lý thuyết dẻo kỹ thuật

Giáo trình LÝ THUYẾT DẺO KỸ THUẬT nghiên cứu các cơ sở lý thuyết về ứng xử phi tuyến phức tạp của vật liệu biến dạng dẻo tính phi tuyến của vật liệu và chi tiết về phương pháp tính số đư

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Trương Tích Thiện

LÝ THUYẾT DẺO KỸ THUẬT

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA

TP HỒ CHÍ MINH - 2007

1.5 Một số ứng dụng của lý thuyết dẻo 43

3.3 Quan hệ ứng suất−biến dạng đẳng hướng đàn hồi phi tuyến 149

3.5 Định đề ổn định Drucker 165 3.6 Tính pháp tuyến, tính lồi và mối quan hệ một−một

của vật rắn đàn hồi 168 3.7 Mối quan hệ ứng suất−biến dạng gia số 173

Chương 4 CÁC QUAN HỆ ỨNG SUẤT−BIẾN DẠNG

ĐỐI VỚI VẬT LIỆU CHẢY DẺO LÝ TƯỞNG 179

4.2 Thế năng chảy dẻo và định luật chảy 182

4.3 Định luật chảy kết hợp với hàm chảy von Mises 183

4.4 Định luật chảy kết hợp với hàm chảy Tresca 186

4.5 Định luật chảy kết hợp với hàm chảy Mohr−Coulomb 190 4.6 Tính trực giao, tính lồi và tính đơn trị đối với

vật rắn đàn−dẻo lý tưởng 192 4.7 Bài toán đàn−dẻo đơn giản: sự giãn nở của hình trụ thành dày 197 4.8 Các quan hệ ứng suất−biến dạng gia số 208

4.9 Mô hình vật liệu Prandtl−Reuss (lý thuyết J2) 212

4.10 Mô hình vật liệu Drucker−Prager 218 4.11 Vật liệu đẳng hướng tổng quát 224

Chương 5 CÁC QUAN HỆ ỨNG SUẤT−BIẾN DẠNG ĐỐI VỚI

5.7 Dạng vi phân của quan hệ ứng suất−biến dạng 271

6.7 Sự mở rộng trường hợp bất đẳng hướng 328

Chương 7 CHẢY DẺO CỦA BÊ TÔNG 344

7.3 Mô hình chảy dẻo: ứng xử biến cứng 368 7.4 Mô hình chảy dẻo: ứng xử biến mềm 381

LỜI NÓI ĐẦU

Khi ứng suất bên trong vật liệu dẻo vượt quá giới hạn đàn hồi, vật liệu sẽ chuyển sang vùng biến dạng dẻo không hồi phục Lúc này ứng suất có quan hệ phi tuyến với biến dạng và phụ thuộc vào lộ trình (lịch sử) biến dạng Lý thuyết dẻo mô tả một sự mở rộng cần thiết của lý thuyết đàn hồi và đề cập đến việc tính toán ứng suất và biến dạng trong kết cấu biến dạng dẻo Lý thuyết dẻo cung cấp mối quan hệ toán học đặc trưng cho sự đáp ứng đàn-dẻo của vật liệu và được cấu thành bởi ba thành phần: tiêu chuẩn chảy, quy luật chảy và quy luật tái bền

Giáo trình LÝ THUYẾT DẺO KỸ THUẬT nghiên cứu các cơ sở lý thuyết về ứng xử phi tuyến phức tạp của vật liệu biến dạng dẻo (tính phi tuyến của vật liệu) và chi tiết về phương pháp tính số được sử dụng trong lĩnh vực tính toán cơ học vật rắn biến dạng phi tuyến

Lý thuyết dẻo kỹ thuật là môn học chuyên ngành quan trọng cho nhiều môn học chuyên ngành khác như gia công vật liệu bằng biến dạng dẻo, cơ phá hủy Lý thuyết này là phần then chốt trong chuỗi các lý thuyết cơ học về biến dạng của vật rắn: Lý thuyết đàn hồi, Lý thuyết dẻo và Cơ phá hủy Vì thế, lý thuyết của môn học này được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán vật rắn biến dạng trong kỹ thuật

Giáo trình này không những cung cấp cho các kỹ sư các kiến thức cơ bản cần thiết của lý thuyết dẻo mà còn có ý định cung cấp thêm về phương pháp tính số để giải các bài toán phi tuyến rất phức tạp của kết cấu biến dạng dẻo Do tài liệu này được biên soạn với mục tiêu làm giáo trình chính cho môn học cùng tên của ngành đào tạo kỹ sư Cơ kỹ thuật, Trường Đại học Bách khoa - Đại học Quốc gia

TP Hồ Chí Minh nên giáo trình cũng chỉ cung cấp các nội dung rất cơ bản của Lý thuyết dẻo kỹ thuật theo chương trình đào tạo này Giáo trình được trình bày trong bảy chương được giảng dạy trong 42 tiết (30 tiết lý thuyết và 12 tiết bài tập) nên phần giảng dạy trên lớp chỉ tập trung vào các chương 4, 5, 6 và 7 Các chương còn lại là phần tự đọc của học viên

Trong quá trình biên soạn giáo trình này, tác giả đã nhận được sự hỗ trợ và góp

ý của GS TSKH Đào Huy Bích - Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, GS TS Ngô Thành Phong - Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, PGS TS Nguyễn Lương Dũng và các thầy cô trong Bộ môn Cơ kỹ thuật - Trường Đại học Bách khoa - Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Tác giả chân thành cảm ơn những sự giúp đỡ quý báu này Cuối cùng xin trân trọng cảm ơn Nhà Xuất bản Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh đã biên tập cuốn sách và tạo mọi điều kiện thuận lợi để cuốn sách được ra mắt phục vụ bạn đọc

Với sự chủ quan của người viết, giáo trình này không thể tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong sự đóng góp của quý đồng nghiệp, của các bạn đọc quan tâm Mọi đóng góp xin vui lòng chuyển đến:

Bộ môn Cơ kỹ thuật hoặc Phòng Tính toán cơ học

106 B 4 , Trường Đại học Bách khoa - Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh,

268 Lý Thường Kiệt, P14, Q.10, TP Hồ Chí Minh

p = (1/3)I1 áp lực thủy tĩnh hoặc ứng suất cầu

σoct = (1/3)I1 ứng suất pháp bát diện

τoct = J2

3

2 ứng suất tiếp bát diện

σm = σoct ứng suất pháp trung bình

τm = J2

5

2 ứng suất tiếp trung bình

s1, s2, s3 các ứng suất lệch chính

ε1, ε2, ε3 các biến dạng chính

εij tenxơ biến dạng

eij tenxơ biến dạng lệch

ε biến dạng pháp

γ biến dạng trượt kỹ thuật

ευ = I’1 biến dạng thể tích

εoct = (1/3) ’1 biến dạng pháp bát diện

γoct = 2 ,

2

J

3

2 biến dạng trượt kỹ thuật bát diện

e1, e2, e3 các biến dạng lệch chính

Các bất biến

I1 = σ1 + σ2 + σ3 = σii bất biến thứ nhất của tenxơ ứng suất

J2 = (1/2)sijsij = [ ( ) ( ) ( ) ] 2

zx

2 yz

2 xy

2 x z

2 z y

2 y x

6

bất biến thứ hai của tenxơ ứng suất lệch

J3 = (1/3)sijsjkski = sij bất biến thứ ba của tenxơ ứng suất lệch

cos3θ = 3/2

2

3 J

J 2

3

3 với θ là góc đồng dạng định nghĩa trong hình 2.9

I’1 = ε1 + ε2 + ε3 bất biến thứ nhất của tenxơ biến dạng

ρ = J2 chiều dài lệch được định nghĩa trong hình 2.8

ξ = (1/√3)I1 chiều dài thủy tĩnh định nghĩa trong hình 2.8

J’2 = (1/2)eijeij = [ ( ) ( ) ( ) ] 2

zx

2 yz

2 xy

2 x z

2 z y

2 y x

6

1 ε −ε + ε −ε + ε −ε +ε +ε +ε

bất biến thứ hai của tenxơ biến dạng lệch

Các thông số vật liệu

f’c độ bền nén đơn trục (f’c > 0)

f’t độ bền kéo đơn trục (f’c = mf’t)

f’bc độ bền nén song trục (f’bc > 0)

K = E/[3(1 − 2ν) môđun khối

G = E/[2(1 + ν)] môđun trượt

c, φ lực dính kết và góc ma sát trong tiêu chuẩn Mohr−Coulomb

α, k các hằng số trong tiêu chuẩn Drucker−Prager

k ứng suất chảy (phá hủy) trong trượt thuần túy

Các ký hiệu khác

Cijk l tenxơ độ cứng vật liệu

f() tiêu chuẩn phá hủy hoặc tiêu chuẩn chảy

x, y, z hoặc x1, x2, x3 các tọa độ Descartes

δij ký hiệu Kronecker

W(εij) mật độ năng lượng biến dạng

Ω(σij) mật độ năng lượng bù

lij = cos(x’i, xj) cosine của góc giữa trục x’i và xj

Chương 1

GIỚI THIỆU

1.1 GIỚI THIỆU

1.1.1 Tầm quan trọng của chảy dẻo trong kết cấu

Việc thiết kế kỹ thuật các kết cấu lớn là một quá trình gồm hai giai đoạn Trường nội lực (ứng suất) bên trong vật liệu cấu trúc phải được xác định ở giai đoạn đầu tiên, và giai đoạn thứ hai là xác định đáp ứng của vật liệu dưới tác động của trường ứng suất đó Giai đoạn một bao gồm một sự phân tích ứng suất tác động bên trong các phân tố kết cấu; giai đoạn hai liên quan đến các đặc tính của vật liệu kết cấu Mối quan hệ tuyến tính giữa ứng suất và biến dạng bên

trong vật liệu lý tưởng hóa đã hình thành cơ sở toán học cho lý thuyết đàn hồi,

lý thuyết này được áp dụng rộng rãi cho những vật liệu thật để đánh giá ứng suất hoặc biến dạng trong các phân tố kết cấu dưới điều kiện tải làm việc cụ

thể Các ứng suất này bị giới hạn nhỏ hơn ứng suất cho phép, ứng suất này được

tính như một phần của ứng suất chảy vật liệu Do đó, một thiết kế an toàn sẽ thu được không phải do tính toán và sự hiểu biết các đặc tính vật liệu một cách đầy đủ mà dựa vào kinh nghiệm thu thập được trong vài thập kỷ hay vài thế kỷ Một kết cấu thực là một vật thể rất phức tạp với một trạng thái ứng suất cực kỳ phức tạp Nhiều ứng suất thứ cấp xuất hiện do chế tạo, lắp ráp và định vị chi tiết Sự tổ hợp của ứng suất ban đầu chưa biết, các ứng suất thứ cấp, sự tập trung ứng suất và sự phân bố lại do những sự bất liên tục của kết cấu đã không tuân theo một tính toán lý tưởng hóa dựa trên lý thuyết đàn hồi Lý thuyết dẻo mô tả một sự mở rộng cần thiết của lý thuyết đàn hồi và đề cập đến việc tính toán ứng suất và biến dạng trong kết cấu biến dạng dẻo cũng như những phạm

vi biến dạng đàn hồi Nó cung cấp các đánh giá thực tế hơn về các khả năng mang tải của kết cấu và cung cấp một sự hiểu biết tốt hơn về ứng xử của kết cấu đối với các lực được gây ra trong vật liệu Do đó, một sự hiểu biết về vai trò của các biến số cơ học thích hợp, chúng định nghĩa sự phản ứng của vật liệu với lực tác động, là cần thiết cho kỹ sư trong việc thiết kế cấu trúc Những mối quan

hệ ứng suất - biến dạng và các ứng dụng của chúng cho các bài toán kỹ thuật kết cấu sẽ được bàn luận trong những chương sau Sự lĩnh hội kiến thức này càng nhiều sẽ làm cho bản thiết kế kết cấu càng chính xác và hoàn hảo hơn

1.1.2 Mục tiêu

Cả hai lý thuyết đàn hồi và lý thuyết dẻo đều là hiện tượng trong tự nhiên Chúng là sự chính thức hóa các quan sát thí nghiệm về ứng xử vĩ mô của vật rắn biến dạng và không quan tâm sâu sắc đến cơ sở vật lý và hóa học của ứng xử đó

Nội dung đầy đủ của lý thuyết và ứng dụng của chảy dẻo là phải xử lý hai khía cạnh quan trọng như nhau: kỹ thuật tổng quát được dùng trong việc khai triển các mối quan hệ ứng suất-biến dạng cho những vật liệu đàn-dẻo với sự biến cứng cũng như biến mềm; và qui trình giải số tổng quát để giải một bài toán kết cấu đàn-dẻo tổng quát dưới tác động của tải hay chuyển vị cưỡng bức thay đổi theo qui luật xác định

Nhiệm vụ đầu tiên của lý thuyết dẻo là thiết lập các mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng dưới trạng thái ứng suất phức tạp để có thể mô tả một cách thỏa đáng biến dạng dẻo khảo sát được Đây là nhiệm vụ khó khăn Tuy nhiên, các quy luật biến dạng của kim loại, tổng quát, phù hợp tốt với chứng cớ thí nghiệm đã được thiết lập vững chắc và được dùng thành công trong các ứng dụng kỹ thuật Hơn nữa, trong những năm gần đây, các phương pháp chảy dẻo cũng đã được mở rộng và được ứng dụng để nghiên cứu ứng xử biến dạng của các vật liệu địa chất như đá, đất và bê tông Sự mở rộng của lý thuyết dẻo cho các vật liệu phi kim loại chắc chắn là vấn đề nghiên cứu tích cực nhất trong lĩnh vực cơ học vật liệu hiện nay, và các mô hình vật liệu khác nhau đã được xây dựng Nhiệm vụ thứ hai của lý thuyết là xây dựng các kỹ thuật số cho việc thực thi những mối quan hệ ứng suất-biến dạng trong tính toán kết cấu Do bản chất phi tuyến của các quy luật biến dạng dẻo, các phép giải của các phương trình cơ sở của cơ học vật rắn chắc chắn sẽ đưa đến những khó khăn đáng kể Tuy nhiên, trong những năm gần đây, sự phát triển nhanh chóng của các máy tính tốc độ cao và các kỹ thuật hiện đại của phương pháp phần tử hữu hạn đã cung cấp cho kỹ sư một công cụ mạnh mẽ để giải hầu hết các bài toán kết cấu phi tuyến bất kỳ Điều này cũng kích thích các phát triển mới hơn và những ứng dụng rộng hơn của lý thuyết dẻo cổ điển Hoạt động nghiên cứu trong lĩnh vực này đã gia tăng một cách dữ dội trong thập niên cuối

Tài liệu này cố gắng cung cấp một sự mô tả súc tích về các khái niệm cơ bản

của lý thuyết và các tiến triển mới nhất cũng như các thực thi bằng máy tính của nó

1.2 ỨNG XỬ DẺO TRONG KÉO NÉN ĐƠN TRỤC

Loại gia tải đơn giản nhất được giới thiệu bởi điều kiện ứng suất đơn trục Ta

có hai loại thí nghiệm để đạt được điều kiện này: thí nghiệm kéo đơn trục sẽ

cho các ứng suất chính σ1 > 0, σ2 = σ3 = 0, và thí nghiệm nén đơn trục sẽ cho

các ứng suất chính σ1 = σ2 = 0, σ3 < 0 Đồ thị ứng suất-biến dạng đơn trục nổi tiếng, trong đó ứng suất chính hướng trục σ1 (hoặc σ3) được vẽ theo biến dạng dài hướng trục ε1 (hoặc ε3) tạo ra một sự mô tả hữu ích ứng xử dẻo cũng như ứng xử đàn hồi

1.2.1 Gia tải đều

Hình 1.1a biểu diễn đường cong điển hình cho mẫu kéo đơn trục bằng thép ít

carbon Miền đàn hồi đầu tiên nói chung xuất hiện như một đường thẳng OA với điểm A xác định giới hạn tỷ lệ Khi biến dạng tăng thêm, mối quan hệ giữa

ứng suất và biến dạng không còn tuyến tính nữa nhưng vật liệu vẫn còn đàn hồi, và theo sự cất tải, mẫu trở lại chiều dài gốc của nó Điểm ứng suất cực đại

B, ở đó tải có thể được tác động mà không gây ra bất cứ sự biến dạng thường

xuyên nào, xác định giới hạn đàn hồi Điểm B cũng được gọi là điểm chảy, vì

nó biểu thị sự bắt đầu biến dạng dẻo hay biến dạng không hồi phục Thông thường, có sự khác nhau nhỏ giữa giới hạn tỉ lệ, A, và giới hạn đàn hồi, B Thép

ít carbon cho điểm chảy trên B và điểm chảy dưới C Qua khỏi điểm C, biến

dạng gia tăng trong điều kiện tải hằng Ứng xử vật liệu trong miền phẳng CD

được xem như chảy dẻo Tuy nhiên, đối với hầu hết kim loại sẽ không có điểm

chảy nhọn hoặc chảy dẻo được nhận thấy rõ, và ứng suất chảy thường được xác

định bởi ứng suất chảy offset, σys, tương ứng với giá trị 0,1% của biến dạng như

hình 1.1b Ứng suất chảy qui ước này được xem như ứng suất chảy ban đầu

Trên điểm chảy, đáp ứng của vật liệu bao gồm cả đàn hồi và chảy dẻo Độ dốc của đường cong giảm đều, đơn điệu, và cuối cùng sự phá hủy của mẫu

thử sẽ xảy ra ở điểm E Vật liệu dẻo như thép ít carbon sẽ chịu biến dạng lớn mà không bị phá hủy Mặt khác, gang là vật liệu giòn do nó bị phá hủy sau

biến dạng rất nhỏ Nói chung, phá hủy của kim loại gồm có hai dạng: dạng

nứt tách như gang và dạng nứt trượt như thép ít carbon Các đặc trưng phá hủy

của các vật liệu địa chất thì phức tạp hơn rất nhiều Chúng cũng phụ thuộc vào trạng thái tải tác động: thí dụ, bê tông thể hiện ứng xử giòn dưới tác động

của tải kéo, nhưng dưới tác động của tải nén, bê tông có thể biểu thị một mức độ dẻo trước khi bị phá hủy

Hình 1.1 Biểu đồ ứng suất–biến dạng của thép ít carbon (a)

và của một số kim loại khác

1.2.2 Cất tải và chất tải lại

Bây giờ chúng ta khảo sát thí nghiệm trong đó mẫu đầu tiên được gia tải một cách đều đặn đến giá trị vượt quá điểm chảy đầu tiên và rồi cất tải hoàn toàn Ứng xử này được biểu thị trên hình 1.2 Khi ứng suất được giảm, biến dạng sẽ giảm theo một đường cất tải gần như đàn hồi AB song song với đường đàn hồi đầu tiên của đường cong Khi tải về không ở cuối đường cất tải, biến dạng không bằng không; vẫn còn biến dạng dư OB Biến dạng không hồi phục OB được xem là biến dạng dẻo trong khi biến dạng hồi phục BC là biến dạng đàn hồi Bây giờ, nếu mẫu này được gia tải lại, đường cong ứng suất–biến dạng sẽ theo đường gia tải lại BA, nó trùng với đường cất tải AB Do đó, vật liệu biến dạng đàn hồi cho đến khi đạt đến giá trị ứng suất cực đại trước khi cất tải ở điểm A Ứng suất σA được xem như là ứng suất chảy tiếp sau, vượt quá ứng suất

này biến dạng dẻo thêm nữa sẽ được gây ra và đường cong ứng suất–biến dạng lại theo đường cong đối với trường hợp gia tải đơn điệu

Đối với hầu hết các vật liệu, sau khi đạt đến điểm chảy đầu tiên, đường cong ứng suất–biến dạng tiếp tục tăng mặc dù độ dốc giảm dần, cho đến khi độ dốc giảm đến không và phá hủy xảy ra Do đó, ứng suất chảy tiếp sau tăng với sự gia tăng biến dạng Đặc tính này của vật liệu để có thể chịu đựng ứng suất lớn

hơn sau khi vật liệu biến dạng dẻo được gọi là biến cứng do biến dạng hay tái bền, nghĩa là vật liệu trở nên bền hơn với biến dạng dẻo

Đối với một vài vật liệu, như bê tông hoặc đá trong thí nghiệm nén đơn trục, có một miền ở phía bên kia của điểm đỉnh (điểm cực đại) trong đó độ dốc của đường

cong âm Ứng xử như thế được gọi biến mềm do biến dạng Loại vật liệu này trở

nên yếu hơn khi biến dạng tiếp tục vượt quá giới hạn tương ứng với ứng suất đỉnh

Hình 1.2 Biểu đồ ứng suất–biến dạng khi gia tải, cất tải và gia tải lại

1.2.3 Gia tải đảo ngược

Nếu chúng ta biểu diễn một thí nghiệm nén đơn trục của kim loại, chúng ta sẽ thu được một đường cong ứng suất–biến dạng hầu như giống hệt như trong thí nghiệm kéo đơn trục Tuy nhiên, sau biến dạng dẻo trước trong thí nghiệm kéo của một mẫu, đường cong ứng suất–biến dạng của mẫu này trong thí nghiệm nén sẽ khác đáng kể so với đường cong sẽ thu được khi gia tải lại đối với mẫu này ở trạng thái kéo Như được minh họa trong hình 1.3, đối với mẫu được gia tải kéo trước σy’, chảy dẻo nén tương ứng của nó xảy ra ở mức ứng suất σy” nhỏ hơn ứng suất chảy ban đầu σy và nhỏ hơn nhiều so với ứng suất chảy tiếp sau σy’ Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng Bauschinger và thường

xuất hiện khi có sự đảo ngược ứng suất

Hình 1.3 Hiệu ứng Bauschinger

Rõ ràng không có mối quan hệ một-một giữa ứng suất và biến dạng trong vật rắn biến dạng dẻo Nói cách khác, biến dạng không là hàm của chỉ riêng ứng suất,

mà còn phụ thuộc vào lịch sử của quá trình gia tải trước đó Do đó, vật liệu phụ

thuộc vào lộ trình đặt tải Điều này có thể được minh họa bởi trường hợp đơn giản

của ứng suất zero, khi các biến dạng dư với các độ lớn khác nhau có thể được kiến lập bằng cách thay đổi lịch sử đặt tải với ứng suất bắt đầu và kết thúc ở zero

Trong việc bàn luận từ trước đến nay, ta đã giả sử rằng có một đường cong ứng suất-biến dạng đơn giản cho trường hợp kéo hoặc nén, độc lập với suất biến dạng Giả định này được xem như độc lập với thời gian Điều này thì phù hợp với thực tiễn của các kim loại kết cấu ở nhiệt độ phòng dưới điều kiện đặt tải tĩnh Những ảnh hưởng của suất thì rất quan trọng cho các vật liệu chịu các điều kiện gia tải động lực và không được khảo sát trong tài liệu này

1.3 MÔ HÌNH ỨNG XỬ ĐƠN TRỤC TRONG CHẢY DẺO

1.3.1 Các đường cong ứng suất−−−−biến dạng kéo đơn trục đơn giản hóa

Để thu được lời giải cho bài toán biến dạng, cần thiết phải lý tưởng hóa ứng xử ứng suất–biến dạng của vật liệu Những mô hình lý tưởng hóa sau đây đáng được lưu ý

1.3.1.1 Mô hình đàn−−−−dẻo lý tưởng (hình 1.4a)

Trong vài trường hợp, việc bỏ qua sự biến cứng của vật liệu là chấp nhận được và tiện lợi, giả sử rằng chảy dẻo xảy ra khi ứng suất đạt đến ứng suất chảy σ0 Do đó, mối quan hệ ứng suất–biến dạng kéo đơn trục có thể được biểu diễn dưới dạng:

0

0

khiE

khiE

σ

=σλ+σ

=

ε

ở đây E là môđun Young, và λ là số vô hướng, xác định và lớn hơn không

1.3.1.2 Mô hình đàn hồi−−−−biến cứng tuyến tính (hình 1.4b)

Trong mô hình đàn hồi-biến cứng tuyến tính, đường cong liên tục được xấp xỉ bởi hai đoạn thẳng, do đó thay thế đường cong chuyển tiếp trơn bằng một điểm gãy nhọn, tung độ của nó được lấy là ứng suất giới hạn đàn hồi hoặc ứng suất chảy σ0 Nhánh đoạn thẳng đầu của biểu đồ có độ dốc bằng Young’s modulus,

E Nhánh đoạn thẳng thứ hai, mô tả miền biến cứng được lý tưởng hóa dưới dạng tuyến tính, có độ dốc Et < E Quan hệ ứng suất-biến dạng đối với trường

Hình 1.4 Các đường cong ứng suất–biến dạng lý tưởng hóa

t 0

0 khi ) ( E

1 E

khi E

σ

>

σ σ

− σ + σ

=

ε

σ

≤ σ σ

=

ε

1.3.1.3 Mô hình đàn hồi−−−−biến cứng hàm mũ (hình 1.4c)

Quan hệ ứng suất–biến dạng được khảo sát dưới dạng lũy thừa như sau:

0 n

0

khik

khiE

σ

>

σε

=σ

σ

≤σε

=σ

(1.3)

trong đó k và n là hai hằng số đặc trưng của vật liệu, chúng được xác định sao cho phù hợp tốt nhất với đường cong thu được từ thí nghiệm Nếu ε mô tả biến dạng tổng, đường cong nên đi qua điểm mô tả ứng suất chảy và biến dạng đàn hồi tương ứng Biểu thức lũy thừa (1.3) chỉ nên dùng trong miền biến cứng (biến dạng dẻo)

1.3.1.4 Mô hình Ramberg−−−−Osgood (hình 1.4d)

Đường cong ứng suất–biến dạng phi tuyến trong hình 1.4d có dạng biểu thức như sau

n b

a

 σ + σ

=

Hình 1.5 Môđun tiếp tuyến và môđun dẻo

1.3.2 Môđun tiếp tuyến E t và môđun dẻo E p

Bởi vì quan hệ ứng suất–biến dạng đàn–dẻo của vật liệu có tính chất phi tuyến, một qui trình gia tăng nói chung được chọn để giải bài toán biến dạng Do đó,

chúng ta giả định rằng một gia tăng biến dạng, dε, bao gồm hai phần: gia tăng biến dạng đàn hồi, dεe, và gia tăng biến dạng dẻo, dεp (xem hình 1.5a)

p e

dd

với Et là môđun tiếp tuyến, nó thay đổi trong quá trình biến dạng dẻo Trong

trường hợp đặt tải đơn trục, Et là độ dốc hiện hành của đường cong σ−ε (hình 1.5a) Nếu chúng ta tách biến dạng dẻo εp khỏi biến dạng tổng ε, thì lượng gia tăng biến dạng dẻo dεp và lượng gia tăng ứng suất dσ được liên hệ với nhau theo biểu thức:

p

pdE

Thay dε trong đẳng thức (1.6), dεp trong đẳng thức (1.7), và dεe trong đẳng thức (1.8) vào đẳng thức (1.5) ta sẽ có mối quan hệ giữa ba môđun Et, E và Ep

p

1E

1E

1.3.3 Các quy luật biến cứng

Như đã được mô tả trong phần trên, hiện tượng mà nhờ đó ứng suất chảy gia tăng với sự gia tăng biến dạng dẻo được gọi là biến cứng hay tái bền của vật liệu Để mô tả ứng xử này, một thông số biến cứng κ được giới thiệu để đặc trưng cho các trạng thái biến cứng khác nhau, và môđun dẻo Ep được cho là một hàm của thông số biến cứng κ này như

) ( E

p = ∫( d ε d ε )

ε

nó là tổng của các gia tăng biến dạng dẻo tương đương được định nghĩa bởi:

p p

Bởi vì đường cong kéo đơn trục σ−ε đối với một vật liệu nói chung thu được từ một thí nghiệm đơn giản, dạng hàm của môđun dẻo Ep trong đẳng thức (1.10) có thể được xác định từ thí nghiệm này dưới dạng định nghĩa của thông số biến cứng κ

Đối với một phân tố vật liệu dưới điều kiện gia tải nghịch đảo, ứng suất chảy tiếp sau thường được xác định theo một trong ba quy luật đơn giản sau đây:

1 Quy luật biến cứng đẳng hướng: độ lớn ứng suất chảy nén nghịch đảo được

giả định bằng với ứng suất chảy kéo Như được minh họa trong hình 1.6a, ở đây

σ trước khi nghịch đảo tải Do đó, quy luật biến cứng đẳng hướng bỏ qua hoàn

toàn hiệu ứng Bauschinger, khi giả định rằng ứng suất chảy gia tăng trong lúc

kéo sẽ bằng với độ lớn ứng suất chảy gia tăng trong lúc nén Quy luật biến cứng này có thể được biểu diễn dưới dạng toán học như sau:

|)(

cập ở trên

Hình 1.6 Các quy luật biến cứng

2 Quy luật biến cứng động học: miền đàn hồi được cho là không bị thay đổi

trong quá trình biến cứng (biến dạng dẻo) Do đó, quy luật biến cứng động học

khảo sát hiệu ứng Bauschinger tới mức độ đầy đủ của nó Biến cứng động học

đối với vật liệu biến cứng tuyến tính được biểu thị trong hình 1.6b, với

| = Tâm của miền đàn hồi được di chuyển dọc theo đường thẳng aa’

Quy luật biến cứng này có thể được biểu diễn dưới dạng toán học như sau

0

|)(c

với c(κ) là hàm của thông số biến cứng κ

3 Quy luật biến cứng độc lập: vật liệu được cho là bị biến cứng một cách độc lập

khi chịu kéo và khi chịu nén Quy luật biến cứng này được minh họa trong hình 1.6c, với BC > OA, nhưng CB' > OA'; vật liệu đã biến cứng chỉ trong kéo, nhưng nó đối xử giống như vật liệu chưa chịu biến dạng (mới nguyên) dưới điều kiện đặt tải nén nghịch đảo Nó có thể được biểu diễn dưới dạng toán học như sau

0nếu)(

0nếu)(

c c

t t

<

σκ

σ

=σ

>

σκ

σ

=σ

với κt và κc là các thông số biến cứng được tích lũy trong quá trình đặt tải kéo và nén tương ứng

1.3.4 Thí dụ

1.3.4.1 Thí dụ 1.1

Ứng xử của vật liệu đa tinh thể bao gồm nhiều đơn tinh thể thì tương tự với một kết cấu giàn bao gồm nhiều thanh riêng lẻ Do đó, có thể dùng hệ thống giàn đơn giản để mô phỏng ứng xử đàn–dẻo của vật liệu kim loại Trong thí dụ này,

(2) (1)

một kết cấu giàn như hình 1.7 được khảo sát Hiệu ứng Bauschinger sẽ được mô

phỏng bởi mô hình

Hình 1.7 Mô hình thí dụ 1.1

Trong hình 1.7, hai cặp thanh song song, thẳng đứng và chịu tác động kéo của tải P Các thanh này được làm bằng các vật liệu đàn–dẻo lý tưởng với các ứng suất chảy khác nhau Hãy phân tích các đặc trưng đặt tải, cất tải và đặt tải lại của mô hình kết cấu này

Ứng xử đặt tải: với việc đặt tải P gia tăng từ zero, hai giai đoạn đáng kể đầu tiên

xảy ra khi tiếp theo chảy dẻo của những thanh 1 là chảy dẻo của những thanh 2 Chú ý rằng cả hai vật liệu có cùng môđun đàn hồi, tải trọng lúc chảy dẻo đầu được tìm thấy

2 01 1 01

Ứng suất tương đương có thể được tính dưới dạng

01 2

1

2 01 1 01 a

AA

AA

σ

=+

σ+σ

2 1

2 02 1 01

AA

+

σ+σ

=

E

02 b

sự gia tăng tải trọng Do đó, sự kiện kế tiếp sẽ là giai đoạn cất tải Trong quá trình cất tải, môđun thì tương tự như môđun lúc đầu E Do đó, tải giảm đến không khi biến dạng được giảm một lượng

)AA(E

AA

2 1

2 02 1 01

+

σ+σ

2 02 01 01

1

AA

A)(

E

+

σ

−σ

=ε

−σ

=

2 1

1 01 02 02

2

AA

A)(

E

+

σ

−σ

=ε

−σ

=

Bởi vì σ02 > σ01, ta sẽ có σ1 < 0, σ2 > 0, cho thấy rằng tồn tại việc nén dư trong những thanh có độ bền chảy thấp hơn 1 và kéo dư trong những thanh có độ bền

chảy cao hơn 2 với tải tác động giảm đến zero

Do chúng ta cho rằng thanh đàn–dẻo lý tưởng, chảy nén sẽ xảy ra trong những thanh 1 khi biến dạng được giảm một lượng

Tải trong các thanh 2 là

2 01 02

Ứng suất tương ứng là

2 1

1 01 2 01 02

AA

)2(

+

σ

−σ

−σ

=

Chú ý rằng, ứng suất chảy dẻo nghịch đảo trong (1.27) có độ lớn nhỏ hơn ứng suất chảy ban đầu trong (1.16), do đó các thanh 1 chảy dẻo sớm hơn nhiều so với giai đoạn đặt tải ban đầu, bởi vì chúng đã bị nén khi tải P = 0 như đã chỉ

Hình 1.8 Các đặc trưng đặt và cất tải của mô hình

2 1

2 02 1 01 e

AA

AA

+

σ

−σ

Ứng xử đặt tải lại: bây giờ chúng ta khảo sát trường hợp trong đó việc đặt tải

nén được kết thúc ở điểm h trước khi chảy dẻo nén trong các thanh 2 bắt đầu Việc đặt tải lại của hệ kết cấu trong lúc kéo sẽ theo đáp ứng tuyến tính với môđun ban đầu E nhưng các thanh 1 cuối cùng sẽ chảy dẻo lần nữa khi chịu kéo

ở điểm i và chảy dẻo của các thanh 2 bắt đầu ở điểm f Đường cong σ–ε cho chu trình đặt tải này được biểu thị bởi f–g–h–i trong hình 1.8

Mô hình kết cấu này với sự lắp ráp các thanh có ứng suất chảy khác nhau có thể được khảo sát, một cách định tính, để mô tả một mẫu thật với các mặt phẳng trượt của những độ bền khác nhau, và do đó giải thích tại sao một mẫu thật nói

chung biểu hiện hiệu ứng Bauschinger

=

σ đối với σ ≥ σ0

Hình 1.9 Đường cong ứng suất–biến dạng cho chu trình

Giải

Theo định nghĩa của môđun dẻo Ep trong (1.7), ta có

9 p

9 p

10 9 , 25

1 10

207 1 1 E

1 E 1

1

+

= +

Với mẫu vật liệu chịu kéo, chảy dẻo xảy ra ở thời điểm có biến dạng

001 , 0 E

o = σ

= ε

Sau đó, mẫu được kéo thêm đến điểm A với biến dạng ε = 0,007, ở đó ứng suất

σA được xác định theo

2 6 9

6

t 0 0

A

m / N 10 345 ) 001 , 0 007 , 0 ( 10 020 , 23 10 207

E

=

− +

=

ε

∆ + σ

= σ + σ

= σ

Các ứng suất tiếp sau được xác định đối với ba quy luật biến cứng như sau

(i) Trường hợp biến cứng đẳng hướng (hình 1.9(i)): trong quá trình cất tải và đặt

tải nén nghịch đảo, mẫu ứng xử đàn hồi cho đến khi nó chảy dẻo lần nữa trong trạng thái nén ở điểm B Theo quy luật biến cứng đẳng hướng, ta có

6 A

B = − σ = − 345 10

00367 , 0 10 207

10 345 2 007 , 0 E

6 A

− ε

= ε

Bây giờ, mẫu vật liệu tiếp tục chảy dẻo đến lúc sự đảo ngược tải xảy ra ở điểm

C khi ε = 0

2 6 9

6 t B C

m / N 10 429 )

00367 , 0 0 ( 10 020 , 23 10 345

E

−

=

− +

−

=

ε

∆ + σ

= σ

Với sự đảo ngược của biến dạng, vật liệu sẽ biến dạng đàn hồi cho tới điểm

0 10 207

10 429 2 0 E

6 D

= ε

Khi biến dạng ε đạt đến 0,007 ở điểm E, ứng suất là

2 6 9

6 t D E

m / N 10 495 ) 004145 ,

0 007 , 0 ( 10 020 , 23 10 429

E

=

− +

=

ε

∆ + σ

= σ

(ii) Trường hợp biến cứng động học (hình 1.9(ii)): ứng suất chảy ở điểm B là

2 6 6

6 0

A

B = σ − 2 σ = 345 10 − 2 ( 207 10 ) = − 69 10 N / m

σ

005 , 0 10 207

10 207 2 007 , 0 E

6 0

− ε

= ε

Ở điểm C, ta có

2 6 9

6 t

B

C = σ + E ∆ ε = − 69 10 + 23 , 020 10 ( 0 − 0 , 005 ) = − 184 10 N / m σ

Ở điểm D, mẫu chảy dẻo lần nữa trong trạng thái kéo ở ứng suất

2 6 6

6 o

C

D = σ + 2 σ = − 184 10 + 2 ( 207 10 ) = 230 10 N / m

σ

002 , 0 10 207

10 207 2 0 E

6 0

= σ + ε

= ε

Ở điểm E, ứng suất là

2 6 9

6 t D E

m / N 10 345 ) 002 , 0 007 , 0 ( 10 020 , 23 10 230

E

=

− +

=

ε

∆ + σ

= σ

(iii) Trường hợp biến cứng độc lập (hình 1.9(iii)): vì trước đây vật liệu chưa

được chảy dẻo trong trạng thái nén nên ứng suất chảy tại điểm B là

2 6 0

B = − σ = − 207 10 N / m

σ

00433,010.207

10.20710

.207

10.345007,0E

6 9

6 0

A A

ε

Ở điểm C, ta có

2 6 9

6 t B C

m / N 10 307 )

00433 , 0 0 ( 10 020 , 23 10 207

E

−

=

− +

−

=

ε

∆ + σ

= σ

Ở điểm D, vật liệu chảy dẻo lần nữa trong trạng thái kéo ở ứng suất bằng σA, nghĩa là

2 6 A

D = σ = 345 10 N / m

σ

00315,010.207

10.34510

.207

)10.307(0E

6 9

6 D

C C

ε

Ở điểm E, ứng suất là

2 6 9

6 t D E

m / N 10 434 ) 00315 , 0 007 , 0 ( 10 020 , 23 10 345

E

=

− +

=

ε

∆ + σ

= σ

Các đường cong ứng suất−biến dạng cho ba trường hợp quy luật biến cứng được biểu diễn trên hình 1.9

1.3.4.3 Thí dụ 1.3

Xét một vật liệu biến cứng động học phi tuyến với đường cong σ–ε trong trạng thái kéo đơn thu được từ thí nghiệm kéo có dạng

n p

0 + m ( ε ) σ

Hình 1.10 Các quan hệ σ-εp đối với các định nghĩa khác nhau của κ

Một phân tố vật liệu trước hết được đặt tải kéo đến điểm A, ở đó σA = 350N/m2, và rồi được cất tải và đặt tải nén tiếp tục Trạng thái B là điểm chảy dẻo khi nén trong quá trình đặt tải nghịch đảo (hình 1.10)

a) Hãy tìm các biểu thức mô tả đường cong σ–εp trong quá trình đặt tải nén chảy dẻo bắt đầu từ trạng thái B đối với thông số biến cứng κ được định nghĩa như: trường hợp (i), κ = ε = ∫ ε p ε p 1 / 2

p ( d d ) ; trường hợp (ii), κ = εp Hãy vẽ phát đường cong σ–εp

b) Đối với κ được xác định như trường hợp (iii), κ = = ∫σ ε p

p

0

p p 2

/ 1 s

0

p

d (

nó dẫn đến cùng dạng với trường hợp (ii) Từ mối quan hệ σ–ε đã cho (1.31)

εp 0,003 0,009

σ

Trong kéo 287,52 321,69Trường hợp (i) -79,96 -69,51Trường hợp

(ii)

-112,54 -78,37

Trường hợp (iii)

-86,00 -72,14

cho kéo đơn trục, môđun dẻo Ep có thể được biểu diễn theo κ như

1 n 1

n p p

p A

p

A + ( ε − ε ) = 2 ε − ε ε

n

E = κ − = ε − ε − đối với trường hợp (i) (1.34a)

1 n p

E = ε − đối với trường hợp (ii) (1.34b)

Do đó, đường cong σ-εp trong miền này có thể được tìm theo

+σ

=σ

p

p B

s

s

p p

p p

2(

2)

()(

=

σ đối với trường hợp (ii) (1.36b)

Ở điểm A, ứng suất σA = 350MPa, do đó biến dạng có thể dễ dàng được xác định bởi (1.31)

0181 , 0 p

, 0 p

6(0,0362 ) 100,06.1010

, 0 p

6( ) 200,06.1010

) W ( E

Từ quan hệ σ–εp đã cho, Wp được tính bởi

1 n p p

0

p p

s

0

n p 0 p p

) ( 1 n m

d ) ( m d

W

+ ε + + ε σ

=

ε ε + σ

= ε σ

(1.39a)

Từ phương trình (1.31) ta cũng có

1 n p

1 Tính toán σ, εp, Wp, và Ep ở điểm bắt đầu B

2 Lấy gia số biến dạng dẻo dεp = –0,0015 (gia số đầu tiên dεp = –0,0016)

3 Tính toán gia số ứng suất dσ = Epdεp và gia số công dẻo dWp = σdεp

4 Cập nhật ứng suất, biến dạng dẻo, và công biến dạng dẻo bằng cách cộng thêm gia số tương ứng: σ + dσ, εp + dεp, Wp + dWp

5 Cập nhật môđun dẻo Ep bằng cách giải phương trình (1.39a) đối với εp, rồi thay εp vào (1.39b) để tìm Ep Chú ý rằng εp không là biến dạng dẻo hiện hành

6 Quay trở lại bước 2

Bảng 1.1 Tính toán quan hệ σ–εp bằng quy trình gia số

5,709 5,789 5,870 5,957 6,049 6,146

2487,23 2465,35 2443,93 2421,14 2397,99 2374,50

0,0800 0,0810 0,0865 0,0920 0,0975 0,1029

–3,980 –3,698 –3,666 –3,632 –3,597 –3,562

O

x 3

°°°° P(v 1 ,v 2 ,v 3 ) r

v r

6,249 6,357 6,471 6,590 6,713 6,842 6,977

2349,89 2324,26 2298,50 2272,65 2245,99 2219,35 2192,04

0,1082 0,1135 0,1187 0,1239 0,1290 0,1341 0,1391

–3,525 –3,486 –3,448 –3,409 –3,369 –3,329 –3,288

Các kết quả của tính toán này được cho trong bảng 1.1 và đường cong σ-εp

tương ứng được biểu diễn trong hình 1.10

1.4 KÝ HIỆU CHỈ SỐ

Do ký hiệu chỉ số cho phép giảm đáng kể các số hạng trong một biểu thức hoặc phương trình và sự đơn giản hóa của việc hình thành công thức tổng quát, nên nó thường được dùng trong các tài liệu hiện hành khi ứng suất, biến dạng và những phương trình cơ bản được đề cập đến Vì thế, kiến thức cơ bản về các ký hiệu này là cần thiết trong việc nghiên cứu lý thuyết dẻo và mô hình cơ bản của vật liệu Với những ký hiệu như thế, các mối quan hệ ứng suất biến dạng đa dạng có thể được biểu diễn trong dạng cô đọng (dạng nén), bằng cách ấy cho phép tập trung nhiều đến các nguồn gốc vật lý hơn là chính các phương trình

1.4.1 Ký hiệu chỉ số và quy ước phép tổng

Xét hệ tọa độ Descartes phải Trong không gian ba chiều, hệ tọa độ Descartes

phải được vẽ bởi một bộ gồm ba trục vuông góc lẫn nhau và thường được ký hiệu là x, y, z Để thuận tiện hơn cho các công việc sau này, các trục này được ký hiệu lại là x1, x2, x3 Hình vẽ phác của hệ trục này được thể hiện trong hình 1.11

1.4.1.1 Ký hiệu chỉ số

Trong hệ tọa độ này, vectơ v được biểu thị

i i 3 3 2 2 1 1 3 2

v(

vr = = r + r + r = r (1.40)

ở đây er1,er2 và er3 lần lượt là các vectơ đơn vị trên ba trục tọa độ x1, x2, x3, và

v1, v2, v3 là ba hình chiếu - thành phần - của vectơ vr lên ba trục Thật là ích lợi để ký hiệu các thành phần của một vectơ bằng chỉ một thành phần đơn giản với chỉ số đã tổng quát hóa Do đó, trong ký hiệu chỉ số, vi biểu thị cho các thành phần của vectơ vr Điều này được hiểu là chỉ số i biến thiên từ 1 đến 3 khi vi

được viết cho vr

Thí dụ, đẳng thức xi = 0 ngụ ý rằng cả ba thành phần của vectơ xr: x1 = x2 = x3 =

0, hoặc vectơ xr = 0r Tương tự,

) x , x , x ( ) x ( ) x ( ) x (r = i = j = 1 2 3 (1.41) Chỉ số có thể được chọn tự do Do đó, xi và xj mô tả cùng một vectơ

1.4.1.2 Quy ước phép tổng

Quy ước phép tổng bổ sung cho ký hiệu chỉ số và cho phép sự vắn tắt (rút gọn) nhiều hơn nữa khi trình bày các phép tổng Chúng ta chấp nhận quy ước sau: khi chỉ số xuất hiện hai lần trong cùng số hạn, điều này được hiểu là chỉ số được tính từ 1 đến 3 Thí dụ tích vô hướng của hai vectơ ur và vr sẽ được biểu diễn

k k j j i i 3

1

3 3 2 2 1

ujvj hoặc ukvk cùng biểu diễn một tổng như nhau, u1v1 + u2v2 + u3v3 Các chỉ số

được lặp lại như thế được gọi là chỉ số giả hoặc câm bởi vì thực ra chữ cái cụ

thể được dùng cho chỉ số thì không quan trọng; nghĩa là uivi = ujvj = ukvk

Trong ý nghĩa này, cần chỉ ra rằng tổng hai vectơ ur và vr sẽ được biểu diễn

)vuvuvu(vu

wr = r + r = 1 + 1' 2 + 2' 3 + 3 hay wi = ui + vi (1.43)

Ở ký hiệu trên, mỗi số hạng, thí dụ ui, không phải là một tổng vô hướng mà là một vectơ vì chỉ số i chỉ xuất hiện một lần trong mỗi số hạng và được gọi là chỉ

số giả hoặc câm Sự xuất hiện của chỉ số tự do trong biểu thức chỉ ra rằng các

vectơ sẽ tồn tại trong biểu thức đó Do đó, biểu thức sau đây là một biểu thức

sai

3 3 2 2 1 1 i

Hơn nữa, chỉ số trong một số hạng của một phương trình hay biểu thức chỉ nên xảy ra hai lần trong cùng số hạng này đối với quy ước phép tổng là hợp lệ Một biểu thức như uivii không truyền đạt ý nghĩa gì đặc biệt

Sự có hiệu lực của quy ước sẽ rõ ràng hơn khi nó được áp dụng vào hệ phương trình tuyến tính Thí dụ xét hệ ba phương trình tuyến tính

3 3 33 2 32 1 31

2 3 23 2 22 1 21

1 3 13 2 12 1 11

b x a x a x a

b x a x a x a

b x a x a x a

= +

+

= +

+

= +

+

Hai giai đoạn ký hiệu có thể được viết như sau

3 j j 3

2 j j 2

1 j j 1

b x a

b x a

b x a

Chỉ số i trong dạng ký hiệu cuối của hệ ba phương trình chỉ xuất hiện một lần trong mỗi số hạng và đó là chỉ số tự do Điều này cho thấy các vectơ tồn tại trong biểu thức Ngoài ra, khi hai chỉ số tự do được dùng để ký hiệu tenxơ Với các quy ước trên ta có thể thấy aij ký hiệu một tensor, xj’bi ký hiệu các vectơ Như thế, hệ phương trình tuyến tính (1.47) cũng có thể được viết

r s

2 1

1

x

v x

v x

v v

∂

∂ +

∂

∂ +

v v

Các quy ước về các chỉ số được mô tả ở trên bây giờ có thể được tổng quát theo

ba quy luật như sau:

Bảng 1.2 Ký hiệu chỉ số của vectơ

một lần trong mỗi số hạng của biểu thức hoặc phương trình

Quy luật 2: nếu chỉ số xuất hiện hai lần trong một số hạng của biểu thức hay phương trình, nó được gọi là “chỉ số giả hoặc câm” Nó được cộng từ 1 đến 3

Chỉ số giả có thể hoặc không thể xảy ra chính xác hai lần trong số hạng bất kỳ

Quy luật 3: nếu chỉ số xuất hiện hơn hai lần trong một số hạng của biểu thức

hay phương trình, nó là một lỗi

1.4.1.3 Ký hiệu đạo hàm

Trong ký hiệu chỉ số, ta dùng dấu phẩy để chỉ thị đạo hàm; do đó, thí dụ, dạng đạo hàm riêng của phương trình (1.50) có thể đơn giản hóa hơn dưới dạng

j i

x

v v

trong đó dấu phẩy biểu thị đạo hàm riêng theo biến của chỉ số thứ hai Hơn nữa,

gradient của hàm φ được biểu diễn như

i

nó chỉ rõ đặc tính vectơ của gradient của hàm φ do chỉ số tự do i Divergence

của ∇φ, được gọi là toán tử Laplace của hàm φ, sẽ được viết

ii , 33 , 22 , 11 , 2

∇ φ = φ + φ + φ = φ

∇

= φ

1.4.2 Ký hiệu Kronecker δδδδij

Ký hiệu Kronecker δij là một ma trận đối xứng đặc biệt được định nghĩa

010

001

Do đó, các thành phần của δij = 1 nếu i = j, và δij = 0 nếu i ≠ j:

δ11 = δ22 = δ33 = 1 (1.53)

δ12 = δ21 = δ13 = δ31 = δ23 = δ32 = 0 (1.54) Chú ý phép tổng

δjj = δ11 + δ22 + δ33 = 3 (1.55) Ký hiệu δij có thể được xem như một toán tử và cung cấp một hàm hữu ích khi dùng đến Thí dụ, khảo sát phép chiếu δijvj Theo quy ước phép tổng, điều này sẽ mang lại sự khai triển vectơ

δijvj = δi1v1 + δi2v2 + δi3v3 (1.56) Lần lượt gán giá trị 1, 2, 3 cho i ta thu được các thành phần tương ứng của δijvj là

v1, v2, v3 Vì thế

Kết quả này có thể được hình dung như là kết quả của sự thay thế i cho j (hoặc j cho i) trong đại lượng được tác động bởi toán tử δij Do đó, khi áp dụng toán tử

δij lên đại lượng vj đã thay thế chỉ số i cho chỉ số j trên đại lượng vj; ký hiệu δij

thường được gọi là toán tử thay thế

Như một thí dụ khác, δijδji sẽ mô tả tổng vô hướng và có kết quả

δijδji = δii = δ11 + δ22 + δ33 = 3 (1.58) Tương tự,

δijaji = aii = a11 + a22 + a33 (1.59) Cuối cùng, chú ý rằng tích vô hướng

jinếu1e

eri rj

Do đó ta có thể viết

ij j

i e

1.4.3 Chuyển đổi hệ trục tọa độ

1.4.3.1 Cosine chỉ phương

Hình 1.12 Phép biến đổi hệ trục tọa độ

O

x 3

°°°° P(x’P(xi) i ) r

1

e

′ r

2

e

′ r

3

e

Các giá trị của các thành phần v1, v2, v3 của vectơ vr sẽ phụ thuộc vào hệ trục tọa độ đã chọn Khi giải quyết các bài toán cơ học ta thường có nhu cầu thay đổi hệ trục quy chiếu, do đó thường cần phải định lại các giá trị mới cho các thành phần của vectơ vr trong hệ trục mới

Bảng 1.3 Các cosine chỉ phương lij

i

x , xj), nghĩa là cosine của các góc hợp bởi các trục ,

i

x và xi

đối với i và j thay đổi từ 1 đến 3, các giá trị mới của các thành phần của vectơ

vr trong hệ trục mới ,

i

x : , ij j

v = l Những cosine này được lập thành bảng

1.3 nên chú ý rằng, các thành phần của ma trận lij là không đối xứng, lij ≠ lji Thí dụ, l12 là cosine của góc giữa trục ,

đến hệ trục cũ xi

1.4.3.2 Mối quan hệ giữa các llll ij

Từ định nghĩa của lij, ta có

j

, i

3 3

, i 2 2

, i 1 1

, i

,

i

ee

ee

e)e.e(e)e.e(e)e.e(e

rlrlrlrl

rrrrrrrrrr

=+

+

=

++

Trái lại, ,

j ji

0001

11

33 23 32 22 31 21

33 13 32 12 31 11

23 13 22 12 21 11

2 33

2 32

2

31

2 23

2 22

2

21

2 13

2 12

2

11

=+

+

=+

+

=+

+

=++

=++

=++

llllll

llllll

llllll

lll

lll

lll

(1.66)

Tương tự, , ri kj rk ri rj

k kj

, r ri ij j

er r =δ =l r l r =l l δ =l l (1.67) hoặc lrilrj = δij (1.68) Vectơ bất kỳ vr có thể được biểu diễn hoặc theo dạng vieri hoặc theo dạng ,

, i j j

, i

,

v = r r = r r = r l r =l δ =l (1.69) hoặc

, j ri

, r ri

, j

, j i

v = r = r l r = l r δ = l (1.71)

j ji

,

x = l và ,

j ji

Điều này dẫn đến

, i

j j

, i ij

x

xx

j ij

5

4 1 25

9 0

25

12 x

x x

xx

x,2 = l2j j = l21 1 +l22 2 +l23 3 =

25

3x

xx

–9/25 4/5 12/25

4/5

0 3/5

Do đó, điểm (0, 1, –1) trong hệ tọa độ xi trùng với điểm (–29/25, 4/5, –3/25) trong hệ tọa độ ,

i

x

1.4.4 Định nghĩa tenxơ trong hệ tọa độ Descartes

Trong phần trước, chúng ta đã chứng minh rằng một vectơ đặt ở điểm bất kỳ

trong không gian thì hoàn toàn được xác định khi ta biết được ba thành phần (hình chiếu) của nó Nếu ta biết các hình chiếu của một vectơ trong hệ trục tọa độ xi, thì các hình chiếu của vectơ này trong hệ trục tọa độ ,

được hình dung khó hơn như gradient của một đại lượng vô hướng Thí dụ, nếu

,

x

x x x

Đầu tiên tenxơ bậc một được định nghĩa là tập hợp ba đại lượng (được gọi là các thành phần của nó) có đặc tính là nếu những giá trị của chúng ở một điểm cố định trong hệ trục tọa độ xi là vi thì những giá trị của chúng ở một điểm này trong hệ trục tọa độ mới bất kỳ ,

v = l Vì tất cả các vectơ biến đổi theo quy luật này, nên các vectơ là những tenxơ bậc một Một đại lượng vô hướng, như nhiệt độ ở một điểm, có giá trị không đổi bất chấp hệ trục tọa độ được dùng để biểu thị nó, và

do đó số vô hướng không bị ảnh hưởng bởi sự chuyển hệ trục và được định nghĩa như là tenxơ bậc không Một tenxơ bậc một (hoặc một vectơ) là một tập hợp 31 = 3 thành phần, và tenxơ bậc không (hoặc một số vô hướng) là một tập hợp 30 = 1 thành phần

Bây giờ định nghĩa được mở rộng một cách tương tự cho những tenxơ bậc cao hơn Một tenxơ bậc hai được định nghĩa như là tập hợp 32 = 9 thành phần, nếu các giá trị của chúng ở một điểm là aij trong hệ trục tọa độ xi, những giá trị của chúng ,

mn jn im

một điểm được định nghĩa hoàn toàn bởi ba vectơ

Một tenxơ bậc ba là một tập hợp 33 = 27 thành phần, nếu các giá trị của chúng ở một điểm là aijk trong hệ trục tọa độ xi, những giá trị của chúng ,

ijk

a ở cùng điểm trong hệ trục mới bất kỳ ,

i

x được cho bởi

mnp kp jn im

Cartesian bởi vì sự giới hạn vào các hệ trục tọa độ Descartes

Bảng 1.5 Các cosine chỉ phương (lij )

Như một thí dụ, giả sử rằng chín thành phần của tenxơ bậc hai trong hệ trục tọa độ xi được biết:

a11 = 1, a12 = –1, a32 = 2, các thành phần còn lại aij = 0

Khảo sát hệ trục tọa độ mới ,

i

x được liên hệ với hệ trục xi bởi các cosine chỉ

phương (lij) được cho trong bảng 1.5

Những thành phần mới ,

1)1(21

0aa

a

aa

32 12 13 12 12 11 11 11 11

mn n 1 m 1

,

11

=+

−+

=

++

+

=

=

lll

ll

l

ll

(1.79)

Tương tự, a12, = −1, a,32 = 2, và

1.4.5 Các đặc trưng của tenxơ

Các phép toán trên tenxơ tương tự như các phép toán trên vectơ

1.4.5.1 Hai tenxơ bằng nhau

Hai tenxơ A và B được định nghĩa là bằng nhau khi các thành phần tương ứng của chúng bằng nhau Thí dụ, điều kiện bằng nhau của tenxơ aij và tenxơ bij là

1.4.5.2 Phép cộng

Tổng hoặc hiệu hai tenxơ cùng bậc là một tenxơ cùng bậc, nó được định nghĩa là cộng hoặc trừ các thành phần tương ứng của hai tenxơ Thí dụ, nếu cộng hai tenxơ bậc hai aij và bij ta thu được tenxơ bậc hai cij:

cij = aij + bij (1.81) Rõ ràng rằng tổng hoặc hiệu hai tenxơ khác bậc không thể được định nghĩa

1.4.5.3 Các phương trình tenxơ

Như đã đề cập trước đây, một phương trình tenxơ đúng trong hệ trục tọa độ thì đúng trong tất cả các hệ trục tọa độ, nếu hai tenxơ thỏa aij = bij trong hệ trục xi,

ta có thể xác định cij = aij - bij trong tất cả hệ trục Theo lập luận trước đây, hiệu của hai tenxơ cùng bậc là tenxơ cũng cùng bậc, nghĩa là cij là tenxơ bậc hai Bây giờ, cij triệt tiêu trong hệ trục xi, và do đó cũng triệt tiêu trong tất cả các hệ trục tọa độ Điều này cũng có thể dễ dàng thấy được từ thực tế rằng c’ij trong hệ trục bất kỳ là tổ hợp tuyến tính của cij

mno ko jn im no m ko jn im

no ko jn m im

, ik

, i

,

ijk

Ca

a

)a(a(bac

l l l l

l l

l l l

pqr kr jq ip

1.4.5.6 Thí dụ

Bảng 1.6 Các thí dụ của các đặc trưng tenxơ

Phép cộngPhép nhânPhép nhân với vô hướng Phép nhân tenxơ

Phép nhân tenxơTích vô hướng, nhân vô hướng(Chiều dài)2

Bất biến thứ nhất của aij

Cuộn chỉ sốĐạo hàm riêng theo tọa độ

Divergence, ∇⋅ur

Giả sử rằng c và d là các vô hướng, ui hoặc vi là ba thành phần của một vectơ, và aij là chín thành phần của một tenxơ bậc hai Thế rồi ta có các kết quả được cho trong bảng 1.6

1.4.6 Tenxơ đẳng hướng

Một tenxơ là đẳng hướng nếu những thành phần của nó cùng giá trị trong tất cả hệ trục tọa độ Một vô hướng (tenxơ bậc không) là thí dụ đơn giản về tenxơ đẳng hướng Tenxơ δij là đẳng hướng bậc hai vì δij có các giá trị không đổi khi chuyển trục tọa độ

δ’ij = lirljsδrs = lirljr = δij (1.86) Có thể thấy rằng tenxơ đẳng hướng bậc hai bất kỳ phải ở dạng hằng số nhân với

δij, và tenxơ đẳng hướng bậc bốn tổng quát nhất có dạng:

aijk l = αδijδk l + βδikδj l + γδi lδjk (1.87)

1.4.7 Thí dụ 1.5

Nếu φ là vô hướng, hãy chứng tỏ:

a) φ,i là tenxơ bậc một

b) φ,ij là tenxơ bậc hai

c) φ,kk là số vô hướng (tenxơ bậc không)

Giải

Do φ là số vô hướng,

φ(trong hệ trục xi) = φ(trong hệ trục x’i) (1.88) a) Định nghĩa

i i

j j , i

, i

, , i

x

xxxx

,

φ l (i là chỉ số tự do) (1.91)

Do đó φ,i là tenxơ bậc một

b) Định nghĩa