Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 1 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 BÀI GIẢNG – NHỊ THỨC NEWTƠN PHẦN A. Áp dụng đạo hàm vào bài toán nhị thức NewTơn Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng dần từ 1 đến n (hoặc giảm từ n đến 1) (không kể dấu). Hai khai triển thường dùng: n 0 1 2 2 k k n n n n n n n 1 x C C x C x C x C x 1 n k n 0 1 2 2 k k n n n n n n n 1 x C C x C x 1 C x 1 C x 2 i) Đạo hàm 2 vế của (1) hoặc (2). ii) Cộng hoặc trừ (1) và (2) sau khi đã đạo hàm rồi thay số thích hợp. Ví dụ 7. Tính tổng 1 2 2 3 2 8 2 9 29 30 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 S C 2 .2C 3 .2 C 2 9 .2 C 3 0 .2 C . Giải Ta có khai triển: 30 0 1 2 2 29 29 30 30 30 30 30 30 30 1 x C C x C x C x C x 1 Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: 29 1 2 29 28 30 29 30 30 30 30 C 2C x 29C x 30C x 30 1 x 2 Thay x = – 2 vào (2) ta được: 29 1 2 2 3 28 29 29 30 30 30 30 30 30 C 2.2C 3.2 C 29.2 C 30.2 C 30 1 2 . Vậy S 30 . Ví dụ 8. Rút gọn tổng 1 2 3 4 5 26 27 28 29 30 30 30 30 30 S C 3.2 C 5.2 C 27.2 C 29.2 C Giải Ta có khai triển: 30 0 1 2 2 29 29 30 30 30 30 30 30 30 1 x C C x C x C x C x 1 Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: 29 1 2 29 28 30 29 30 30 30 30 C 2C x 29C x 30C x 30 1 x 2 Thay x = 2 và x = – 2 lần lượt vào (2) ta được: 29 1 2 2 3 28 29 29 30 30 30 30 30 30 C 2.2C 3.2 C 29.2 C 30.2 C 30 1 2 3 29 1 2 2 3 28 29 29 30 30 30 30 30 30 C 2.2C 3.2 C 29.2 C 30.2 C 30 1 2 4 Cộng hai đẳng thức (3) và (4) ta được: 1 2 3 4 5 26 27 28 29 29 30 30 30 30 30 2(C 3.2 C 5.2 C 27.2 C 29.2 C ) 30 3 1 Vậy 29 S 15 3 1 . Ví dụ 9. Rút gọn tổng 0 1 2 2006 2007 2007 2007 2007 2007 2007 S 2008C 2007C 2006C 2C C . Giải Ta có khai triển: 2007 0 2007 1 2006 2 2005 2006 2007 2007 2007 2007 2007 2007 x 1 C x C x C x C x C Nhân 2 vế (1) với x ta được: 2007 0 2008 1 2007 2 2006 2006 2 2007 2007 2007 2007 2007 2007 x x 1 C x C x C x C x C x 2 Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 2 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 Đạo hàm 2 vế của (2) ta được: 0 2007 1 2006 2 2005 2006 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2008C x 2007C x 2006C x 2C x C 2006 (1 2008x) x 1 (3) Thay x = 1 vào (3) ta được: 0 1 2 2006 2007 2006 2007 2007 2007 2007 2007 2008C 2007C 2006C 2C C 2009.2 . Cách khác: Ta có khai triển: 2007 x 1 0 2007 1 2006 2 2005 2006 2007 2007 2007 2007 2007 2007 C x C x C x C x C 1 Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: 2006 0 2006 1 2005 2 2004 2005 2006 2007 2007 2007 2007 2007 2007C x 2006C x 2005C x 2C x C 2007 x 1 2 Thay x = 1 vào (1) và (2) ta được: 0 1 2 2006 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 C C C C C 2 3 0 1 2 2007 2007 2007 2006 2006 2007 2007C 2006C 2005C C 2007.2 4 Cộng (3) và (4) ta được: 0 1 2 2006 2007 2006 2007 2007 2007 2007 2007 2008C 2007C 2006C 2C C 2009.2 . Vậy 2006 S 2009.2 Ví dụ 10. Cho tổng 0 1 2 n 1 n n n n n n S 2C 3C 4C (n 1)C (n 2)C với n . Tính n, biết S 320 . Giải Ta có khai triển: n 0 1 2 2 n 1 n 1 n n n n n n n 1 x C C x C x C x C x 1 Nhân 2 vế (1) với x 2 ta được: n 0 2 1 3 2 4 n 1 n 1 n n 2 2 n n n n n C x C x C x C x C x x 1 x 2 Đạo hàm 2 vế của (2) ta được: n 0 1 2 2 3 n 1 n n n 1 2 n 1 n n n n n 2C x 3C x 4C x (n 1)C x (n 2)C x 2x 1 x nx (1 x) 3 Thay x = 1 vào (3) ta được: 0 1 2 n 1 n n 1 n n n n n 2C 3C 4C (n 1)C (n 2)C (4 n).2 4 . n 1 S 320 (4 n).2 320 n 6 . Cách khác: Ta có khai triển: n 0 1 2 2 n 1 n 1 n n n n n n n 1 x C C x C x C x C x 1 Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: n 1 1 2 3 2 n n 1 n n n n C 2C x 3C x nC x n 1 x 2 Thay x = 1 vào (1) và (2) ta được: 0 1 2 3 n 1 n n n n n n n n C C C C C C 2 3 1 2 3 n 1 n n 1 n n n n n C 2C 3C (n 1)C nC n.2 4 Nhân (3) với 2 rồi cộng với (4) ta được: Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 3 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 0 1 2 n 1 n n 1 n n n n n 2C 3C 4C (n 1)C (n 2)C (4 n).2 . n 1 S 320 (4 n).2 320 . Vậy n 6 . 2.2. Đạo hàm cấp 2 Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng (giảm) dần từ 1.2 đến (n–1).n hoặc tăng (giảm) dần từ 1 2 đến n 2 (không kể dấu). Xét khai triển: n 0 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n n n n n n n 1 x C C x C x C x C x C x 1 Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: n 1 1 2 3 2 4 3 n n 1 n n n n n C 2C x 3C x 4C x nC x n 1 x 2 i) Tiếp tục đạo hàm 2 vế của (2) ta được: 2 3 4 2 n n 2 n n n n 1.2C 2.3C x 3.4C x (n 1)nC x n 2 n(n 1)(1 x) (3) ii) Nhân x vào 2 vế của (2) ta được: n 1 1 2 2 3 3 4 4 n n n n n n n C x 2C x 3C x 4C x . nC x nx 1 x 4 Đạo hàm 2 vế của (4) ta được: 2 1 2 2 2 3 2 2 n n 1 n 2 n n n n 1 C 2 C x 3 C x n C x n(1 nx)(1 x) 5 Ví dụ 11. Tính tổng 2 3 4 15 16 16 16 16 16 16 S 1.2C 2.3C 3.4C 14.15C 15.16C . Giải Ta có khai triển: 16 0 1 2 2 3 3 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 1 x C C x C x C x C x C x 1 Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: 15 1 2 3 2 15 14 16 15 16 16 16 16 16 C 2C x 3C x 15C x 16C x 16 1 x 2 Đạo hàm 2 vế của (2) ta được: 2 3 4 2 16 14 14 16 16 16 16 1.2C 2.3C x 3.4C x 15.16C x 240(1 x) 3 Thay x = – 1 vào đẳng thức (3) ta được: 2 3 4 15 16 16 16 16 16 16 1.2C 2.3C 3.4C 14.15C 15.16C 0 . Vậy S = 0. Ví dụ 12. Rút gọn tổng 2 1 2 2 2 3 2 2006 2 2007 2007 2007 2007 2007 2007 S 1 C 2 C 3 C 2006 C 2007 C . Giải Ta có khai triển: 2007 0 1 2 2 2006 2006 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 1 x C C x C x C x C x 1 Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: 2006 1 2 3 2 2007 2006 2007 2007 2007 2007 C 2C x 3C x 2007C x 2007 1 x 2 Nhân x vào 2 vế của (2) ta được: 2006 1 2 2 3 3 2006 2006 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 C x 2C x 3C x 2006C x 2007C x 2007x 1 x 2 Đạo hàm 2 vế của (3) ta được: Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 4 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 2 1 2 2 2 3 2 2 2006 2005 2 2007 2006 2005 2007 2007 2007 2007 2007 1 C 2 C x 3 C x 2006 C x 2007 C x 2007(1 2007x)(1 x) 4 Thay x = 1 vào đẳng thức (4) ta được 2 1 2 2 2 3 2 2007 2005 2007 2007 2007 2007 1 C 2 C 3 C 2007 C 2007.2008.2 . Vậy 2005 S 2007.2008.2 . Bài 1a Chứng minh rằng: 0 1 1 3 4 ( 3) 2 (6 ) n n n n n C C n C n ( k n C là tổ hợp chập k của n phần tử.) HD Ta có (1+x) n = 0 1 n n n n n C xC x C nhân cả 2 vế với x 3 ta được 3 3 0 4 1 3 (1 ) n n n n n n x x x C x C x C lấy đạo hàm hai vế và thay x = 1 ta có điều phải chứng minh. Bài 1b Tính tổng 2 1 2010 2 2 2009 2 3 2008 2 2011 0 2001 2001 2001 2001 1 2 2 2 3 2 2011 2 S C C C C Bài 2 Cho n là số tự nhiên , 2 n tính 2 2 1 2 2 2 2 3 3 2 1 2 1 . .2 2 .2 3 . .2 .2 n k k n n n n n n n k S k C C C C n C Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 5 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 Bài 3 CMR 2, n n nguyên dương 2 1 2 2 2 3 2 2 1 2 3 1 2 n n n n n n C C C n C n n Bài 4 Tìm số nguyên dương n biết: 2 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3.2.2 ( 1) ( 1)2 2 (2 1)2 40200 k k k n n n n n n C C k k C n n C HD * Xét 1n21n2 1n2 kk 1n2 k22 1n2 1 1n2 0 1n2 1n2 xC xC)1( xCxCC)x1( (1) Lấy đạo hàm cả hai vế của (1) ta có: n21n2 1n2 1kk 1n2 k2 1n2 1 1n2 n2 xC)1n2( xkC)1( xC2C)x1)(1n2( (2) Lại lấy đạo hàm cả hai vế của (2) ta có: 1n21n2 1n2 2kk 1n2 k3 1n2 2 1n2 1n2 xC)1n2(n2 xC)1k(k)1( xC3C2)x1)(1n2(n2 Thay x = 2 vào đẳng thức trên ta có: 2 3 k k 2 k 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n(2n 1) 2C 3.2.2C ( 1) k(k 1)2 C 2n(2n 1)2 C Phương trình đã cho 100n020100nn240200)1n2(n2 2 Bài 5 Tính giá trị biểu thức sau: 20102011 2011 20082010 2011 2006 3 2011 2008 2 .2011 2010 1 2011 2 20112 2010 2 1 .3 2 1 .2 2 1 CCCCCT HD XÐt: 2011 0 1 2011 2011 2011 1 2011 2011 2010 2011 2011 2011 2011 2011 2011 0 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) . . . . . . . 2 2 2 2 2 i k i i k k i f x x x x x x C C C C C LÊy ®¹o hµm cña f(x) 2 vÕ ta ®îc: (*) 2011 2 1 1. 2 1 .) 2 1 (2011 2010 2011 2011 1 2011 2011 2010 1 2011 2010 xxkx CCC k k k Cho x = 2 vµo 2 vÕ cña (*) ta ®îc 20102010 ) 2 5 .(2011)2 2 1 (2011 T Bài 6 Chứng minh rằng với n N * , ta có: n n n n n n C C nC 2 4 2 2 2 2 2 4 2 4 2 . Xét n n n n n n n n n x C C x C x C x C x C x 2 0 1 2 2 3 3 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1) n n n n n n n n n x C C x C x C x C x C x 2 0 1 2 2 3 3 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (2) Từ (1) và (2) n n n n n n n n x x C C x C x C x 2 2 0 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) 2 Lấy đạo hàm 2 vế ta được: n n n n n n n C x C x nC x n x x 2 4 3 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 4 2 (1 ) (1 ) Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 6 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 Với x = 1, ta được: n n n n n n n C C nC n 2 4 2 2 1 2 2 2 2 4 2 2 4 2 . Bài 7 Tính tổng: 0 2009 1 2008 2 2007 2007 2 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2010 2 2009 2 2008 2 3 2 2 2 S C C C C C Bài 8 Khai triển 30 2 30 0 1 2 30 1 5 x a a x a x a x Tính tổng 0 1 2 30 2 3 30 S a a a a Bài 9 Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của 100 2 x x , chứng minh rằng: 99 100 198 199 0 1 99 100 100 100 100 100 1 1 1 1 100C 101C 199C 200C 0. 2 2 2 2 Bài 10 Hãy tìm số tự nhiên n thoả mãn: 0 1 2 3 2 0 2 2 1 2 2 2 3 2 3 2 0 2 2 2 2 2 1.3 .2 . 2.3.2 . 3.3 .2 . 4.3 .2 . (2 1).3 .2 . 7 3 n n n n n n n n n n n n C C C C C HD Ta cã 0 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 0 2 2 2 2 (2 ) 2 .2 .2 .2 n n n n n n n n n n n x x x x C C C C (1) Nh©n 2 vÕ cña (1) víi x 0 ®îc 0 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 0 2 2 2 2 (2 ) 2 .2 .2 .2 n n n n n n n n n n n x x x x x x C C C C (2) LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) ta ®îc 0 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 (2 ) 2 (2 ) 1.2 2 2 2 2 n n n n n n n n n x nx x x nx C C C 2 2 0 2 (2 1) 2 n n n n x C Thay x=3 vµo ®îc 0 1 2 3 0 2 2 1 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 0 2 1 6 1.3 .2 . 2.3.2 . 3.3 .2 . 4.3 .2 . (2 1).3 .2 . 73 1 6 73 12 n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C Bài 11. Hãy tìm số tự nhiên n thoả mãn: 0 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2.2 3.2 2 .2 2 1 .2 2013 n n n n n n n n n n n C C C C C Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 7 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 HD Ta có 0 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 n n n n n n n n n n x x x x x C C C C C nhân hai vế với x khác 0 0 1 2 2 1 2 2 3 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 n n n n n n n n n n x x x x x x xC C C C C lấy đạo hàm hai vế được 0 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n x x nx n x x nx x C C C C C Thay x=2 vào 2 vế của (2) được 0 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2.2 3.2 2 .2 2 1 .2 1+4n n n n n n n n n n n n C C C C C Theo giả thiết 1+4n =2013 2012 : 4 53 n Bài 12 Tìm số nguyên dương n biết: 2 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3.2.2 ( 1) ( 1)2 2 (2 1)2 40200 k k k n n n n n n C C k k C n n C HD Lại lấy đạo hàm cả hai vế của (2) ta có: 1n21n2 1n2 2kk 1n2 k3 1n2 2 1n2 1n2 xC)1n2(n2 xC)1k(k)1( xC3C2)x1)(1n2(n2 Thay x = 2 vào đẳng thức trên ta có: 2 3 k k 2 k 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n(2n 1) 2C 3.2.2C ( 1) k(k 1)2 C 2n(2n 1)2 C Phương trình đã cho 100n020100nn240200)1n2(n2 2 Bài 13 Tính tổng S = 1 3 5 2009 2010 2010 2010 2010 2C 6C 10C 4018C . Tính tổng 2011 2012 2009 2012 5 2012 3 2012 1 2012 2012.20112010.2009 30122 CCCCCS . Tính tổng 2011 2011 2011 2010 2011 2010 3 2011 2 2011 1 2011 0 2011 2 2012 2 2011 2 1 4 3 CCCCCCS Bài 14 Tính tổng 2011 2011 2 2011 1 2011 0 2011 2012 32 CCCCS HD Xét đa thức: 2011 0 1 2 2 2011 2011 2011 2011 2011 2011 ( ) (1 ) ( ) f x x x x C C x C x C x 0 1 2 2 3 2011 2012 2011 2011 2011 2011 . C x C x C x C x Ta có: 0 1 2 2 2011 2011 2011 2011 2011 2011 ( ) 2 3 2012 f x C C x C x C x 0 1 2 2011 2011 2011 2011 2011 (1) 2 3 2012 ( ) f C C C C a Mặt khác: 2011 2010 2010 ( ) (1 ) 2011(1 ) . (1 ) (1 2012 ) f x x x x x x / 2010 (1) 2013.2 ( ) f b Từ (a) và (b) suy ra: 2010 2013.2 . S Bài 14 Tính giá trị biểu thức: 2 4 6 100 100 100 100 100 4 8 12 200 A C C C C . Ta có: 100 0 1 2 2 100 100 100 100 100 100 1 x C C x C x C x (1) 100 0 1 2 2 3 3 100 100 100 100 100 100 100 1 x C C x C x C x C x (2) Lấy (1)+(2) ta được: 100 100 0 2 2 4 4 100 100 100 100 100 100 1 1 2 2 2 2 x x C C x C x C x Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được 99 99 2 4 3 100 99 100 100 100 100 1 100 1 4 8 200 x x C x C x C x Thay x=1 vào => 99 2 4 100 100 100 100 100.2 4 8 200 A C C C Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 8 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 Bài 15 Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của 100 2 x x , chứng minh rằng: 99 100 198 199 0 1 99 100 100 100 100 100 1 1 1 1 100C 101C 199C 200C 0. 2 2 2 2 Bài 16 Hãy tìm số tự nhiên n thoả mãn: 0 1 2 3 2 0 2 2 1 2 2 2 3 2 3 2 0 2 2 2 2 2 1.3 .2 . 2.3.2 . 3.3 .2 . 4.3 .2 . (2 1).3 .2 . 7 3 n n n n n n n n n n n n C C C C C HD Ta cã 0 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 0 2 2 2 2 (2 ) 2 .2 .2 .2 n n n n n n n n n n n x x x x C C C C (1) Nh©n 2 vÕ cña (1) víi x 0 ®îc 0 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 0 2 2 2 2 (2 ) 2 .2 .2 .2 n n n n n n n n n n n x x x x x x C C C C (2) LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) ta ®îc 0 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 (2 ) 2 (2 ) 1.2 2 2 2 2 n n n n n n n n n x nx x x nx C C C 2 2 0 2 (2 1) 2 n n n n x C Thay x=3 vµo ®îc 0 1 2 3 0 2 2 1 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 0 2 1 6 1.3 .2 . 2.3.2 . 3.3 .2 . 4.3 .2 . (2 1).3 .2 . 73 1 6 73 12 n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C Bài 17 Hãy tìm số tự nhiên n thoả mãn: 0 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2.2 3.2 2 .2 2 1 .2 2013 n n n n n n n n n n n C C C C C HD Ta có 0 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 n n n n n n n n n n x x x x x C C C C C nhân hai vế với x khác 0 0 1 2 2 1 2 2 3 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 n n n n n n n n n n x x x x x x xC C C C C lấy đạo hàm hai vế được 0 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n x x nx n x x nx x C C C C C Thay x=2 vào 2 vế của (2) được 0 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2.2 3.2 2 .2 2 1 .2 1+4n n n n n n n n n n n n C C C C C Theo giả thiết 1+4n =2013 2012 : 4 53 n Bài 18 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 2 2 3 3 4 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2.2 3.2 4.2 2 1 .2 2005 n n n n n n n C C C C n C HD ta cã 2 1 0 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 n n n n n n n x C C x C x C x §¹o hµm hai vÕ ta cã 2 1 0 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 2 1 n n n n n n n n x C C x C x n C x Cho x=-2 ta ®-îc n=1002 Bài 19 DB_A1-2006 Ứng dụng khai triển nhị thức Newtơn của 100 2 , x x CMR Luyện thi đại học - Chun đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 9 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 99 100 198 199 0 1 99 100 100 100 100 100 1 1 1 1 100 101 199 200 0 2 2 2 2 C C C C HD Bài 20 DB_D1-2007 Chứng minh với mọi n ngun dương ln có 0C1C1 C1nnC 1n n 1n 2n n 2n 1 n 0 n HD Với mọi n N ta có n n n 1n n 1n 1n1 n n0 n n C1xC1 xCxC1x Lấy đạo hàm hai vế ta có 1n n 1n 2n1 n 1n0 n 1n C1 xC1nxnC1xn Cho x = 1 ta có 1n n 1n 1 n 0 n C1 C1nnC0 Bài 21 Tính tổng 1 2 2 3 3 4 99 100 100 100 100 100 100 2.3. 3.3 . 4.3 . 100.3 . S C C C C C Bài 22 Chứng minh: 0 2001 1 2000 2001 2001 0 2002 2002 2002 2002 2002 2002 2002 2002 1 . . . . 1001.2 k k k C C C C C C C C HD Ta có: 1n C n n do đó điều chứng minh trở thành: 0 1 2001 2002 2002. 2001. 1. 10001.2 2002 2002 2002 C C C Ta lại có: 2002 0 2002 1 2001 2001 2002 ( 1) 2002 2002 2002 2002 x C x C x C x C Lấy đạo hàm 2 vế ta được : 2001 0 2001 1 2000 2001 2002.( 1) 2002. 2001. . 1. 2002 2002 2002 x C x C x C Cho x = 1 và lưu ý 2001 2002 2002.2 1001.2 ta được điều phải chứng minh. Bài 23 CMR 1 2 3 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 3.2 2 1 2 2 1 2 3 1 k k n n n n n n n C C k C n C n Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 10 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 PHẦN B. Áp tích phân vào bài toán nhị thức NewTơn Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp (và lũy thừa) giảm dần từ 1 đến 1 n 1 hoặc tăng dần từ 1 n 1 đến 1. Xét khai triển: n 0 1 2 2 n 1 n 1 n n n n n n n 1 x C C x C x C x C x 1 Lấy tích phân 2 vế của (1) từ a đến b ta được: b b b b b n 0 1 n 1 n 1 n n n n n n a a a a a 1 x dx C dx C xdx C x dx C x dx b n 1 b b b b 2 n n 1 0 1 n 1 n n n n n a a a a a 1 x x x x x C C C C n 1 1 2 n n 1 2 2 n n n 1 n 1 n 1 n 1 0 1 n 1 n n n n n b a b a b a b a (1 b) (1 a) C C C C 1 2 n n 1 n 1 Trong thực hành, ta dễ dàng nhận biết giá trị của n.Để nhận biết 2 cận a và b ta nhìn vào số hạng n 1 n 1 n n b a C n 1 . Ví dụ 13. Rút gọn tổng 2 2 3 3 9 9 10 10 0 1 2 8 9 9 9 9 9 9 3 2 3 2 3 2 3 2 S C C C C C 2 3 9 10 . Giải Ta có khai triển: 9 0 1 2 2 8 8 9 9 9 9 9 9 9 1 x C C x C x C x C x 1 3 3 3 3 3 9 0 1 8 8 9 9 9 9 9 9 2 2 2 2 2 1 x dx C dx C xdx C x dx C x dx 3 10 3 3 3 3 3 2 3 9 10 0 1 2 8 9 9 9 9 9 9 2 2 2 2 2 2 1 x x x x x x C C C C C 10 1 2 3 9 10 10 10 2 2 9 9 10 10 0 1 8 9 9 9 9 9 4 3 3 2 3 2 3 2 C C C C 10 2 9 10 .Vậy 10 10 4 3 S 10 . Ví dụ 14. Rút gọn tổng 2 3 4 n n 1 0 1 2 3 n 1 n n n n n n n 2 2 2 2 2 S 2C C C C C C 2 3 4 n n 1 . Giải Ta có khai triển: n 0 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n n n n n n n 1 x C C x C x C x C x C x [...]... đa thức f ( x ) ( x 2 x 1)n với n là số tự nhiên thỏa 0 mãn: 3Cn 32 1 33 2 3n 1 n 411 1 Cn Cn Cn 2 3 n 1 n 1 Ngi son: V Trung Thnh 11 Trng THPT Bỡnh Giang LH 0979791802 Luyn thi i hc - Chuyờn : ng dng o hm v tớch phõn vo khai trin nh thc Newtn n 2 Bi 3 Tỡm h s ca x trong khai trin Newton ca biu thc 3 x5 bit rng: x 1 1 1 2 1 1 0 n Cn Cn Cn (1) n Cn 2 3 n 1 13 20 0 2 n HD Theo Newton . phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 1 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 BÀI GIẢNG – NHỊ THỨC NEWTƠN PHẦN A. Áp dụng đạo hàm vào bài toán nhị thức NewTơn Dấu hiệu. dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 8 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 Bài 15 Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của 100 2 x x , chứng. ta ®-îc n=1002 Bài 19 DB_A1-2006 Ứng dụng khai triển nhị thức Newtơn của 100 2 , x x CMR Luyện thi đại học - Chun đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người