III. MỘT SỐDẠNG TOÁN NÂNG CAO VỀQUỸTÍCH PHỨC Cho hai sốphức z 1 và z 2 được biểu diễn bởi các điểm tương ứng là M1 và M2 . Khi đó − = 1 2 1 2 z z M M Chứng minh: Giảsử z 1 = x 1 + y 1 i; z 1 = x 2 + y 2 i → M1 (x 1 ; y 1 ), M2 (x 2 ; y 2 ). Từ đó ta được: Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 ; z z x x y y z z x y i x y i x x y y i M M x x y y M M x x y y − = − + − − = + − + = − + − ⇔ = − − = − + − 1 2 1 2 z z M M → − =
Trang 1I CÁC DẠNG QUỸ TÍCH CƠ BẢN
a) Đường thẳng
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường thẳng nếu như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn
phương trình đường thẳng : Ax + By + C = 0
b) Đường tròn
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường tròn nếu như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn phương trình đường tròn (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2, trong đó I(a ; b) là tâm đường tròn và R là bán kính đường
tròn
c) Đường Elip
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường elip nếu như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn phương
trình đường elip
a +b = , trong đó a, b tương ứng là các bán trục lớn và bán trục nhỏ của elip
Chú ý :
Điểm M thuộc Elip nhận A, B làm các tiêu điểm thì theo định nghĩa elip ta có MA + MB = 2a, và đồng thời AB = 2c, là độ dài tiêu cự của elip
Mối quan hệ giữa các đại lượng a, b, c của elip là a 2 = b 2 + c 2
II CÁC VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH
Ví dụ 1. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó
b) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1]
c) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1] và phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3]
d) |z| ≤ 2
e) 2 ≤ |z| ≤ 3
f) |z –1 + 2i| ≤ 2
g) 2i−2z = 2z−1
Hướng dẫn giải :
Gọi z = x + yi và M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z
a) Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của z, tức là x = 2y, hay x – 2y = 0
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là đường thẳng d : x – 2y = 0
b) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1], tức là –2 ≤ x ≤ 1
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = –2 và x = 1
c) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1] và phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3], tức là –2 ≤ x ≤ 1 và
1 ≤ y ≤ 3
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là miền trong của hình chữ nhật ABCD giới hạn bởi bốn đường thẳng
x = –2 ; x = 1 ; y = 1 và y = 3
d) z ≤ ⇔2 x2+y2 ≤ ⇔2 x2+y2 ≤4
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là miền trong của hình tròn tâm I(0; 0), bán kính R = 2, (kể cả những điểm nằm
trên đường tròn)
Cách giải khác:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z
M1 là điểm biểu diễn số phức z1 = 0 ⇒ M1(0; 0)
Theo bài toán tiền đề ta được |z – z1| = MM1, hay |z | = MM1
≤
Tài liệu bài giảng:
02 CÁC DẠNG QUỸ TÍCH PHỨC – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Do điểm M1 cố định, nên từ (1) ta thấy quỹ tích M là miền trong của hình tròn tâm M1(0; 0), bán kính R = 2
e)
2 2
2 2
9
4
x y
x y
≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔
+ ≥
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là hình vành khăn giới hạn bởi hai hình tròn đồng tâm (C1): x2 + y2 = 4 và (C2):
x2 + y2 = 9
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là miền trong của hình tròn tâm I(1; –2), bán kính R = 2, (kể cả những điểm
nằm trên đường tròn)
Cách giải khác:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z
M1 là điểm biểu diễn số phức z1 = 1 – 2i ⇒ M1(1; –2)
Theo bài toán tiền đề ta được |z – z1| = MM1, hay |z –1 + 2i| = MM1
Từ đó ta được MM1≤ 2, (2)
Do điểm M1 cố định, nên từ (2) ta thấy quỹ tích M là miền trong của hình tròn tâm M1(1; –2), R = 2
g) 2i−2z = 2z−1
Ta có z= −x yi, từ đó ta được:
2i−2z = 2z− ⇔1 2i−2 x−yi = 2 x+yi − ⇔ − +1 2x 2y+2 i = 2x− +1 2yi
4x 4 y 1 2x 1 4y 4x 4 y 2y 1 4x 4x 1 4y
⇔ 4x + 8y + 3 = 0
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là đường thẳng d: 4x + 8y + 3 = 0
Ví dụ 2. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) z+ + =z 3 4 b) z− + − =z 1 i 2 c) 2+ = −z i z
Hướng dẫn giải :
Giả sử số phức z = x + yi, có điểm biểu diễn là M(x; y)
5
x
x
= −
+ + = ⇔ + + − + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = −
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là hai đường thẳng x = –1 và x = –5
z− + − = ⇔z i x+yi − −x yi + − = ⇔ +i y− i = ⇔ + y− =
2
2
y
y
= +
= −
2
y= ±
c) 2+ = − ⇔ + +z i z 2 (x yi) = − +i (x yi) ⇔ (x+ +2) yi = − + −x (1 y i)
Vậy quỹ tích các điểm M(z) là đường thẳng d: 4x + 2y + 3 = 0
Ví dụ 3. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) z+ + =z 1 3 b) z− + + =z 2 i 2 5 c) z+3i = + +z 2 i
Ví dụ 4. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) ( )2
2
4
z + z = b) 2iz i+ =2 z+ −1 i c) 2i−2z = 2z+3
Trang 3Ví dụ 5. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a)
2
z
z i− là số thực
b) z i
z i
+
+ là số thực
c) (z−2)(z+i) là số thực
Ví dụ 6. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z+ − = +2i 1 z i Tìm các điểm M biểu diễn số phức z sao cho
MA ngắn nhất, với A(1; 4)
Ví dụ 7. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức 2 z+ =i 2z− +3i 1 Tìm các điểm M biểu diễn số phức z sao cho
MA ngắn nhất, với 1;3
4
Đ/s: 1; 5
4
− −
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Cho số phức z = a + bi Hỏi a, b phải thoả mãn điều kiện gì để
a) Điểm biểu diễn chúng nằm trong dải giữa 2 đường thẳng x = –2 và x = 2
b) Điểm biểu diễn chúng nằm trong dải giữa 2 đường thẳng y = –3i và y = 3i
c) Điểm biểu diễn chúng nằm trong hình tròn tâm O, bán kính 2
Bài 2. Tìm quỹ tích các điểm M(z) biểu diễn số phức z thỏa mãn:
a) 1≤ ≤z 2 và phần ảo lớn hơn hoặc bằng 1
Bài 3. Tìm quỹ tích các điểm M(z) biểu diễn số phức z thỏa mãn:
a) (2 z (i− ) +z)là số thực tùy ý, (2 z (i− ) +z)là số ảo tùy ý
b) z (3 4i)− − =2 c) 2 z i− = − +z z 2i
Bài 4. Tìm quỹ tích các điểm M(z) biểu diễn số phức z thỏa mãn:
a) z 1 i− + =2 b) 2 z 3i− = + −z z 2i
Bài 5. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa điều kiện:
a) Phần thực của z bằng 2
b) Phần ảo của z thuộc khoảng (−1;3)
c) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [−2; 2]
Bài 6. Tìm quỹ tích các điểm M(z) biểu diễn số phức z thỏa mãn: