1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

Tổng hợp Nhị thức newton (niu ton) lý thuyết và bài tập

21 9,4K 157

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 21
Dung lượng 517,5 KB

Nội dung

Tổng hợp Nhị thức newton (niu ton) lý thuyết và bài tập

Trang 1

Phần I: lý do chọn đề tài

1.Cơ sở lý luận:

Nhị thức Niu tơn là một phần kiến thức cơ bản trong chơng trình giải tích lớp 12 Nhị thức Niutơn có nhiều ứng dụng trong các dạng toán để ôn thi đại học, ôn thi học sinh giỏi Và các dạng toán ứng dụng của Nhị thức Niutơn thờng

là các dạng toán khó và hay có trong các câu và của đề thi tuyển sinh đại học Học sinh học các dạng toán này thờng thì không biết bắt đầu từ đâu để giải quyết bài toán

2.Cơ sở thực tiễn:

Xuất phát từ quá trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân, và những kinh nghiệm có đợc trong quá trình dạy học, dạy học sinh ôn thi tuyển sinh vào đại học, ôn thi học sinh giỏi, tôi tổng kết đợc những dạng toán cơ bản của Nhị thức Niutơn và ứng dụng của Nhị thức Niutơn

3.Mục đích nghiên cứu đề tài:

Nghiên cứu đề tài Nhị thức Niutơn và ứng dụng của Nhị thức Niutơn nhằm mục đích là nâng cao kiến thức của mình về vấn đề này và hơn thế nữa để sử dụng nó trong quá trình dạy học sinh ôn thi tuyển sinh đại học và ôn thi học sinh giỏi

4.Phơng pháp nghiên cứu đề tài:

-Nêu kiến thức cơ bản của nhị thức Niutơn

-Phân dung bài tập cơ bản

-Trong mỗi dạng bài tập cơ bản đều có ví dụ minh hoạ

-Sau các ví dụ minh hoạ là các chú ý, nhận xét, phơng pháp giải của từng dạng

-Cuối cùng là các ví dụ luyện tập, hớng dẫn và bài tập tự luyện

4-Nội dung cơ bản của đề tài:

Phần 1: Các kiến thức cơ bản của Nhị thức Niu tơn

Phần 2: Các dạng bài tập liên quan (áp dụng)

Dạng 1 Viết khai triển nhị thức Niutơn Sử dụng khai triển đó tính tổng Dạng 2: Tìm hệ số, số hạng trong khai triển.

+Phơng pháp chung

1

Trang 2

+Sau ví dụ là các chú ý, nhận xét, phơng pháp giải.

+Bài tập tự luyện tập

5-Định hớng nghiên cứu đề tài:

Từ các dạng bài toán cơ bản của nhị thức Niutơn và các ứng dụng có thể

mở rộng hơn các dạng bài tập áp dụng của nhị thức Niutơn với các dạng bài tập khcs với mức độ khó và sâu hơn nhất là các dạng toán tính tổng, chứng minh

đẳng thức k

n

C sử dụng đạo hàm và tích phân hay giải phơng trình, bất phơng trình…

Trang 3

+ Tổng các số mũ của a, b trong mỗi số hạng bằng n.

+ Các hệ số của khai triển lần lợt là:

C0

n; C1 ; C2 ; … Cn-1

n; Cn ;Với chú ý: Ck = Cn –k 0 < k < n

I Viết khai triển và tính của các biểu thức sử dụng khai triển đó:

Bài 1: Thực hiện khai triển:

(3x – 4)5

3

1

1 −+

Trang 4

Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:

2001 2002 2002

2000 2001

1 2002

2001 2002

0 2002

Trang 5

e: Ta có

k

k k k

C k

k

k

k k

k C

C

2001

2001 2002 2002

2002 )!

2001 (

! 2002

! 2002

)!

2001 (

)!

2002 ( )!

2002 (

! 2002

1 2000

0

2000 C 3C 2001C

II Tìm hệ số (tìm số hạng) trong khai triển

Phơng pháp: Với các yêu cầu về hệ số trong khai triển NEWTON, ta cần

Do đó: Hệ số xk trong khai triển trên là Ci

n với i là nghiệm của phơng trình

α ( n – i) +β i = k

Đặc biệt khi k = 0 đó chính là số hạng không phụ thuộc x

Ví dụ 1: Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 của kiến thức nhị thức.

Từ đó, hệ số của số hạng thứ 3 , của khai triển nhị thức là:

5

i i n n n i

b a

i n n

i

i n

b x

0

) ( 0

) ( ) ( )

n

n

x x

C x

x x

x x

x

0

3 / 2 1 2 / 5 3

/ 2 2 / 5

Trang 6

Vậy thứ hạng thứ 7 đợc cho bởi

Ví dụ 2: Trong khai triển nhị thức hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x biết

Số hạng thứ k + 1 không phụ thuộc x trong khai triển

T/m

Vậy hệ số không phụ thuộc x bằng C5

12

Ví dụ 3: Cho biết ba số hạng đầu tiên của KT

Có các hệ số hạng liên tiếp của một cấp số cộng Tìm tất cả các hạng tử hữu tỷ của khai triển đó đã cho

72 ) 1 ( 36 ) 2 ( 2

! 36

2 2

n n n

n

C n

2 / 7 6

3 / 2 3 2 / 5 6

9 (x ) (x ) 84x

x x

x3 + − 28 / 15

12

0 156 79

2

) 1 (

=

− + +

n

n n n

n n

x x

15

28 3

) 12 ( 4

12 0 12

k k

C k

=∑

=

5 0

15

28 3

) 12 (

4 −kk= ⇔k=

n x

2

1 (

4

+

n k

n k n n k

4 3 2

0

2

k n k n k

) 1 (

4 3 16 8 8 0

8 4

2

k

x c c x

Trang 7

n đạt giá trị lớn nhất tại k = n/2

Ví dụ 5: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển (a + b)n biết rằng tổng các hệ số bằng 4096

CT : Tổng các hệ số trong khai triển (a + b)n bằng:

x x

8

35

=

k k n n k x C

1

1 1

n C

C C

n

k n k

1

1 1

n C

C C

n

k n k

)!

13 ( )!

1 (

! 12

)!

12 (

! 12

k

k k

C

C

k

k

Trang 8

Từ (1) suy ra

Vậy Ck

12 đạt giá trị lớn nhất tại k = 6 và C6 = 924

Ví dụ 6: Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển.

Giải: Ta có gọi tk là số hạng thứ k + 1 trong khai triển

=

8 0

Vậy tk đạt giá trị lớn nhất tại k = 6 và có giá trị bằng

Ví dụ 7: Khai triển đa thức Px = ( 1 + 2x)12

1 12

12 12

1

12 − < ⇔ − > ⇔k <

C

C C

k k

k

2

13 1

1 2

13 1

1 12

12 12

1

12 − > ⇔ − < ⇔k < − < ⇔k >

C

C C

k k

k

8

3

2 3

C t

t

k k

k

k k

k k

3

2 3

1

3

2 3

1

1 9

1 8

8 8

) 9 ( 2 1

k t

t k k

6 1

) 9 ( 2 1

k t

t k k

2187

1792 3

2 3

k k

k

x C

x

C ( 2 ) 12 122

0 12

1 8

8

Trang 9

VD9: Cho khai triÓn

1 – BiÕt tæng hai hÖ sè ®Çu vµ hai lÇn hÖ sè cña sè h¹ng thø 3 trong khai

1 )!

11 ( ) 1 (

! 12 2

)!

12 (

! 12 2

2

1 1 12

k k

k

k k

C

C a

a

k k n

k k k

) 12 ( 2

1 1

k a

a k k

3

23 1

) 12 ( 2

1 1

k a

a k k

1 ) 5

2 5

n

1

k n k k n n k

25 11

2 1 2

2 1

2 2

2

2 2

7 8

9 8

7 8 9 8

7 7 8

8

9 9 8

C C

C C

C C C C C

C

C C

n n

n n

n n n n

n n

n n

n x)

3

2 2

1 ( +

n

2 1285

27

0 11556 4

16 1285 9

) 1 ( 16 3

4 1

2

1285 9

4 2

1 2 3

2 2

1 2

1

) 3

9 (

9

4 2

1 3

2 2

1 2

1 )

3

2 2

1 (

2 2

2 1

1 0

2 2

2 1

1 0

= +

+ +

+ + +

+ +

= +

n

C C

C

x C

x C

x C

C x

n n

n n

n n n

n n n n n

n n

n n n n

k k k k

k

x C

3

2 ( ) 2

1 ( )

3

2 2

1

27 27 0

27 −

=

= +

n x

) 5

2 5 ( +

Trang 10

VËy n = 7 ta cã khai triÓn :

( 3 2 )

3

2 ( ) 2

1 1

27 5

4 3

2

3 2

. 2 27

27

) 1 ( 27 ) 1 ( 2 1 27

C a

a

k k k

k k

k k k

15 16 15

16 1

16

15 17 4

3

a a a

) 5

2 5 ( +

3 2 19 19 19 0

3 19 19 19 0

k k k

k

C C

9 5

3 1

2

3

190 619

3

0 2

3

190 19,

2

19 3

19 0

k m

k m

N k

N m m

m N k k

N k m

N

k m k k

N k m

N

k

N k

3 1

9

1

90 ) 1 ( 45 )!

2 ( 2

n n

3 1

5 3

5 5 10

27

28 )

Trang 11

Bài 1: Với n số nguyên dơng CMR

n(n –1) 2n-2 = 2.1 C2

n + 3 2 C2

n x + + (n – 1) (n – 2) C… n-1

n ++ n(n-1) Cn

+ Lấy đạo hàm 2 vế của (1) theo x đợc (2)

+ Lấy đạo hàm 2 vế của (2) theo x đợc

11

n

k n n k x C

= 0

1 0

=

n n k x C

2 0

) 1

k

x C k k

Trang 12

3

1

3 1

3

4

3 1

3 1

k k n k n n k

0

1 0

x

1 0

x C

k α

1 0

x C

k α

Trang 13

Trong (2) thay x = 1 vào ta đợc kết quả

(1 + x)n + xn (1 + x)n-1 = C0

nx + C1

nx2 + C2

nx3 + +n C… nn-1 xn-1 ++ n(n+1) Cn

n xn (2)Thay x = 1 vào (2) ta đợc

k k n n

k

x C

Trang 14

Lấy đạo hàm 2 vế của (2) theo biến x ta đợc

= n 2n – 2 (3n – 1)

VD6: Với n nguyên dơng hãy chứng minh

k k n n

k

x C

k 1 ) (

0

+

=∑

=

Trang 15

(1 + x)n = Co

n + C1

n x + + C… n

n xn (2)Thay x = 2 vào (2) ta đợc;

n (1 + x)n-1 = C1

n + 2 C2

n x + + (n-1) C… nn-1 xn-2 + n Cn

n xn-1 (2)Thay x = 2 vào (2) ta đợc

n 3n-1 = C1

n + 4 C2

n + + ( n- 1) C… nn-1 xn-2 + n Cn

n xn-1 (3)Với mọi x và n nguyên dơng ta có

Trang 16

Chú ý; Nh vậy để tính tổng có dạng hoặc

Ta lấy đạo hàm một hoặc hai lần của nhị thức Niu tơn

Bài tập luyện tập: Tính các tổng sau:

1) S1 = 2006 32005 C0

2006 + 2005 32004 C1

2006 + C2

2006 + +…HDG: + Xét khai triển (x + 1)2006 = x2006 C0

k

C k

C

2005 2006

C

2005 2006

C

2005 2006

C k

k k

5

1 2006 2006 2006 0

2005 5 )

5 (

x

k k k

.

k k

k

x k

) 99 (

2006 2006

C

2006 2006

C

2006 2006

C

2006 2006

C k

k k

x

C2006.

2006 0

=

3 2006 2006 0

Trang 17

k n

=

= +

0

) 1

(

1 1

1 )

1 (

1 1

) 1

(

) 1

(

1

0 1

− +

+ +

+

= +

+

= +

+

= +

n x

k

x C n

x

x C dx

x

k n k

n k n

k k n n

k n

k k n n

k n

k

k n n

1 2

1

1 3

1

2

3

2 2

2 2

1 1

2

3 1

2 0

+

= +

+ + +

n

C n

C C

C

n n

n

n n

n n

⇔ +

= +

k

n k

k n k k

n k

k

C n

1 1

) 1 ( 1

1

n n

C C

C C

n n n n

n

n

+

= +

− + + +

+ +

1

1 1

) 1 (

2 1 1 1 2

2 1

k

k n k n

1 3

1

1 3

1

2

3

2 2

+ + +

n

C n

C C

n

n n

n n

n n n k

k n n

k

k n

n n k k n k

x) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1

0

2 2 1

=

− + + +

n n

n n

n n n

n n

n n

n n

n

n

n n n

n n

n n

n

C C

C C

C

C C

C C

C C

C C

3

1 ) 1 (

3

1 3

1 3

1 3

2

3

1 ) 1 (

3

1 3

1 3

2

3

1 ) 1 (

3

1 3

1 3

1

1

2 2 1

1 0

2 2 1

0

2 2 1

0

2007 2007

C

Trang 18

Ta cã

Tõ khai triÓn (1) ta cã:

(2)MÆt kh¸c:

dx x

nx du

dx dv

n

n

x x

d x dx

x

1

1 1

1

) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )

1

0

1 2

n n

k k n k n

k

k k n k n

k

C n

C C

C

k

x C x

C I

1 2

3 1 2 0

2

0

1

0 0

2

0

2 1

) 1 (

3

1 2 2

1 2 2

1 )

1 ( )

1 (

n n

n

C n

C C

1

1 2

1

) 1 (

3

1 2 2

1 2

+

= +

− + + +

) 2 )(

1 (

n n

k

k n n

k

hoÆc

) 1 2 (

5 3

2

4 2 1

2

) 1 (

5 3

2 1

0

+

= +

− +

− +

n

n n

C C

C

C

n n

n n

n

n

dx x

5

3

2

4 2

) 1 2 (

5 3

2

4 2 3

2

1 2

) 1 ( 2 1 2

2 1

2 2

) (

2 )

1 ( )

1 ( 2

1 ) 1 ( ) 1 ( 2 )

1 ( 2 ) 1 (

1 0 0

1

1 1

2 1

0 2

1 0

2 2

1 0 2

1 2 1

0

1 0 2

= +

dx n

n I

n

n n

n I

n

n I

I I n dx x

dx x x n

dx x

x n

dx x x n

x x I

n n

n n n

n

n n

n

(1)

Trang 19

k k n k n

k n

k k n k n

k n

x C x

x C x

2 0

2

0

) 1 ( )

1 (

) 1 ( )

1 (

) 1 (

5 3

1 2 ) 1 ( )

1 ( )

1

(

2 1 0

2 0

1 2

0 2 1

0 2

1

0

+

− +

− +

C

C

k

x C x

C dx

x

n n

n n

n n

k k n k n

k

k k n k n

Tõ (1) vµ (3) suy ra ®iÒu cÇn chøng minh

n n

) 1 (

1

0

1

0 2 1

0

2 1

0

1 1

2 1 1

1

1 2

+ +

n n

C C

C

C

n n n n

1 (

1 1

1

1 1

) 1 (

4

1 3

1 2

− + +

− +

n n

C C

C C C

n n n n

n n n

1

1 )

1 (

1

= +

=∫− x dx n

n n n n

n n

n

n n n n

n n n n

x C dx

x C xdx C

dx C

dx x

x C x

C x C x C C x

+ +

= +

1 0 2

1 0 2 1

0 1 1

0 0 1

0

3 3 2 2 1 0

( )

1 (

) 1

(

) 2 ( 1

) 1 (

3

1 2 1

1

3 2

) 1 (

1 2

1 0

1 0

1 1

0

3 2 1 0

2 1 1 0 0 1

0

n n

n n

n n

n n n n

n n

n

C n C

C C

n

x C

x C

x C x C dx x

+

− + +

− +

=

+ + + +

+

= +

2 1 1 1

1 2

1 0

+

= + + + +

+ +

n n

C C

C C

n n n n

n n

Trang 20

5 2

3 2

1 2

2 2

4 2

1 2

0

2 + + + + = + + + + n

n n

n n

n n n

n n n

2 2

0 ) ( ) ( )

Bµi 3: Chøng minh:

1 2 2

2 2 2

2 2 2 1 2 2

0 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 )

n n

1 2 3

3

1

6

1 3

1 0

+

= + + +

n

C n C

C

n n n n

n

) 1 ( 2

1 2

2

) 1 (

4

1 2

1 0 1

+

= +

− + +

n

C n C

n

n n

n

1 5 5 1

0 5

k n

k

C

) 1 ( 2

1 2

2

) 1 (

6

1 4

1 2

+

= +

− + + +

n

C n C

C

n

n n

n n

) 1 ( 2

1 1

) 2 1 ( 2 1

) 1 ( ) 1 ( 2

1 )

1 (

1 0

1 2

2 1

0 2 2

1 0

+

= +

x d x dx

x x I

n

n n

1 0

1 2 1

1 0

4 1 1 0 2 2

1

0

1 2 2

5 1 3 0

2 2

2 2 2 1 0

2 2 2 1 0

1 2 ) 1 (

4 2

1 )

1 (

) 1 (

) 1

(

) (

) ( ) ( )

1

(

) 1

(

+

− + +

− +

= +

+ + +

+ +

= +

+ +

C x C

x C x xC x

x

x C x

C x C C x

x C x

C C x C C x

n n n

n n

n n n n n

n n

n

n n n n

n n n

n n n n

n n n n

n n

n n

n

n C

C C

2 2

) 1 (

6

1 4

1 2

+

− + + +

Trang 21

I 1 ( 1 2 )n

0 −

=∫

) 1 ( 2

1 )

1 ( 2

) 1 (

6

1 4

− +

− +

n n

C C

C

C

n n n n

n n

dx x x

I 1 2 ( 1 2 )n

0 −

=∫

) 1 ( 3

1 2 3

3

1

9

1 6

1

3

2 1

0

+

= +

+ + +

n

C n c

c

c

n n n n

n

n

dx x

18 19

2 19

1 19

0

19

21

1 20

1

4

1 3

1

2

1

C C

C C

C

2001 2001

2000 2001

1 2001

2004 2005

1 2005

1 1

1

0 p m

n n

p n

p m n

p m n

p m

C = + − + + − +

+

Ngày đăng: 21/03/2014, 13:09

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w