TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC KHOA: TOÁN – LÝ – TIN +++ ++++ Sinh Viên: TrÇn V¨n T×nh TrÇn V¨n T×nhTrÇn V¨n T×nh TrÇn V¨n T×nh Lớp: K48 ĐHSP Vật Lý GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG Chuyên ngành: Vật lý Đại Cương Sơn la, tháng 05 năm 2010 TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c 2 PHẦN MỘT: LỜI NÓI ĐẦU Trong quá trình học tập giải bài tập là một khâu quan trọng không thể thiếu. Tuy nhiên đứng trước mỗi bài tập, điều khó khăn nhất đối với người học là lựa chọn cách giải nào cho phù hợp để đi tới kết quả đúng và dựa trên cơ sở nào để lựa chọn phương pháp này. Trong phần cơ học, đã có nhiều tài liệu tham khảo viết về việc giải bài toán động lực học, nhưng hầu hết các tài liệu đó đều vận dụng các định luật Newtơn (tức là dùng phương pháp động lực học) để giải, cách giải này hay, tuy nhiên trong nhiều bài toán cụ thể thì phương pháp năng lượng lại tỏ ra hiệu quả hơn. Bài toán động lực học là bài toán về quan hệ giữa lực, khối lượng và gia tốc của vật chuyển động. Trong bài toán động lực học ngoài sự có mặt của các đại lượng động học như s , o v , t v , a và t còn có sự tham gia của các đại lượng động lực học như F và m . Về nguyên tắc nếu ta biết cách liên hệ vận tốc, gia tốc và độ dịch chuyển của vật theo thời gian trong một chuyển động bất kì, thì để giải bài toán động lực học ta chỉ cần biết các định luật Newtơn, phương pháp này chỉ đơn giản đối với chuyển động biến đổi đều. Còn trong tất cả các trường hợp khác, tức là khi lực tác dụng lên vật là biến thiên thì việc dùng định luật II để giải bài toán này sẽ trở nên khó khăn hơn đặc biệt là trong các chuyển động cong. Trong những trường hợp đó thì lý thuyết năng lượng sẽ giúp chúng ta giải bài toán động lực học một cách thuận lợi hơn. Ngoài ra với những bài toán động lực học trong đó có sự va chạm giữa các vật mà nếu dùng định luật bảo toàn động lượng vẫn chưa đủ để giải thì khi đó phương pháp năng lượng sẽ có vai trò quan trọng trong việc giải bài toán. TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c 3 PHẦN HAI: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT I.1. Hệ kín (hệ cô lập) Hệ kín (hệ cô lập) là hệ mà các vật trong hệ chỉ tương tác với nhau mà không tương tác tác với vật ngoài hệ, tức là các vật trong hệ không chịu tác dụng của ngoại lực, hoặc nếu có thì những lực này triệt tiêu lẫn nhau. I.2. Nội lực, ngoại lực. + Nội lực là lực do các chất điểm của hệ tương tác lẫn nhau. + Ngoại lực là do các chất điểm hay các vật thể ở ngoài hệ tác dụng lên các chất điểm trong hệ. I.3. Công, công nguyên tố, công hữu hạn của lực, biểu thức tính công của một số lực. I.3.1. Công, công nguyên tố. Công nguyên tố của lực F , điểm đặt của nó di chuyển theo đường cong C, sau thời gian dt thực hiện di chuyển nguyên tố s d được xác định theo công thức: s A F ds F ds δ = = Trong đó: s F là hình chiếu của lực F lên tiếp tuyến của quỹ đạo tại điểm đặt của lực F . I.3.2. Công hữu hạn của lực. Công của lực F trong chuyển dời CD bất kì: s CD CD A F ds F ds = = ∫ ∫ Trong đó: ds là vector chuyển dời nguyên tố, s F là hình chiếu của F trên phương của ds . Trường hợp F không đổi, chuyển dời thẳng: cos s A F s F s Fs α = = = Trong đó: α là góc hợp bởi lực F và phương chuyển dời s . TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c 4 I.3.3. Biểu thức công của một số lực. I.3.3.1. Công của trọng lực: ( ) 2 1 P A P z z Ph = − − = ± . Trong đó: 1 z và 2 z là độ cao của hai vị trí đầu và cuối. I.3.3.2. Công của lực đàn hồi: ( ) 2 2 2 1 2 dh F C A r r = − − . Trong đó: r là vector định vị của chất điểm so với tâm. C là hệ số tỉ lệ không đổi hay hệ số cứng. Trường hợp lò xo, công của lực đàn hồi lò xo khi đầu mút của nó bị biến dạng một đoạn δ so với trạng thái tự nhiên của nó: 2 2 C A δ = − I.3.3.3. Công của lực tác dụng lên vật rắn chuyển động tịnh tiến. c c dA Fdr F vdt F v dt Fdr = = = = I.3.3.4. Công của lực tác dụng lên vật quay quanh một trục cố định. ( ) t t t dA F v dt RF dt M F d ω ϕ = = = I.3.3.5. Công của hệ nội lực trong vật rắn: 0 i i k dA dA = = ∑ I.4. Lý thuyết về năng lượng. I.4.1. Năng lượng. Tất cả các dạng vận động của vật chất đều mang năng lượng. Năng lượng là đại lượng đặc trưng cho mức vận động của vật chất. Mọi vật ở trạng thái xác định thì sẽ có năng lượng xác định. Khi vật không cô lập, nghĩa là có tương tác với các vật khác thì xảy ra quá trình biến đổi trạng thái. Tức là các vật trao đổi năng lượng với nhau. Quá trình trao đổi năng lượng chuyển động cơ học giữa các vật diễn ra như sau: Vật ta đang khảo sát tác dụng lực lên vật bên ngoài, các lực này sinh công. Như vậy công chính là một đại lượng đặc trưng cho quá trình trao đổi năng lượng giữa vật này với vật khác. Một hệ khi thực hiện công thì năng lượng của nó biến đổi. Giả sử xét quá trình biến đổi năng lượng của một hệ từ trạng thái 1 (có năng lượng 1 W ) sang trạng thái 2 (có năng lượng 2 W ). Thực nghiệm chứng tỏ: 2 1 W W A − = Độ biến thiên năng lượng của hệ trong một quá trình nào đó có giá trị bằng công mà hệ nhận được từ bên ngoài. TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c 5 Nếu 0 A > năng lượng của hệ tăng, hệ nhận công từ bên ngoài. Nếu 0 A < năng lượng của hệ giảm, hệ thực hiện công lên ngoại vật. Trong trường hợp hệ cô lập thì: 2 1 0 W W − = . Tức là: Năng lượng của hệ cô lập bảo toàn. Phân biệt giữa công và năng lượng: Năng lượng của hệ phụ thuộc vào trạng thái của hệ. Do đó ta nói năng lượng là hàm trạng thái. Công chỉ xuất hiện khi hệ biến đổi trạng thái tức là thực hiện một quá trình. Như vậy công là hàm của quá trình. Năng lượng của một hệ là hữu hạn cho nên hệ không thể sinh công mãi mãi. Muốn hệ sinh công mãi thì hệ phải nhận năng lượng từ bên ngoài. Trong phần cơ học ta chỉ xét dạng năng lượng ứng với chuyển động cơ học của các vật gọi là cơ năng. Cơ năng gồm hai phần: Động năng ứng với sự chuyển động của các vật và thế năng ứng với sự tương tác giữa các vật. I.4.2. Động năng. Định lý biến thiên động năng. I.4.2.1. Động năng. +) Động năng của vật là năng lượng do chuyển động của vật mà có. +) Biểu thức động năng: Với chất điểm có khối lượng k m chuyển động với vận tốc k v : 2 1 2 k k k T m v = Với cơ hệ N chất điểm: 2 1 1 1 2 N N k k k k k T T m v = = = = ∑ ∑ +) Động năng là đại lượng vô hướng, đơn vị động năng là 2 2 . ( ) kg m s I.4.2.2. Định lý động năng. +) Dạng vi phân: Vi phân động năng của cơ hệ bằng tổng công nguyên tố của tất cả các ngoại lực và nội lực tác dụng lên cơ hệ: i e dT A A A δ δ δ = = + +) Dạng tích phân: Biến thiên động năng của cơ hệ trong khoảng thời gian nào đó bằng tổng công các nội lực và ngoại lực sinh ra trong chuyển dời ứng với thời gian đó: 2 1 i e T T A A − = + +) Với vật rắn ta có: 0 0 i i A A δ = ⇒ = TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c 6 I.4.3. Lực thế và thế năng. I.4.3.1. Lực thế. +) Trường lực là khoảng không gian vật lý mà khi chất điểm chuyển động trong trường lực chịu tác dụng lực chỉ phụ thuộc vào vị trí của nó. +) Trường lực thế là trường lực mà công của lực tác dụng lên chất điểm không phụ thuộc vào dạng quỹ đạo điểm đặt của lực mà chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và cuối của nó. Lực do trường lực thế tác dụng lên chất điểm đặt trong nó được gọi là lực thế. ( ) ( ) r U U U U F gradU r i j k r x y z ∂ ∂ ∂ ∂ = − = − = − + + ∂ ∂ ∂ ∂ Trong đó: ( ) U r là đại lượng vô hướng gọi là lực thế của chất điểm ở vị trí r . I.4.3.2. Thế năng. +) Thế năng tương tác của chất điểm trong trường lực thế là một hàm ( ) U r phụ thuộc vào vị trí của chất điểm sao cho: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 r r A Fdr U r U r = = − ∫ Trong đó: ( ) 0 U r và ( ) U r là thế năng của chất điểm ở vị trí 0 r và r . +) Thế năng của chất điểm: 0 ( ) ( ) r r U Fdr C = − + ∫ C là hằng số. +) Thế năng là một dạng năng lượng đặc trưng cho tương tác. I.4.4. Cơ năng. Định luật bảo toàn và biến thiên cơ năng. I.4.4.1. Cơ năng. Đại lượng E bằng tổng động năng và thế năng của chất điểm (hệ chất điểm) được gọi là cơ năng của chất điểm (hệ chất điểm). Với chất điểm: ( ) 2 2 r mv E U = + Với hệ chất điểm: ( ) 1 2 2 , , 2 k k r r k m v E U= + ∑ TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c 7 I.4.4.2. Định luật bảo toàn và biến thiên cơ năng. - Đối với hệ kín cơ năng của hệ được bảo toàn: ( ) 1 2 2 , , 1 2 N N i k k r r r k m v E T U U const = = + = + = ∑ - Nếu hệ chuyển động trong trường lực thế thì cơ năng của hệ được bảo toàn: i e E T U U const = + + = - Định lý biến thiên cơ năng: Vi phân cơ năng của hệ bằng tổng công nguyên tố của các ngoại lực không phải là lực thế tác dụng lên hệ. ( ) 1 2 2 , , 1 2 N N e k k r r r k m v d U A δ = + = ∑ I.5. Xung lượng, định lý biến thiên và định luật bảo toàn xung lượng, mômen xung lượng. I.5.1. Xung lượng. - Xung lượng của chất điểm là đại lượng đo bằng tích của khối lượng và vận tốc của nó: P mv = - Xung lượng là một đại lượng vector có cùng hướng với vector vận tốc (vì khối lượng luôn dương): P mv = - Đơn vị của xung lượng trong hệ SI là: . ( ) kg m s I.5.2. Định lý biến thiên xung lượng. Định lý: Đạo hàm vector xung lượng của hệ theo thời gian bằng tổng ngoại lực tác dụng lên chất điểm của hệ. Biểu thức: e dP F dt = I.5.3. Định luật bảo toàn xung lượng. Với hệ cô lập thì 0 e F = và ta có: 0 e dP F dt = = hay P const = Vậy đối với hệ cô lập thì vector xung lượng của hệ bảo toàn. TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c 8 I.6. Hệ quy chiếu không quán tính. I.6.1. Hệ quy chiếu không quán tính. Các định luật Newtơn chỉ đúng trong hệ quy chiếu quán tính. Nhưng trên thực tế ta lại thường gặp cả những hệ quy chiếu không quán tính. Những hệ quy chiếu chuyển động không thẳng, không đều so với hệ quy chiếu quán tính là những hệ quy chiếu không quán tính. I.6.2. Định lý biến thiên động năng. ( ) ( ) ( ) 0 r r r k r qt T T A F A F − = + ∑ ∑ Trong đó: 2 1 2 r k rk k T m v = ∑ : Động năng của cơ hệ trong chuyển động tương đối và ( ) r A F ∑ , ( ) r qt A F ∑ là công hữu hạn của ngoại lực và lực quán tính. CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP VÀ BÀI TẬP MẪU II.1. DẠNG MỘT: CHUYỂN ĐỘNG TRÊN MẶT PHẲNG NGHIÊNG. II.1.1. Phương pháp chung. Bước 1: Xác định các dữ kiện và phân tích hiện tượng bài toán . Bước 2: Xác định các ngoại lực (nội lực nếu có) tác dụng lên vật (hệ vật) và viết biểu thức tính công của các ngoại lực. Chú ý trong việc tính công của lực ma sát. Bước 3: Thiết lập phương trình của lý thuyết năng lượng cho việc giải bài toán. - Vật chuyển động trên mặt phẳng nghiêng thường có sự biến đổi vận tốc do đó với những bài toán có liên quan đến gia tốc chuyển động của vật (hệ vật) thì vận dụng định lý biến thiên động năng dạng đạo hàm. W e dA dt = , W e dT dA dt dt ≡ = Trong đó: e A là công của ngoại lực và w e dA dt = được gọi là công suất của lực. - Nếu ngoại lực tác dụng lên vật (hệ vật) chỉ là lực thế thì cơ năng của vật (hệ vật) bảo toàn. Trần Văn Tình Lớp K48 ĐH S Phạm Vật Lý - ĐH Tây Bắc 9 2 1 ons 2 E mv mgh c t = + = - Nu ngoi lc tỏc dng lờn vt ngoi lc th cũn cú mt ca nhng ngoi lc khụng phi l lc th (nh lc ma sỏt chng hn) thỡ c nng ca vt (h vt) bin thiờn. e o E E A = Trong ú: e A l cụng ca ngoi lc khụng phi l lc th. Bc 4: T d kin ban u xỏc nh cỏc i lng cha bit. II.1.2. Bi tp mu. Bi 1: Trờn mt phng nghiờng gúc 30 o = , t mt hỡnh tr c khi lng 2 8 m kg = v ng kớnh 10 cm . Hỡnh tr cú th quay quanh trc quay ca nú. Dựng dõy ni mt vt cú khi lng 2 4 m kg = vo trc quay. Gia tc ca h vt l bao nhiờu? Bit rng h s ma sỏt gia vt v mt phng nghiờng l 0,2 à = . Gi thit tr ln khụng trt. B qua ma sỏt gia trc quay v tr c. Dõy khụng gión, khụng khi lng. - Gii - 1/ Phõn tớch hin tng. Tr ln v tnh tin kộo vt 2 m cựng chuyn ng. Vỡ dõy khụng gión khụng khi lng nờn vt v tr tnh tin cựng gia tc a ng thi lc cng ca dõy ti mi im l nh nhau do ú ni lc (lc cng) t trit tiờu v ch cũn ngoi lc tỏc dng lờn h vt. Do gia h vt v mt phng nghiờng cú s xut hin ca ngoi lc l lc ma sỏt khụng phi l lc th do ú c nng ca h vt bin thiờn. 2/ Gii bi toỏn. Gi thit h vt chuyn ng khụng vn tc u t v trớ A, sau khong thi gian t h vt i ht mt phng nghiờng v t vn tc v ti chõn mt phng nghiờng v gi di mt phng nghiờng l l . Ngoi lc tỏc dng lờn tr (vt 1 m ) v vt 2 m . +Tỏc dng lờn vt 1 m cú: Trng lc 1 P , phn lc 1 N , lc ma sỏt s1 m f . A C B 1 m 2 m TrÇn V¨n T×nh – Líp K48 §H S− Ph¹m VËt Lý - §H T©y B¾c 10 2 P 2 N 2 m α A C B 1 m 2 ms f 1 P 1 N 1 ms f +Tác dụng lên vật 2 m có: Trọng lực 2 P ,phản lực 2 N , lực ma sát s2 m f . trong đó chỉ có các trọng lực 1 P và 2 P là các lực thế. Vì độ biến thiên cơ năng bằng tổng công của các ngoại lực không phải là lực thế, đồng thời các phản lực 1 N và 2 N có phương vuông góc với phương chuyển dời s nên các lực này không sinh công do đó khi tính công của ngoại lực không phải lực thế tác dụng lên hệ vật ta chỉ cần tính công của các ngoại lực s1 m f và s2 m f . +Vì trụ lăn không trượt nên tại điểm tiếp xúc giữa trụ và mặt phẳng nghiêng có vận tốc 0 M v = do đó ta có: s1 s1 0 m m M f dA f v dt = = . +Ta có: s2 2 m f N µ = với 2 2 2 os os N P c m gc α α = = do đó s2 2 os m f m gc µ α = , vì 2 2 at l = . Suy ra công của lực s2 m f trên chuyển dời s là: s2 2 s2 2 os 2 m m f at A f l m gc µ α = = − Gọi h là độ cao của mặt phẳng nghiêng, ta có: sin h l α = và có 2 2 at l = . Chọn mốc tính thế năng tại chân mặt phẳng nghiêng. Suy ra cơ năng của hệ vật tại A là: ( ) 2 1 2 1 2 sin 2 A m m E m m gh gat α + = + = (1.1) Cơ năng của hệ vật tại B là: B t q E T T = + . Trong đó t T là động năng chuyển động tịnh tiến của hệ vật, còn q T là động năng chuyển động quay của trụ. Ta có: 2 2 2 1 2 1 2 2 2 t m m m m T v a t + + = = và 2 2 2 2 2 2 2 2 q v I I Ia t r T r ω = = = với 0 o v = và v at = . Suy ra: 2 2 2 2 1 2 2 2 2 B m m Ia t E a t r + = + (1.2) Định luật biến thiên cơ năng: s1 s 2 m m B A f f E E A A − = + . Suy ra: . tốc của vật trong mỗi va chạm. +) Giai đoạn vật trượt lên: ( ) 1 sin os a P kpc α α = − + . Ta có: 1 1 o a t v = − (1) và : 2 1 2a o s v = − (2) +) Giai đoạn vật trượt xuống: 2 sin