ng thɰng qua M vuông góc v͛i AD cɬt EF ͟ N.Chͩng minh rɮng AN//BC. Giɠi [...]... B và C AF c t (O) t i P Ch ng minh r ng (O) ti p xúc v i (PDE) Bài 12:Cho t giác ABCD ngo i ti p (O) G i E,F là giao i m c a BD v i (O).H là hình chi u c a O lên AC Ch ng minh r ng : (T7/317 t p chí Toán h c và tu i tr ) Bài 13: M t ng tròn tâm O i qua các nh A và C c a tam giác ABC và c t l i các o n AB,BC l n l t K và N ng tròn ngo i ti p c a tam giác ABC và KBN c t nhau t i hai i m phân bi t B và. .. D/TÀI LI U THAM KH O : [1] M t s bài toán dùng c c và i c c - NeverStop (diendantoanhoc.net) [2]C c và i c c -D ng B u L c THPT chuyên Tr n i Ngh a [3]Bài t p nâng cao và m t s chuyên hình h c 10-Nguy n Minh Hà, Nguy n Xuân Bình -nxb GD [4]Các phép bi n hình trong m t ph ng-Nguy n M ng Hy -nxb GD [5]Projective Geometry-Milovoje Luki'c [6]T p chí toán h c và tu i tr -nxb GD [7]Tuy n ch n các bài toán t... T (3) và (4) suy ra T ây s d có O thuôc (3) ng i c c c a D và theo nh lí 1 s có i u ph i ch ng minh Bài toán 23:Cho t giác ABCD n i ti p (O) AC c t BD I G i M,N l n l t là giao i m th hai c a các c p ng tròn : (AOB) và (COD) ;(BOC) và (AOD) Ch ng minh r ng O,I,M,N ng viên Gi i: Xét c c và ic c i v i (O) Cách 1: Ta th y AB,OM,CD l n l t là tr c ng ph ng c a các c p ng tròn (AOB) và (O) ; (AOB) và (COD)... AC và BD c t nhau I G i H,K l n l t là tr c tâm c a các tam giác AID và BIC HK c t (O) M và N G i J là giao i m c a ti p tuy n t i M,N c a (O).S là giao i m c a AD và Bc Ch ng minh r ng S,I,J th ng hàng Ti p n ta xét bài toán sau: Bài toán 13:G i O là tâm ng tròn n i ti p t giác ABCD Qua A,B,C,D l n l t v các ng th ng dA, dB ,dC và dD t ng ng vuông góc v i OA,OB,OC,OD.Các c p ng th ng dA và dB ,dB và. .. là m t tam giác và O là tâm ng tròn ngo i ti p c a nó.Các ng th ng AB và AC c t l i ng tròn ngo i ti p tam giác BOC t ng ng.G i D là giao i m c a BC và Ch ng minh r ng ng tròn ti p xúc v i AD t i A và có tâm n m trên tr c giao v i ng tròn ng kính OD (MOP 1997) Gi i : G i (I) là Xét c c và ng tròn ti p xúc v i AD t i A và có tâm n m trên ic c i v i (I) Ta th y: (1) Mà OA=OB (2) T (1) và (2) suy ra :... [12]http://forum.mathscope.org/showthread.php?p=27220#post27220 [13]Các chuyên hình h c b i d ng h c sinh gi i toán Trung h c c s -Tr n V nT n [14]Bài t p nâng cao và m t s chuyên hình h c 11 - Tr n V n T n [15]Epispdes in nineteenth and twentieth century Euclidean geometry- Ross Honsberger p quy n r trong hình h c - Kim Luân [16]Hàng i m i u hòa -Nét (diendantoanhoc.net) ********* E/ ÔI I U TÂM S ng d ng c a c c và ic c iv i ng tròn ã là m... trung i m c a BC.AM c t (O) t i K và L Qua K k ng th ng song song v i BC c t (O) t i i m th hai là X,qua L k ng th ng song song v i BC c t (O) t i i m th hai là Y AX và AY c t BC l n l t P và Q Ch ng minh r ng BP=CQ ( Iran TST 2006) Bài 15:Hai ng tròn và c t nhau t i hai i m A,B.M t i m P thay i trên ng tròn , P khác A và B Các ng th ng PA,PB l i c t theo th t t i D và E G i M là trung i m DE.Ch ng... là phân giác c a Tr ng h p AC và BD vuông góc v i nhau khá n gi n ,xin dành cho b n c, chúng không vuông góc Xét c c và ic c iv i ng tròn (O) ngo i ti p ABCD AC và BD c t nhau P G i d là ng i c c c a P G i giao i m c a các c p ng th ng (LO,BD) và (NO,AC) l n l t là Q,R Do BD là phân giác c a và nên d có (ACPR)=-1 ây s xét khi => R thu c d (1) M t khác do nên (2) T (1) và (2) suy ra ngay PR là d T ó... suy ra T ng t Suy ra là hình bình hành Nên i qua trung i m c a OC Mà i qua trung i m c a CD nên L i vì nên T ó s có 2) Chú ý r ng Suy ra A,D,O,B ng viên Ta th y OD,AB,ti p tuy n t i C c a (O) l n l t là các tr c ng ph ng c a t ng c p (ADOB) và (COD), (O) và (ADOB) , (O) và (COD) Do ó 3 ng nói trên ng quy m t i m S Xét c c và ic c i v i (O) Chú ý ng i c c c a S ph i i qua C và vuông góc v i OS nên CD... nên suy ra i u ph i ch ng minh Bình lu n: +) Có th khái quát ý t ng dùng c c và ic c ch ng minh tính song song nh sau: Gi s có hai ng th ng d,d' và ng tròn (O) ch ng minh d//d' ta c n ch ng minh tâm O n m trên ng n i hai c c c a d và d' i v i (O)(Tr ng h p có m t trong 2 ng i quan tâm ng tròn xét c c và i c c thì n gi n h n ) .Và t t nhiên ch ng minh tính th ng hàng liên quan t i tâm c bàn chi ti t h . ÿɉ͝ng thɰng dA, dB ,dC và dD tɉɇng ͩng vuông góc v͛i OA,OB,OC,OD.Các cɴp ÿɉ͝ng thɰng dA và dB ,dB và dC ,dC và dD ,dD và dA tɉɇng ͩng cɬt nhau ͟ K,L,M,N.Chͩng minh rɮng KM và LN cɬt nhau tɞi O. (Trích. ÿɉ͝ng tròn (ADOB) và (COD), (O) và (ADOB) , (O) và (COD) Do ÿó 3 ÿɉ͝ng nói trên ÿ͓ng quy ͟ m͙t ÿiʀm S. Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (O). Chú ý ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S phɠi ÿi qua C và vuông góc v͛i. cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i ÿɉ͝ng tròn Euler cͧa tam giác ABC ( kí hiʄu là (S) v͛i S là tâm) G͍i I là giao ÿiʀm cͧa FB' và EC',G là giao ÿiʀm cͧa CF và BE,H là giao ÿiʀm cͧa BB' và CC' Sͭ