Hệ phương trình cơ bảnHệ phương trình cơ bảnHệ phương trình cơ bảnHệ phương trình cơ bảnHệ phương trình cơ bảnHệ phương trình cơ bảnHệ phương trình cơ bảnHệ phương trình cơ bảnHệ phương trình cơ bảnHệ phương trình cơ bảnHệ phương trình cơ bảnHệ phương trình cơ bảnHệ phương trình cơ bảnHệ phương trình cơ bảnHệ phương trình cơ bảnHệ phương trình cơ bảnHệ phương trình cơ bản
Trang 1Hồng
Ngự
2
Lê
Tín
HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
I Hệ chứa một phương trình bậc nhất:
Đặc điểm của hệ này là phương trình thứ nhất hoặc phương trình thứ hai có chứa phương trình bậc nhất
2 ẩn ax + by = c Phương pháp chung để giải hệ này là từ phương trình ax + by = c ta biểu diễn y theo x (hoặc x theo y) rồi thế vào phương trình còn lại
Bài 1 Giải hệ phương trình
x + y = 1
x3+ y3 = 3(x − y) Hướng dẫn
Từ pt thứ nhất, ta được y = x − 1 thế vào phương trình thứ hai
Bài 2 Giải hệ phương trình
x + y = 5
x4+ y4 = 97 Hướng dẫn
Từ pt thứ nhất, ta được y = 5 − x thế vào phương trình thứ hai x4+ (x − 5)4 = 97
Chú ý: Để giải phương trỉnh dạng (x + a)4+ (y + b)4 = c thì ta đặt t = x +a + b
2
Bài 3 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
x + y = m
x2− y2+ 2x = 2
II Hệ đối xứng loại 1:
Đặc điểm để nhận dạng hệ đối xứng loại 1 là ta thay x bởi y và y bởi x thì phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai không thay đổi Phương pháp chung giải hệ đối xứng loại 1 là ta đặt ẩn phụ, thông thường thì ta đặt S = x + y, P = xy (Điều kiện S2− 4P ≥ 0)
Bài 1 Giải hệ phương trình
x2+ y2+ xy = 3
x3y + xy3 = 2 Hướng dẫn Đặt S = x + y, P = xy
Bài 2 Giải hệ phương trình
x2y + xy2 = 20 1
x +
1
y =
5 4 Hướng dẫn Đặt S = x + y, P = xy
Bài 3 Giải hệ phương trình
x2+ y2+ x + y = 18 xy(x + 1)(y + 1) = 72
Hướng dẫn Đặt u = x2+ x, v = y2+ y
1
Trang 2Hồng
Ngự
2
Lê
Tín
Bài 4 Giải hệ phương trình
x + y + x
y +
y
x = 4
x + y + x
2
y +
y2
x = 4
Hướng dẫn Đặt u = x + y, v = x
y +
y
x. Bài 5 Giải hệ phương trình
(x + y)
1 + 1 xy
= 5
(x2+ y2)
1 + 1
x2y2
= 49
Hướng dẫn Đặt u = x + 1
x, v = y +
1
y.
III Hệ đối xứng loại 2:
Đặc điểm để nhận dạng hệ đối xứng loại 2 là ta thay x bởi y và y bởi x thì phương trình thứ nhất trở phương trình thứ hai và ngược lại Phương pháp chung giải hệ đối xứng loại 2 là lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai sẽ tìm được nhân tử chung x − y
Bài 1 Giải hệ phương trình:
3x3 = x2+ 2y2 3y3 = y2+ 2x2
Hướng dẫn Điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0 Lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai (x−y)(3(x2+xy+y2)+x+y) = 0 Bài 2 Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:
2x2 = y + m
2
y 2y2= x + m
2
x
Hướng dẫn Nếu (x0; y0) là nghiệm thì (y0; x0) cũng là nghiệm Do đó, hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi y0 = x0 Khi
đó pt 2x20 = x0+m
2
x0 = 0 có nghiệm duy nhất.
IV Hệ đẳng cấp:
Dạng
f (xn, xn−1y, xn−2y2, , x2yn−2, xyn−1, yn) = p
g(xn, xn−1y, xn−2y2, , x2yn−2, xyn−1, yn) = q
Phương pháp: Xét y = 0; xét y 6= 0, khi đó đặt x = ty Sau đó từ phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai ta khử ẩn y, ta được pt h(t) = 0 và giải pt h(t)=0
Bài 1 Giải hệ phương trình:
3x2+ 5xy − 4y2 = 38 5x2− 9xy − 3y2 = 15 Bài 2 Giải hệ phương trình:
x3+ y3 = 1
x2y + 2xy2+ y3 = 2
2