Đang tải... (xem toàn văn)
III. MỘT SỐDẠNG TOÁN NÂNG CAO VỀQUỸTÍCH PHỨC Cho hai sốphức z 1 và z 2 được biểu diễn bởi các điểm tương ứng là M1 và M2 . Khi đó − = 1 2 1 2 z z M M Chứng minh: Giảsử z 1 = x 1 + y 1 i; z 1 = x 2 + y 2 i → M1 (x 1 ; y 1 ), M2 (x 2 ; y 2 ). Từ đó ta được: Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 ; z z x x y y z z x y i x y i x x y y i M M x x y y M M x x y y − = − + − − = + − + = − + − ⇔ = − − = − + − 1 2 1 2 z z M M → − =
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! I. CÁC DẠNG QUỸ TÍCH CƠ BẢN a) Đường thẳng Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường thẳng nếu như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn phương trình đường thẳng : Ax + By + C = 0. b) Đường tròn Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường tròn nếu như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn phương trình đường tròn (C) : (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 , trong đó I(a ; b) là tâm đường tròn và R là bán kính đường tròn. c) Đường Elip Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường elip nếu như M(x ; y) có tọa độ thỏa mãn phương trình đường elip 2 2 2 2 ( ): 1 x y E a b + = , trong đó a, b tương ứng là các bán trục lớn và bán trục nhỏ của elip. Chú ý : Điểm M thuộc Elip nhận A, B làm các tiêu điểm thì theo định nghĩa elip ta có MA + MB = 2a, và đồng thời AB = 2c, là độ dài tiêu cự của elip. Mối quan hệ giữa các đại lượng a, b, c của elip là a 2 = b 2 + c 2 II. CÁC VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH Ví dụ 1. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: a) Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó. b) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1] c) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1] và phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3]. d) |z| ≤ 2 e) 2 ≤ |z| ≤ 3 f) |z –1 + 2i| ≤ 2 g) 2 2 2 1 i z z − = − Hướng dẫn giải : Gọi z = x + yi và M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z. a) Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của z, tức là x = 2y, hay x – 2y = 0. Vậy quỹ tích các điểm M(z) là đường thẳng d : x – 2y = 0. b) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1], tức là –2 ≤ x ≤ 1. Vậy quỹ tích các điểm M(z) là phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = –2 và x = 1 c) Phần thực của z thuộc đoạn [–2; 1] và phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3], tức là –2 ≤ x ≤ 1 và 1 ≤ y ≤ 3 Vậy quỹ tích các điểm M(z) là miền trong của hình chữ nhật ABCD giới hạn bởi bốn đường thẳng x = –2 ; x = 1 ; y = 1 và y = 3. d) 2 2 2 2 2 2 4 z x y x y ≤ ⇔ + ≤ ⇔ + ≤ Vậy quỹ tích các điểm M(z) là miền trong của hình tròn tâm I(0; 0), bán kính R = 2, (kể cả những điểm nằm trên đường tròn) Cách gi ải khác: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z M 1 là điểm biểu diễn số phức z 1 = 0 ⇒ M 1 (0; 0) Theo bài toán tiền đề ta được |z – z 1 | = MM 1 , hay |z | = MM 1 Từ đó ta được MM 1 ≤ 2, (1) Tài liệu bài giảng: 02. CÁC DẠNG QUỸ TÍCH PHỨC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Do điểm M 1 cố định, nên từ (1) ta thấy quỹ tích M là miền trong của hình tròn tâm M 1 (0; 0), bán kính R = 2. e) 2 2 2 2 2 2 2 2 9 2 3 2 3 4 9 4 x y z x y x y x y + ≤ ≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ + ≥ V ậ y qu ỹ tích các đ i ể m M(z) là hình vành kh ă n gi ớ i h ạ n b ở i hai hình tròn đồ ng tâm (C 1 ): x 2 + y 2 = 4 và (C 2 ): x 2 + y 2 = 9 f) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 4 z i x y i x y x y − + ≤ ⇔ − + + ≤ ⇔ − + + ≤ ⇔ − + + ≤ V ậ y qu ỹ tích các đ i ể m M(z) là mi ề n trong c ủ a hình tròn tâm I(1; –2), bán kính R = 2, (k ể c ả nh ữ ng đ i ể m n ằ m trên đườ ng tròn) Cách giải khác: G ọ i M là đ i ể m bi ể u di ễ n s ố ph ứ c z M 1 là đ i ể m bi ể u di ễ n s ố ph ứ c z 1 = 1 – 2i ⇒ M 1 (1; –2) Theo bài toán ti ề n đề ta đượ c |z – z 1 | = MM 1 , hay |z –1 + 2i| = MM 1 T ừ đ ó ta đượ c MM 1 ≤ 2, (2) Do đ i ể m M 1 c ố đị nh, nên t ừ (2) ta th ấ y qu ỹ tích M là mi ề n trong c ủ a hình tròn tâm M 1 (1; –2), R = 2. g) 2 2 2 1 i z z − = − Ta có z x yi = − , t ừ đ ó ta đượ c: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 i z z i x yi x yi x y i x yi − = − ⇔ − − = + − ⇔ − + + = − + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 1 2 1 4 4 4 2 1 4 4 1 4 x y x y x y y x x y ⇔ + + = − + ⇔ + + + = − + + ⇔ 4 x + 8 y + 3 = 0 V ậ y qu ỹ tích các đ i ể m M ( z ) là đườ ng th ẳ ng d : 4 x + 8 y + 3 = 0 Ví dụ 2. Trên m ặ t ph ẳ ng ph ứ c, tìm t ậ p h ợ p các đ i ể m bi ể u di ễ n các s ố ph ứ c z th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n: a) 3 4 z z + + = b) 1 2 z z i − + − = c) 2 z i z + = − Hướng dẫn giải : Gi ả s ử s ố ph ứ c z = x + yi , có đ i ể m bi ể u di ễ n là M ( x ; y ). a) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 4 3 4 3 4 3 2 5 x z z x yi x yi x x x = − + + = ⇔ + + − + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − V ậ y qu ỹ tích các đ i ể m M ( z ) là hai đườ ng th ẳ ng x = –1 và x = –5 b) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 z z i x yi x yi i y i y − + − = ⇔ + − − + − = ⇔ + − = ⇔ + − = ( ) 2 1 3 2 1 2 1 4 2 1 3 1 3 2 y y y y + = ⇔ + − = ⇒ − = ⇒ − = V ậ y qu ỹ tích các đ i ể m M(z) là hai đườ ng th ẳ ng 1 3 2 y ± = . c) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 z i z x yi i x yi x yi x y i + = − ⇔ + + = − + ⇔ + + = − + − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 4 2 1 4 2 3 0 x y x y x x y x y y x y ⇔ + + = + − ⇔ + + + = + − + ⇔ + + = V ậ y qu ỹ tích các đ i ể m M(z) là đườ ng th ẳ ng d: 4x + 2y + 3 = 0 Ví dụ 3. Trên m ặ t ph ẳ ng ph ứ c, tìm t ậ p h ợ p các đ i ể m bi ể u di ễ n các s ố ph ứ c z th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n: a) 1 3 z z + + = b) 2 2 5 z z i− + + = c) 3 2 z i z i + = + + Ví dụ 4. Trên m ặ t ph ẳ ng ph ứ c, tìm t ậ p h ợ p các đ i ể m bi ể u di ễ n các s ố ph ứ c z th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n: a) ( ) 2 2 4 z z + = b) 2 2 1 iz i z i + = + − c) 2 2 2 3 i z z − = + Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Ví dụ 5. Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: a) 2 z z i − là số thực b) z i z i + + là số thực c) ( 2)( ) z z i − + là số thực Ví dụ 6. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức 2 1 z i z i + − = + . Tìm các điểm M biểu diễn số phức z sao cho MA ngắn nhất, với A(1; 4). Ví dụ 7. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức 2 2 3 1 z i z i + = − + . Tìm các điểm M biểu diễn số phức z sao cho MA ngắn nhất, với 3 1; 4 A . Đ/s: 5 1; . 4 M − − BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1. Cho số phức z = a + bi . Hỏi a, b phải thoả mãn điều kiện gì để a) Điểm biểu diễn chúng nằm trong dải giữa 2 đường thẳng x = –2 và x = 2 b) Điểm biểu diễn chúng nằm trong dải giữa 2 đường thẳng y = –3i và y = 3i c) Điểm biểu diễn chúng nằm trong hình tròn tâm O, bán kính 2 Bài 2. Tìm quỹ tích các điểm M(z) biểu diễn số phức z thỏa mãn: a) 1 z 2 ≤ ≤ và phần ảo lớn hơn hoặc bằng 1 2 . b) z 1 1 + < c) 1 z i 2 < − < d) 2iz 1 2 z 3 − = + Bài 3. Tìm qu ỹ tích các đ i ể m M(z) bi ể u di ễ n s ố ph ứ c z th ỏ a mãn: a) ( ) 2 z (i z) − + là s ố th ự c tùy ý, ( ) 2 z (i z) − + là s ố ả o tùy ý. b) z (3 4i) 2 − − = c) 2 z i z z 2i − = − + d) 2 2 z (z) 4 − = Bài 4. Tìm qu ỹ tích các đ i ể m M(z) bi ể u di ễ n s ố ph ứ c z th ỏ a mãn: a) z 1 i 2 − + = b) 2 z 3i z z 2i − = + − c) z 1 z 1 4 − + + = d) z 1 2i z 3 2i 6 − − + + − = Bài 5. Trên m ặ t ph ẳ ng t ọ a độ , tìm t ậ p h ợ p các đ i ể m bi ể u di ễ n các s ố ph ứ c z th ỏ a đ i ề u ki ệ n: a) Ph ầ n th ự c c ủ a z b ằ ng 2. b) Ph ầ n ả o c ủ a z thu ộ c kho ả ng ( ) 1;3 − . c) Ph ầ n th ự c và ph ầ n ả o c ủ a z đề u thu ộ c đ o ạ n [ ] 2;2 − . Bài 6. Tìm qu ỹ tích các đ i ể m M(z) bi ể u di ễ n s ố ph ứ c z th ỏ a mãn: a) z 3 ≤ b) 1 z 3 < ≤ c) z 4 > d) z i 1 + < . z 1 | = MM 1 , hay |z | = MM 1 Từ đó ta được MM 1 ≤ 2, (1) Tài liệu bài giảng: 02. CÁC DẠNG QUỸ TÍCH PHỨC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: