1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số

5 789 1

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 5
Dung lượng 157,68 KB

Nội dung

Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số

Trang 1

Dạng 1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số f(x) Khi đó, ta có:

 Nếu f(x) đồng biến f '(x) 0 thì f(x) > f()  x > ; f(x) < f()  x < 

 Nếu f(x) nghịch biến f '(x) 0 thì f(x) > f()  x < ; f(x) < f()  x > 

 Nếu f(x) đồng biến hoặc nghịch biến, ta đều có f(x) = f()  x = 

Ví dụ 1: Chứng minh mọi x > 0, ta có:

a) ex > 1 + x

b)

2

x x

1

e

2 x

c)

2

2

x e   x  x R

Lời giải

a) Xét f(x) = ex – x – 1, x > 0

Có f’(x) = ex – 1 > e0 – 1 = 0  f(x) đồng biến trên x > 0

Do đó với x > 0 thì f(x) > f(0)  ex – x – 1 > 0  ex > x + 1  đpcm

2

x e

)

x

(

g

2

x   

 , x > 0

Có g’(x) = ex – x – 1 > 0 (theo a)  g(x) đồng biến trên x > 0

Do đó với x > 0 thì g(x) > g(0) x 1

2

x e 0 1 x 2

x e

2 x 2

x

c)

2

2

x e   x   x R

Xét hàm số

2

2

'

Vậy f x '( ) 0 có nghiệm duy nhất x 0

Bảng biến thiên

Trang 2

x  0 

'( )

f x - 0 +

( )

f x

Từ bảng biến thiên chúng ta suy ra: f x ( ) 0 với  x R (đpcm)

Ví dụ 2: Chứng minh x y 0

y ln x ln

y x 2

y x

Lời giải

Có (x y)(lnx lny) 2(x y)

y ln x ln

y x 2

y

x

0 1 y x

1 y x

2 y

x ln 1 y x

1 y x

2 y

x ln y x

y x 2 y

ln

x

y

x

t  , ta được: 1, t 1

1 t

1 t 2 t

1 t

2 1 ( 2 t ln 1 t

1 t 2 t

ln

)

t

) 1 t ( t

) 1 t ( ) 1 t (

4 t

1

)

t

(

2

2 '

 f(t) đồng biến với t > 1  f(t) > f(1) = 0  t > 1  đpcm

Ví dụ 3. Cho a  6, b  -8, c  3 Chứng minh mọi x  1, ta có: x4 – (ax2 + bx + c)  0

Lời giải

Xét f(x) = x4 – (ax2 + bx + c), x  1

Có f’(x) = 4x3 – (2ax + b)

f’’(x) = 12x2 – 2a  12 – 2a = 2(6 – a)  0 (do x  1, a  6)

 f’(x) đồng biến trên x  1

0





Trang 3

 f(x) đồng biến trên x  1

 Với x  1 thì f(x)  f(1) = 1 – (a + b + c)  1 – (6 – 8 + 3) = 0

 x4 – (ax2 + bx + c)  0  đpcm

Dạng 2 Sử dụng hàm đặc trưng

Ví dụ 4. Cho 0 < a < b < 1 Chứng minh rằng

a2lnb – b2lna > lna – lnb (1)

Lời giải

1 b

b ln 1 a

a ln a ln ) 1 b ( b ln ) 1 a

(

)

1

Xét hàm số đặc trưng ,0 t 1

1 t

t ln ) t

) 1 t

(

t ln t 2 t

1

t

)

t

(

  f(t) đồng biến với 0 < t < 1

Do đó với 0 < a < b < 1  f(a) < f(b)  (2) đúng  (1) đúng  đpcm

Ví dụ 5. Chứng minh: 20052006 > 20062005

Lời giải

Có 20052006 > 20062005  ln20052006 > ln20062005

 2006ln2005 > 2005ln2006

2006

2006 ln 2005

2005 ln

Xét

x

x

ln

)

x

(  , x  e

x

x ln 1

)

x

(

f'   2     f(x) nghịch biến trên x  e

Do đó với 2005 < 2006 thì f(2005) > f(2006)

2006

2006 ln

2005

2005

ln

Ví dụ 6. [Khối D – 2007] Cho a  b > 0 Chứng minh a a b b b)a

2

1 2 ( ) 2

1 2

Trang 4

Lời giải

ab

a b

ab

b a

) 1 4 ln(

) 1 4 ln(

) 1 4 ( ) 1 4 ( 2

) 1 4 ( 2

) 1 4

(

)

1

b

) 1 4 ln(

a

) 1 4 ln(

) 1 4 ln(

a )

1

4

ln(

b

b a

b

t

) 1 4

ln(

)

t

(

t

1 4

4 ln t 4 t

1 ) 1 4 ln(

t 1 4

) 1 4 ( t

1

)

t

(

t

2 t

t

' t

2

'

) 1 4

(

t

) 1 4 ln(

) 1 4

(

4

ln

4

t 2

t t

t

t

f(t) nghịch biến trên miền t > 0

Do đó với a  b > 0  f(a)  f(b)

b

) 1 4 ln(

a

) 1 4

Ví dụ 7:Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc nhọn thỏa mãn điều kiện

(cos 3 cos 3 ) (cos 2 cos 2 ) (cos cos )

Thì tam giác ABC là tam giác đều

Lời giải

Trước hết ta viết vế trái về dạng:

( ) cos 3 cos 2 cos ( 0; )

f xxxx x  

  Ta cú

f x   xxx

3

Bảng biến thiên

X

0

3

2

f’(x)  0 +

f(x)

5

12

Từ bảng biến thiên ta có

5 ( ) ( ) 2 ( )

VTf Af Bf   Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

3

AB

Trang 5

BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1 Chứng minh mọi )

2 , 0 (

x  , ta có:

a) sinx + tgx – 2x > 0 b) 2sinx + tgx – 3x > 0

c) 2sinx 2tgx 2x1 d) 2 1

x tgx x sin 2

2 2

Bài 2 Chứng minh: e e

Bài 3 Cho ABC nhọn Chứng minh:

a) sinA + sinB + sinC +tgA + tgB + tgC > 2

b) 2(sinA + sinB + sinC) + tgA + tgB + tgC > 3

Bài 4 Cho 0 < a < b < 1 Chứng minh: 4(b a)

) b 1 ( a

) a 1 ( b

Bài 5

a Tìm giá trị lớn nhất của

1 x

3 x y 2

b Cho a + b + c = 1 Chứng minh rằng: a2 1 b21 c2 1 10

Bài 6 Cho hai số , *, (0 )

2

sin cos

p q

p q

p q

p q

Bài 7 Cho a, b, x > 0 và ab Chứng minh rằng:

Bài 8 Chứng minh rằng với x 0, ta có: log (1 2 )2 x log (33 x ( 2) )x

Bài 9 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

a cot cot cot 3 3 2( 1 1 1 )

(1 cos )(1 cos )(1 cos )

64

Bài 10 Chứng minh rằng với mọi 0;

2

x  

 , ta luôn có: 2

2

sin xxx

Ngày đăng: 26/12/2014, 13:03

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w