MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ 8.1Cho hàm số 3 2 1 1 f x x m x có đồ thị là , m C m là tham số . 8.1.1Với giá trị nào của m , đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt ?. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với 2 m . Hướng dẫn : Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm phương trình 3 2 2 1 2 1 1 0 1 1 1 2 0 1 2 0 2 x x m x x x x m g x x x m Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 1 có ba nghiệm phân biệt hay phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt khác 1 , tức là 8 3 0 3 3 1 3 2 0 8 2 m m g m 8.1.2 Với giá trị nào của m , đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ : 1 ) 2 a x 2 ) 1 a x 3 ) 1 0 a x 8.2.1Tìm giao điểm của đồ thị C của hàm số
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ 8.1 Cho hàm số 3 2 1 1 f x x m x có đồ thị là , m C m là tham số . 8.1.1 Với giá trị nào của m , đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt ?. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với 2 m . Hướng dẫn : Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm phương trình 3 2 2 1 2 1 1 0 1 1 1 2 0 1 2 0 2 x x m x x x x m g x x x m Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 1 có ba nghiệm phân biệt hay phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt khác 1 , tức là 8 3 0 3 3 1 3 2 0 8 2 m m g m 8.1.2 Với giá trị nào của m , đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ : 1 ) 2 a x 2 ) 1 a x 3 ) 1 0 a x 8.2.1 Tìm giao điểm của đồ thị C của hàm số 3 2 3 3 2 f x x x x và parabol 2 : 4 2 P g x x x . Xét vị trí tương đối của đường cong C và parabol P ( tức là xác định mỗi khoảng trên đó C nằm phía trên hoặc dưới P ). 8.2.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 4 3 3 f x x x . Với giá trị nào của m , phương trình 3 4 3 2 3 0 x x m có nghiệm duy nhất ?. 8.2.3 Cho hàm số 3 2 3 3 2 1 1 f x x mx m x có đồ thị là , m C m là tham số . ) a Chứng tỏ rằng với mỗi giá trị của m , đồ thị m C của hàm số đã cho và đường thẳng 2 4 3 m d y mx m luôn có một điểm chung cố định . ) b Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng m d và đường cong m C cắt nhau 1 ) b Tại ba điểm phân biệt 2 ) b Tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương . ) c Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 1 m Hướng dẫn : ) a 2 4 3 m d y mx m luôn đi qua điểm cố định 2;3 A và 2 3 m f A C .Để giải quyết dạng này học sinh xem lại lý thuyết hàm số sách đại số 7 và đại số 10 . ) b 2 1 0 2 3 2 1 2 0 ) 4 9 9 8 m m m d C x x m x m b m : T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 8.2.4 Cho hàm số 3 2 1 2 1 2 f x x m x m x m có đồ thị là , m C m là tham số . ) a Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m , đồ thị m C của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố định . ) b Chứng minh rằng mọi đường cong m C tiếp xúac nhau tại một điểm. Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường cong m C tại điểm đó . 8.3.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 4 2 4 3 f x x x .Tìm các giá trị của m sao cho phương trình 4 2 4 3 2 1 0 x x m có 8 nghiệm?. 8.3.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 4 2 2 3 f x x x .Với giá trị nào của m , đường thẳng 8 y x m là tiếp tuyến của đồ thị. 8.4 Cho hai hàm số 2 2 1 1 à 1 4 4 P f x x x v C g x x x : : 8.4.1 Chứng minh rằng đồ thị à P v C tiếp xúc nhau tại điểm A có hoành độ 1 x . 8.4.2 Viết phương trình tiếp tuyến cung t của à P v C tại điểm A . Chứng minh rằng P nằm phía dưới đường thẳng t và C nằm phía trên t . 8.5.1 Chứng minh rằng các đồ thị hàm số 2 1 3 4, 1 à 4 6 f x x x g x v k x x x x tiếp xúc nhau tại một điểm. 8.5.2 Chứng minh rằng parabol 2 : 3 1 P f x x x tiếp xúc với đồ thị C của hàm số 2 2 3 1 x x k x x . Viết phương trình tiếp tuyến chung của à P v C tại tiếp điểm của chúng. 8.5.3 Chứng minh rằng có hai tiếp tuyến của parabol 2 : 3 P f x x x đi qua điểm 3 5 ; 2 2 A và vuông góc nhau. 8.6 Cho hàm số 1 ; , 1 mx f x m m x m có đồ thị là , m G m là tham số . 8.6.1 Chứng minh rằng với mỗi 1 m , đường cong m G luôn đi qua hai điểm cố định , A B . 8.6.2 Gọi M là giao điểm của hai đường tiệm cận của m G . Tìm tập hợp của các điểm M khi m thay đổi . 8.7.1 ) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 4 2 x f x H x . ) b Chứng minh rằng parabol 2 : 2 P y x tiếp xúc với đường cong H . Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của à P v H tại điểm đó. T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ) c Xét vị trí tương đối cuả à P v H ( tức là xác định mỗi khoảng trên đó P nằm phía trên hay phía dưới H ?. 8.7.2 ) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 1 x f x H x . ) b Chứng minh rằng với mọi 0 m , đường thẳng 3 y mx m cắt đường cong H tại hai điểm phân biệt , trong đó ít nhất một giao điểm có hoành độ lớn hơn 1. 8.8.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 3 1 x x f x x . Với giá trị nào của m , đồ thị của hàm số cắt đường thẳng y m tại hai điểm phâ biệt , A B . Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m thay đổi . 8.8.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 2 3 2 x x f x x .Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt , A B . Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m thay đổi . 8.8.3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 2 3 3 1 x x f x C x .Tùy theo giá trị của m , biện luận số giao điểm của : 3 d y mx m và C . Với giá trị nào của m , đường thẳng : 3 d y mx m cắt đường cong C tại hai điểm thuộc hai nhánh của C . 8.9.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 1 1 x x f x x . Với giá trị nào của m , phương trình 2 1 1 x x m x có 4 nghiệm?. 8.9.2 Cho hàm số 2 , 1 1 m x m f x m C x ) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 1 m . ) b Với giá trị nào của m , đường thẳng 7 y x tiếp xúc với đường cong m C . ) c Khi 2 m . Với giá trị nào của a ,thì phương trình 2 2 1 x x a a có 4 nghiệm phân biệt?. . sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số 4 2 4 3 f x x x .Tìm các giá trị của m sao cho phương trình 4 2 4 3 2 1 0 x x m có 8 nghiệm?. 8.3.2 Khảo sát sự biến thi n và vẽ. là xác định mỗi khoảng trên đó C nằm phía trên hoặc dưới P ). 8.2.2 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số 3 4 3 3 f x x x . Với giá trị nào của m , phương trình. ba điểm phân biệt 2 ) b Tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương . ) c Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số khi 1 m Hướng dẫn : ) a 2 4 3 m d y mx m luôn