hệ phương trình cơ bản, mở đầu khám phá thế giới hệ phương trình 2

http://mathblog.org I.Các hệ phương trình A Hệ phương trình đối xứng :   f ( x, y ) = Dạng  mà vai trị x, y  g ( x, y ) =   f ( x, y ) = f ( y , x ) Tức   g ( x, y ) = g ( y , x) Cách giải: • Thơng thường người ta đặt ẩn phụ: S = x + y hay S = x − y P = xy  f ( S, P) =  sau tìm S , P tìm nghiệm ( x, y ) ⇒ g ( S, P) =  Ví dụ: Giải hệ  x y + xy =   xy + x + y = Như nói trên, ta đặt S = x + y; P = xy hệ cho trở thành  SP = S = S=3 ⇒ hay   S + P =  P =  P=2 Từ ta dễ dàng tìm nghiệm ( x, y ) sau: ( x, y ) = (1, 2);(2,1) • Nhưng để phương pháp áp dụng hữu hiệu ta nên biến đổi chút ẩn số để sau đặt ẩn phụ, ta phương trình nhẹ nhàng   xy + x + y = Ví dụ 1:  3 ( x + 1) + ( y + 1) = 35  Đặt S = ( x + 1) + ( y + 1) ; P = ( x + 1)( y + 1) ta có hệ phương trình sau  S = x =  x=2 P = ⇒  ⇒  hay   P = y =  y=3  S ( S − 3P ) = 35   x + y + x2 + y2 = Ví dụ 2:   xy ( x + 1)( y + 1) = 12 S = x + y Ở theo thông lệ thử đặt  , ta thu hệ sau:  P = xy  S2 + S − P =   P ( P + S + 1) = 12 http://mathblog.org Rõ ràng chuyện khơng đơn giản chút Tuy nhiên có lẽ bạn nhận tinh tế tóan, bậc phương trình Phương trình bậc có lẽ chứa P Thể khơng dạng tích thuận tiện nào,trong phương trình thứ hai lại dạng tích bậc 4,gấp đơi bậc Nếu bạn nhìn biểu thức S P,bậc P gấp đôi bậc S,như phải phương trình thư S,thứ hai P Nếu giá trị x y P Quan sát phương trình thứ hai bạn dễ dàng nhận tinh tế này, x ( x + 1) y ( y + 1) Từ ý tưởng ta đặt: a = x ( x + 1) b = y ( y + 1) Hệ cho tương đương với: a = a + b =  a=2 ⇒  hay    ab = 12 b=6 b = Như ( x, y ) nghiệm phương trình sau: i) t + t = ⇒ t1 = ∨ t2 = −2 ii )t + t = ⇒ t3 = ∨ t3 = −3 Tóm lại nghiệm hệ cho là: ( x, y ) = (1, −2);(−2,1);(2, −3); (−3, 2) B Phương trình đối xứng lọai 2:  f ( x, y ) =   f ( y , x ) = Đối với dạng hệ phương trình này, ta đưa dạng hệ tương đương sau:  f ( x, y ) − f ( y , x ) =   f ( x, y ) + f ( y , x ) = Hệ phương trình mà bạn thu hệ đối xứng hay nửa đối xứng mà ta  h ( x, y ) = f ( x, y ) − f ( y , x ) xét phần Thật đặt  Ta đưa hệ  g ( x, y ) = f ( x , y ) + f ( y , x ) dạng:  h ( x, y ) =  h ( x, y ) = − h ( y , x ) Ở    g ( x, y ) =  g ( x, y ) = g ( y , x) Có thể bạn thấy h( x, y ) khơng đối xứng hịan tịan (nửa đối xứng) Tuy nhiên chấp nhận lẽ hệ ta dạng h( x, y ) = (Nếu bạn thấy ray rứt điều bạn viết dạng h ( x, y ) = ,chẳng phải h ( x, y ) đối xứng Chú ý thêm tác giả muốn bạn nắm bắt mối quan hệ đối xứng nửa đối xứng cách rõ ràng hơn, lúc giải tập bạn bình phương lên J) C Phương trình đẳng cấp http://mathblog.org  f (tx, ty ) = t k f ( x, y )  f ( x, y ) = a(1) mà :   k  g ( x, y ) = b(2)  g (tx, ty ) = t g ( x, y ) Ở điều kiện thứ hai bạn hiểu cách đơn giản đơn thức hàm f g đồng bậc (bậc đơn thức hai biến x,y tổng bậc x y) Nhận xét giúp cho bạn nhận biết phương trình đẳng cấp cách dễ dàng Cách giải tổng quát đưa phương trình: bf ( x, y ) − ag ( x, y ) = ,ở dó a, b khơng đồng thời Nếu a,b đồng thời Ta giải riêng phương trình f ( x, y ) = 0; g ( x, y ) = so sánh nghiệm Cách giải tương tự phương trình bf ( x, y ) − ag ( x, y ) = nên bạn tham khảo bên Ta xét trường hợp i ) x = nghiệm hệ phương trình Điều bạn cần x = giải phương trình biến theo y Trường hợp ta thu nghiệm ( x, y ) = (0, y1 ) ii ) Trường hợp ta tìm nghiệm khác (0, y1 ) Chia hai vế cho x k x k bậc f Đặt t = Ta đưa phương trình theo ẩn t Giải phương trình y x ta tìm tỉ số Sau thay x thành ty (1) Giải phương trình theo ẩn y y, ta rút nghiệm toán (ty0 , yo ) Ví dụ: 3 x − xy + y =  2  x + xy − y = −8 Giải: Hệ cho tương đương với:  24 x − 16 xy + 16 y = 56  2 7 x + 42 xy − 21y = −56  24 x − 16 xy + 16 y = 56 ⇔ 2 31x + 26 xy − y = 0(*) Ta giải (*) 31x + 26 xy − y = ⇔ (31x − y )( x + y ) = 0(**) 31x − y = 0(1) ⇔  x + y = 0(2) Từ ta dễ dàng giải cách vào hệ phương trình ban đầu http://mathblog.org II.Các phương pháp giải hệ không mẫu mực: A.Dùng bất đẳng thức : Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp ta thấy số phương trình hệ số ẩn Ví dụ1 Giải hệ phương trình nghiệm dương : x + y + z =   (1 + x )(1 + y )(1 + z ) = + xyz  Giải: ( ) ( VT = + x + y + z + ( xy + yz + zx) + xyz ≥ + 3 xyz + 3 ( xyz ) + xyz = + xyz Suy dấu xảy x = y = z =1 ) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :  x + + x + + x + = y −1 + y − + y −   2  x + y + x + y = 80  Giải: Đk: x ≥ −1; y ≥ Giả sử x > y − ⇒ VT > VP x < y − ⇒ VT < VP Suy x = y − Đến bạn đọc tự giải Ví dụ 3: Giải hệ : 4y 2z  3x  x +1 + y +1 + z +1 =  89.x y z =  Giải: -Bài tóan có số ẩn nhiều số phương trình ta dụng bất đẳng thức -Nhận xét : bậc x,y,z khác nên ta sử dụng Cauchy cho xuất bậc giống hệ 2x 4y 2z = + + Ta có: x + x + y + z + Áp dụng Cauchy số: = x +1 x x y y y y z z x2 y z + + + + + + + ≥ 88 x +1 x +1 y +1 y +1 y +1 y +1 z +1 z +1 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) http://mathblog.org Hòan tòan tương tự : x3 y z ≥ 88 3 y +1 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) x y z1 ≥ 88 z +1 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) Từ bất đẳng thức thu ta có: 1 (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) ≥ 89 x 24 y 32 z16 (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) 24 32 16 ⇒ 89 x y z ≤ dấu xảy ⇔ x y z 1 = = = ⇔x= y=z= x +1 y +1 z +1 697  x + y = Ví dụ 4: giải hệ:  81  x + y + xy − x − y + =  Giải: -Ví dụ muốn giới thiệu công cụ xác định miền giá trị x,y nhờ điều kiện có nghiệm tam thức bậc hai -Xét phương trình bậc hai theo x: x + x ( y − 3) + y − y + = = ( y − 3) − ( y − ) ≤ ⇔ ( y − 1)( y − ) ≤ ⇔ ≤ y ≤ 2 Tương tự xét phương trình bậc hai theo y ta có ≤ x ≤ 697 4 7 Suy ra: x + y ≤   +   = 81 3 3 ⇒ x = y = Tuy nhiên vào hệ nghiệm khơng thỏa 3 Vì hệ phương trình vơ nghiệm Ví dụ 5: Giải hệ:  x5 − x + x y =  y − y + 2y z =  z5 − z + 2z x =  http://mathblog.org Ý tưởng tóan ta phải đóan nghiệm hệ x = y = z = ,sau chứng minh x > hay x < vô nghiệm Nếu x > ⇒ = z − z + z x > z − z + z ⇒ > ( z − 1) ( z + z + ) Do z + z + dương nên > z Tương tự ⇒ y > ⇒ x < ⇒ Vơ lí Tương tự x < ⇒ vơ lí.Vậy x = ⇒ y = ⇒ z = Bài tập luyện tập Giải hệ:  x = ( y − 1)( z + )   2)  y = ( z − 1)( x + )   z = ( x − 1)( y + )  1) x + y + z =  2 xy − z =  x2 1 + x = y   y2 4)  =z  y +1  2z2 =x   z +1  y 21 x + y = 1988   z 3) 21 + z = 1988  y  x 21 + x = 1988  z  x2 + y2 + z2 =  5)  x y z  y + z + x =9  B.Đặt ẩn phụ: Đơi tóan phức tạp ta giải hệ với ẩn (x,y,z,…) sau phép đặt a = f ( x), b = f ( y ), c = f ( z ), Ví dụ 1:Giải hệ 12  xy x+ y =  18  yz =  y+z  xz 36 =   x + z 13 1 Hướng dẫn: Đặt a = , b = , c = x y z Ví dụ 2: Giải hệ: http://mathblog.org  x ( y + z ) = (3 x + x + 1) y z  2 2  y ( x + z ) = (4 y + y + 1) x z  z ( x + y ) = (5 z + z + 1) x y  Nếu x = dễ dàng suy được: y = z = Như ( x, y , z ) = (0, 0, 0) nghiệm hệ Ta tìm nghiệm khác ( 0,0,0 ) Chia hai vế cho x y z ta thu hệ tương đương:   y + z 2 1   = 3+ + x x  yz   1  x + z    = 4+ + y y  xz    x + y  = + +   xy  z z2   1 Ta lại đặt a = ; b = ; c = ta nhận được: x y z  (a + b)2 = c + c + 5(1)  2 (b + c ) = a + a + 3(2)  (a + c )2 = b + b + 4(3)  (2) − (3) ⇒ (a − b) ( 2(a + b + c ) + 1) = Lấy (1) − (2) ⇒ (b − c)(2(a + b + c) + 1) = Từ suy a − b = b − c ⇒ a + c = 2b Thay vào (2) ta 3b − b + = Từ bạn dễ dàng giải tiếp tốn Ví dụ 3: Giải hệ  x (6 + 21 y ) =   x( y − 6) = 21 Nếu giải hệ với ẩn ( x, y ) ta thật khó để thấy đwocj hướng giải Nhưng chuyện rõ ràng ta đặt x = z  z = 21 y +   y = 21z + Đây hệ đối xứng mà ta dễ dàng tìm đước hướng giải J Sau tập áp dụng dành cho bạn đọc: Bài tập luyện tập Bài 1: Giải hệ: http://mathblog.org 2 x2 + x + y + =   xy ( xy + x + y + 1) = Bài 2: Giải hệ: ( x + y + z )3 = 12t  3 ( y + z + t ) = 12 x  3 ( z + t + x ) = 12 y (t + x + y )3 = 12 z  C.Tính đại lượng chung Ý tưởng phương pháp tính đại lượng Ví dụ 1:Giải hệ:  xy + y + x + =   yz + z + y = (*)  xz + z + x =   ( x + 1)( y + 2) =  (*) ⇔ ( y + 2)( z + 3) = 12 ⇒ ( x + 1)( y + 2)( z + 3) = ±24  ( z + 3)( x + 1) =  Từ bạn có thể giải tiếp cách dễ dàng Ví dụ 2:Giải hệ:  u + v = 2(1)  ux + vy = 3(2)   2 ux + vy = 5(3) ux + vy = 9(4)  Giải: Nhân x + y vào (3) ⇒ ux + vy + ux y + vxy = 5( x + y ) ⇒ + xy = 5( x + y ) Nhân x + y vào (2) ⇒ uy + vx = 2( x + y ) − Nhân x + y vào (2) 3( x + y ) = + xy (uy + vx) = + xy [ 2( x + y ) − 3] Đặt a = x + y; b = xy Đến bạn có thễ dễ dàng giải tiếp J Bài tập luyện tập Bài 1: Giải hệ http://mathblog.org  x + y + z + t = 50  2 2  x − y + z − t = −24  xz = yt   x − y + z + t =  Bài 2:Giải hệ  y − xz = b   z − xy = c ( a, b, c số)  x − yz = a  Bài 3:Giải hệ ax + by = ( x − y )  ( a, b, c số)  by + cz = ( y − z )  cz + ax = ( z − x)  Bài 4:Giải hệ  x3 + x( y − z )2 =   y + y ( z − x ) = 30  z + z ( x − y ) = 16  D.Nhân liên hợp Phương pháp chủ yếu bỏ dâu thức đễ dễ tính tốn hay để xuất đại lượng đặt ẩn phụ Ví dụ 1:Giải hệ:  x+ y =4  (1)   x+5 + y+5 =  Giải: Ta có:  x + + x + y + + y = 13  (1) ⇔   x+5 − x + y +5 − y =   x + x + + y + y + = 13  ⇔ 5  x + x+5 + y +5 + y =  Đặt u = x + x+5 v = y + y +5 Ta suy ra: http://mathblog.org  u + v = 10  1 u + v =  u + v = 10 ⇒  uv = 25 ⇒ u = v = ⇒ x = y = Ví dụ 2: Giải hệ:    −  2y = y + 42 x      3+  x =2  y + 42 x   Giải: Từ hệ ta suy điều kiện: x, y > Hệ cho tương đương với:  + =6  x 2y    10 = −  y + 42 x x 2y  15 ⇒ = − y + 42 x x y ⇒ 15 xy = ( y − x )( y + 42 x ) ⇒ y + 25 xy − 84 x = ⇒ (3x − y )( y + 28 x ) =  3x = y ⇒  y + 28 x = Trường hợp thứ hai ta loại không thỏa điều kiện x, y > Thay vào hệ ban đầu ta thu nghiệm sau:  5+ 5+  ( x, y ) =   27 ,     Bài tập luyện tập Bài 1: Giải hệ  x + + y +1 =    x +1 + y + =  http://mathblog.org Bài 2: Giải hệ  − x + y + xy + = −  ( x − 1)( y − 1) =   Bài 3: Giải hệ x y  = y +1 + y −  x +1 + x − 2   y + x + ( x + 1)( y + 1) =  Kết thúc viết phần tập tổng hợp mục hệ phương trình mà ta xem xét: III)Bài tập tổng hợp Bài 1: Giải hệ phương trình sau:  x y + xy = a)   xy + x + y =  x + x y + y = 21 b)  2  x − xy + y = Bài 2: Giải hệ phương trình sau:  x + y + x2 + y =   x( x + 1) + y ( y + 1) = 12 Bài 3:Giải hệ phương trình sau:  x + y + x + x y + xy + y =   x y = −2   Bài 4:Giải hệ phương trình sau:  x− y =6  3  x − y = 126 Bài 5:Giải hệ phương trình sau:  x + y = 2a   xy + = 2a ... + y = 21 b)  2  x − xy + y = Bài 2: Giải hệ phương trình sau:  x + y + x2 + y =   x( x + 1) + y ( y + 1) = 12 Bài 3:Giải hệ phương trình sau:  x + y + x + x y + xy + y =   x y = ? ?2  ... + y = 0 (2) Từ ta dễ dàng giải cách vào hệ phương trình ban đầu http://mathblog.org II.Các phương pháp giải hệ không mẫu mực: A.Dùng bất đẳng thức : Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp ta... y + 2) =  (*) ⇔ ( y + 2) ( z + 3) = 12 ⇒ ( x + 1)( y + 2) ( z + 3) = ? ?24  ( z + 3)( x + 1) =  Từ bạn có thể giải tiếp cách dễ dàng Ví dụ 2: Giải hệ:  u + v = 2( 1)  ux + vy = 3 (2)   2 ux