Số phức và quỹ tích phức

Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức Số phức và quỹ tích phức

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 02: TÌM SỐ PHỨC VÀ TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN CHO SÔ PHỨC Dạng 1: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước Giải phương trình nghiệm phức: Phương pháp: Áp dụng các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia) các số phức để tìm nghiệm phức z a bi   của phương trình đã cho. Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm phức a. 25 8 6 z i z    b. 2 0 z z   Bài giải: a. Ta có: 25 25 8 6 8 6 z i x yi i z x yi             2 2 25 8 6 x yi x yi i x y           2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 25 25 8 6 x y x y x y i x yi x y x y i               2 2 2 2 2 2 2 2 ( 25) ( 25) 8 6 x y x y x y i x y x y i                   2 2 2 2 2 2 2 2 25 8 25 6 x x y x y y x y x y               4 4 3 3 x x y y     2 2 2 2 4 16 16 25 8 3 9 9 y y y y y                  2 2 2 2 2 2 16 16 25 25 25 6 25 6. 9 9 9 9 y y y y y y y y                           2 2 3 2 1 6 1 6 9 0 9 9 y y y y y y              0 3 y y       0 4 x x        0( ) 4 3 z L z i       Vậy số phức z là: z = 4 + 3i b. Ta có: 2 0 z z      2 2 2 2 2 0 2 0 x yi x yi x y xyi x y           2 2 2 2 2 0 x y x y xyi       2 2 2 2 0 0 x y x y xy            2 2 2 2 0 0 0 x y x y x y                Nếu 2 0 0 0 1 y x y y y             0 z z i        http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Nếu 2 0 0 0 0 1 1( ) x z y x x x z L                   Vậy 0 z z i       Ví dụ 2: Tìm số phức z thỏa mãn:   2 10 . 25 z i z z          Bài giải: Gọi số phức z = x + yi Ta có:   2 10 2 10 z i x yi i          2 1 10 x y i             2 2 2 2 2 1 10 2 1 10 x y x y           (1) Mặt khác: . 25 z z      25 x yi x yi     2 2 25 x y    (2) Từ (1) và (2)     2 2 2 2 3 4 2 1 10 5 25 0 x y x y x x y y                               Vậy 3 4 5 z i z       Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn :        4)( 22 22 zz izziz Bài giải: Ta có: 2 2 z i z z i           2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 ( 1) x y i y i x y y          2 2 2 2 2 1 2 1 4 0 x y y y y x y           (1) Có : 2 2 ( ) 4 z z   2 2 2 2 2 2 4 4 4 x y xyi x y xyi xyi          2 2 1 1 1 x y xy xy        http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Với 3 2 3 3 4 0 1 4 1 1 0 4 0 4 x xy y x x y x x x                  Với 1 1xy y x      3 2 3 3 4 0 4 1 0 4 0 4 x x x y x x                Vậy 3 3 3 3 1 4 4 1 4 4 z z            Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Biểu diễn hình học của số phức: Số phức   z a bi được biểu diễn bởi điểm M( a;b ) trong mặt phẳng Oxy. Loại 1: Số phức z thỏa mãn biểu thức về độ dài (môđun) Phương pháp: Sử dụng công thức 2 2 z a b   Ví dụ 1: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn: a. 1 z i   b. 1 z i z i    c. 3 4 z z i    Bài giải: Với số phức z = x + yi   , x y R  được biểu diễn bởi điểm M (x; y) a. Ta có:     2 2 1 1 1 z i x yi i x y i x y             2 2 1 1 x y     Vậy tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâm   0;1 I , bán kính R = 1 http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà b. Ta có: 1 z i z i        1 1 z i z i x y i x y i               2 2 2 2 1 1 0 x y x y y         Vậy tập hợp điểm M thuộc trục Ox ( trục thực ) c. Ta có: 3 4 z z i      3 4 3 4 x yi x yi i x y i                2 2 2 2 3 4 6 8 25 0 x y x y x y          Vậy tập hợp điểm M thuộc đường thẳng (d): 6x + 8y – 25 = 0 Ví dụ 2: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số thỏa mãn điều kiện 3 4 z z    Bài giải: Với số phức z = x + yi   , x y R  được biểu diễn bởi điểm M (x; y ) Ta có: 4 3 3 2 3 z z x yi x yi x           2 3 4 x     1 2 3 4 2 2 3 4 7 2 x x x x                    Vậy tập hợp điểm M thuộc hai đường thẳng: 1 7 , 2 2 x x    Ví dụ 3:Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số thỏa mãn điều kiện: a. 2 2 z i z z i     b. 4 z i z i     Bài giải: Với số phức z = x + yi   , x y R  được biểu diễn bởi điểm M (x; y) a. Ta có: 2 2 2 2 z i z z i x yi i x yi x yi i             http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà         2 2 2 2 1 2 1 2 1 4 1 x y i y i x y y              2 2 2 2 1 1 4 x x y y y       Vậy tập hợp điểm M thuộc parabol (P): 2 4 x y  b. Ta có: 4 z i z i     4 x yi i x yi i            1 1 4 x y i x y i            2 2 2 2 1 1 4 x y x y        Gọi 1 2 (0;1), (0; 1) F F      2 2 1 1 MF x y      2 2 2 1 MF x y   Nếu   2 2 2 2 : 1 x y M E a b    1 2 2 MF MF b    Mặt khác     2 2 2 2 1 2 1 1 4 MF MF x y x y         Do đó: 2 4 2 b b    Ta có c = 1, b = 2 2 2 2 4 1 3 a b c       Vậy tập hợp điểm M thuộc parabol (E) : 2 2 1 3 4 x y   Loại 2: Số phức z là số thực (thực âm hoặc thực dương), số ảo. Phương pháp: a. Để z là số thực điều kiện là b = 0 b. Để z là số thực âm điều kiện là 0 0 a b      c. Để z là số thực dương điều kiện là 0 0 a b      d. Để z là số ảo điều kiện là 0 b  e. Để z là số thuần ảo 0 0 a b      http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Ví dụ 1: a. Cho số phức z = x + yi   , x y R  . Khi z i  , hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức z i z i   b. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z i z i   là số thực dương Bài giải: a. Ta có: w= z i z i             2 2 1 . 1 1 1 1 x y i x y i x y i x yi i x yi i x y i x y                              2 2 2 2 1 2 1 x y xi x y       Do đó, số phức w có phần thực là   2 2 2 2 1 1 x y x y     , phần ảo là   2 2 2 1 x x y  b. Để w là số thực dương điều kiện là 2 2 2 1 1 0 1 2 0 0 0 y x y y x x x                      Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc trục Oy ( trục ảo) trừ các điểm có tung độ 1 y  Ví dụ 2: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức thỏa mãn điều kiện     2 z i z   là số ảo tùy ý Bài giải: Với số phức z = x + yi   , x y R  được biểu diễn bởi điểm M (x; y) Ta có: w =          2 2 2 2 2 2 2 z i z x yi i x yi x y x y x y i                http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Để w là số ảo điều kiện là 2 2 2 2 2 0 2 0 x y x y x y x y             2 2 1 5 1 2 4 x y            Vậy tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâm 1 1; 2 I       và bán kính 5 2 R  Ví dụ 3: Xác định tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn z k z i   , k là số thực dương cho trước Bài giải: Với số phức z = x + yi   , x y R  được biểu diễn bởi điểm M ( x; y ) Ta có:   2 2 2 2 2 1 z x yi x y k k z i x yi i x y            (1) Xét hai trường hợp: TH1: Nếu k = 1 thì (1)   2 2 2 2 1 1 2 x y x y y        Vậy điểm M thuộc đường thẳng 1 2 y  TH2: Nếu 1 k  thì (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 k y k x y k k          2 2 2 2 2 2 2 1 1 k k x y k k             Vậy điểm M thuộc đường tròn tâm 2 2 0; 1 k I k        và bán kính 2 1 k R k   BÀI TẬP TỰ LUYỆN: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 1. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 3 4 z z i    ĐS: 6x + 8y – 25 = 0 2. Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho z i z i   là một số thực ĐS: trục thực Ox hoặc trục ảo Oy 3. Xác định tập hợp các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho 1 3 z i z i    ĐS: y = 1 4. a) Giải phương trình sau trên tập số phức C: 1 2 z iz i    ĐS: z = 3 2 2 i  b) Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn 1 2 z   ĐS: bên trong đường tròn tâm   1;0 , 2 I R  c) Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn 1 < | z – 1 | < 2 ĐS: bên trong       1;0 , 2 \ 1;0 , 1 I R I r   5. Trong mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mã điều kiện   1 z i i z    ĐS: Đường tròn tâm   0; 1 , 2 I R  6. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức   w 1 3 2 i z    biết rằng số phức z thỏa mãn 1 2 z   ĐS: Đường tròn tâm   3; 3 , 4 I R  7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:   1 z i i z    ĐS: Đường tròn tâm   0; 1 , 2 I R  8. . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:   3 4 2 z i    ĐS: Đường tròn tâm   3; 4 , 2 I R   9. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 2 2 5 z z     ĐS: 2 2 1 25 9 4 4 x y   http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Số phức ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà . 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Biểu diễn hình học của số phức: Số phức   z a bi được biểu diễn bởi điểm M( a;b ) trong mặt phẳng Oxy. Loại 1: Số phức z thỏa mãn biểu thức về. 1: a. Cho số phức z = x + yi   , x y R  . Khi z i  , hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức z i z i   b. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa. Loại 2: Số phức z là số thực (thực âm hoặc thực dương), số ảo. Phương pháp: a. Để z là số thực điều kiện là b = 0 b. Để z là số thực âm điều kiện là 0 0 a b      c. Để z là số thực