Chuyên đề toán THPT TRẦN TẤN ĐẠT-sđt 0967730322- Trang 1 1. Một số phương pháp giải phương trình cơ bản: a) Phương trình trị tuyệt đối: |A|=B |A|=|B| |A|+|B|=|C| Ví dụ: 1/ |2x 2 +3x|=x-1 2/ |2x 2 +5x-7|=|x-3| 3/|2x+3|+|2x 2 -3|=|x+3| b) Phương trình căn thức: AB AB A B C Ví dụ: 1/ 1 2xx 2/ 1 2xx 3/ 2 4 3x x x c) Phương trình bậc 4: Phương trình bậc 4 trùng phương: => Đặt t=x 2 Ví dụ:x 4 +2x 2 -8=0 Phương trình bậc 4 hệ số đối xứng: => Chia hai vế cho x 2 sau đó đặt ẩn là 1 tx x . Ví dụ:1/ x 4 +4x 3 -5x 2 +4x+1=0 2/2x 4 -3x 3 -4x 2 +3x+2=0 Phương trình bậc 4 bất kì: => Đồng nhất hệ số: Cho một hàm bậc 4 f(x) bất kì, để giải phương trình f(x)=0, ta tìm các phân tích f(x)=(x 2 +ax+b)(x 2 +cx+d). Dùng đồng nhất đa thức để tìm hệ số a,b,c,d có giá trị đẹp. Ví dụ: 4 3 2 1/ 7 8 4 0x x x x 4 3 2 2/ 5 14 10 0x x x x 4 3 2 3/ 5 31 6 6 0x x x x Bài tập tự luyện Bài 1 Giải phương trình Chuyên đề toán THPT TRẦN TẤN ĐẠT-sđt 0967730322- Trang 2 a. 2 x 3x 2 x 1 b. 2 3x 9x 1 x 2 c. 2 x 2x 3x 4 d. 22 (x 3) x 4 x 9 e. x 3 7 x 2x 8 f. x 2 3 x 5 2x g. 22 (x 3) x 3x 2 x 8x 15 h. 22 (x 4) 10 x x 2x 8 i. 2 x 3x 2 1 x 3x 2 j. 2 x 4x 3 1 x 4x 3 Bài 2 Giải phương trình a. 2 2 2 x 3x 2 x 6x 5 2x 9x 7 b. 2 2 2 x 3x 2 x 4x 3 x 5x 4 Bài 3 Giải phương trình a. 3 33 x 5 x 6 2x 11 b. 33 3 x 1 x 1 5x c. 33 3 2x 1 x 1 3x 1 = 0 Bài 4 Giải phương trình a. x x 1 x 4 x 9 0 nghiệm x = 0 b. x 1 x 16 x 4 x 9 nghiệm x = 0 c. x 3 3x 1 2 x 2x 2 d) (*) Phương pháp lượng liên hợp: Cơ sở phương pháp: Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm x o hữu tỉ, khi đó phương trình luôn viết được thành (x – x o )P(x) = 0 và P(x) = 0 có thể vô nghiệm hoặc giải được.Thường dùng trong căn thức.Để làm tốt dạng này ta cần chọn cặp để dùng lượng liên hợp cho thích hợp thông qua nhẫm nghiệm.( cách nhẫm nghiệm thông thường là chọn x o sao cho các biểu thức trong căn là một số chính phương) Ví dụ: 1/ 2 2 2 3 6x x x 32 2/ 2 3 2 2 2 3x x x x x 22 3/ 2 1 3 2( 4)x x x x x Chuyên đề toán THPT TRẦN TẤN ĐẠT-sđt 0967730322- Trang 3 Bài tập tự luyện: Bài 1 Giải phương trình a. (B 2010) 2 3x 1 6 x 3x 14x 8 0 b. 3 2 3x 2 3 6 5x 16 0 Nghiệm duy nhất x2 c. 2 3 10 2x 9x 27)4(2 4x 15x 33 Bài 2 Giải phương trình a. 2 x 1 4x 1 3x b. 2 x 1 9x 1 4x c. 22 x 12 5 3x x 5 Nghiệm duy nhất x = 2 d. 22 x 15 3x 2 x 8 e. 2 2 2 2 3x 5x 1 x 2 3x 3x 3 x 3x 4 Bài 3 Giải phương trình a. 22 2x x 9 2x x 1 x 4 b. 22 2x x 1 x x 1 3x Bài 4. Giải phương trình: 3 23 x 1 x x 2 Bài 5 Giải phương trình a. 22 x 3x 1 (x 3) x 1 b. 4 3 10 3x x 2 c. 2 (2 x)(5 x) x (2 x)(10 x) d. 22 2x 16x 18 x 1 2x 4 Chuyên đề toán THPT TRẦN TẤN ĐẠT-sđt 0967730322- Trang 4 e. 2 2 2 2 2x 1 x 3x 2 2x 2x 3 x x 2 f. 2 2 2 2 3x 7x 3 x 2 3x 5x 1 x 3x 4 Bài 6 Giải phương trình a. 3 2 x 4 x 1 2x 3 b. 3 23 x 1 3x 2 3x 2 c. 2 3 2x 11x 21 3 4x 4 0 d. 3 23 x 1 x x 1 e) Phương pháp đánh giá bằng hàm số và tính đơn điệu của hàm số: Để làm tốt phương pháp này đầu tiên ta ước lượng được số ước của phương trình . Sau đó chuyển phương trình về dạng f(x)=0. Dùng đạo hàm f’(x) để chứng minh số nghiệm của phương trình đó.Cuối cùng ta chỉ cần chỉ ra những nghiệm đó. Phương trình đã được giải quyết. f’(x)>0 hay f’(x)<0 f(x)=0 có tối đa một nghiệm f’(x)>0 hay f’(x)<0 và f[u(x)]=f[v(x)] u(x)=v(x). Ví dụ: 1/ x x 5 x 7 x 16 14 (DK: x 5) f(x) x x 5 x 7 x 16 1 1 1 1 co':f '(x) 0 x 5 2 x 2 x 5 2 x 7 2 x 16 f(x) đồng biến => f(x)=0 có nghiệm duy nhất mà f(9)=0 vậy x=9 là nghiệm phương trình 3 33 1 2/ 4 ( 1) 2 1 ( : ) 2 (2 ) 2 ( 2 1) 2 1 x x x x DK x x x x x Xét f(t)=t 3 +t, ta có: f’(t)=3t 2 +1>0 f(t) đồng biến mà (2 ) ( 2 1) 2 2 1 f x f x x x bài tập tự luyện: Bài 1 Giải các phương trình. a. 32 3 11 3 9x x x x Chuyên đề toán THPT TRẦN TẤN ĐẠT-sđt 0967730322- Trang 5 b. 3 x 1 x 4x 5 (Chuyển vế, nghiệm duy nhất x = 1) c. 2 2x 1 x 3 4 x Bài 2: Giải các phương trình sau: a. 2 2 2 2x(4x 1) (x 3x 1) x 3x b. 3 4x x (x 2) 2x 3 0 f) Phương pháp dùng bất đẳng thức: Bất đẳng thức Cauchy: Cho các số a i (i=1…n), ta luôn có: 1 2 1 2 n nn a a a n a a a Dấu bằng xảy ra 12 n a a a Bất đẳng thức Bunhiacopsky: Cho các cặp số a i (i=1….n) và b i (i=1 n) thuộc R, ta luôn có: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ( )( ) ( ) n n n n a a a b b b ab a b a b Dấu “=” xảy ra 12 12 n n a aa b b b Bất đẳng thức vecto: ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… Ví dụ: 2 1/ 3 5 8 18x x x x 2 2/ 2 4 3 3 2x x x x Chuyên đề toán THPT TRẦN TẤN ĐẠT-sđt 0967730322- Trang 6 Bài 1 Giải phương trình a. 2 x 2 4 x x 6x 11 (nghiệm x = 3) b. 2 x 2 10 x x 12x 52 c. 2 x 2x 5 x 1 2 (nghiệm x = 1) d. 2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x (nghiệm x = –1) e. 2 6 2x 1 19 2x x 10x 24 Bài 2 Giải phương trình a. 3 2 2 2 7x 11x 25x 12 x 6x 1 b. 3 2 2 2 5x 3x 3x 2 x 6x 1 c. 2 2 11 2 x 2 4 (x ) x x Bài 4. Giải phương trình: 2 2 2 x 6x 15 x 6x 18 x 6x 11 (1) Bài 5 Giải phương trình 2 4 2 4 13 x x 9 x x 16 2. Phương pháp đặt ẩn phụ: a) Đặt ẩn phụ cơ bản: Ví dụ: 22 1/ 2 4 2 2 2x x x x 22 2/ | 2 | 2 12x x x x 2 3/3 ( 2)| 2| 0 x xx Bài tập tự luyện: Bài 1 Giải phương trình a. 2 (x 1)(x 4) 5 x 5x 28 b. 22 5x 10x 1 7 2x x Chuyên đề toán THPT TRẦN TẤN ĐẠT-sđt 0967730322- Trang 7 c. 2 (4 x)(6 x) x 2x 12 d. 3 2 x(x 5) 2 x 5x 2 2 Bài 2 Tìm m để phương trình có nghiệm a. 2 x 2x 4 (3 x)(1 x) m 2 ĐS: –1 ≤ m ≤ 11 b. 2 2x 5x 4 (3 x)(1 2x) m 2 ĐS: 41 56 2 m [ 1; ] 8 Bài 3 Giải phương trình a. 51 5 x 2x 4 2x 2x b. 31 3 x 2x 7 2x 2x b) Đặt nhiều ẩn phụ cùng lúc để biến đổi xung quanh phương trình nhiều ẩn: Ví dụ: 2 1/ 2 3 2 3 2x x x x (đưa về phương trình đẳng cấp) 3 3 3 2/ 1 2 1 3 2x x x x ( đặt nhân tử chung đưa về phương trình tích) Bài 1 Giải phương trình a. 23 2x 5x 1 7 x 1 (Đặt 2 u x 1;v x x 1 ) b. 2 2 4 2 x 3 x 1 x x 1 (Đặt a = x² và 2 b x 1 ) Bài 2. Giải phương trình: 22 x 2x 2x 1 3x 4x 1 Bài 3. Giải phương trình: 22 4x 5x 1 2 x x 1 9x 3 Bài 4 Giải phương trình: 3 2 3 x 3x 2 (x 2) 6x 0 Bài 5: Giải các phương trình a. 3 2 3 x 3x 2 (x 1) 3x 0 b. 32 x (3x 4x 4) x 1 0 Chuyên đề toán THPT TRẦN TẤN ĐẠT-sđt 0967730322- Trang 8 c) Đặt nhiều ẩn phụ cùng lúc rồi đưa về hệ phương trình: Ví dụ: Giải phương trình : Giải phương trình 3 2x 1 6 x 4 (2x 1)(x 4) 7 0 Đặt 22 u 2x 1 2v u 7 (1) v x 4 Thay vào phương trình: 3u – 6v + uv + 7 = 0 (2) Thay (1) vào (2) và rút gọn được (2v – u)(u + v – 3) = 0 <=> x = 0 Giải phương trình a. 3 2 3x 2 3 6 5x 8 0 (A 2009) Nghiệm x = –2 b. 3 2 3x 2 3 6 5x 16 0 c. 22 x 17 x x 17 x 9 d. 33 33 x. 35 x .(x 35 x ) 30 e. 2 11 2 x 2x Nghiệm 13 x 1; 2 f. 3 3 x 1 2 2x 1 Nghiệm 15 x 1; 2 g. 3 3 x 2 3 3x 2 d) Đặt ẩn phụ không hoàn toàn: Ví dụ: 3 1/ 2 3 3 3x x x x 2 2/ (4 2) 8 3 7 8x x x x 2 2 3 3 4 3/ 2 32 xx xx x Giải phương trình Chuyên đề toán THPT TRẦN TẤN ĐẠT-sđt 0967730322- Trang 9 a. 2 2 2 x 3x x x 2 1 2 x 2 (đặt 2 t x 2 ) b. 22 (x 1) x 2x 3 x 1 c. 22 x 1 2x. x 2x Nghiệm x 1 2 d. 22 3x x 48 (3x 10) x 15 e. 22 2(x 1). x 2x 1 x 2x 1 f. 22 x 4x (x 2). x 2x 15 39 g. 22 (1 4x) 4x 1 8x 2x 1 h. 33 (4x 1) x 1 2x 2x 1 i. 33 x 3x 2 (x 2) x 2x 1 e) Đặt ẩn phụ dạng tổng tích: Khi trong bài toán xuất hiện f(x).g(x) và f(x)+g(x). Ta dựa vào f(x).g(x) để xác định f(x) và g(x). Sau đó đặt ẩn là f(x)+g(x).(Thường được áp dugn5 trong phương trình lượng giác) Ví dụ: 2 1 2 2 3 1 4x x x x Bài 1 Giải phương trình a. 2 2x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 2 Nghiệm 25 6 17 b. 2 7x 7 7x 6 2 49x 7x 42 181 14x c. 2 x 4 x 4 2x 12 2 x 16 d. 2 3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2 Bài 2 (B 2011) Giải phương trình: 2 3 2 x 6 2 x 4 4 x 10 3x (nghiệm x = 6/5) Chuyên đề toán THPT TRẦN TẤN ĐẠT-sđt 0967730322- Trang 10 f) Một số phương pháp đặt khác: Biến đổi trước khi đặt ẩn: Ví dụ: 2 1 2 3 1x x x x x Tổng của nhiều căn thức nhiều bậc: Để làm những bài này ta phải đoán được nghiệm của phương trình. Sau đó ta đặt ẩn cho căn thức bậc lớn: Ví dụ: 3 4 3 1xx Đặt nhiều ẩn rồi biến đổi một hay một số biểu thức theo ẩn đó: Ví dụ: 3 3 3 1/ 1 2 2 3x x x 4 4 4 2/ 2 2 1 2 3 3x x x Để giải hệ phương trình ta chọn một hoặc chọn nhiều phương trình để biến đổi để đưa về phương trình rồi dùng các phương pháp trên để giải. Một số phương pháp giải phương trình : - Đặt ẩn phụ: - Dùng lượng liên hợp - Biến đổi tương đương để ra nhân tử chung: - Dùng hàm số để chứng minh các giá trị của biến bằng nhau: - Dùng tính chất hàm bậc 2: Ví dụ: 22 2 15 8 5 21 6 10 { x y xy x y xy Chú ý . Để giải hệ phương trình ta chọn một hoặc chọn nhiều phương trình để biến đổi để đưa về phương trình rồi dùng các phương pháp trên để giải. Một số phương pháp giải phương trình : - Đặt. Chuyên đề toán THPT TRẦN TẤN ĐẠT-sđt 0967730322- Trang 1 1. Một số phương pháp giải phương trình cơ bản: a) Phương trình trị tuyệt đối: |A|=B |A|=|B|. Chuyên đề toán THPT TRẦN TẤN ĐẠT-sđt 0967730322- Trang 8 c) Đặt nhiều ẩn phụ cùng lúc rồi đưa về hệ phương trình: Ví dụ: Giải phương trình : Giải phương trình 3 2x 1 6 x 4 (2x