Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

http://baigiangtoanhoc.com Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục Bài giảng số 4: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số. Bài toán: Cho đồ thị     : C y f x  và điểm     , o o o M x y C  . Viết phương trình tiếp tuyến của tại   , . o o o M x y Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến của   C tại   , o o o M x y có dạng     0 ' o o y y f x x x    Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước. Bài toán: Cho đồ thị     : C y f x  và một số k   .Viết phương trình tiếp tuyến của   C có hệ số góc là k . Phương pháp: + Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với     : C y f x  tại điểm có hoành độ   ' i i i x f x k x    là nghiệm của phương trình   ' . f x k  + Giải phương trình   ' , 1;2 i f x k x x i    + Phương trình tiếp tuyến tại i x là   i i y k x x y    * Các dạng biểu diễn của hệ số góc k + Dạng trực tiếp . k   + Tiếp tuyến tạo với chiều dương O x góc tan k     + Tiếp tuyến song song với đường thẳng   : a . d y x b k a     + Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng   : a 1, 0. d y x b ka a       + Tiếp tuyến tạo với đường thẳng   : a d y x b   một góc tan . 1 k a ka       Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước. Bài toán: Cho đồ thị     : C y f x  và điểm   , A a b . Viết phương trình tiếp tuyến của   C đi qua . A Phương pháp: Cách 1: + Giả sử đường thẳng   d đi qua   , A a b tiếp xúc với     : C y f x  tại điểm có hoành độ i x  phương trình đường thẳng   d có dạng       ' i i i y f x x x f x    + Do             , ' * i i i A a b d b f x a x f x     + Giải phương trình   * . i x  + Phương trình tiếp tuyến tại i x là       ' i i i y f x x x f x    Cách 2: + Đường thẳng   d đi qua   , A a b với hệ số góc k có phương trình là   y k x a b    . http://baigiangtoanhoc.com Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục + Đường thẳng   d tiếp xúc với đồ thị     :C y f x   hệ phương trình       ' f x k x a b f x k          có nghiệm         ' * f x f x x a b    + Giải phương trình   * , 1;2 i x i  + Phương trình tiếp tuyến tại i x là       ' i i i y f x x x f x    . B. CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1: Cho hàm số   3 2 3 4 . y x x C    Gọi   d là đường thẳng đi qua điểm   2;0 A có hệ số góc . k Tìm k để   d cắt   C tại ba điểm phân biệt , , A M N sao cho hai tiếp tuyến của   C tại M và N vuông góc với nhau. Lời giải: Phương trình đường thẳng   d đi qua   2;0 A có dạng   2 y k x   . Hoành độ các điểm , , A M N là nghiệm của phương trình         3 2 2 2 2 3 4 2 2 2 0 2 0 x x x k x x x x k f x x x k                       Phương trình có ba nghiệm phân biệt   0 f x   có hai nghiệm phân biệt 2. x    0 9 0. 2 0 4 k f              Theo định lí Viet ta có 1 . 2 M N M N x x x x k         Tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau     ' . ' 1 M N y x y x        2 2 2 3 2 2 3 6 . 3 6 1 9 18 1 0 3 M M N N x x x x k k k              Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số     4 2 : 1. C y f x x x     Tìm các điểm A Oy  kẻ được bà tiếp tuyến tới đồ thị   . C Lời giải: Lấy bất kì   0; A a Oy  . Đường thẳng   d đi qua A có hệ số góc k có phương trình . y kx a   Đường thẳng   d tiếp xúc với đồ thị         * ' f x kx a C f x k          có nghiệm. * Điêu kiện cần Ta có       , f x f x x f x       là hàm chẵn  đồ thị   C nhận Oy làm trục đối xứng. http://baigiangtoanhoc.com Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục Do A Oy  nên để từ A kẻ được ba tiếp tuyến tới   C thì điều kiện cần là hệ phương trình   * có nghiệm 0. k  Thế 0 k  và   * ta được 4 2 2 3 0; 1 1 1 3 ; 4 2 0 2 4 x a x x a x a x x                    * Điều kiện đủ + Nếu 1 a  thì     4 2 3 4 2 3 3 1 4 2 1 1 1 * 4 2 4 2 x x x x x x x kx x x k x x k                              2 2 2 2 0; 0 0; 0 3 1 0 1 2 ; 1 2 ; 3 3 3 2 2 1 3 3 1 2 ; 3 3 3 x k x k x x x k x x k k x x x k                                       Vậy từ   0;1 A kẻ được ba tiếp tuyến tới   . C + Nếu 3 4 a  thì     4 2 4 2 3 3 3 3 3 1 1 4 2 * 4 4 4 2 4 2 x x kx x x x x x x x k x x k                              4 2 2 2 2 2 1 1 1 3 0 4 2 2 2 2 1 2 2 1 0 x x x x k x x k x x k                             Vậy từ 3 0; 4 A       kẻ được một tiếp tuyến tới   . C Vậy điểm   0;1 A thỏa mãn điều kiện bài toán. Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 , 2 3 x y x    biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm , A B phân biệt và tam giác OAB cân tại . O Lời giải: Ta có   2 1 ' 2 3 y x    Do tam giác OAB vuông cân nên tiếp tuyến phải có hệ số góc 1. k   Gọi tọa độ tiếp điểm là   , o o x y khi đó     2 1 ' 1 1 2 3 o o y x x        http://baigiangtoanhoc.com Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục Do ' 0 y  nên   2 1 1 1 2 2 3 o o o x x x             + Với 1 1 o o x y      phương trình tiếp tuyến là   1 1 y x y x        : loại vì tiếp tuyến này đi qua gốc tọa độ nên không tạo ra tam giác . OAB + Với 2 0 o o x y      phương trình tiếp tuyến là   2 0 2. y x y x         Ví dụ 4: Cho hàm số     1 : 1 . 1 C f x x x     Tìm những điểm trên đồ thị   C có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. Lời giải: Ta có     2 1 ' 1 1 f x x    + Tiệm cận đứng 1 x  vì   1 lim . x f x    + Tiệm cận xiên 1 y x   vì     lim 1 0. x f x x     + Tọa độ giao điểm I của hai tiệm cận là   1;2 . I Giả sử       , o o M x f x C  với 1, o x  khi đó phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:              2 2 2 2 : ' : 1 1 o o o o o o o o o x x x d y f x x x f x d y x x x x           Tọa độ giao điểm A của tiếp tuyến   d và tiệm cận đứng là nghiệm của hệ     2 2 2 1 1 2 2 1; 2 1 1 1 1 o o o o o o o o o o x x x x x x x y x x y x x x x                               Tọa độ giao điểm B của tiếp tuyến   d và tiệm cận ngang là nghiệm của hệ       2 2 2 1 2 1 2 2 1;2 2 1 1 o o o o o o o o o o y x x x x x x x x y x x y x x x                        Ta có 2 1 2 1 1 o A I o o x AI y y x x                  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 1 2 2 1 B I B I o o o o BI x x y y x x x BI x              2 . .2 2 1 4 2 1 o o AI BI x x     2 2 2 2 2 2 . . os 2 . 4 AB AI BI AI BI c AI BI AI BI        http://baigiangtoanhoc.com Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục Chu vi ABI  cho bởi 2 2 2 . ABI C AI BI AB AI BI AI BI AI BI           4 . 2 . 2 . 4 2 2 2 2 1 AI BI AI BI AI BI        Suy ra   4 min 4 2 2 2 2 1 ABI C    , đạt được khi AI BI  4 2 1 2 2 1 1 1 2 o o o x x x        Vậy tọa độ điểm M cần tìm là 4 4 4 1 1 1 ;2 2 2 2 M          Ví dụ 5: Cho hàm số 2 (C) 1 x y x    . Cho điểm (0; ) A a . Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía của trục hoành. Lời giải Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến đi qua A, khi đó phương trình tiếp tuyến qua A có dạng y kx a   (d). Gọi 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 ( , ), ( , ) x x M x N x x x     là hai tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ A thỏa mãn yêu cầu bài toán. Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) thỏa mãn điều kiện bài ra thì hệ phương trình sau: 2 2 1 1 5 1 = kx+a (5') ( '') ( ) x x k x             Phải có hai nghiệm sao cho 1 2 1 2 2 2 0 1 1 ( ) ( ) . (*) ( ) ( ) x x x x      Thay k từ (5’’) vào (5’), ta có phương trình 2 1 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) (**) a x a x a      Để (**) có hai nghiệm phân biệt thì 1 1 0 2 a a a             (6) Vì 1 2 , x x là nghiệm của (**), nên áp dụng viet, ta có: 1 2 1 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) a x x a a x x a                Khi đó đẳng thức (*) tương đương với 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 0 2 0 2 1              ( ) x x x x a a x x x x (7) http://baigiangtoanhoc.com Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục Kết hợp (6) và (7) thì a < -2. C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số 3 2 1 4 3 2 . 3 3 y x mx x     Tìm m để tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng 1 1. 3 y x   Đáp sô: 2 3 m   hoặc 2 3 m  Bài 2: Cho hàm số 3 2 3 1. y x x mx     Xác định m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng 1 y  tại ba điểm phân biệt   0;1 , , C D E sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại D và E vuông góc với nhau. Đáp số: 9 65 8 m   Bài 3: Cho hàm số 3 2 1 1 . 3 2 3 m y x x    Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng 1  . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M song song với đường thẳng 5 0. x y   Đáp số: 4 m  Bài 4: Cho hàm số 3 2 1 2 3 . 3 y x x x    Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn và chứng minh rằng tiếp tuyến đó có hệ số góc nhỏ nhất. Đáp số: 8 3 y x    Bài 5: Cho hàm số     3 1 1 . m y x m x C    Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của   m C với trục tung. Tìm m để tiếp tuyến nói trên cắt hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8. Đáp số: 9 4 3; 7 4 3. m m     Bài 6: Cho hàm số 4 2 2 1 y x mx m      có đồ thị là   m C . a. Chứng minh rằng   m C luôn đi qua hai điểm cố định A và . B b. Tìm m để hai tiếp tuyến tại , A B vuông góc với nhau. Đáp số: 3 5 ; . 4 4 m m   Bài 7: Tìm điểm A trên trục tung, sao cho qua A có thể kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị hàm số 4 2 1. y x x     Đáp số:   0; 1 . A  Bài 8: Cho hàm số 4 2 1. y x mx m     Gọi A là điểm cố định có hoành độ dương của đồ thị hàm số, tìm m để tiếp tuyến tại A song song với đường thẳng 2 . y x  Đáp số: 1. m   http://baigiangtoanhoc.com Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục Bài 9: Cho hàm số 2 3 . 1 x y x    Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 2007 0. x y    Đáp số: 3 y x    hoặc 1 y x    Bài 10: Cho hàm số . 1 x y x   Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến và hai đường tiệm cận tạo thành một tam giác cân. Đáp số: y x   hoặc 4 y x    Bài 11: Cho hàm số 2 . 2 3 x y x    Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt , A B và tam giác OAB cân tại . O Đáp số: 2 y x     Bài 12: Cho đồ thị hàm số 2 . 1 x y x   Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến của đồ thị tại M cắt Ox, Oy tại , A B và tam giác OAB có diện tích bằng 1 . 4 Đáp số:   1 2 1 ; 2 , 1;1 2 M M         Bài 13: Cho hàm số 1 . 1 x y x    Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm đó chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số. Đáp số:     0;1 , 0; 1. A A  Bài 14: Cho hàm số 2 1 . 2 x x y x     Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên. Đáp số: 2 2 5 y x     Bài 15: Cho hàm số 2 1 . 1 x x y x     Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 4 1 . 3 3 y x   Đáp số: 3 3 4 4 y x   hoặc 3 5 4 4 y x   Bài 16: Cho hàm số 1 2 m y x x      . Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại tại điểm A sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại A cắt trục Oy tại B mà tam giác OAB vuông cân. Đáp số: 1. m  http://baigiangtoanhoc.com Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục Bài 17: Cho hàm số 2 2 1 1 x x y x     . Tìm những điểm trên Oy sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thì hàm số và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Đáp số:     1 2 0; 3 15 , 0; 3 15 A A    Bài 18: Cho hàm số 2 . 1 x y x   Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ Ox y để từ đó ta có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Đáp số: A thuộc đường tròn   S tâm   1;2 , I bán kính 2 R  bỏ đi bốn giao điểm của hai tiệm cận và đường tròn. Bài 19: Cho đồ thị hàm số 3 1 . x y x   Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến này tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích 1 . 2 S  Đáp sô: 1 y x   hoặc 3 3 9 3 25 5 y x  Bài 20: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 1 , 1 x y x    biết tiếp tuyến này cắt trục , Ox Oy lần lượt tại , A B sao cho 4 . OA OB  Đáp số: 4 5 0 x y    hoặc 4 13 0. x y    Bài 21: Cho hàm số 2 1 1 x y x    (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng 2 . Đs: y =-x + 5 và y = -x + 1. . dục Bài giảng số 4: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số. Bài toán: Cho đồ thị     : C y f x . M là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng 1  . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M song song với đường thẳng 5 0. x y   Đáp số: 4 m  Bài 4: Cho hàm số 3 2 1 2 3 . 3 y. tam giác OAB cân tại . O Đáp số: 2 y x     Bài 12: Cho đồ thị hàm số 2 . 1 x y x   Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến của đồ thị tại M cắt Ox, Oy tại , A B