Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! IV. BÀI TOÁN VỀ GÓC CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ Phương pháp giải: +) Gọi véc tơ pháp tuyến hoặc véc tơ chỉ phương của mặt phẳng (hoặc đường thẳng) cân lập là (a; b; c) +) Thiết lập một phương trình quy ẩn (a theo b, c hoặc ngược lại) từ một dữ kiện về mặt phẳng chứa đường, song song hoặc vuông góc. Giả sử phương trình thu gọn ẩn là a = f(b; c) +) Thiết lập phương trình về góc, thay a = f(b; c) vào ta được một phương trình hai ẩn b; c. Chú ý: +) Góc giữa hai đường thẳng ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 . cos( ; ) cos ; . = = u u d d u u u u +) Góc gi ữ a hai m ặ t ph ẳ ng ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 . cos( ; ) cos ; . = = n n P P n n n n +) Góc gi ữ a đườ ng th ẳ ng và m ặ t ph ẳ ng ( ) . sin( ; ) cos ; . = = P d P d P d n u d P n u n u +) Ta bi ế t r ằ ng hàm sin φ đồ ng bi ế n khi 0 < φ < 90 0 , ng ượ c l ạ i hàm cos φ ngh ị ch bi ế n. V ậ y khi hàm xét max, min là hàm sin thì góc l ớ n ứ ng v ớ i hàm max, góc nh ỏ ứ ng v ớ i hàm nh ỏ . Còn khi hàm xét max, min là hàm cosin thì ng ượ c l ạ i, đề bài yêu c ầ u tìm góc l ớ n thì hàm ph ả i đạ t min, góc nh ỏ thì hàm đạ t max. Ví dụ 1. Cho 1 2 2 1 : ; ': ;( ): 2 2 3 0 1 2 1 2 1 2 − + + − = = = = + + − = − − x y z x y z d d Q x y z L ậ p (P) ch ứ a d sao cho a) góc gi ữ a (P) và (Q) nh ỏ nh ấ t. b) góc gi ữ a (P) và d’ l ớ n nh ấ t. Đ/s: a) ( ): 2 5 3 0 + + + = P x y z b) ( ):7 5 9 0 − + − = P x y z Ví dụ 2. Cho điểm A(1; −1; 2) và mặt phẳng ( ) : 2 3 0. − − + = Q x y z Lập phương trình đường d đi qua A; song song với (P) đồng thời tạo với đường 1 1 : 1 2 2 + − ∆ = = − x y z m ộ t góc l ớ n nh ấ t? nh ỏ nh ấ t. Đ/s: 2 2 1 1 2 max : 1 (5 4) 5 5 5 7 cos φ 0 cos φ 1 3 5 4 2 3 3 min : 1 0 1 − + − = = − − = ⇒ ≤ ≤ ⇒ − − + = = x y z t x y z t t 14. CỰC TRỊ TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – P5 Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Ví dụ 3. Cho điểm A(−1; 0; −1) và hai đường 1 2 2 3 2 3 : ; ': 2 1 1 1 2 2 − − + − − + = = = = − − x y z x y z d d L ậ p ph ươ ng trình đườ ng ∆ đ i qua A đồ ng th ờ i c ắ t đườ ng d sao cho góc gi ữ a ∆ và d’ l ớ n nh ấ t? nh ỏ nh ấ t? Đ/s: 2 2 1 1 max : 2 9 2 2 1 cos φ 0 cos φ 1 1 3 6 14 9 5 min : 4 5 2 + + = = − = ⇒ ≤ ≤ ⇒ + + + + = = − x y z t x y z t t Ví dụ 4. Cho các đ i ể m A(1; 4; 2), B(−1; 2; 4) và đườ ng th ẳ ng 1 2 : 1 1 2 − + = = − x y z d L ậ p ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (P) ch ứ a d và a) kho ả ng cách t ừ A đế n (P) max. b) góc gi ữ a (P) và m ặ t ph ẳ ng (xOy) min. c) góc gi ữ a (P) và tr ụ c Oy max. Ví dụ 5. Cho đ i ể m A(1; 4; 2), đườ ng th ẳ ng 1 4 : 2 1 3 + − = = − x y z d và (P): x + y + z – 1 = 0 L ậ p ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng ∆ đ i qua A sao cho a) ∆ // (P) và kho ả ng cách gi ữ a ∆ và d l ớ n nh ấ t. b) ∆ // (P) và góc gi ữ a ∆ và d l ớ n nh ấ t? nh ỏ nh ấ t? c) 1 ': 3 1 = − + ∆ ⊥ = + = − + x t d y t z t và kho ả ng cách t ừ đ i ể m B(−1; 1; −1) l ớ n nh ấ t? nh ỏ nh ấ t? . 2 2 1 1 2 max : 1 (5 4) 5 5 5 7 cos φ 0 cos φ 1 3 5 4 2 3 3 min : 1 0 1 − + − = = − − = ⇒ ≤ ≤ ⇒ − − + = = x y z t x y z t t 14. CỰC TRỊ TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – P5 Thầy Đặng Việt. Hùng Facebook: LyHung 95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! IV. BÀI TOÁN VỀ GÓC CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ Phương pháp giải:. và (Q) nh ỏ nh ấ t. b) góc gi ữ a (P) và d’ l ớ n nh ấ t. Đ/s: a) ( ): 2 5 3 0 + + + = P x y z b) ( ):7 5 9 0 − + − = P x y z Ví dụ 2. Cho điểm A(1; −1; 2) và mặt phẳng ( ) : 2 3 0. −