Đang tải... (xem toàn văn)
Giúp các em có thể mở rộng kiến thức Toán lớp 6
Hà Tùng Lâm – YC-K2011-2017 – Đại học Y Hà Nội NHỮNG DẠNG TỐN CƠ BẢN SỐ HỌC LỚP 6 (Dành cho học sinh khá, giỏi) §1 SO SÁNH HAI LUỸ THỪA A Kiến thức cơ bản Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ - Nếu hai luỹ thừa số (cơ số lớn 1) luỹ thừa có số mũ lớn lớn Với a>1 và m>n thì am > an - Nếu hai luỹ thừa số mũ (số mũ lớn 0) luỹ thừa có số lớn lớn Với n>0 và a>b thì an > bn Ngồi cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân (a < b thì a.c < b.c với c > 0) - Luỹ thừa luỹ thừa: (am)n = am.n - Luỹ thừa tích: ( a.b)n = anbn - a Luỹ thừa thương: an :bn = (a:b)n , hay a n : bn n b n n Luỹ thừa tầng: a m a m B Bài tập áp dụng So sánh số sau: a 2711 818 b 6255 1257 c 32n 23n d 536 1124 e 523 6.522 f 339 1121 g 19920 200315 h 7.213 216 So sánh hiệu sau: 7245 – 7243 7244 – 7243 Tìm xN, biết: a 16x < 1284 b 15< 5x 2 không chia hết cho Chứng minh hai số n2 – n2 + đồng thời số nguyên tố Cho p số nguyên tố lớn a Chứng tỏ p có dạng 6k + 6k + b Biết 8p + số nguyên tố, chứng minh 4p + hợp số Cho p p + số nguyên tố lớn Hỏi p + 100 số nguyên tố hay hợp số The dogs bark, but the caravan goes on To live is to love, devote, enjoy and keep adding the value You never walk alone Page Hà Tùng Lâm – YC-K2011-2017 – Đại học Y Hà Nội Chứng minh số sau hợp số a 676767 b 108 + 107 + c 175 + 244 + 1321 d 311141111 e 10100- f 1! + 2! + 3! +…+ 100! Chứng minh số nguyên tố lớn có dạng 4n±1 Chứng minh số a, a + n, a + 2n số nguyên tố lớn n chia hết cho Chứng minh p số nguyên tố lớn (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24 10 Hai số nguyên tố gọi sinh đôi chúng hai số nguyên tố lẻ liên tiếp (p>3) Chứng minh số tự nhiên nằm hai số ngun tố sinh đơi chia hết cho 11 Chứng minh bình phương số nguyên tố khác chia cho 12 dư 12 Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r hợp số Tìm số dư r 13 Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên 2n – số nguyên tố (∀n N, n>2) số tự nhiên 2n + hợp số 14 Tìm số n N*, cho n3 - n2 + n - số nguyên tố 15 Chứng minh rằng: Trong số nguyên tố lớn tồn số mà tổng hiệu chia hết cho 12 §4 ƯỚC CHUNG, ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT – BỘI CHUNG, BỘI CHUNG NHỎ NHẤT A Kiến thức cơ bản Định nghĩa - Ước chung hai hay nhiều số ước tất số Ước chung lớn (ƯCLN) hai hay nhiều số số lớn tập hợp ước chung số - Bội chung hai hay nhiều số bội tất số Bội chung nhỏ (BCNN) hai hay nhiều số số nhỏ khác tập hợp bội chung số Tính chất The dogs bark, but the caravan goes on To live is to love, devote, enjoy and keep adding the value You never walk alone Page Hà Tùng Lâm – YC-K2011-2017 – Đại học Y Hà Nội - - Hai số tự nhiên gọi nguyên tố chúng có ước chung Ba số tự nhiên gọi đôi nguyên tố cặp số nguyên tố có ước chung số Tích hai số tích BCNN với ƯCLN chúng ab =BCNN(a,b).ƯCLN(a,b) Nếu lấy BCNN(a,b) chia cho số a,b thương chúng số nguyên tố Nếu a ⋮ m a ⋮ n a ⋮ BCNN(m,n) Từ suy ra: + Nếu số chia hết cho hai số ngun tố chia hết cho tích chúng + Nếu số chia hết cho số nguyên tố đôi chia hết cho tích chúng B Bài tập áp dụng Chứng minh số sau nguyên tố nhau: a Hai số lẻ liên tiếp b 2n + 3n + (n N) Cho (a, b) = 1, chứng minh rằng: a (a, a – b) = b (ab, a + b) = Cho a, b hai số tự nhiên không nguyên tố a = 4n + 3; b = 5n + (n N) Tìm (a, b) Cho a + 5b ⋮ (a, b N) Chứng minh 10a + b ⋮ Mệnh đề đảo lại có khơng? Tìm hai số tự nhiên a,b biết tổng chúng 128 ƯCLN a,b 16 Tìm hai số tự nhiên a,b biết tích chúng 216 ƯCLN a,b Cho hai số nguyên tố a b Chứng minh hai số 11a + 2b 18a + 5b nguyên tố có ước chung 19 Tìm hai số a b biết tổng BCNN với ƯCLN chúng 15 Tìm số tự nhiên a nhỏ có chữ số cho chia cho 11 dư 5, chia cho 13 dư The dogs bark, but the caravan goes on To live is to love, devote, enjoy and keep adding the value You never walk alone Page Hà Tùng Lâm – YC-K2011-2017 – Đại học Y Hà Nội Chứng minh a số lẻ khơng chia hết cho a2 – chia hết cho 10 Tìm số tự nhiên bé chia cho 2; 5; 11 26 dư 11 Cho số A chia hết cho chia A cho dư Tìm A biết A < 400 12 Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho dư 6, chia cho 12 dư 10, chia cho 15 dư 13 chia hết cho 23 §5 SỐ CHÍNH PHƯƠNG A Kiến thức cơ bản Định nghĩa Số phương bình phương số tự nhiên Tính chất - Số phương có tận 0, 1, 4, 5, 6, - Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn Hệ quả: a2 ⋮ p ( p ∈ ℙ ) → a2 ⋮ p2 và a ⋮ p - Số ước số phương số lẻ ngược lại số tự nhiên có số ước số lẻ số phương Phương pháp chứng minh - Phương pháp phản chứng - Kẹp n2 < A < (n+1)2 - Chữ số tận - Phân tích thành bình phương B Bài tập áp dụng Các số sau có phương hay khơng A = + 32 + 33 + … + 320 B = 100! + C = 19922 + 19932 + 19942 D = + 9100 + 94100 + 1994100 E = 12 + 22 + 32 + … + 1002 F = 13 + 23 + 33 + … + 1003 Chứng minh với n tự nhiên số sau số phương A = (10n + 10n-1 + 10n-2 +…+ 10 + 1)(10n+1 + 5) + B = 111 .1 555 .5 The dogs bark, but the caravan goes on To live is to love, devote, enjoy and keep adding the value You never walk alone Page Hà Tùng Lâm – YC-K2011-2017 – Đại học Y Hà Nội C = 111 .1 + 444 .4 + D = 999 .9 000 .0 E = 111 .1 222 .2 F = 444 .4 Cho A = 11 .1; B = 11 .1; C = 66 .6 CMR: A + B + C + số phương Chứng minh a Tổng số phương lẻ khơng số phương b Một số phương có chữ số tận chữ số hàng chục số lẻ Một số phương có chữ số hàng chục Tìm chữ số hàng đơn vị Chứng tỏ số sau khơng số phương a b c d + + Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n + 3n + số phương Tìm số tự nhiên có chữ số cho cộng với số gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại ta số phương Tìm n ∈ ℕ* cho 1! + 2! + 3! + … + n! số phương §6 NGUN LÍ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TỐN CHIA HẾT A Kiến thức cơ bản Ngun lí cơ bản: Nhốt n + 1 con thỏ vào n cái lồng thì bao giờ cũng có 1 cái lồng nhốt ít nhất 2 con thỏ B Bài tập áp dụng Chứng minh tồn bội 13 gồm toàn chữ số 2 Cho dãy số : 10; 102; 103; ;1020 The dogs bark, but the caravan goes on To live is to love, devote, enjoy and keep adding the value You never walk alone Page Hà Tùng Lâm – YC-K2011-2017 – Đại học Y Hà Nội Chứng minh tồn số chia 19 dư Chứng minh tồn số bội 19 có tổng chữ số 19 Cho ba số nguyên tố lớn Chứng minh tồn hai số có tổng hiệu chia hết cho 12 Chứng minh ba số tự nhiên ln chọn hai số có tổng chia hết cho Cho bảy số tự nhiên bất kỳ, chứng minh ta chon ba số có tổng chia hết cho Cho năm số tự nhiên bất kỳ, chứng minh ta ln chọn ba số có tổng chia hết cho Cho số tự nhiên lẻ bất kỳ, chứng minh ta ln chọn bốn số có tổng chia hết cho Viết số tự nhiên vào mặt súc sắc Chứng minh ta gieo súc sắc xuống mặt bàn mặt nhìn thấy tìm hay nhiều măt để tổng số chia hết cho 10 Chứng minh tồn số bội 2013 cho số gồm chữ số The dogs bark, but the caravan goes on To live is to love, devote, enjoy and keep adding the value You never walk alone Page ... lẻ có chữ số tận nó; nâng lên luỹ thừa chẵn có chữ số tận - Đối với số tự nhiên có tận 25, 76 luỹ thừa với số mũ cho số tự nhiên có chữ số 25, 76 B Bài tập áp dụng 67 Tìm chữ số tận số sau: 7430... hai số có tổng chia hết cho Cho bảy số tự nhiên bất kỳ, chứng minh ta ln chon ba số có tổng chia hết cho Cho năm số tự nhiên bất kỳ, chứng minh ta ln chọn ba số có tổng chia hết cho Cho số tự... hai số nguyên tố sinh đơi chia hết cho 11 Chứng minh bình phương số nguyên tố khác chia cho 12 dư 12 Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r hợp số Tìm số dư r 13 Chứng minh rằng: Nếu số tự