giúp học sinh phát hiện và tránh những sai lầm trong khi giải toán về tích phân

TÊN SÁNG KIẾN GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ TRÁNH NHỮNG SAI LẦM TRONG KHI GIẢI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN  PHẦN I. MỞ ĐẦU I – Lý do chọn đề tài : Như chúng ta đã biết trong thế kỷ 21 này, đầu các thập kỷ của thế kỷ này muốn công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nước thì phải nhanh chóng tiếp thu khoa học và kỹ thuật hiện đại của thế giới. Do sự phát triển như vũ bão của khoa học, kỹ thuật và công nghệ, kho tàng kiến thức của nhân loại tăng lên nhanh chóng. Cái mà hôm nay còn là mới thì ngày mai đã trở thành lạc hậu. Nhà trường không thể nào luôn luôn cung cấp cho học sinh những hiểu biết cập nhật được. Điều quan trọng là phải trang bị cho các em năng lực tự học, tự tiếp thu kiến thức để có thể tự mình tìm kiếm những kiến thức khi cần thiết trong tương lai. Sự phát triển của nền kinh tế thị trường, sự xuất hiện nền kinh tế tri thức trong tương lai đòi hỏi người lao động phải thực sự năng động, sáng tạo và có những phẩm chất thích hợp để bươn chải vươn lên trong cuộc cạnh tranh khốc liệt này. Việc thu thập thông tin, dữ liệu cần thiết ngày càng trở lên dễ dàng nhờ các phương tiện truyền thông tuyên truyền, máy tính, mạng internet .v.v. Do đó, vấn đề quan trọng đối với con người hay một cộng đồng không chỉ là tiếp thu thông tin, mà còn là xử lý thông tin để tìm ra giải pháp tốt nhất cho những vấn đề đặt ra trong cuộc sống của bản thân cũng như của xã hội. Như vậy yêu cầu của xã hội đối với việc dạy học trước đây nặng về việc truyền thụ kiến thức thì nay đã thiên về việc hình thành những năng lực hoạt động cho học sinh. Để đáp ứng yêu cầu mới này cần phải thay đổi đồng bộ các thành tố của quá trình dạy học về mục tiêu, nội dung, phương pháp, hình thức tổ chức, phương tiện, cuối cùng là khâu kiểm tra đánh giá. - Hiện nay mục tiêu giáo dục cấp THPT đã được mở rộng, các kiến thức và kỹ năng được hình thành và củng cố để tạo ra 4 năng lực chủ yếu : + Năng lực hành động + Năng lực thích ứng + Năng lực cùng chung sống và làm việc - 1 - + Năng lực tự khẳng định mình. Trong đề tài này tôi quan tâm để đi khai thác đến 2 nhóm năng lực chính là "Năng lực cùng chung sống và làm việc" và "Năng lực tự khẳng định mình" vì kiến thức và kỹ năng là một trong những thành tố của năng lực học sinh. Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học, tôi đã phát hiện ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn kém trong đó có rất nhiều học sinh(45 → 55 %) chưa thực sự hiểu kỹ về khái niệm và làm bài toán về nguyên hàm - tích phân và trong khi thực hiện các phép toán về tích phân rất hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục đích, tôi thấy học sinh nhận đề bài khi làm về tích phân được các thầy cô giáo phát đề song thường có thói quen đọc qua loa là làm ngay tức khắc, miễn là áp dụng đúng công thức là được, điều đó là tình trạng trung của học sinh ngày nay, khi gặp những bài toán về tích phân không theo công thức nào, một dạng nào cả thì học sinh hết sức lúng túng .Việc giúp học sinh phát hiện và nhìn nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là một công việc vô cùng cần thiết và cấp bách nó mang tính đột phá và mang tính thời cuộc rất cao, giúp các em có một năng lực thực sự am hiểu vững chắc về lượng kiến thức tích phân tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này. II – Mục đích nghiên cứu : - Do thời gian có hạn nên tôi nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích như sau : + Giúp giáo viên toán THPT quan tâm hơn đến một phương pháp dạy học tích cực rất dễ thực hiện. + Giúp giáo viên toán THPT nói chung và giáo viên dạy toán 12 THPT nói riêng có thêm thông tin về Phương pháp dạy học tích cực này nhằm giúp họ dễ ràng phân tích để đưa ra biện pháp tối ưu khi áp dụng phương pháp vào dạy học và trong sáng kiến này cũng tạo cơ sở để các Giáo viên khác xây dựng sáng kiến khác có phạm vi và quy mô xuyên suốt hơn. + Qua sáng kiến này tôi muốn đưa ra một số lỗi mà học sinh hay mắc phải trong quá trình lĩnh hội kiến thức ở chương NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN để từ đó có thể giúp học sinh khắc phục các lỗi mà các em hay mắc phải trong quá trình giải bài tập hoặc trong thi cử, kiểm tra … Cũng qua sáng kiến này tôi muốn giúp Giáo viên toán 12 có thêm cái nhìn mới sâu sắc hơn, chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về nguyên hàm – tích phân cho học sinh để từ đó khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ tư duy - 2 - lôgic của học sinh giúp học sinh phát triển khả năng tiềm tàng trong con người học sinh. + Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinh nghiệm để làm luận cứ cho phương pháp dạy học mới của tôi những năm tiếp theo. III – Phạm vi nghiên cứu: Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số “Nhóm sai lầm” mà học sinh thường mắc phải trong quá trình làm bài tập về tích phân và ứng dụng của tích phân trong chương III – Giải tích 12. Phát hiện sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy được những lập luận sai hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác. Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải bài toán về tích phân và ứng dụng. Cho nên khi cầm bút viết đề tài này tôi cũng còn rất nhiều nỗi băn khoăn trăn trở và còn nhận thấy ở điều nữa là : + Các bạn học sinh thấy đó trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, Trung cấp chuyên nghiệp của các năm bài toán tích phân hầu như không thể thiếu, nhưng đối với học sinh THPT bài toán tích phân là một trong những bài toán khó vẫn cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất, các phương pháp tính của tích phân ( đổi biến số - từng phần ).Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số, tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai. Qua thực tế, giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: “GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ TRÁNH NHỮNG SAI LẦM TRONG KHI GIẢI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN ”. Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung. + Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung, tính phức tạp hóa gây nên sự trở ngại cho học sinh trong quá trình tiếp cận với tích phân. Cùng với sự tích luỹ kinh nghiệm có được của bản thân qua một số năm giảng dạy. Kết hợp với những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội được trong chương trình học Đại học - 3 - Toán mà đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của các thầy cô giáo ; sự học hỏi từ phía các đồng nghiệp trong cơ quan. Mặt khác tích phân là khái niệm chỉ xuất hiện ở lớp 12, tức là cuối chương trình phổ thông trung học mà học sinh được học ở môn toán, khái niệm rất là mới, sách giáo khoa trình bày rất là trừu tượng , lúc đầu học sinh rất lúng túng về cách hiểu, cộng với công thức phải học thuộc vận dụng vào bài tập rất nhiều, kiến thức thì đa dạng , nhiều bài tập đòi hỏi tư duy rất cao, có những bài tập phối hợp các kiến thức phổ thông trước đây. Chúng tôi từng dậy những em học lực trung bình , yếu kết quả thu được học ở nguyên hàm - tích phân gặp rất nhiều khó khăn, vì những đối tượng học sinh này hầu như đã quên, hỏng kiến thức. - 4 - PHẦN II. NỘI DUNG * Phần lý thuyết cần nêu tóm tắt như sau: - Khi dạy học về khái niệm tích phân hoặc các bài về tích phân, các thầy - cô giáo rất là băn khoăn về dạy khái niệm thế nào để học sinh của mình hiểu, nắm chắc kiến thức cần truyền đạt. Đó cũng là mục đích nhỏ mà tôi muốn khai thác một phần – chỉ một phần thôi. Như các thầy cô đã biết kiến thức tích phân là rất rộng , mà lại còn khó dạy, học sinh có em tiếp thu được ngay, bên cạnh có những em thầy dạy rồi nhưng khi hỏi lại thì rất lúng túng trả lời. Chính vì lẽ đó tôi nêu một phần lý thuyết giảng dạy như sau : Trong thực tiễn ta thường gặp những hình phẳng được giới hạn bởi những đường cong, chẳng hạn bờ biển cong, cánh cổng có vòm parabol, Vấn đề đặt ra là tính diện tích những hình phẳng đó như thế nào, để quy về tính diện tích một hình thang cong như thế nào ? +) Tiếp cận phương pháp giải quyết vấn đề: Xét một trường hợp cụ thể : hình thang cong được giới hạn bởi các đường : 2 0; 1; 0y y x x= = + = và x = 4. - Tính gần đúng diện tích của nó bằng các cách sau: Cách 1 : Thay cạnh cong của nó bằng cạnh thẳng. Cách 2 : Chia đôi hình thang cong bằng đường trung bình song song với trục tung Oy và tính mỗi nửa của nó theo cách 1. Cách 3 : Chia đôi tiếp mỗi nửa ở trên, lặp lại cách 2. - Trong ba cách trên, kết quả nào phản ánh chính xác hơn diện tích hình thang cong cần tính? - Có thể tính kết quả chính xác hơn nữa được không, bằng cách nào? +) Giải quyết vấn đề: - Theo tôi khi dạy học bài tích phân, cần chia ra các hoạt động nhỏ như sau: + Hoạt đông 1: Gợi vấn đề. Đó là diện tích hình thang cong Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường ( Nhấn mạnh đã nêu một phần ở nguyên hàm ) y = f (x) > 0; y = 0; x = a; x = b ( a < b ), kí hiệu là [ ] ;a b T . Trong đó f(x) là hàm số liên tục, đồng biến trên khoảng ( ) ;a b .Với mỗi điểm [ ] ;x a b∈ , gọi S(x) là diện tích hình thang cong [ ] ;a x T . Xét hai điểm x , ( ) 0 ;x a b∈ ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 S x S x f x f x x x − < < − Suy ra : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 lim x x S x S x f x x x → − = − , hay ( ) ( ) 0 0 'S x f x= . - Phát biểu kết quả tìm được: - 5 - y=x 2 +1 17 10 5 2 4 3 2 1 O y x Vậy S(x) là một nguyên hàm của f(x) Từ đó ta có diện tích của [ ] ;a b T là S(b) – S(a), kí hiệu là ( ) x b a f x d ∫ + Hoạt động 2 (Kiểm nghiệm) : Kiểm nghiệm bằng diện tích hình chữ nhật, hình thang, nửa đường tròn. Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn [ ] ;a b . Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành Ox và hai đường thẳng x = a, x= b là S = ( ) x b a f x d ∫ + Hoạt động 3 : Định nghĩa tích phân như sau Cho hàm số f(x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân của f(x) từ a đến b và kí hiệu là ( ) x b a f x d ∫ a < b, ta gọi ( ) x b a f x d ∫ là tích phân của f (x) trên đoạn [ ] ;a b Dùng kí hiệu ( ) b a F x để chỉ hiệu số F(b) – F(a) . Như vậy nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì ( ) x b a f x d ∫ = ( ) b a F x Vì ( ) xf x d ∫ là một nguyên hàm bất kỳ của f(x) nên ta có ( ) x b a f x d ∫ = ( ( ) xf x d ∫ ) b a Trong đó : a, b là hai cận tích phân, số a là cận dưới, số b là cận trên, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và x là biến số lấy tích phân. • Chú ý: ( ) ( ) ( ) ; ; b b b a a a f t dt f u du f y dy ∫ ∫ ∫ đều là một số và số đó bằng F(b) – F(a) ⇒ tính chất: tích phân không phụ thuộc vào biến số lấy tích phân + Hoạt động 4: Nêu các tính chất của tích phân như sau Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K . Khi đó ta có 1) Tính chất 1: ( ) x 0 a a f x d = ∫ - 6 - 2) Tính chất 2 : ( ) ( ) x x b a a b f x d f x d= − ∫ ∫ 3) Tính chất 3 : ( ) ( ) ( ) x x x b c c a b a f x d f x d f x d+ = ∫ ∫ ∫ với a < b < c 4) Tính chất 4 : ( ) ( ) ( ) ( ) x x x b b b a a a f x g x d f x d g x d   + = +  ∫ ∫ ∫ 5) Tính chất 5 : ( ) ( ) . x x b b a a k f x d k f x d= ∫ ∫ với k ∈¡ + Hoạt động 5 : Các phương pháp tính tích phân 1) Phương pháp đổi biến số Cơ sở của phương pháp đổi biến số là công thức sau đây Trong đó hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) liên tục và sao cho hàm hợp ( ) f u x     xác định trên K; a và b là hai số thuộc K. Cách 1: Giả sử ta cần tính ( ) . b a g x dx ∫ . Nếu ta viết được g(x) dưới dạng ( ) ( ) . 'f u x u x     , thì theo công thức (1) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) . u b b a u a g x dx f u du= ∫ ∫ Vậy bài toán quy về tính ( ) ( ) ( ) u b u a f u du ∫ Cách 2 : Giả sử ta cần tính ( ) .f x dx β α ∫ . Đặt x = x(t) ( t K∈ ) và a, b ∈ K thỏa mãn ( ) ( ) ,x a x b α β = = thì công thức (1) cho ta : ( ) ( ) ( ) . ' . b a f x dx f x t x t dt β α   =  ∫ ∫ Vậy bài toán quy về tính ( ) . b a g t dt ∫ ( ở đó ( ) ( ) ( ) . 'g t f x t x t   =   ) 2) Phương pháp tích phân từng phần Cơ sở của phương pháp này là công thức sau đây - 7 - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' . . ' 2 b b b a a a u x v x dx u x v x v x u x dx   = −  ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' . . 1 u b b a u a f u x u x dx f u du   =   ∫ ∫ Trong đó các hàm số u, v có đạo hàm liên tục trên K và a, b là hai số thuộc K. Công thức (2) gọi là công thức tích phân từng phần và còn được viết dưới dạng: ( ) . . . b b b a a a u dv u v v du= − ∫ ∫ Đó là một phần lý thuyết gợi mở để học sinh các em có phần hứng thú của mình hơn. Đặc biệt làm cho đề tài này tôi viết càng được tâm đắc hơn nữa giúp ích cho công việc học lý thuyết gắn kết với thực hành ở dưới đây như sau. Cụ thể tôi muốn dẫn dắt : * Phần thực hành làm rõ cho đề tài như sau : I/ Vấn đề I : Phát hiện các dạng sai lầm khi tính các tích phân: 1- Tránh những câu hỏi đáp của giáo viên và học sinh khi dạy và học 1.1.Bài toán 1: Tính tích phân sau đây 2 0 sinx x sinx osx d c π + ∫ *Phát hiện vấn đề như sau : - Dưới dấu tích phân gồm những hàm số nào ? ( Câu hỏi bình thường ) - Có nhận xét gì về hàm số dưới dấu tích phân ? ( Câu hỏi khó, không rõ ràng, học sinh biết nhận xét thế nào ?) - Nếu đổi biến số: x = π - t, ta được tích phân nào ? (Câu hỏi theo cách “dắt tay chỉ việc”) * Giúp học sinh sửa lại cho đúng là : Nếu tính được tích phân “liên kết” với tích phân này, nghĩa là nếu tính được tích phân 2 0 cos x sinx osx x d c π + ∫ ( tổng hai hàm số dưới dấu tích phân bằng 1 ) thì có tính được tích phân đã cho hay không ? Ngoài tính chất liên kết nói trên, hãy phát hiện hai tích phân này còn có quan hệ gì khác. * Lời giải bài toán : Học sinh có thể tự giải Suy ra: kết luận 2 – Phát hiện đổi biến số nhưng không đổi cận - 8 - 2.1.Bài toán 2: Tính tích phân sau đây dxxI ∫ −= π 0 2 1 + Hướng dẫn : • Phát hiện lời giải sai của học sinh là : Đặt x = sint suy ra dx = cost.dt Do đó 4 1 82 2cos1 cos.cos.sin11 4 0 4 0 2 4 0 2 0 2 += + ==−=−= ∫∫∫∫ π πππ π dt t tdtdtttdxxI • Giúp học sinh có lời giải đúng như sau : Đặt x = sint suy ra dx = cost.dt + Đổi cận số của tích phân :      =⇒= =⇒= tx tx 4 arcsin 4 00 ππ • Dođó       += + ==−= −= ∫∫∫ ∫ 4 arcsin2sin 4 1 4 arcsin 2 1 2 2cos1 cos.cos.sin1 1 4 arcsin 0 4 arcsin 0 2 4 arcsin 0 2 4 0 2 ππ πππ π dt t tdtdtttI dxxI Kết luận: Học sinh cần nhớ các bước giải tích phân: đổi biến số, tính vi phân, đổi cận 3 – Phát hiện khi đổi biến không tính vi phân 3.1.Bài toán 3 : Tính tích phân sau đây ( ) ∫ + = 1 0 2 12x dx I + Hướng dẫn : • Phát hiện lời giải sai của học sinh là : Đặt t = 2x + 1 - Đổi cận của tích phân :    =⇒= =⇒= 10 31 tx tx Do đó ( ) 81 20 1 3 1 4 1 4 12 4 3 1 4 3 1 5 1 0 2 =       −−=−== + = − ∫∫ t t dt x dx I • Giúp học sinh có lời giải đúng như sau : Đặt t = 2x + 1 suy ra dt = 2.dx - Đổi cận của tích phân :    =⇒= =⇒= 10 31 tx tx Do đó ( ) 81 10 1 3 1 8 1 82 1 12 4 3 1 4 3 1 5 1 0 2 =       −−=−== + = − ∫∫ t t dt x dx I 4 – Phát hiện tính nguyên hàm sai , hiểu sai bản chất công thức 4.1.Bài toán 4 : Tính tích phân sau đây dxexI x ∫ = 2 0 . - 9 - + Hướng dẫn : • Phát hiện lời giải sai của học sinh là : Đặt :    = = ⇒    = = xx ev u ev xu 1' ' Từ đó 1 2 2 0 2 0 2 0 +=−== ∫∫ edxeexdxexI xxx • Giúp học sinh có lời giải đúng như sau : Đặt :    = = ⇒    = = xx ev dxdu edv xu Từ đó 1 2 2 0 2 0 2 0 +=−== ∫∫ edxeexdxexI xxx + Kết luận: Trong bài toán trên học sinh sai ở ký hiệu ' x x v e dv e dx= → = 5– Phát hiện học sinh cách hiểu giới hạn của hàm số chưa rõ ràng 5.1.Bài toán 5 : Tính tích phân 0 1 s dx I inx π = + ∫ • Phát hiện sai lầm thường gặp ở học sinh Đặt ( ) 2 2 2 2 1 1 tan ; 2 1 1 sin 1 x dt t t dx t x t + = ⇒ = = + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 sin 1 1 dx dt t d t C x t t − ⇒ = = + + = − + + + + ∫ ∫ ∫ 0 0 2 2 2 1 sin tan 0 1 tan 1 tan 1 2 2 dx I x x π π π − − ⇒ = = = − − + + + + ∫ Do tan 2 π không xác định nên tích phân trên không tồn tại . • Phát hiện nguyên nhân sai lầm ở học sinh là : Do tích phân là giới hạn của tổng vô hạn các hạng tử nên 2 2 0 tan 1 2 π − − = = ∞ + vẫn được thừa nhận . • Giúp học sinh có lời giải đúng như sau : - 10 - [...]... với học sinh : Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0 10- Phát hiện các sai lầm thông thường ở học sinh khi giải các bài toán sau: Đó là những sai lầm liên quan tới sự hiểu biết không đúng các khái niệm và vận dụng sai các định lý, quy tắc 0 10.1 Bài toán 13 Tính tích phân sau đây ∫ ( x + 1) 2 dx −2 * Phát hiện lời giải. .. dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích – diễn giải – quy nạp – tổng hợp một bài toán tích phân từ hàm số dưới dấu tích phân, cận của tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở tôi đưa ra phát hiện những vấn đề sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận ,trong các bước tính tích phân này rồi từ đó hướng cho các em đi đến lời giải đúng - 28 - Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và. .. đề III : Phát hiện các dạng sai lầm khi tính diện tích hình phẳng bằng tich phân III.1 Vấn đề : Phát hiện sai lầm khi tính diện tích hình phẳng bằng tich phân 1.Kiến thức chung - Cho hàm số f(x) khả tích trên đoạn [ a; b] Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi : Ox , b y = f(x) và x = a , x = b là : S = ∫ f ( x ) dx a 2 Phát hiện những sai lầm thường gặp sau đây 2.1 Phát hiện thấy giải bài toán chưa... thức cần thiết về lôgic sẽ mắc sai lầm trong suy luận và từ đó dẫn đến các sai lầm khi giải toán 1.4 Nguyên nhân 4 Học sinh không nắm vững phương pháp giải các bài toán cơ bản - Học sinh không nắm vững phương pháp giải của các bài toán cơ bản thì dẫn tới sai lầm trong lời giải - Không nắm vững phương pháp giải, học sinh không nghĩ được đủ các khả năng cần xét và dẫn tới đặt điều kiện sai - Không nắm... làm sáng tỏ, hiểu kỹ hơn về tích phân và ứng dụng tích phân Hy vọng nó giúp ích nhiều cho các em học sinh lớp 12, đặc biệt là trong các kỳ thi tốt nghiệp và luyện thi đại học học tốt phần tích phân I/ Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm: 1/Kết quả từ thực tiễn: Ban đầu học sinh gặp gặp rất nhiều khó khăn nhất định trong việc giải những dạng toán về tích phân - ứng dụng tích phân như đã nêu.Tuy nhiên... hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm trước thì các em đã thận trọng hơn rất nhiều ; luôn luôn cân nhắc các bài toán trước khi và sau khi phát hiện, khi tìm và trình bày lời giải và đã giải được một lượng lớn bài tập đó 2/Kết... phần nguyên hàm, tích phân, ứng dụng tích phân trong chương trình lớp 12 là một trong những phần trọng tâm, thường xuyên xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp và tuyển sinh đại học, cao đẳng, trung cấp chuyên nghiệp diễn ra ở hằng năm Tuy nhiên khi tiếp cận với những dạng toán này học sinh thường lúng túng và gặp nhiều sai lầm Tài liệu này chỉ ra những lỗi hay mắc phải đó và cách khắc phục giúp cho các em... 0 * Giúp học sinh phân tích sai lầm: Lời giải sai lầm khi biến đổi biểu thức 2 x x x x   sin + cos ÷ = sin + cos 2 2 2 2  3π 2 2π x π x π = −2 2cos  + ÷ + 2 2cos  + ÷ 2 4 0  2 4  3π 2 = 2 2 +2−2+2 2 = 4 2 7 – Phát hiện học sinh còn thiếu xót trong áp dụng công thức 0 dx x + 2x + 2 −1 7.1.Bài toán 8 : Tính tích phân sau đây : I = ∫ 2 • Phát hiện việc thiếu sót thường gặp ở học sinh : 0... α  2 2 2  2sin α * Qua việc khai thác các bài toán nêu ở trên cho thấy chúng tôi đi phân tích các nguyên nhân dẫn tới sai lầm của học sinh lớp 12 khi giải toán về tích phân Chúng tôi chủ yếu nghiên cứu những nguyên nhân về kiến thức của học sinh đã dẫn tới sai lầm 1.1.Nguyên nhân 1: Hiểu không đầy đủ và chính xác các thuộc tính của các khái niệm toán học Chúng tôi xin lưu ý tới nguyên nhân này vì... này để học sinh được tìm tòi về những sai lầm thường mắc khi giải toán để các em có thể tránh được những sai lầm đó trong khi làm bài tập Đề tài này tôi đã rất cố gắng viết và thực hiện xong vẫn không tránh khỏi những khi m khuyết mong các quý vị độc giả lượng thứ Nếu chỗ nào còn chưa phù hợp , mắc sai sót kính mong các đồng chí – đồng nghiệp góp ý chân thành cho tôi Đề tài nguyên hàm - tích phân - ứng . “GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ TRÁNH NHỮNG SAI LẦM TRONG KHI GIẢI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN ”. Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán tích. “Nhóm sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình làm bài tập về tích phân và ứng dụng của tích phân trong chương III – Giải tích 12. Phát hiện sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học. Phát hiện các dạng sai lầm khi tính các tích phân: 1- Tránh những câu hỏi đáp của giáo viên và học sinh khi dạy và học 1.1.Bài toán 1: Tính tích phân sau đây 2 0 sinx x sinx osx d c π + ∫ *Phát