Kiến thức và bài tập nhị thức newton

NHỊ THỨC NEWTON 1. Công thức Newton Định lí: 0 1 1 2 2 2 1 1 ( ) . n n n n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C ab C b            2.Nhận xét Trong khai triển Newton (a+b) n có các tính chất sau * Gồm có n+1 số hạng * Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n *Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n *Các hệ số có tính đối xứng: k n k nn CC   * Số hạng tổng quát : 1 k n k k kn T C a b    VD: Số hạng thứ nhất 0 1 0 1 n n T T C a   , số hạng thứ k 1 1 1 ( 1) 1 k n k k kn T C a b       3. Một số hệ quả Hq: Ta có : 0 1 2 2 (1 ) . n n n n n n n x C xC x C x C      Từ khai triển này ta có các kết quả sau * 01 . 2 nn n n n C C C    * 0 1 2 . ( 1) 0 nn n n n n C C C C      3. Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Xác định các yếu tố trong khai triển như *Xác định hệ số của x k trong khai triển * Xác định hệ số không chứa x PP: Dùng công thức khai triển , khi đó 1 k n k k kn T C a b    1) Trong khai triển   40 2 1 f x x x     , hãy tìm hệ số của 31 x 2) Hãy tìm trong khai triển nhị thức 18 3 3 1 x x     số hạng độc lập đối với x 3) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 17 4 3 3 2 1 x x      4) Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển của 7 3 4 1 x x     5) Tìm hệ số của số hạng chứa 8 x trong khai triển nhị thức của 5 3 1 n x x     , biết   1 43 73 nn nn C C n      6) Cho khai triển 11 0 33 22 (2 2 ) (2 ) . (2 ) xx xx n n n n nn CC       (n là số nguyên dương). Biết trong khai triển đó 31 5 nn CC và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm x và n?. 7)Trong khai triển nhị thức 28 3 15 n x x x       , hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x , biết rằng 12 79 n n n n n n C C C     8)Hãy tìm n trong khai triển 11 24 1 2 n xx      , biết rằng ba hệ số của ba số hạng đầu theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. 9)Cho biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển nhị thức 3 2 n x xx x     bằng 36 . Hãy tìm số hạng thứ 7. 10)Tìm hệ số của số hạng chứa 4 x trong khai triển 12 3 3 x x     11)Tính hệ số của 25 10 xy trong khai triển   15 3 x xy 12) Cho đa thức         9 10 14 1 1 . 1P x x x x       có dạng khai triển là   2 14 0 1 2 14 .P x a a x a x a x     . Hãy tính hệ số 9 a . 13)Cho đa thức           2 3 20 1 2 1 3 1 . 20 1P x x x x x         có dạng khai triển là   2 20 0 1 2 20 .P x a a x a x a x     . Hãy tính hệ số 15 a . 14)Trong khai triển     10 11 10 9 1 2 10 11 1 2 .x x x a x a x a x a        , hãy tìm hệ số 5 a . 15)Khai triển   5 2 3 2 15 0 1 2 15 1 .x x x a a x a x a x        a) Hãy tính hệ số 10 a b) Tính tổng 0 1 15 .T a a a    và 0 1 2 15 .S a a a a     16) Khai triển   10 2 2 20 0 1 2 20 1 2 3 .x x a a x a x a x       a) Hãy tính hệ số 4 a b) Tính tổng 20 1 2 3 20 2 4 . 2S a a a a     17) Tìm hệ số của 8 x trong khai triển thành đa thức của   8 2 11xx    18) Tìm hai hạng tử chính giữa trong khai triển   15 3 x xy 19)Tìm hạng tử đứng giữa của khai triển 10 3 5 1 x x     20)Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển   6 3 15 21) Tìm số hạng của khai triển   9 3 32 là một số nguyên 22)Trong khai triển   124 4 35 có bao nhiêu số hạng hữu tỉ. 23) Khai triển đa thức     12 2 12 0 1 2 12 1 2 .P x x a a x a x a x       . Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển trên. ( Tức là tìm 0 1 12 max( , , ., )a a a ) 24) Trong khai triển 10 12 33 x     thành đa thức 9 10 0 1 9 10 .a a x a x a x    , hãy tìm hệ số k a lớn nhất? ( 0,1,2, , 10k  ). 25) Biết tổng các hệ số trong khai triển   2 1 n x  bằng 1024, hãy tìm hệ số a của số hạng 12 ax trong khai triển đó. 26) Với n là số nguyên dương, gọi a 3n-3 là hệ số của x 3n-3 trong khai triển thành đa thức của (x 2 +1) n (x+2) n . Tìm n để a 3n-3 =26n. Dạng 2: Tính tổng 0 n kk kn k T a C b    PP: Dựa vào khai triển nhị thức Newton 0 1 2 2 (1 ) . n n n n n n n x C xC x C x C      , ta chọn những giá trị x thích hợp Ví dụ 1.Cmr: 0 2 2 1 3 2 1 2 2 2 2 2 2 ) . . nn n n n n n n a C C C C C C         0 1 1 0 ) . k k k k m n m n m n m n b C C C C C C C       Ví dụ 2: Tính các tổng sau 0 1 2 1 1 1 ) . 2 3 1 n n n n n a C C C C n      12 ) 2 . n n n n b C C nC   234 ) 2.1. 3.2 4.3 . ( 1) n n n n n c C C C n n C     0 2 2 4 4 2006 2006 2007 2007 2007 2007 ) 2 2 . 2d C C C C    Ví dụ 3: Tìm số nguyên dương n sao cho: 0 1 2 2 4 . 2 243 nn n n n n C C C C     Ví dụ 4: Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Newton của 7 4 1 () n x x  , biết 1 2 20 2 1 2 1 2 1 . 2 1 n n n n C C C         . Ví dụ 5: Áp dụng khai triển nhi thức Newton của (x 2 +x) 100 , chứng minh rằng 2 99 1 100 99 198 100 199 100 100 100 100 1 1 1 1 100 ( ) 101 ( ) . 199 ( ) 200 ( ) 0 2 2 2 2 C C C C     Ví dụ 6: Tính tổng 21 01 3 1 3 1 . 21 n n n n n S C C C n        Ví dụ 7: Tính tích phân 1 2 0 (1 ) n I x x dx  và tính tổng 0 1 3 4 1 1 1 1 ( 1) . 2 4 6 8 2( 1) n n n n n n n S C C C C C n         Bài tập 1. Xét khai triển 20 1 (2 )x x  a) Viết số hạng thứ k+1 trong khai triển b) Số hạng nào trong khai triển không chứa x 2. Xác định hệ số của x 4 trong khai triển 2 10 ( ) (3 2 1)f x x x   3. Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau 28 3 15 ) ( ) ( ) n a f x x x x   biết rằng 12 78 nn nn CC   với x>0. b) 7 3 4 1 ( ) ( )f x x x  với x>0 4. Giả sử n là số nguyên dương và 01 (1 ) . nn n x a a x a x     . Biết rằng tồn tại số nguyên k ( 11kn )sao cho 11 2 9 24 k k k a a a   . Tính n=? 5. Tìm hệ số chứa x 8 trong khai triển nhị thứ Newton của 5 3 1 () n x x  , biết rằng 1 43 7( 3) nn nn C C n      6. Tìm hệ số của x 8 trong khai triển thành đa thức của [1+x 2 (1-x)] 8 . 7. Trong khai triển nhị thức 21 3 3 () ab ba  tìm hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ bằng nhau. 8. Cho n là số nguyên dương. Tính tổng 21 01 2 1 2 1 . 21 n n n n n S C C C n        9. Tìm số nguyên dương n sao cho 1 2 2 3 3 4 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2.2 3.2 4.2 . (2 1)2 2005 nn n n n n n C C C C n C              10. Tìm hệ số của x 7 trong khai triển thành đa thức của (2-3x) 2n , biết n là số nguyên dương thỏa mãn 1 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 . 1024 n n n n n C C C C           . 11. Giả sử 2 0 1 2 (1 2 ) . nn n x a a x a x a x      , biết rằng 01 . 729 n a a a    . Tìm n và số lớn nhất trong các số a 0 ,a 1 ,…,a n . 12. Cho tập A có n phần tử . Tìm n biết rằng trong số các tập con của A có đúng 16n tập con có số phần tử lẻ. 13. Tính tổng 1 2 2 2 2 . n n n n S C C n C    . 14. Cho 1 2 0 2.4.6 (2 2)2 (1 ) 1.3.5 (2 1)(2 1) n nn I x dx nn       . Hãy tính tổng sau 1 2 3 1 1 1 ( 1) 1 . 3 5 7 2 1 n n n n n n S C C C C n         15. Tính các tổng sau 1 3 2 3 3 3 23 0 1 2 3 1 1 2 2 3 3 ) 2 3 . 2 2 2 ) . 3 4 1 ) 3 2 3 3 3 . n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a S C C C n C b S C C C C C n c S C C C nC                     16. .Với mỗi n là một số tự nhiên,hãy tính tổng: 0 1 2 2 3 3 1 1 1 1 2 2 2 . 2 2 3 4 1 nn n n n n n C C C C C n       Bổ sung các tính chất Chứng minh các đẳng thức sau: 1 11 1 1 1 11 21 2 1 2 3 4 4 1) 2) 3) 4) 2 (2 ) 5) 4 6 4 (4 ) k k k n n n kk nn k k k n n n k k k k n n n n k k k k k k n n n n n n A kA A kC nC C C C C C C C k n C C C C C C k n                             6) mọi n≥2 ta ln có: 2 2 2 23 1 1 1 1 . n n A A A n      7) Tính giá trị của biểu thức 43 1 3 ( 1)! nn AA M n     biết 2 2 2 2 1 2 3 4 2 2 149 n n n n C C C C         8. Tính tổng 2 1 1 1 1 2 . . pn n n n n pn n n n C C C S C p n C C C        . NHỊ THỨC NEWTON 1. Công thức Newton Định lí: 0 1 1 2 2 2 1 1 ( ) . n n n n n n n n n n n. nn CC và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm x và n?. 7)Trong khai triển nhị thức 28 3 15 n x x x       , hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x ,