bài toán vận tải và bài toán vận tải mở rộng

LỜI MỞ ĐẦU Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật, các bài toán tối ưu xuất hiện ngày càng nhiều và tính phức tạp của chúng ngày càng lớn. Phạm vi và khả năng ứng dụng của các bài toán tối ưu cũng ngày càng đa dạng và phong phó. Lớp bài toán tối ưu quan trọng được nghiên cứu đầu tiên và được ứng dụng nhiều nhất là bài toán quy hoạch tuyến tính (linear programming). Đó là mô hình toán học của một lớp rộng lớn các bài toán ứng dụng trong kinh tế và kỹ thuật. Do đó cấu trúc của lớp bài toán quy hoạch tuyến tính có nhiều tính chất rất tốt về mặt toán học, người ta đã tìm được các thuật giải rất hữu hiệu cho bài toán này. Năm 1947 nhà toán học Mỹ G.B. Dantzig đã nghiên cứu và đề xuất ra thuật toán đơn hình (simplex method) để giải bài toán quy hoạch tuyến tính. Thuật toán đơn hình được phát triển mạnh mẽ trong những năm sau đó và được xem là một phương pháp kinh điển để giải các bài toán quy hoạch tuyến tính. Đây là một phương pháp được sử dụng có thể nói là rộng rãi nhất. Có ba lý do chính: Một là: Rất nhiều vấn đề thực tế, trong nhiều lĩnh vực khác nhau có thể đưa về bài toán quy hoạch tuyến tính. Hai là: Trong nhiều phương pháp giải các bài toán phi tuyến, bài toán tuyến tính xuất hiện nh là một bài toán phụ cần phải giải trong nhiều bước lặp. Ba là: Phương pháp đơn hình là phương pháp hiệu quả để giải bài toán quy hoạch tuyến tính. Ngày nay, bằng thuật toán đơn hình và các dạng cải biên của chúng, người ta có thể giải rất nhanh các bài toán QHTT cỡ lớn. Lớp các bài toán vận tải là trường hợp đặc biệt của quy hoạch tuyến tính, bởi vậy có thể dùng các phương pháp của quy hoạch tuyến tính để giải. Tuy nhiên, do tính chất đặc thù riêng của nó, người ta xây dựng các phương pháp giải riêng. Thông thường khi nói đến bài toán vận tải ta thường liên hệ ngay đến bài toán vận tải hai chỉ số, bởi đây là bài toán vận tải kinh điển có những phương pháp giải hay. Bên cạnh đó, người ta còn xét mét sè các bài toán vận tải mở rộng như bài Trang: 79 toán vận tải ba chỉ số, bài toán vận tải khoảng, bài toán vận tải đa mục tiêu và rất nhiều bài toán khác, đó là các biến thể của bài toán vận tải kinh điển trên. Trong khuôn khổ khoá luận này, em xem xét và nghiên cứu mét sè bài toán mở rộng trong lớp các bài toán vận tải mở rộng đó. Đó là các bài toán: Bài toán vận tải ba chỉ số (solid transport problem) không hạn chế và có hạn chế khả năng thông qua, Bài toán vận tải ba chỉ số khoảng (interval solid transport problem)và giới thiệu mét sè Bài toán vận tải đa mục tiêu. Cuối cùng, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với thày giáo hướng dẫn Thạc sỹ Vò Tiến Việt, người đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khoá luận này. Em còng xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong khoa Toán - Tin, Học viện An ninh Nhân dân. CHƯƠNG I. BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Trong việc nghiên cứu các bài toán tối ưu nói chung, giải tích lồi giữ mét vai trò rất quan trọng. Nó được sử dụng làm cơ sở toán học trong việc xây dựng các thuật toán. Quy hoạch tuyến tính là mét trong những lớp bài toán tối ưu được nghiên cứu trọng vẹn cả về phương diện lý thuyết lẫn thực hành, Bài toán vận tải là một dạng Trang: 2 đặc biệt của QHTT. Do đó chương này nhằm giới thiệu mét sè khái niệm và kiến thức cơ bản về giải tích lồi và QHTT. 1. 1 Một số khái niệm về giải tích lồi 1. 1. 1 Không gian Euclude Mét vector n chiều trên trường số thực là mét bé được sắp thứ tự gồm n số thực x = (x 1 , x 2 , , x n ). Các x i , i =1, , n gọi là các thành phần hay toạ độ của vector. Ví dụ x=(4,5,10,20). Hai vectơ x và y gọi là bằng nhau x=y, nếu x i = y i , ∀i =1, , n. Xét hai phép toán trên các vector: Phép cộng: x + y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , , x n + y n ) Phép nhân: αx=(αx 1 , αx 2 , , αx n ), ∀α∈ R Khi đó tập hợp tất cả các vector n chiều trong đó xác định phép cộng các vector, nhân mét số thực với vector như trên tạo thành không gian tuyến tính n chiều trên trường số thực R, ký hiệu R n . Các vector x (i) ∈R n , i =1, , m được gọi là độc lập tuyến tính nếu: Nếu: với Ýt nhất mét α i ≠ 0 thì x gọi là tổ hợp tuyến tính của các x (i) , i =1, , m. Hơn nữa nếu α i > 0, i =1, , m và thì x gọi là tổ hợp lồi của các x (i) , i =1, , m. Trong R n có n vector độc lập tuyến tính lập thành cơ sở của nú. Giả sử e (1) , e (2) , , e (n) là một cơ sở của R n thì bất kỳ mét vector x ∈ R n đều là tổ hợp tuyến tính của các vector e (1) , e (2) , , e (n) . Ta gọi tích vô hướng của hai vector x = (x 1 , x 2 , , x n ) và y = (y 1 , y 2 , , y n ), ký hiệu, <x,y>, là một số bằng. Tích vô hướng là một dạng song tuyến tính, đối xứng, không âm, tức là: Trang: 3 1. <x,y> = <y, x>. ∀x, y ∈ R n 2. <x (1) + x (2) , y >=< x (1) , y >+< x (2) , y>. ∀x (1) , x (2) , y ∈ R n 3. <λx,y> = λ<x,y>. ∀x, y ∈ R n 4. <x,x> ≥ 0, ∀x∈ R n dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x= 0. Độ dài của vector x = (x 1 , x 2 , , x n ) là một số xác định bởi. Khoảng cách giữa hai vector x và y là một số xác định bởi: Không gian vector trong đó có tích vô hướng và khoảng cách nh trên gọi là không gian Euclude. 1. 1. 2 Tập compact Dóy {x (k) }⊂R n k=1, 2, được gọi là có giới hạn x (0) khi k →∞ và viết lim x (k) = x (0) , nếu Hình cầu tâm a bán kính ρ là tập S={x∈R n :x - a≤ρ}. Hình cầu này tạo nên ρ- lân cận của điểm a, hay gọi là lân cận của a. * Nếu tập A⊂R n chứa cùng với điểm x mét lân cận của nó thì x gọi là điểm trong của A. Nếu trong lân cận bất kỳ của x ∈ A có các điểm của A và các điểm không thuộc A thì x gọi là điểm biên của tập hợp A. * Một tập A⊂R n gọi là giới nội nếu nó được chứa trong mét hình cầu tâm O nào đó, tức là tồn tại sè ρ đủ lớn sao cho với mọi x∈A,x≤ρ. Một dóy {x (k) } hội tụ thì bao giờ cũng giới nội. * Một tập hợp G⊂R n được gọi là mở nếu với mọi x∈G đều tồn tại một hình cầu tâm x nằm gọn trong G. Một tập F⊂R n được gọi là đóng nếu với mọi dãy hội tụ{x (k) }⊂ F ta đều có: Trang: 4 Một tập chứa mọi điểm biên của nú là tập đóng. *Tập C được gọi là tập Compact nếu từ mọi dãy vô hạn {x (k) } thuộc C đều có thể trích ra một dóy con {x (ki) } hội tụ tới phần tử thuộc C. Tập C là Compact khi và chỉ khi C đóng và giới nội. Tập Compact M của tập đóng C còng đóng trong C. Tập con đóng M của tập Compact còng Compact. Hàm f(x) liên tục trên tập Compact C thì sẽ đạt cực trị trên tập Êy. 1. 1. 3 Tập lồi Cho hai điểm a, b ∈R n . Ta gọi đường thẳng qua a, b là tập điểm có dạng x∈R n : x = λa + (1-λ)b, λ∈ R. Đoạn thẳng nối hai điểm a, b là tập lồi các điểm có dạng x∈R n : x = λx + (1-λ)y, 0 ≤λ≤ 1 * Một tập M⊂R n được gọi là một đa tạp affine nếu với hai điểm bất kỳ x, y ∈M thì toàn bộ đường thẳng đi qua hai điểm đó cũng thuộc M. Tức là λx + (1-λ)y ∈M : ∀x, y ∈M, ∀λ∈R. * Một siêu phẳng trong không gian R n là tập hợp tất cả các điểm x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈R n thỏa mãn phương trình tuyến tính a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = α trong đó a 1 , a 2 , , a n , α∈R * Tập hợp các điểm x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈R n thoản mãn bất phương trình tuyến tính a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n ≤α được gọi là nửa không gian đóng. * Nửa không gian được cho bởi a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n < α được gọi là nửa không gian mở. * Tập X⊂R n được gọi là tập lồi nếu cùng với việc chứa hai điểm x, y nã chứa cả đoạn thẳng chứa hai điểm Êy, tức là chứa tất cả các điểm có dạng: λx + (1-λ)y, 0 ≤λ≤ 1 Ví dụ về các tập lồi: Không gian Euclide, các nửa không gian, mặt phẳng, nửa mặt phẳng, hình chữ nhật, hình vuông, hình elip, hình hộp, hình cầu Trang: 5 * Một tập hợp là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng được gọi là tập lồi đa diện. Mệnh đề: Giao của hai tập lồi là một tập lồi. Hệ quả 1. Giao của mét sè bất kỳ tập hợp lồi là tập lồi. Hệ quả 2. Miền chứa nghiệm của một hệ bất phương trình tuyến tính dạng. là một tập lồi (đa diện lồi). Mét tập lồi đa diện giới nội gọi là một đa diện. Giao của tất cả các tập lồi chứa tập X gọi là bao lồi của nã, ký hiệu [X] 1. 1. 4 Hàm lồi * Một hàm số f(x) xác định trên tập lồi C ⊂ R n được gọi là hàm lồi trên C, nếu với mọi x, y ∈C và 0 ≤λ≤ 1 ta có f(λx + (1-λ)y) ≤λf(x) + (1-λ)f(y). * Hàm f(x) được gọi là hàm lồi chặt nếu với mọi x, y ∈C và 0 ≤λ≤ 1 ta có. f(λx + (1-λ)y) <λf(x) + (1-λ)f(y). * Hàm f(x) được gọi là hàm lừm (lừm chặt) nếu - f(x) là hàm lồi (lồi chặt) * Hàm f(x) xác định trên C đạt cực tiểu tuyệt đối tại x* ∈C nếu f(x * ) ≤ f(x):∀ x∈C * Hàm f(x) đạt cực tiểu địa phương tại x*∈ C nếu tồn tại lân cận mở U của x* sao cho f(x*) ≤ f(x):∀ x∈C ∩U Mệnh đề 1: Bất kỳ điểm cực tiểu địa phương nào của hàm lồi trên tập lồi cũng là điểm cực tiểu tuyệt đối. Hệ quả: Bất kỳ điểm cực đại địa phương nào của hàm lâm còng là cực đại tuyệt đối. Mệnh đề 2: Cực đại của một hàm lồi (nếu có) trên một tập lồi có điểm cực biên bao giờ cũng đạt tại một điểm cực biên. 1. 2 Bài toán Quy hoạch tuyến tính Trang: 6 QHTT bắt nguồn từ những nghiên cứu của nhà toán học Nga nổi tiếng, Viện sỹ L.V. Kantorovich trong mét loạt các công trình về bài toán kế hoạch hoá sản xuất, công bố năm 1938. Năm 1947 nhà toán học Mỹ G.B. Dantzig đã nghiên cứu và đề xuất phương pháp đơn hình (Simplex method) để giải bài toán QHTT. Năm 1952 phương pháp đơn hình đã được chạy trên máy tính điện tử của Mỹ. 1. 2. 1 Bài toán quy hoạch tuyến tính  Bài toán tổng quát. Để nhất quán lập luận ta xét bài toán tìm cực đại, sau đó ta xét cách chuyển bài toán tìm cực tiểu sang tìm cực đại. Bài toán tổng quát của QHTT có dạng: Ký hiệu: A = (a ij ) mxn là ma trận với các phần tử a ij (1.1) gọi là hàm mục tiêu, (1.2) là các rằng buộc. Nếu gặp bài toán Min, tức là Thì giữ nguyên ràng buộc và đưa về bài toán Max bằng cách Nếu bài toán Max có phương án tối ưu là x* thì bài toán min còng có phương án là x* và f min =-  f max Thật vậy, vì x* là phương án tối ưu của bài toán Max nên ta có: Chứng tỏ x* là phương án tối ưu của bài toán Min và Người ta thường xét bài toán quy hoạch tuyến tính dưới hai dạng sau: - Dạng chuẩn: - Dạng chính tắc:  Đưa bài toán QHTT về dạng chuẩn hoặc dạng chính tắc. Bất kỳ QHTT nào cũng có thể đưa về mét trong hai dạng chuẩn hoặc chính tắc nhờ các phép biến đổi tuyến tính sau: i) Một ràng buộc Có thể đưa về ràng buộc bằng cách nhân hai vế với (-1) và viết lại ii) Một ràng buộc đẳng thức có thể thay bằng hai ràng buộc bất đẳng thức: iii) Một biến x j không bị ràng buộc dấu có thể thay thế bởi hiệu của hai biến không âm bằng cách đặt: iv) Một ràng buộc bất đẳng thức Trang: 8 Có thể đưa về ràng buộc đẳng thức bằng cách đưa vào biến phô y i ≥ 0: Về nguyên tắc, áp dụng nhiều lần các phép biến đổi (i), (ii) và (iii) ta có thể đưa một bài toán QHTT bất kỳ về dạng chuẩn, sau đó áp dụng nhiều lần phép biến đổi (iv) ta sẽ đưa nó về dạng chính tắc.  Giải bài toán QHTT bằng phương pháp hình học. [...]... giao thông vận tải 1998 2 Phạm Xuân Ninh - Luận án tiến sỹ - Các bài toán vận tải nhiều chỉ số - 1978 3 PGS TS Bùi Minh Trí, PGS TS Bùi Thế Tâm Giáo trình tối ưu hoá - NXB Giáo thông vận tải - 1996 4 Nguyễn Đức Nghĩa - Tối ưu hoá (Quy hoạch tuyến tính và rời rạc) - NXB Giáo dục - 1997 5 Bùi Thế Tâm - Turbo Pascal (lý thuyết cơ bản, bài tập, những chương trình mẫu trong khoa học kỹ thuật và kinh doanh)... ràng buộc D giới nội và khác rỗng thì chắc chắn có phương án tối ưu - Nếu miền ràng buộc không giới nội nhưng hàm mục tiêu bị chặn trên ở trên miền ràng buộc thì cũng chắc chắn có phương án tối ưu 1 2 2 Một số tính chất chung Mệnh đề 1: Tập hợp tất cả các phương án của một bài toán QHTT là tập lồi Tập lồi D các phương án của một bài toán QHTT xác định bởi toàn bộ các ràng buộc (1.2) và (1.3) Tập D có... lần phân phối như vậy ta được một tải lượng x > 0 và bá bít đi được một hàng (hoặc cột) của bảng T Bảng mới cuối cùng chỉ còn lại một ô (m, n) và do cân bằng thu phát nên cực tiể đạt cả ở hàng, cả ở cột sau khi phân phối lượng còn lại Do đó ta xóa cả cột n và hàng m đi Tổng số hàng và cột là m + n mỗi lần phân phối bỏ đi được 1 hàng (hoặc cột), lần cuối cùng bỏ cả cột n và hàng m, nên phương án thu được... =( u + v + w )- c ≤0 mọi ô (i,j,k)∈T thì dừng, bài ijk i j k ijk toán đã giải xong Ngược lại chuyển sang bước điều chỉnh phương án * Điều chỉnh: Tìm ô (r,s,t) thoả mãn: ∆ = max {∆ : (i,j,k) ∈T}>0 Tìm các hệ số: y với (i,j,k) ∈T thoả rst ijk ijk Xác định hằng số biến đổi: T’=(T\ {e, f, g})u{(r, s, t)} Quay trở lại bước thế vị 2 2 6 Ví dụ Giải bài toán vận tải ba chỉ số không hạn chế khả năng thông qua... đường mức cuối cùng này sẽ là lời giải tối ưu cần tìm, còn giá trị của hàm mục tiêu tại đó chính là giá trị tối ưu của bài toán Trang: 9 1 Ví dụ: Xét bài toán: 2 f(x)= 4x + 5x →max 1 2 Xét đường mức: 4x + 5x =10 Đường 1 2 mức này đi qua hai điểm (0,2) và (2.5,0) Ta có x*=(3,2), f = 22 max và x* là một đỉnh của D Qua phương pháp hình học ta thấy rằng: - Nếu quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu thì có... công bố năm 1947 có tên gọi là phương pháp đơn hình Sở dĩ có tên gọi nh vậy là vì những bài toán đầu tiên được giải bằng phương pháp đó có các ràng buộc dạng: và trong thực hành để kiểm tra điều kiện tối ưu của phương pháp cực biên x ta chỉ cần kiểm tra ∆ ≥ 0, ∀k∉J k (1 18) • Người ta có thể chứng minh rằng nếu bài toán không thoái hoá thì (1.16) còng là điều kiện cần của tối ưu Định lý 1 2: Nếu tồn... hoặc là một tập lồi đa diện không giới nội Nếu D là một đa diện lồi thì bài toán có phương án, hơn nữa giá trị tối ưu của hàm mục tiêu trên đa diện lồi là hữu hạn và việc tìm phương án tối ưu đưa đến việc Trang: 10 chọn các điểm của đa diện D có số đỉnh (điểm cực biên hay phương án cực biên) hữu hạn Mệnh đề 2: Hàm mục tiêu của bài toán QHTT sẽ đạt Max tại điểm cực biên của tập D Nếu hàm mục tiêu không... 1 2 1 2 nằm trên một đường mức với mức Bài toán đặt ra có thể phát biểu theo ngôn ngữ hình học như sau: trong số các đường mức cắt tập D, hãy tìm đường mức với gía trị lớn nhất Nếu dịch chuyển song song các đường mức theo hướng vector pháp tuyến của chóng thì giá trị mức sẽ tăng, nếu dịch chuyển theo hướng ngược lại thì giá trị mức sẽ giảm Vì vậy để giải bài toán đặt ra, ta có thể tiến hành nh sau... ra rằng điểm cực biên không có quá m thành phần dương Các mệnh đề 3 và mệnh đề 4 có thể gộp lại thành một mệnh đề sau: Mệnh đề 5: Để x = (x , x , x ) là phương án cực biên của QHTT dưới dạng chính tắc thì cần và đủ là các vector cột A của ma trận A ứng với các thành phần x > 0 là độc lập tuyến tính 1 2 3 Phương pháp đơn hình giải bài toán QHTT Cơ sở của 1 2 n j j phương pháp này đươc G.B Dantzig công... LA:\r\n"); for(i=1;i . bài toán vận tải mở rộng như bài Trang: 79 toán vận tải ba chỉ số, bài toán vận tải khoảng, bài toán vận tải đa mục tiêu và rất nhiều bài toán khác, đó là các biến thể của bài toán vận tải kinh. em xem xét và nghiên cứu mét sè bài toán mở rộng trong lớp các bài toán vận tải mở rộng đó. Đó là các bài toán: Bài toán vận tải ba chỉ số (solid transport problem) không hạn chế và có hạn chế. đến bài toán vận tải ta thường liên hệ ngay đến bài toán vận tải hai chỉ số, bởi đây là bài toán vận tải kinh điển có những phương pháp giải hay. Bên cạnh đó, người ta còn xét mét sè các bài toán