Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số Giải bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số
Trang 1Dạng 1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Cho hàm số f(x) Khi đó, ta có:
Nếu f(x) đồng biến f '(x) 0 thì f(x) > f() x > ; f(x) < f() x <
Nếu f(x) nghịch biến f '(x) 0 thì f(x) > f() x < ; f(x) < f() x >
Nếu f(x) đồng biến hoặc nghịch biến, ta đều có f(x) = f() x =
Ví dụ 1: Chứng minh mọi x > 0, ta có:
a) ex > 1 + x
b)
2
x x
1
e
2 x
c)
2
2
x e x x R
Lời giải
a) Xét f(x) = ex – x – 1, x > 0
Có f’(x) = ex – 1 > e0 – 1 = 0 f(x) đồng biến trên x > 0
Do đó với x > 0 thì f(x) > f(0) ex – x – 1 > 0 ex > x + 1 đpcm
2
x e
)
x
(
g
2
x
, x > 0
Có g’(x) = ex – x – 1 > 0 (theo a) g(x) đồng biến trên x > 0
Do đó với x > 0 thì g(x) > g(0) x 1
2
x e 0 1 x 2
x e
2 x 2
x
c)
2
2
x e x x R
Xét hàm số
2
2
'
Vậy f x '( ) 0 có nghiệm duy nhất x 0
Bảng biến thiên
Trang 2
x 0
'( )
f x - 0 +
( )
f x
Từ bảng biến thiên chúng ta suy ra: f x ( ) 0 với x R (đpcm)
Ví dụ 2: Chứng minh x y 0
y ln x ln
y x 2
y x
Lời giải
Có (x y)(lnx lny) 2(x y)
y ln x ln
y x 2
y
x
0 1 y x
1 y x
2 y
x ln 1 y x
1 y x
2 y
x ln y x
y x 2 y
ln
x
y
x
t , ta được: 1, t 1
1 t
1 t 2 t
1 t
2 1 ( 2 t ln 1 t
1 t 2 t
ln
)
t
) 1 t ( t
) 1 t ( ) 1 t (
4 t
1
)
t
(
2
2 '
f(t) đồng biến với t > 1 f(t) > f(1) = 0 t > 1 đpcm
Ví dụ 3. Cho a 6, b -8, c 3 Chứng minh mọi x 1, ta có: x4 – (ax2 + bx + c) 0
Lời giải
Xét f(x) = x4 – (ax2 + bx + c), x 1
Có f’(x) = 4x3 – (2ax + b)
f’’(x) = 12x2 – 2a 12 – 2a = 2(6 – a) 0 (do x 1, a 6)
f’(x) đồng biến trên x 1
0
Trang 3 f(x) đồng biến trên x 1
Với x 1 thì f(x) f(1) = 1 – (a + b + c) 1 – (6 – 8 + 3) = 0
x4 – (ax2 + bx + c) 0 đpcm
Dạng 2 Sử dụng hàm đặc trưng
Ví dụ 4. Cho 0 < a < b < 1 Chứng minh rằng
a2lnb – b2lna > lna – lnb (1)
Lời giải
Có
1 b
b ln 1 a
a ln a ln ) 1 b ( b ln ) 1 a
(
)
1
Xét hàm số đặc trưng ,0 t 1
1 t
t ln ) t
) 1 t
(
t ln t 2 t
1
t
)
t
(
f(t) đồng biến với 0 < t < 1
Do đó với 0 < a < b < 1 f(a) < f(b) (2) đúng (1) đúng đpcm
Ví dụ 5. Chứng minh: 20052006 > 20062005
Lời giải
Có 20052006 > 20062005 ln20052006 > ln20062005
2006ln2005 > 2005ln2006
2006
2006 ln 2005
2005 ln
Xét
x
x
ln
)
x
( , x e
x
x ln 1
)
x
(
f' 2 f(x) nghịch biến trên x e
Do đó với 2005 < 2006 thì f(2005) > f(2006)
2006
2006 ln
2005
2005
ln
Ví dụ 6. [Khối D – 2007] Cho a b > 0 Chứng minh a a b b b)a
2
1 2 ( ) 2
1 2
Trang 4Lời giải
ab
a b
ab
b a
) 1 4 ln(
) 1 4 ln(
) 1 4 ( ) 1 4 ( 2
) 1 4 ( 2
) 1 4
(
)
1
b
) 1 4 ln(
a
) 1 4 ln(
) 1 4 ln(
a )
1
4
ln(
b
b a
b
t
) 1 4
ln(
)
t
(
t
1 4
4 ln t 4 t
1 ) 1 4 ln(
t 1 4
) 1 4 ( t
1
)
t
(
t
2 t
t
' t
2
'
) 1 4
(
t
) 1 4 ln(
) 1 4
(
4
ln
4
t 2
t t
t
t
f(t) nghịch biến trên miền t > 0
Do đó với a b > 0 f(a) f(b)
b
) 1 4 ln(
a
) 1 4
Ví dụ 7:Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc nhọn thỏa mãn điều kiện
(cos 3 cos 3 ) (cos 2 cos 2 ) (cos cos )
Thì tam giác ABC là tam giác đều
Lời giải
Trước hết ta viết vế trái về dạng:
( ) cos 3 cos 2 cos ( 0; )
f x x x x x
Ta cú
f x x x x
3
Bảng biến thiên
X
0
3
2
f’(x) 0 +
f(x)
5
12
Từ bảng biến thiên ta có
5 ( ) ( ) 2 ( )
VT f A f B f Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
3
AB
Trang 5BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1 Chứng minh mọi )
2 , 0 (
x , ta có:
a) sinx + tgx – 2x > 0 b) 2sinx + tgx – 3x > 0
c) 2sinx 2tgx 2x1 d) 2 1
x tgx x sin 2
2 2
Bài 2 Chứng minh: e e
Bài 3 Cho ABC nhọn Chứng minh:
a) sinA + sinB + sinC +tgA + tgB + tgC > 2
b) 2(sinA + sinB + sinC) + tgA + tgB + tgC > 3
Bài 4 Cho 0 < a < b < 1 Chứng minh: 4(b a)
) b 1 ( a
) a 1 ( b
Bài 5
a Tìm giá trị lớn nhất của
1 x
3 x y 2
b Cho a + b + c = 1 Chứng minh rằng: a2 1 b21 c2 1 10
Bài 6 Cho hai số , *, (0 )
2
sin cos
p q
p q
p q
p q
Bài 7 Cho a, b, x > 0 và ab Chứng minh rằng:
Bài 8 Chứng minh rằng với x 0, ta có: log (1 2 )2 x log (33 x ( 2) )x
Bài 9 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng
a cot cot cot 3 3 2( 1 1 1 )
(1 cos )(1 cos )(1 cos )
64
Bài 10 Chứng minh rằng với mọi 0;
2
x
, ta luôn có: 2
2
sin x x x