Tổng hợp Nhị thức newton (niu ton) lý thuyết và bài tập
Trang 1Phần I: lý do chọn đề tài
1.Cơ sở lý luận:
Nhị thức Niu tơn là một phần kiến thức cơ bản trong chơng trình giải tích lớp 12 Nhị thức Niutơn có nhiều ứng dụng trong các dạng toán để ôn thi đại học, ôn thi học sinh giỏi Và các dạng toán ứng dụng của Nhị thức Niutơn thờng
là các dạng toán khó và hay có trong các câu và của đề thi tuyển sinh đại học Học sinh học các dạng toán này thờng thì không biết bắt đầu từ đâu để giải quyết bài toán
2.Cơ sở thực tiễn:
Xuất phát từ quá trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân, và những kinh nghiệm có đợc trong quá trình dạy học, dạy học sinh ôn thi tuyển sinh vào đại học, ôn thi học sinh giỏi, tôi tổng kết đợc những dạng toán cơ bản của Nhị thức Niutơn và ứng dụng của Nhị thức Niutơn
3.Mục đích nghiên cứu đề tài:
Nghiên cứu đề tài Nhị thức Niutơn và ứng dụng của Nhị thức Niutơn nhằm mục đích là nâng cao kiến thức của mình về vấn đề này và hơn thế nữa để sử dụng nó trong quá trình dạy học sinh ôn thi tuyển sinh đại học và ôn thi học sinh giỏi
4.Phơng pháp nghiên cứu đề tài:
-Nêu kiến thức cơ bản của nhị thức Niutơn
-Phân dung bài tập cơ bản
-Trong mỗi dạng bài tập cơ bản đều có ví dụ minh hoạ
-Sau các ví dụ minh hoạ là các chú ý, nhận xét, phơng pháp giải của từng dạng
-Cuối cùng là các ví dụ luyện tập, hớng dẫn và bài tập tự luyện
4-Nội dung cơ bản của đề tài:
Phần 1: Các kiến thức cơ bản của Nhị thức Niu tơn
Phần 2: Các dạng bài tập liên quan (áp dụng)
Dạng 1 Viết khai triển nhị thức Niutơn Sử dụng khai triển đó tính tổng Dạng 2: Tìm hệ số, số hạng trong khai triển.
+Phơng pháp chung
1
Trang 2+Sau ví dụ là các chú ý, nhận xét, phơng pháp giải.
+Bài tập tự luyện tập
5-Định hớng nghiên cứu đề tài:
Từ các dạng bài toán cơ bản của nhị thức Niutơn và các ứng dụng có thể
mở rộng hơn các dạng bài tập áp dụng của nhị thức Niutơn với các dạng bài tập khcs với mức độ khó và sâu hơn nhất là các dạng toán tính tổng, chứng minh
đẳng thức k
n
C sử dụng đạo hàm và tích phân hay giải phơng trình, bất phơng trình…
Trang 3+ Tổng các số mũ của a, b trong mỗi số hạng bằng n.
+ Các hệ số của khai triển lần lợt là:
C0
n; C1 ; C2 ; … Cn-1
n; Cn ;Với chú ý: Ck = Cn –k 0 < k < n
I Viết khai triển và tính của các biểu thức sử dụng khai triển đó:
Bài 1: Thực hiện khai triển:
(3x – 4)5
3
1
1 −+
Trang 4Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:
2001 2002 2002
2000 2001
1 2002
2001 2002
0 2002
Trang 5e: Ta có
k
k k k
C k
k
k
k k
k C
C
2001
2001 2002 2002
2002 )!
2001 (
! 2002
! 2002
)!
2001 (
)!
2002 ( )!
2002 (
! 2002
1 2000
0
2000 C 3C 2001C
II Tìm hệ số (tìm số hạng) trong khai triển
Phơng pháp: Với các yêu cầu về hệ số trong khai triển NEWTON, ta cần
Do đó: Hệ số xk trong khai triển trên là Ci
n với i là nghiệm của phơng trình
α ( n – i) +β i = k
Đặc biệt khi k = 0 đó chính là số hạng không phụ thuộc x
Ví dụ 1: Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 của kiến thức nhị thức.
Từ đó, hệ số của số hạng thứ 3 , của khai triển nhị thức là:
5
i i n n n i
b a
i n n
i
i n
b x
0
) ( 0
) ( ) ( )
n
n
x x
C x
x x
x x
x
0
3 / 2 1 2 / 5 3
/ 2 2 / 5
Trang 6Vậy thứ hạng thứ 7 đợc cho bởi
Ví dụ 2: Trong khai triển nhị thức hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x biết
Số hạng thứ k + 1 không phụ thuộc x trong khai triển
T/m
Vậy hệ số không phụ thuộc x bằng C5
12
Ví dụ 3: Cho biết ba số hạng đầu tiên của KT
Có các hệ số hạng liên tiếp của một cấp số cộng Tìm tất cả các hạng tử hữu tỷ của khai triển đó đã cho
72 ) 1 ( 36 ) 2 ( 2
! 36
2 2
n n n
n
C n
2 / 7 6
3 / 2 3 2 / 5 6
9 (x ) (x ) 84x
x x
x3 + − 28 / 15
12
0 156 79
2
) 1 (
⇔
=
− + +
⇔
n
n n n
n n
x x
15
28 3
) 12 ( 4
12 0 12
k k
C k
=∑
=
5 0
15
28 3
) 12 (
4 −k − k= ⇔k=
n x
2
1 (
4
+
n k
n k n n k
4 3 2
0
2
k n k n k
) 1 (
4 3 16 8 8 0
8 4
2
k
x c c x
Trang 7n đạt giá trị lớn nhất tại k = n/2
Ví dụ 5: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển (a + b)n biết rằng tổng các hệ số bằng 4096
CT : Tổng các hệ số trong khai triển (a + b)n bằng:
x x
8
35
=
k k n n k x C
1
1 1
n C
C C
n
k n k
1
1 1
n C
C C
n
k n k
)!
13 ( )!
1 (
! 12
)!
12 (
! 12
k
k k
C
C
k
k
Trang 8Từ (1) suy ra
Vậy Ck
12 đạt giá trị lớn nhất tại k = 6 và C6 = 924
Ví dụ 6: Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển.
Giải: Ta có gọi tk là số hạng thứ k + 1 trong khai triển
=
8 0
Vậy tk đạt giá trị lớn nhất tại k = 6 và có giá trị bằng
Ví dụ 7: Khai triển đa thức Px = ( 1 + 2x)12
1 12
12 12
1
12 − < ⇔ − > ⇔k <
C
C C
k k
k
2
13 1
1 2
13 1
1 12
12 12
1
12 − > ⇔ − < ⇔k < − < ⇔k >
C
C C
k k
k
8
3
2 3
C t
t
k k
k
k k
k k
3
2 3
1
3
2 3
1
1 9
1 8
8 8
) 9 ( 2 1
k t
t k k
6 1
) 9 ( 2 1
k t
t k k
2187
1792 3
2 3
k k
k
x C
x
C ( 2 ) 12 122
0 12
1 8
8
Trang 9VD9: Cho khai triÓn
1 – BiÕt tæng hai hÖ sè ®Çu vµ hai lÇn hÖ sè cña sè h¹ng thø 3 trong khai
1 )!
11 ( ) 1 (
! 12 2
)!
12 (
! 12 2
2
1 1 12
k k
k
k k
C
C a
a
k k n
k k k
) 12 ( 2
1 1
k a
a k k
3
23 1
) 12 ( 2
1 1
k a
a k k
1 ) 5
2 5
n
1
k n k k n n k
25 11
2 1 2
2 1
2 2
2
2 2
7 8
9 8
7 8 9 8
7 7 8
8
9 9 8
C C
C C
C C C C C
C
C C
n n
n n
n n n n
n n
n n
n x)
3
2 2
1 ( +
n
2 1285
27
0 11556 4
16 1285 9
) 1 ( 16 3
4 1
2
1285 9
4 2
1 2 3
2 2
1 2
1
) 3
9 (
9
4 2
1 3
2 2
1 2
1 )
3
2 2
1 (
2 2
2 1
1 0
2 2
2 1
1 0
= +
+ +
+ + +
+ +
= +
n
C C
C
x C
x C
x C
C x
n n
n n
n n n
n n n n n
n n
n n n n
k k k k
k
x C
3
2 ( ) 2
1 ( )
3
2 2
1
27 27 0
27 −
=
∑
= +
n x
) 5
2 5 ( +
Trang 10VËy n = 7 ta cã khai triÓn :
( 3 2 )
3
2 ( ) 2
1 1
27 5
4 3
2
3 2
. 2 27
27
) 1 ( 27 ) 1 ( 2 1 27
C a
a
k k k
k k
k k k
15 16 15
16 1
16
15 17 4
3
a a a
) 5
2 5 ( +
3 2 19 19 19 0
3 19 19 19 0
k k k
k
C C
9 5
3 1
2
3
190 619
3
0 2
3
190 19,
2
19 3
19 0
k m
k m
N k
N m m
m N k k
N k m
N
k m k k
N k m
N
k
N k
3 1
9
1
90 ) 1 ( 45 )!
2 ( 2
n n
3 1
5 3
5 5 10
27
28 )
Trang 11Bài 1: Với n số nguyên dơng CMR
n(n –1) 2n-2 = 2.1 C2
n + 3 2 C2
n x + + (n – 1) (n – 2) C… n-1
n ++ n(n-1) Cn
+ Lấy đạo hàm 2 vế của (1) theo x đợc (2)
+ Lấy đạo hàm 2 vế của (2) theo x đợc
11
n
k n n k x C
∑
= 0
1 0
−
=
n n k x C
2 0
) 1
k
x C k k
Trang 123
1
3 1
3
4
3 1
3 1
k k n k n n k
0
1 0
x
1 0
x C
k α
1 0
x C
k α
Trang 13Trong (2) thay x = 1 vào ta đợc kết quả
(1 + x)n + xn (1 + x)n-1 = C0
nx + C1
nx2 + C2
nx3 + +n C… nn-1 xn-1 ++ n(n+1) Cn
n xn (2)Thay x = 1 vào (2) ta đợc
k k n n
k
x C
Trang 14Lấy đạo hàm 2 vế của (2) theo biến x ta đợc
= n 2n – 2 (3n – 1)
VD6: Với n nguyên dơng hãy chứng minh
k k n n
k
x C
k 1 ) (
0
+
=∑
=
Trang 15(1 + x)n = Co
n + C1
n x + + C… n
n xn (2)Thay x = 2 vào (2) ta đợc;
n (1 + x)n-1 = C1
n + 2 C2
n x + + (n-1) C… nn-1 xn-2 + n Cn
n xn-1 (2)Thay x = 2 vào (2) ta đợc
n 3n-1 = C1
n + 4 C2
n + + ( n- 1) C… nn-1 xn-2 + n Cn
n xn-1 (3)Với mọi x và n nguyên dơng ta có
Trang 16Chú ý; Nh vậy để tính tổng có dạng hoặc
Ta lấy đạo hàm một hoặc hai lần của nhị thức Niu tơn
Bài tập luyện tập: Tính các tổng sau:
1) S1 = 2006 32005 C0
2006 + 2005 32004 C1
2006 + C2
2006 + +…HDG: + Xét khai triển (x + 1)2006 = x2006 C0
k
C k
C
2005 2006
C
2005 2006
C
2005 2006
C k
k k
5
1 2006 2006 2006 0
2005 5 )
5 (
x
k k k
.
k k
k
x k
) 99 (
2006 2006
C
2006 2006
C
2006 2006
C
2006 2006
C k
k k
x
C2006.
2006 0
∑
=
3 2006 2006 0
Trang 17k n
=
= +
0
) 1
(
1 1
1 )
1 (
1 1
) 1
(
) 1
(
1
0 1
− +
⇔
+ +
+
⇔
= +
+
= +
+
= +
n x
k
x C n
x
x C dx
x
k n k
n k n
k k n n
k n
k k n n
k n
k
k n n
1 2
1
1 3
1
2
3
2 2
2 2
1 1
2
3 1
2 0
+
−
= +
+ + +
n
C n
C C
C
n n
n
n n
n n
⇔ +
−
= +
k
n k
k n k k
n k
k
C n
1 1
) 1 ( 1
1
n n
C C
C C
n n n n
n
n
+
= +
− + + +
+ +
−
1
1 1
) 1 (
2 1 1 1 2
2 1
k
k n k n
1 3
1
1 3
1
2
3
2 2
+ + +
n
C n
C C
n
n n
n n
n n n k
k n n
k
k n
n n k k n k
x) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1
0
2 2 1
−
=
⇔
− + + +
n n
n n
n n n
n n
n n
n n
n
n
n n n
n n
n n
n
C C
C C
C
C C
C C
C C
C C
3
1 ) 1 (
3
1 3
1 3
1 3
2
3
1 ) 1 (
3
1 3
1 3
2
3
1 ) 1 (
3
1 3
1 3
1
1
2 2 1
1 0
2 2 1
0
2 2 1
0
2007 2007
C
Trang 18Ta cã
Tõ khai triÓn (1) ta cã:
(2)MÆt kh¸c:
dx x
nx du
dx dv
n
n
x x
d x dx
x
1
1 1
1
) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )
1
0
1 2
n n
k k n k n
k
k k n k n
k
C n
C C
C
k
x C x
C I
1 2
3 1 2 0
2
0
1
0 0
2
0
2 1
) 1 (
3
1 2 2
1 2 2
1 )
1 ( )
1 (
n n
n
C n
C C
1
1 2
1
) 1 (
3
1 2 2
1 2
+
= +
− + + +
−
) 2 )(
1 (
n n
k
k n n
k
hoÆc
) 1 2 (
5 3
2
4 2 1
2
) 1 (
5 3
2 1
0
+
= +
− +
− +
−
n
n n
C C
C
C
n n
n n
n
n
dx x
5
3
2
4 2
) 1 2 (
5 3
2
4 2 3
2
1 2
) 1 ( 2 1 2
2 1
2 2
) (
2 )
1 ( )
1 ( 2
1 ) 1 ( ) 1 ( 2 )
1 ( 2 ) 1 (
1 0 0
1
1 1
2 1
0 2
1 0
2 2
1 0 2
1 2 1
0
1 0 2
= +
dx n
n I
n
n n
n I
n
n I
I I n dx x
dx x x n
dx x
x n
dx x x n
x x I
n n
n n n
n
n n
n
(1)
Trang 19
k k n k n
k n
k k n k n
k n
x C x
x C x
2 0
2
0
) 1 ( )
1 (
) 1 ( )
1 (
) 1 (
5 3
1 2 ) 1 ( )
1 ( )
1
(
2 1 0
2 0
1 2
0 2 1
0 2
1
0
+
− +
− +
C
C
k
x C x
C dx
x
n n
n n
n n
k k n k n
k
k k n k n
Tõ (1) vµ (3) suy ra ®iÒu cÇn chøng minh
n n
) 1 (
1
0
1
0 2 1
0
2 1
0
1 1
2 1 1
1
1 2
+ +
n n
C C
C
C
n n n n
1 (
1 1
1
1 1
) 1 (
4
1 3
1 2
− + +
− +
−
n n
C C
C C C
n n n n
n n n
1
1 )
1 (
1
−
= +
=∫− x dx n
n n n n
n n
n
n n n n
n n n n
x C dx
x C xdx C
dx C
dx x
x C x
C x C x C C x
+ +
= +
1 0 2
1 0 2 1
0 1 1
0 0 1
0
3 3 2 2 1 0
( )
1 (
) 1
(
) 2 ( 1
) 1 (
3
1 2 1
1
3 2
) 1 (
1 2
1 0
1 0
1 1
0
3 2 1 0
2 1 1 0 0 1
0
n n
n n
n n
n n n n
n n
n
C n C
C C
n
x C
x C
x C x C dx x
+
− + +
− +
−
=
+ + + +
+
= +
2 1 1 1
1 2
1 0
+
−
= + + + +
+ +
n n
C C
C C
n n n n
n n
Trang 205 2
3 2
1 2
2 2
4 2
1 2
0
2 + + + + = + + + + n−
n n
n n
n n n
n n n
2 2
0 ) ( ) ( )
Bµi 3: Chøng minh:
1 2 2
2 2 2
2 2 2 1 2 2
0 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 )
n n
1 2 3
3
1
6
1 3
1 0
+
−
= + + +
n
C n C
C
n n n n
n
) 1 ( 2
1 2
2
) 1 (
4
1 2
1 0 1
+
= +
− + +
−
n
C n C
n
n n
n
1 5 5 1
0 5
k n
k
C
) 1 ( 2
1 2
2
) 1 (
6
1 4
1 2
+
= +
− + + +
−
n
C n C
C
n
n n
n n
) 1 ( 2
1 1
) 2 1 ( 2 1
) 1 ( ) 1 ( 2
1 )
1 (
1 0
1 2
2 1
0 2 2
1 0
+
= +
x d x dx
x x I
n
n n
1 0
1 2 1
1 0
4 1 1 0 2 2
1
0
1 2 2
5 1 3 0
2 2
2 2 2 1 0
2 2 2 1 0
1 2 ) 1 (
4 2
1 )
1 (
) 1 (
) 1
(
) (
) ( ) ( )
1
(
) 1
(
+
− + +
− +
−
−
= +
⇒
+ + +
+ +
= +
+ +
C x C
x C x xC x
x
x C x
C x C C x
x C x
C C x C C x
n n n
n n
n n n n n
n n
n
n n n n
n n n
n n n n
n n n n
n n
n n
n
n C
C C
2 2
) 1 (
6
1 4
1 2
+
− + + +
−
Trang 21I 1 ( 1 2 )n
0 −
=∫
) 1 ( 2
1 )
1 ( 2
) 1 (
6
1 4
− +
− +
−
n n
C C
C
C
n n n n
n n
dx x x
I 1 2 ( 1 2 )n
0 −
=∫
) 1 ( 3
1 2 3
3
1
9
1 6
1
3
2 1
0
+
−
= +
+ + +
n
C n c
c
c
n n n n
n
n
dx x
18 19
2 19
1 19
0
19
21
1 20
1
4
1 3
1
2
1
C C
C C
C
2001 2001
2000 2001
1 2001
2004 2005
1 2005
1 1
1
0 p m
n n
p n
p m n
p m n
p m
C = + − + + − +
+