Số phức và quỹ tích phức

Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức

BÀI GIẢNG SỐ 02: TÌM SỐ PHỨC VÀ TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN CHO SÔ PHỨC

Dạng 1: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước

Giải phương trình nghiệm phức:

phức z a bi của phương trình đã cho

Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm phức

a z 25 8 6i

z

  

b 2

0

z  z 

Bài giải:

2 2

25

8 6

x yi

x y





(x y x) y x( y i) 25x 25yi 8 x y 6 x y i

(x y 25)x y x( y 25)i 8 x y 6 x y i

25 8

25 6



 



x

y

25 8

          

0 3

y y





  



0 4

x x





  



4 3





  



Vậy số phức z là: z = 4 + 3i

b Ta có: 2

0

x yi  xyi   x y  xyi x y 

0 0

xy



 





0 0

0

x y



  

 





1

y

y







0

z

z i





   



Nếu 2 0 0

z i





  



Ví dụ 2: Tìm số phức z thỏa mãn: 2  10

25

z z









Bài giải:

Gọi số phức z = x + yi

Ta có: z2 i  10  xyi   2 i 10  x  2 y 1i  10

x 22 y 12 10 x 22 y 12 10

Mặt khác: z z  25x yixyi25 2 2

25

x y

   (2)

2 2

3 4

5 25

0

x y

x

x y

y

  





 

 











5

z

 



 



Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn :





















4 ) (

2 2

2

2 z z

i z z i z

Bài giải:

z  z   x2y2 2xyix2y2  2xyi  4  4xyi  4

2 2

Với

3

3

4 0

x





x

    

3

3

4 0

x





Vậy

3

3

3

3

1 4

4 1 4

4

z

z











Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z

Biểu diễn hình học của số phức: Số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm M ( a;b )

trong mặt phẳng Oxy

Loại 1: Số phức z thỏa mãn biểu thức về độ dài (môđun)

z  a b

Ví dụ 1: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn:

a z i 1

z i







c z  z 3 4i

Bài giải:

Với số phức z = x + yi x y, R được biểu diễn bởi điểm M (x; y)

1 z i  xyi i  x y1 i  x  y1

 2

2

1 1

Vậy tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâmI0;1, bán kính R = 1

b Ta có: z i 1

z i





  z i z i xy 1i  xy 1i

Vậy tập hợp điểm M thuộc trục Ox ( trục thực )

c Ta có: z  z 3 4i  xyi  xyi  3 4i  x  3 4 y i

x  y  x  y  x y 

Vậy tập hợp điểm M thuộc đường thẳng (d): 6x + 8y – 25 = 0

Ví dụ 2: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số thỏa mãn điều kiện z z 3 4

Bài giải:

Với số phức z = x + yi x y, R được biểu diễn bởi điểm M (x; y )

Ta có: 4 z z 3  xyi x yi3  2x3

2x 3 4

1

2

x x

x

x







 



  



x x 

Ví dụ 3:Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số thỏa mãn điều kiện:

a 2 z i  z z 2i

b z i  z i 4

Bài giải:

Với số phức z = x + yi x y, R được biểu diễn bởi điểm M (x; y)

    2  2  2

2

2

4

x

Vậy tập hợp điểm M thuộc parabol (P):

2

4

x

y 

b Ta có: z i  z i 4  xyi i  xyi i 4

Gọi F1(0;1),F2 (0; 1) 2  2

 2

2

MF  x  y

2 2

   MF1MF2 2b

MF MF  x  y  x  y 

Do đó: 2b4b2

4 1 3

a b c

     

Vậy tập hợp điểm M thuộc parabol (E) :

2 2

1

Loại 2: Số phức z là số thực (thực âm hoặc thực dương), số ảo

Phương pháp:

a Để z là số thực điều kiện là b = 0

b Để z là số thực âm điều kiện là 0

0

a b











c Để z là số thực dương điều kiện là 0

0

a b











d Để z là số ảo điều kiện là b 0

e Để z là số thuần ảo 0

0

a b











Ví dụ 1:

a Cho số phức z = x + yi x y, R Khi zi, hãy tìm phần thực và phần ảo của số

phức z i

z i





b Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z i

z i



 là số thực dương

Bài giải:

a Ta có: w=z i

z i





 2

2

1

x yi i

2 2

2 2

1



Do đó, số phức w có phần thực là

2 2

2 2

1 1

x y

 2

2

2 1

x

x  y

b Để w là số thực dương điều kiện là

1

y

 

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc trục Oy ( trục ảo) trừ các điểm có tung độ y 1

Ví dụ 2: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức thỏa mãn điều kiện

2z iz là số ảo tùy ý

Bài giải:

Với số phức z = x + yi x y, R được biểu diễn bởi điểm M (x; y)

2z iz  2 x yi i x yi  x y 2xy 2 x 2y i

Để w là số ảo điều kiện là 2 2 2 2

2

1

     

Vậy tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâm 1;1

2

I 

2

R 

Ví dụ 3: Xác định tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức

z i  , k là số thực dương cho trước

Bài giải:

Với số phức z = x + yi x y, R được biểu diễn bởi điểm M ( x; y )

Ta có:

2 2 2

2 2

1

Xét hai trường hợp:

TH1: Nếu k = 1 thì (1) 2  2 2 2 1

1

2

2

y 

TH2: Nếu k 1 thì (1)

2 2

0

x y

2

2

2



Vậy điểm M thuộc đường tròn tâm

2

2 0;

1

k I k



và bán kính

2 1

k R k





BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

1 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  z 3 4i ĐS: 6x + 8y – 25 = 0

2 Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho z i

z i



 là một

số thực ĐS: trục thực Ox hoặc trục ảo Oy

3 Xác định tập hợp các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho

1 3

z i

z i





 ĐS: y = 1

4 a) Giải phương trình sau trên tập số phức C: z iz 1 2i ĐS: z = 2 3

2i



b) Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  1 2 ĐS: bên trong đường tròn tâm I1; 0 , R 2

c) Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn 1 < | z – 1 | < 2 ĐS: bên trong I1; 0 , R2 \I1; 0 , r1

5 Trong mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mã điều kiện z i 1 i z ĐS: Đường tròn tâm I0; 1 ,  R 2

6 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w1i 3z2biết rằng số phức z thỏa mãn z  1 2 ĐS: Đường tròn tâm I3; 3 , R 4

7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:

1 

z i i z ĐS: Đường tròn tâm I0; 1 ,  R 2

8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: z3 4  i  2 ĐS: Đường tròn tâm I3; 4 ,  R2

9 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn

điều kiện z2  z2 5ĐS:

1