Giải toán bằng phương pháp đại lượng bất biến

, ˜ HU ˜,U ÐIÊN NGUYÊN , , , ˘` ´ BANG ´ GIAI TOAN PHUONG PHAP , , ´ BIÊN ´ ÐAI LU O NG B ÂT , , (T´ ban lâ`n thu´ hai) , ´ BAN GIAO ` XUÂT ´ DUC NHA 517 21/727-05 GD − 05 M˜ a sô´: 8I004T5-TTS , ` ` ´ ÐÂU LOI NOI , D˜ı bâ´t biê´n, u´ng van biê´n ,, Tôn tu (Binh ph´ ap) , , , ,, ,, ´ ta thu c hiên o môt Ta h˜ ay tuong tuo ng c´ thô´ng d¯o nh˜ung thao , , , t´ ac kh´ ac Ta c´ o thê phân t´ıch trang th´ cua thô´ng d¯ê x´ ac d¯inh vi , , , , , tr´ı (muc ac Môt d¯´ıch) câ`n d¯at d¯uo c t`u nh˜ung vi tr´ı kh´ nh˜ung công cu , râ´t manh cho viêc a t´ınh châ´t bâ´t biê´n cua môt ¯ai phân t´ıch thô´ng l` sô´ d , ,, ,, , , , , ´ ´i nh˜ung luo ng thông Nh˜ung d ay không thay d¯ôi duo ¯ai luo ng n` , , , , `˘ng thao t´ ac kh´ ac thô´ng Su bâ´t biê´n c´ o thê d` ung d¯ê chı ra , , , ´i môt t`u môt ac Xuyên suô´t cuô´n câ´u h`ınh không thê d¯at to câ´u h`ınh kh´ , , , ,, s´ ach n` ay l` a tu tuong bâ´t biê´n thông qua c´ ac chu d¯ê` sô´ hoc, d¯ai sô´, , h`ınh hoc a tr` o choi to´ an hoc, v` , ,, ,, , ˘ t tên l` Cuô´n s´ ach d¯uo c d¯a a Phuong ph´ ap d a mong ¯ai ¯ây l` luo ng bâ´t biê´n, d , , ,, ´ ´ muôn cua t´ ac gia muôn biên soan ac phuong ph´ ap to´ an hoc môt loat c´ , , ,´, ,, ´ ´ ˜ biên soan hoc a nghiên cuu Truoc d¯ây t´ ac gia d¯a ap tâp v` môt sô phuong ph´ , ,, , giai to´ an c´ ac cuô´n s´ ach [6], [7], [8], [9], [10], [11] Ngu`oi xua l` am , , , , ´p dung Binh ph´ ap d¯ê a v` a giai quyê´t nh˜ung cuôc chiê´n tranh, d¯iên h`ınh , , ,, ˜ t`u,ng nhâ´t l` a bô Binh ph´ ap cua Tôn tu v` a bô Binh ph´ ap cua Tôn Tân , , , , ˜ trai nghiêm ´p dung th`oi k`ı m` a hai soan aa v` ao thu c ti˜ên ¯a gia d qua v` , , , , ,, ˜ biê´t Binh ph´ Nhu ta d ap chı câ`n c´ o 36 muu kê´ m` a ho´ a giai d ¯a ¯uo c hâ`u hê´t , ,, ´ ,, ˘ t Ða ˘ c biêt ˘m d¯uo c Binh c´ ac t`ınh thê´ cua c´ ac cuôc ¯a chiê´n tranh d ngu`oi na , , ´ , ´ ´p dung ph´ ap v` aa n´ o v` ao thu c tê nhu thê n` ao l` a môt ang tao vâ´n d¯ê` s´ cua , , , ,, , ,, , , t`ung ngu`oi v` a t`ung th`oi d o thê n´ oi c´ ac phuong ph´ ap giai to´ an l` a nh˜ung ¯ai C´ ,, ,, Phuong ph´ ap d ¯ai luo ng bâ´t biê´n , , , tâp an T´ ac gia cuô´n s´ ach mao muu kê´ giai b` to´ muôi biên soan , , , , nh˜ung phuong ph´ ap giai to´ an v` a hoc an c˜ ung hi vong th` anh bô To´ an to´ , , ´ ` ´ ` ph´ ap cho m`ınh v` a c´ ac ban tham kh ao Râ t nhiê u vâ n d ê c´ a ch gi ¯ , , , , , ˜ suu tâ`m v` to´ an v` a hoc an c´ o thê tông kê´t lai, ac gia d a chon ¯a to´ t´ loc nh˜ung ,, , , ´,c kh´ ˘ c trung nhâ´t, nh˜ung b` phuong ph´ ap d¯a tâp a c´ o mu qu´ at cao hay v` , , ´ ´ ` ˘c Ban mang nôi an hoc a sâu sa ao c´ ac dung to´ co ban v` d¯oc t`ım thây phân n` , ,, ˘ phuong ph´ ap h´ oa giai c´ ac b` tâp ho a c m ôt c´ a ch nh` ın h oc t âp c˜ u ng , , , , nhu thu c h` anh tu m`ınh giai b` tâp , , , , ,, , ´ ˜ ´ ˜ d¯uo c xuâ´t ban, cuô´n s´ ach n` ay C` ung voi nhung cuôn s´ ach cua t´ ac gia d ¯a ,, ,, ˜ vâ´n d¯ê` d ´,i vâ´n d¯ê`, môi quan tâm to oi gon m ôt chu o ng v` a l` a ¯uo c g´ , ,, ,, , , , , ˜ ´p dung môt ap giai a d¯ai ¯ô´i phuong ph´ luo ng bâ´t biê´n Môi chuong tuong d , , , , , ˜ ´ ` ´ ` ´i nhau, sau môi tiêt nho chu d¯ê l` ˘ t d¯ôc a môt lâp vo vân d¯ê d¯uo c d¯a , , , , ,, ˜ ´ ´ v` a c´ o v´ı du minh hoa, sau d o l` a b` a i t âp a p d ung nh u ng tu tu o ng c ua tiê´t ¯ , , , , ˜ chuong c´ ˜ ˘ c trung kh´ ˘ c biêt Môi o nh˜ung tiê´t d¯a ac Ða phâ`n cuô´i môi , , ,, ,, , , , , chuong l` a môt phuong ph´ ap cua chuong ¯ê` hay thê hiên chuyên d su dung , , , ,, ˜ ´ ` ´, môi vân d¯ê o d¯ây c´ d o thê ph´ at triên th` anh nôi oi chuyên ¯o dung môt buôi n´ , , , ,, ˜ ˜ ´ ngoai kh´ o a Nh u ng b` a i t âp d u o c a p d ung c´ a ch gi c ua c´ a c b` a i m âu nên ¯ , , , ,, ,´, , ˜ v` không c´ o giai chi tiê´t Chı c´ o hai chuong c´ o huo ng dân a go i ´y cua b` tâp , , , , , ˜ ´ ˘t nhu sau: ca chuyên d¯ê` Nôi om ta ¯ê` d ¯uo c t´ dung cua môi chuyên d ,, , Chuong 1: Nguyên l´ı bâ´t biê´n Nhiê`u b` to´ an cho biê´t thu c hiên môt sô´ , , , , ˘ c ´ nhu c´ thao t´ ac môt ao d¯o ac sô´, quân b` ai, quân c`o hoa d¯ô´i tuo ng n` , , , , , , ´ c tap ´ a nh˜ung d¯ai ˜ cho Tuy b` nh˜ung biê´n d to´ an c´ o phu ¯a nhung ân chu , , , ,, , ˜ ´ ´ ´ ˘n le hoa ˘ c tông, t´ıch cua c´ luo ng bât biên nhu t´ınh cha ac biên không thay , , , , ´ ´ ˜ ` ˘ d ô i Nh o ph´ a t hi ên ho a c cô t` ınh d u a nh u ng biê n c´ o t´ınh châ´t bâ´t biê´n ¯ ¯ , , , , , ˘ c d¯on d¯iêu hoa ao nh˜ung d˜u kiên ¯ê´n kê´t bâ´t biê´n, nh`o v` bâ´t biê´n d¯ua ta d , , , , , , luân to´ an Nh˜ung b` to´ an cua chuong n` ay l` a du a v` ao c´ ac t´ınh châ´t cua b` sô´ hoc, to´ an c˜ ung mang t´ınh c´ ac b` tâp a thiê´t lâp b` sô´ hoc Chuyên d¯ê` l` , , ´ ng dung c´ ac h` am bâ´t biê´n v` au c ua n´ o , ,, ´,c d ´,ng hai biê´n T´ınh bâ´t biê´n thê hiên Chuong 2: Ða thu o viêc ¯inh ¯ô´i xu r˜ d , L`oi n´ oi d ¯â`u , ´,c d¯ô´i xu ´,ng: Môt ´,c hai biê´n goi ´,ng nê´u ta ngh˜ıa nh˜ung d¯a thu ad ¯ô´i xu d¯a thu l` , , , ´,c không thay d¯ôi vai tr` o v` a vi tr´ı gi˜ua hai biê´n cho nhau, gi´ a tri cua d¯a thu , , ,, ´,ng minh d ´,c d¯ô´i xu ´,ng hai thay d ¯ôi T`u d ¯inh ¯uo c moi ¯a thu ngh˜ıa ta chu d , , , , ´,c cua c´ ´,c d ´,ng co, so,, m` biê´n d¯ê`u biêu di˜ên nhu d ac d a c´ ac ¯a thu ¯a thu ¯ô´i xu , , , , , , , , ´ ´ ´ c d¯ôi xu ´ ng co so liên quan d ´ c nghiêm ´ d¯a thu ¯ên công thu cua Vi`ete T`u d¯o , , , , ´ ´ ` ´ ´ ´p dung a d ang loat ac vân d ¯a thuc cho h` ¯ê d¯ai c´ sô so câp nhu giai , ,, ,, , ˜ vê´ cua ´,c d¯ô´i xu ´,ng; ´,i môi phuong tr`ınh vo c´ ac phuong tr`ınh l` a nh˜ung d¯a thu , , `˘ng c´ ´,c th`u,a sô´; giai phu,o,ng tr`ınh ba ˘ t ân sô´ phu; phân t´ıch d ach d¯a ¯a thu , ,, , , , ´ ´ ` ´ ng, Chuyên d¯ê l` ´i sô d¯ôi xu ´p b` giai phuong tr`ınh vo a môt to´ an d ¯a lo , ,, ´,c bâc ´,ng, u ´,ng dung thu o c´ ac sô´ d¯ô´i xu cao c´ chuyên d¯ê` giai phuong tr`ınh `˘ng c´ bâc ach bâc cao ba , , ,, ´, tu., Khi chu ´,c cua c´ ´,ng minh ˘ng thu Chuong 3: Bâ´t d¯a ac d˜ ay sô´ d¯ô`ng thu , , ´,c th`ı vai tr` ˘ng thu ˘ c c´ ˘ng bâ´t d¯a o c´ ac biê´n hoa ac biê´n sô´ tham gia bâ´t d ¯a , , , ´,c ngang Nhiê`u su., chuyên d thu o v` a vi tr´ı gi˜ua c´ ac biê´n ¯ôi vai tr` , , , ˜ không thay d¯ôi, d¯o `˘ng nh˜u,ng ´ c vân ˘ng thu ´ ta cho cho th`ı bâ´t d¯a ,, ,, , ´, tu., n` ´ v` biê´n sô´ n` ay d¯uo c xê´p theo môt u ao d¯o a nh`o thêm d¯iê`u kiên th d¯uo c , , , , , , , ´˘p m` ´ ng minh d ´ c d˜ê d` ˘ng thu sa a chu ang hon Trong chu d¯ê` n` ay ¯uo c bâ´t d¯a , ,, , , , , , ´ ´ ´ ´ ´ ´ ˘ng thuc d¯uo c tao ˘p xêp theo môt ˜ o sa ta x´et bât d ¯a boi hai bô sô c´ thu tu d¯a , , ,, ´ ´,c vê` tông c´ ˘ng thu ˘ p sô´ hai bô sô´ d¯uo c sa ˘p xê´p ac ca biê´t, d a bâ´t d ¯ây l` ¯a , , , , , , ´,ng minh bâ´t tô´i uu nhâ´t T`u d l´ı co ban cua chuyên d o thê chu ¯inh ¯ê`, ta c´ , , , ´ c Cauchy2 , Chebyshev3 v` ´ ng dung ˘ng thu d¯a a nhiê`u u kh´ ac Chuyên d a ¯ê` l` , , , , , , , , , ´ ´ ´ ´ ´ ˘ ˘ a ng th u c nô i môt bâ t d a ng th u c râ t tô ng qu´ a t, c´ o thê nh ân d u o c c´ a c bâ t d ¯ ¯ ¯ , , , tiê´ng kh´ ac Kê´t qua cua chuyên d a c´ ac ban o thê s´ ang tao ¯ê` l` c´ râ´t nhiê`u , , , ´ c mo ´i v` ˘ng thu bâ´t d¯a a râ´t d ¯ep , , ,, ,, ,, ,, Chuong 4: Phuong tr`ınh h` am Ðê giai môt am, ngu`oi ta phuong tr`ınh h` , , , ,, ,, , ,, thu`ong thay d a tri cua d¯ô´i sô´ d ¯ôi gi´ ¯ê nhân ¯uo c nh˜ung phuong tr`ınh th´ıch d , , , , ´,c cua ´,i nh˜u,ng gi´ ˘ng thu ho p rô`i suy h` am phai t`ım Vo a tri kh´ ac nhau, d ¯a ,, Vi`ete (1540-1603): Nh` a to´ an hoc ap ngu`oi Ph´ ,, , Louis Cauchy (1789-1857): Nh` a to´ an hoc uc ngu`oi д ,`, Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821-1894): Nh` a to´ an hoc nguoi Nga Francois Augustin ,, ,, Phuong ph´ ap d ¯ai luo ng bâ´t biê´n , ,, , ,, ˘ c bâ´t biê´n, ta d¯ua phuong ph´ phuong tr`ınh h` am không d¯ôi, hoa ap thê´ , , ,, , , , , , ´ hai d c´ ac gi´ a tri ap thu am l` a phuong ph´ ap ¯ê giai phuong tr`ınh h` Phuong ph´ , , , , ` ˜ ´ ˜ d¯iêm bâ´t d ông Chuyên d ê l` a nh u ng d a th u c giao ho´ a n, c´ a ch t` ım nh u ng d ¯ ¯ ¯ ¯a , ´ c giao ho´ thu an ,, , , , Chuong 5: Nh˜ ung tr` o choi to´ an hoc to´ an tr` o choi t`ım kiê´m sô´ b` Môt , , ,, , , ´˘ng v` nh˜ung chiê´n thuât a ho` a cua ngu`oi choi c˜ ung d¯ê`u du a v` ao t´ınh bâ´t tha , , , , ˜ cho T`ım kiê´m môt biê´n cua nh˜ung d¯iê`u kiên to´ an tr` o d¯a l`oi giai cho b` , , , , , , , ´ ´ ˜ ` ` choi l` a môt vi êc râ t kh´ o , ngu o i ta thu o ng ph´ a t hi ên nh u ng biê n d o n ¯ , ,, ´ ´ ˘ ´ theo môt d¯iêu bâ t biê n, ngh˜ ıa l` a c´ o t˘ a ng ho a c gi am m ôt d lu o ng n` ao d¯o ¯ , ,, ,´, ´ ` ´ quy luât Nhiêu b` thi hoc ac nuo c, v`ı n´ o cô d¯inh sinh gioi rât hay o c´ , ` ` d¯oi hoi hoc ach logic v` a thông minh Chuyên d¯ê l` a c´ ac sinh suy luân môt c´ , `, , , ´ ´ ´ chiê´n thuât tr` o cho i Nim, m ôt tr` o cho i xuâ t x u t u Trung Quô c Tr` o , , , ,´, , ,, ´ ˘ng choi d a chı buoc d ¯uo c phân t´ıch k˜ı v` ¯i d ¯ê cho kê´t qua tha , , , , , ˜ d¯uo c lu a chon ac nhau, viêc Nhiê`u b` tâp t`u nhiê`u nguô`n kh´ d¯a giai , , `˘m mô ta tô´t phu,o,ng ph´ ˘ t ra, c` ˜d v´ı du v` a b` tâp ap d¯a on nh˜ung c´ ach ¯a nha , , , , , , ´ ng minh kh´ ˜ bo qua (v´ı du nhu bâ´t chu ac c´ o thê c´ o v` a hay hon t´ ac gia d ¯a , , ´ c Cauchy) ˘ng thu d ¯a , , Cuô´n s´ ach d` anh cho hoc an, hoc a gioi sinh phô thông yêu to´ sinh kh´ môn to´ an, c´ ac thâ`y cô gi´ ao, sinh viên d anh to´ an, ng` anh tin hoc ¯ai hoc ng` , , , ,`, ˜ v` a nhung nguoi yêu th´ıch to´ an hoc phô thông Trong biên soan không thê , ,, ˜ mong ban tr´ anh khoi sai s´ ot v` a nhâ`m lân op ´y gui vê` ¯oc d cho ´y kiê´n Moi g´ , , , d a xuâ´t ban Gi´ ao duc, a Nôi ¯ia chı: Nh` 81 Trâ`n Hung Ðao, H` H` a Nôi, ang n˘ am 2004 th´ , , Nguy˜ên H˜uu Ðiên , , CHUONG ´ BIÊN ´ NGUYÊN L´I BÂT ,, ,, , ´ d¯ai ´ i thiêu 1.1 Gio phuong phap luo ng bâ´t biê´n ´ hiên ` toan ´ 1.2 Phat bâ´t biê´n bai , ,, ´ ba ˘` ng d¯ai 1.3 Giai toan luo ng bâ´t biê´n , 1.4 Bâ´t biê´n ¯ n di ¯ , ` toan ´ nâng cao 1.5 Nh˜ung bai ` bâ´t biê´n 1.6 Chuyên dê ¯ ` vê` ham 1.6.1 Ðinh am bâ´t biê´n trang ngh˜ıa h` th´ , ´ ´ ´ ` 1.6.2 Hê thông bât biên d¯ây d¯u 24 27 43 51 52 58 ,, ,, , ´ d¯ai ´ i thiêu 1.1 Gio phuong phap luo ng bâ´t biê´n , , ˜ , , Cho a, b, c l` a nh˜ung sô´ thu c Ta x´et tông S = a + b + c Nê´u ta d a ¯ôi chô , , , cho b, b cho c v` a c cho a, th`ı tông S luôn chı l` a môt ay không Tông n` , , , , , , ´ ´ tu thu c hiên ´, tu., ´i thu thay d¯ôi d¯ôi vo D` u a, b, c c´ o thay d ¯ôi thu ph´ep công , , , ˜ không thay d ´,i nhu thê´ n` ao ch˘ ang n˜ua S vân a S bâ´t biê´n d ¯ôi, ngh˜ıa l` ¯ô´i vo , , , viêc ac biê´n kh´ ac Trong thu c tê´ c˜ ung nhu to´ an hoc, thay d¯ôi c´ râ´t ,, ´,u lai nhiê`u vâ´n d¯ê` liên quan d ¯ê´n môt sô´ d¯ô´i tuo ng nghiên cu bâ´t biê´n d¯ô´i , , , ,, ˜ theo ´,i su., thay d¯ôi cua nhiê`u d vo ac V´ı du, ¯ô´i tuo ng kh´ nê´u ta chuyên chô , ,´, ˘ t pha ˘ng hoa ˘ c không gian, ´ môt huo ng môt ao d ¯o h`ınh khô´i n` ma ,, Chuong Nguyên l´ı bâ´t biê´n , , ´,n c´ th`ı d c´ ac canh, d¯ô lo ac g´ oc cua h`ınh, khô´i không thay d¯ôi ¯ô d` , , ,, ˜,a Ta c´ o thê hiêu l` a : Moi a quan giu ¯ai ¯inh d luo ng d t´ınh hay t´ınh châ´t v` , , , , , ˜,ng phâ`n tu, cua môt nhu ˘ c môt a không thay d oi môt ¯ôi v´ hoa sô´ tâp ho p m` biê´n , ,, ´d d ao d a bâ´t biê´n ¯ôi n` ¯o ¯uo c goi l` , `˘ng su., bâ´t biê´n c´ Nhiê`u v´ı du chı ra o môn sô´ hoc, a h`ınh d¯ai sô´ v` , hoc, Nh˜ung b` to´ an c´ o liên quan d¯ê´n bâ´t biê´n chia l` am hai loai : , , , ˘ c kê´t qua) phai t`ım Nh˜ung b` to´ an lâ´y bâ´t biê´n l` am kê´t luân (hoa , , ,, ,, Nh˜ung b` to´ an loai ay d¯uo c liêt n` kê râ´t nhiê`u chuong cua , , , , cuô´n s´ ach [11] Nh˜ung bâ´t biê´n cua b` to´ an l` a kê´t qua cua qu´ a tr`ınh ˘ p nôi la to´ an dung b` , , ,, Nh˜ung b` to´ an lâ´y t´ınh bâ´t biê´n l` am phuong ph´ ap giai Trong cuô´n , ,, s´ ach [11] c´ o môt ay Chuong n` ay phâ`n râ´t nho d¯ê` câp d¯ê´n vâ´n d¯ê` n` , ta d ac kh´ıa canh cua loai to´ an n` ay, c˜ ung l` a tr`ınh b` ay ¯ê` câp ¯ê´n c´ d b` , ,, , ´p b` phuong ph´ ap giai cho môt to´ an lo , , B` to´ an xuâ´t ph´ at nhu môt chuyên cô t´ıch : , ,`, , , , Nguoi Nông dân trô`ng d o 99 qua chua ch´ın m` au ¯uo c môt khê´ thâ`n c´ , , ˜ ´ ˜ ch´ın m` xanh v` a 1000 qua d au v` ang Môt ˘n môi ng` ay hai qua ¯a ¯ê n a Qua d , , ,, , ˘n môt khê´ v` a n´ oi v´ oi ngu`oi nông dân: "A ang, may t´ ui ba gang qua tra cuc v` , , , ´ ´ ´ mang d ad ˘n hai qua khê bât k`ı không phân biêt ¯i m` ¯u ng" Qua d ¯ên a qua xanh , , , v` a qua v` ang Nê´u Qua a ˘n môt ang v` a môt qua v` qua xanh th`ı khê´ lai sinh , , , ´ ´ môt ˘n hai qua v` ang, th`ı khê lai qua xanh Nêu Qua a sinh môt qua , , , v` ang Nê´u Qua a ˘n hai qua xanh th`ı khê´ lai ung qua v` ang Hoi c´ o sinh c˜ , , , ,`, , ´ ´ thê xay truong ho p qua khê cuôi c` ung c` on lai a m` au v` ang không? l` , , , , Ðê thuân a X; qua khê´ tiên cho viêc giai ta k´ı hiêu : Qua khê´ xanh l` , , ˘n qua l` ´ b` v` ang l` a V; qua a a + v` a khê´ sinh qua l` a = Khi d to´ an c´ o ¯o , ´˘n gon: thê viê´t lai nga V + V = V, X + X = V, V + X = X 1.2 Ph´ at hiên to´ an bâ´t biê´n b` , , , `˘ng sô´ lu,o.,ng qua xanh hoa ˘ c l` T`u c´ ach viê´t ta thâ´y a không thay d¯ôi , , , ˜ lâ`n a ˜ lâ`n Qua a ˘ c l` ˘n (môi ˘n hai qua) V`ı hoa a giam d ¯i qua sau môi , , , , , ˜˘n, nên sô´ nh˜ung qua m` au xanh l` a le, c` on sô´ nh˜ung qua m` au v` ang l` a cha , , ˘n qua qua cuô´i c` ung s˜e l` a m` au xanh, không phu thuôc ao c´ ach a v` , cua Qua , , T´ınh bâ´t biê´n b` to´ an l` a g`ı? д o l` a sô´ nh˜ung qua xanh d` u , , , ´ , ´ ˜ ˘n qua nhu thê n` ˘ c nêu n´ Qua c´ oa ao d¯i nua th`ı n´ o không thay d¯ôi hoa o thay , , , , ´ ` ´ d¯ôi th`ı thay d¯ôi môt ach cô d¯inh a giam d¯i hai qua Ch´ınh d ¯iêu bât biê´n l` c´ , , , , , , , ´i qua xanh v` d¯ô´i vo a gia thiê´t b` to´ an d¯ua ta d¯ê´n l`oi giai Nhu vây viêc , , ,, ´ ´ ´ ˜ ˜ cho cua b` t`ım t´ınh bât biên nhung d to´ an l` a rât quan ¯ai luo ng d¯a , , ,, Nh˜ung b` to´ an c´ o dang an thu`ong tô`n nhu môt quy tr`ınh hay thuât to´ ,, , ,´, ,´, , tai th´ khoi d¯â`u v` a môt ay nh˜ung buo c d¯i ho p lê (buo c biê´n môt trang d˜ , , , , , , , , , d¯ôi) Kê´t luân to´ an loai ay thu`ong phai tra l`oi nh˜ung câu cua nh˜ung b` n` , hoi sau d¯ây : , ´,i d¯u,o.,c trang ˜ cho không ? C´ o thê d cuô´i c` ung d ¯at ¯a to th´ , , ´,i ? T`ım tâ´t ca trang cuô´i c` ung c´ o thê d ¯at to th´ ´,i han ´,i môt C´ o tô`n tai cuô´i c` ung không ? gio tiê´n to trang th´ , , T`ım tâ´t ca chu k`ı c´ o thê c´ o d˜ ay trang ? th´ , ´,c t`ım t´ınh bâ´t biê´n môt Phâ`n sau d¯ây ta x´et nh˜ung c´ ach thu b` , ´ to´ an nhu thê n` ao thông qua c´ ac v´ı du ´ hiên ` toan ´ 1.2 Phat bâ´t biê´n bai , ,, , Thông qua v´ı du sau d ¯ây, ban ¯oc ¯uo c nh`ın t`u d s˜e thâ´y su bâ´t biê´n d , ,, , nh˜ung kh´ıa canh kh´ ac d¯ê`u giai d¯uo c b` to´ an , `, tai V´ı du 1.1 Trên bang ta viê´t 10 dâ´u công a 15 dâ´u tru ac vi tr´ı bâ´t k`ı v` c´ , 5.4 Chuyên d o choi Nim ¯ê` chiê´n thuât tr` 231 , , , Ðinh a Tông-Nim cua trang ban d ¯â`u th´ ngh˜ıa 5.3 Tông-Nim nguyên gô´c l` , , , ,´, ,´, , , truoc choi Tông-Nim m´ oi l` a Tông-Nim cua trang sau môt th´ buoc d¯i ´ n` ao d ¯o , T`u v´ı du ta c´ o mênh d¯ê` râ´t hay sau d ¯ây: , , ˜,a nhu ˜,ng Mênh d ¯ê` 5.1 Tông-Nim nguyên gô´c không bao gi`o xuâ´t hiên giu , , Tông-Nim m´ oi H`ınh 5.5 , , , ´,ng minh Vo ´,i viêc Chu ac sô´ nhi phân ta biêu di˜ên Tông-Nim theo tông c´ , , , , `˘ng môt ´c d¯i ho p lê bâ´t k`ı l` ´ ng môt thâ´y am thay d¯ôi d¯u buo sô´ hang , , , , , ˘ c tâ´t ca sô´ cua n´ tông nhu h`ınh 5.5 Sô´ hang n` ay s˜e thay d o ¯ôi môt sô´ hoa , , , , , ´ ba cua biêu c´ ach biêu di˜ên nhi phân (trong h`ınh 5.5 k´ı tu sô´ thu , , , , di˜ên c˜ u l` a chuyên th` anh 0) Moi o su thay d¯ôi cua sô´ hang s˜e xuâ´t côt c´ , , , , ,, ˜˘n le, ngh˜ıa l` hiên a sô´ côt ay thay d¯ôi t`u sô´ luo ng ¯ôi t´ınh cha thay d n` , , , , ,, ˜˘n sang le hoa ˜˘n, nhu, vây ´,i kh´ ˘ c t`u sô´ luo ng le sang cha ac cha Tông-Nim mo , , , ´i Tông-Nim nguyên gô´c ´ıt nhâ´t l` vo a tai ay (trong h`ınh 5.5 ch˜u vi tr´ı côt n` , , ´, ba Tông-Nim nguyên gô´c s˜e thay d sô´ côt ¯ôi) thu , , ´,ng minh ta chı d` Ch´ u ´y l´ı luân ung môt chu sô´ hang thay d¯ôi , , ´, không quan tâm d¯ê´n t˘ ˘ c giam Tông-Nim chu ang hoa ❏ ,, , ˜,ng tr` Chuong Nhu o choi to´ an hoc 232 , , , , ˜,ng gi´ a tri nho hon Tông-Nim nguyên gô´c d ˘`m Mênh d¯ê` 5.2 Tâ´t ca nhu ¯ê`u na , , sô´ c´ ac Tông-Nim m´ oi , , , ´,ng minh Ta kiêm tra kha ´,ng ˘ng d¯inh ´ ng Chu Chu ad ¯u qua v´ı du 5.26 qua l` , , ,´, , minh mênh d¯ê` n` ay hoi kh´ o môt ut Ðê d˜ê hiêu ta d¯i qua ba buo c sau: ch´ , , , ˜ cho sang môt V´ı du vê` giam Tông-Nim cua môt d ¯a trang th´ trang th´ , , , , ` ´ c´ o Tông-Nim nho hon ba ˘ng c´ ach thay d V´ı du trang th´ ¯ôi môt sô hang: , , ` ` ´ ˘ng 6, muôn t`ım trang ˘ng [8, 7, 5, 12] c´ o Tông-Nim ba c´ o Tông-Nim ba th´ , , ` ´ ´ ˘ng c´ ba ach thay d am thê n` ao? H`ınh 5.6 chı cho ta thâ´y ¯ôi môt sô hang th`ı l` , , , , biêu di˜ên cua c´ ac sô´ 8, 7, 5, 12, Tông-Nim v` a Tông-Nim mong muô´n , , ,´, , ´,i Tông-Nim hiên duo i dang nhi phân Tông-Nim mong muô´n kh´ ac vo th`oi 12 = = = = = = 23 0 0 22 1 1 ↑ 21 0 1 20 1 0 ↑ , , ←Tông-Nim hiên th`oi , ←Tông-Nim muô´n c´ o vi tr´ı thay , , , , ,, , `i hoi thay d H`ınh 5.6 Giam Tông-Nim t`u xuô´ng d¯o a 20 ¯ôi o côt v` , , , ,, a 20 Ðê d tai ¯at d¯uo c Tông-Nim mong muô´n th`ı ta phai hai vi tr´ı côt v` , , , chon a d¯ôi gi´ a tri tai ay Nhung ta chon môt sô´ hang v` nh˜ung côt n` sô´ hang , , , , ´ ´ ˜ c´ n` ao sô c´ ac sô hang d¯a o? Ðê tra l`oi câu hoi n` ay ta x´et h`ınh 5.7 , , , ´ ´ ´i su biên d¯ôi c´ vo ac sô 8, 7, 5, 12 tai ac côt a Ta ch´ u ´y l` a sô´ hang c´ v` , , ,´, , ´ ` t˘ ang, c` on lai ac sô hang kh´ ac giam Nhu vây ¯i ho p lê c´ tôn tai ba buoc d , , ` ´ ˘ng l` t`u trang th´ [8, 7, 5, 12] d¯ên trang th´ c´ o Tông-Nim ba a [8, 2, 5, 12] ,´, , ˘ c [8, 7, 0, 12] hoa ˘ c [8, 7, 5, 9], (thêm v` ´ môt hoa ao d¯o ¯i không ho p lê buoc d [13, 5, 7, 12]) , 5.4 Chuyên d o choi Nim ¯ê` chiê´n thuât tr` 12 = = = = 0 1 1 ↑ 0 1 ↑ → → → → 0 1 0 233 0 0 = = = = 13 (t˘ ang) , (giam) , (giam) , (giam) vi tr´ı thay , , H`ınh 5.7 Kê´t qua thay d¯ôi tai a 20 côt v` , , ,, , , ˜ nhi phân: Ðê nhân Quy ta ˘´c nhân on hon duo´i dang biêu diên biê´t sô´ l´ biê´t , , ´˘c sau: T`ım vê` bên tr´ ´n hon dang sô´ n` ao lo nhi phân theo nguyên ta , ,, ˜ nhi phân; sô´ c´ ´ hai sô´ kh´ nhâ´t vi tr´ı o d ac dang o sô´ ¯o biêu diên , , , , , ´n hon 0111(7), 11011(27) nho ho,n tai ay l` a l´ on hon V´ı du 1000(8) lo vi tr´ı n` sô´ 11101(29) , , , , , , Chu´ng minh mênh ac ¯ê`: Ðê d¯ôi t`u môt d Tông-Nim sang môt Tông-Nim kh´ , , , , , ,´, ˜ nho hon, truoc tiên ta so s´ anh biêu diên nhi phân cua hai Tông-Nim v` a x´ ac , , ´ l` d¯inh a ch´ ung kh´ ac nhau, ta goi a D-vi tr´ı nh˜ung vi tr´ı m` nh˜ung vi tr´ı d¯o , , , , ˜ Nê´u bâ´t k`ı môt a tri tai ¯ôi gi´ sô´ hang d¯uo c thay d môi D-vi tr´ı, th`ı Tông-Nim , mong muô´n s˜e cho kê´t qua Nê´u sô´ hang c´ o tai nhâ´t, th`ı s˜e D-vi tr´ı tr´ , , , ´i nh˜ung sô´ hang ´ sô´ hang thay th` anh v` a d¯o ang; nhung vo o tai s˜e t˘ c´ , , ` ˘ng v` ´ D-vi tr´ı tr´ nhâ´t, n´ o s˜e thay ba a nhu vây s˜e giam Do d ¯o sô´ hang , , , ,´, ,`, , d¯ê t`ım buoc d¯i ho p lê cho ph´ep thay d¯ôi Tông-Nim, nguoi ta chon , , ˜ ´i sô´ tai môt vo nhâ´t, v` a thay d o tai ¯ôi n´ sô´ hang D-vi tr´ı tr´ môi D-vi tr´ı ` (Trong phân v´ı du h`ınh 5.6 th`ı D-vi tr´ı l` a côt a Sô´ hang 12 c´ o v` , , , ´ tai a thay d o tai ¯ôi n´ D-vi tr´ı (côt ) v` nh˜ung D-vi tr´ı s˜e sinh sô nho , , `˘ng luôn tô`n tai ´, hon) Ðê thâ´y c´ o tai môt sô´ hang D-vi tr´ı, ta nho , , , , ,, ,´, , lai a Tông-Nim mong muô´n nho hon Tông-Nim hiên c2o l` th`oi, theo buo , , , , , trên, Tông-Nim hiên o v` a Tông-Nim mong muô´n phai c´ o tai th`oi phai c´ , , ´ D-vi tr´ı tr´ nhât (trong v´ı du tai o v` a vi tr´ı, Tông-Nim hiên th`oi c´ ,, , ˜,ng tr` Chuong Nhu o choi to´ an hoc 234 , , , Tông-Nim mong muô´n c´ o tai o 0) V`ı Tông-Nim hiên D-vi tr´ı tr´ th`oi c´ , , , , ´i tai nhâ´t, nên phai tô`n tai vo nhâ´t môt sô´ le nh˜ung sô´ hang D-vi tr´ı tr´ , , , ´,i tai n` ay V`ı không phai l` a sô´ le, nên phai tô`n tai ´ıt nhâ´t môt sô´ hang vo , , ,´, ´ D-vi tr´ı tr´ nhât n` ay, v` a nhu vây o tai ay l` a môt ¯ôi n´ thay d D-vi tr´ı n` buoc , , ´ d¯i ho p lê cho Tông-Nim mong muôn , , , ,, V´ı du sau chı k˜ı n˘ ang su dung mênh d¯ê` d¯ê thu c hiên an t´ınh to´ , , ´ ´ su biên d¯ôi môt sô hang , , `, trang V´ı du 5.27 Ba ˘´t d tr` o choi Nim [11, 22, 33] c´ o Tông-Nim l` a ¯â`u tu th´ , , , , , , , , , 60 H˜ ay chı l` am thê´ n` ao d o buo´c d ¯i ho p lê d ¯ê chuyên d ¯ôi Tông-Nim d ¯ê´n ¯ê c´ ❏ a) 55; b) , , , `,i giai Ta kiêm tra lai Lo Tông-Nim: 11 22 33 60 = = = = 25 0 1 24 1 23 0 22 1 21 1 0 20 1 , , , , a) Ta so s´ anh hai biêu di˜ên nhi phân cua Tông-Nim hiên o v` a Tông-Nim c´ muô´n c´ o: 60 55 = = 25 1 24 1 23 ↑ 22 1 21 ↑ 20 ↑ côt ac sô´ kh´ , Vi tr´ı côt ac bên tr´ nhâ´t l` a 23 Trong c´ ac sô´ hang o kh´ 11, 22, 33 chı c´ , , ,, , ,´, , ` ´ ˘ng sô 11 c´ o o vi tr´ı n` ay v` a nhu vây o buoc d ¯i ho p lê cho Tông-Nim ba d¯ê c´ , , , 55 l` a thay d a , ngh˜ıa l` a d¯ôi t`u 11(001011)2 th` anh ¯ôi 11 tai vi tr´ı , v` 0(000000)2 , 5.4 Chuyên d o choi Nim ¯ê` chiê´n thuât tr` 235 , , ,´, b) Ta so s´ anh hai sô´ biêu di˜ên duo i dang a 0: nhi phân cua 60 v` 60 = = 25 ↑ 24 ↑ 23 ↑ 22 ↑ 21 0 20 0 côt ac sô´ kh´ , ,, Côt ac tr´ nhâ´t o vi tr´ı 25 Trong c´ ac sô´ hang 11, 22, 33 chı c´ o 33 c´ o sai kh´ , , ´ tai ay v` a nêu ta thay d¯ôi tai a cua 33, ta nhân vi tr´ı n` vi tr´ı , , v` , , , ,, ,´, , ` ´ buoc d d¯uo c (011101)2 = 29 Do d a giam ¯o ¯i ho p lê chuyên Tông-Nim vê l` , ´ t`u 33 xuông c` on 29 , , , ´ ng minh bang chiê´n thuât ´ ng thông qua mênh Chu o choi Nim d¯u d¯ê`: tr` ❏ , ˜,ng mênh ´ng: Mênh d o choi Nim, nhu ¯ê` sau d ¯u ¯ê` 5.3 Trong tr` d , , ,´, `, ` môt th´ r˜ o d¯ê`u d th´ mo (N1 ) Buoc d ¯i bâ´t k`ı tu ¯u a d ¯ê´n môt trang trang , ,, ,, `, bâ´t k`ı d `, môt (N2 ) Tu th´ mo o thê chon ¯i d¯ê´n trang ¯ê`u c´ ¯uo c buo´c d trang d th´ r˜ o , ,, , , ˜, `, d ´ không thê c´ a) l` a môt (N3 ) Trang th´ kê´t th´ uc (tu o buo´c d¯i d ¯o ¯uo c nu trang th´ a i r˜ o ,, , ´,ng minh Mênh ˜ d¯uo c n´ Chu oi d¯ê´n phâ`n nh˜ung trang d¯ê` (N3 ) d¯a th´ ,, , , ˘ c biêt d¯a o choi Nim o C` on (N1 ) v` a (N2 ) d˜ê d` ang suy t`u tr` , mênh d a mênh d¯ê` 5.2 vê` Tông-Nim ¯ê` 5.1 v` , , `˘ng v` a nhu vây Nê´u ta c´ o môt r˜ o th`ı Tông-Nim ba theo mênh trang th´ , , , , , ´c d¯i ho p lê, d¯ê` 5.1 sau buo Tô ng-Nim không thê l` a 0, ngh˜ ıa l` a tr ang th´ , , ´i s˜e l` mo a m`o , , ´,n ho,n v` Nê´u môt l` a m`o th`ı Tông-Nim s˜e l` a môt a theo trang th´ sô´ lo , ,, ,´, , , ` ´i trang mênh d¯ê 5.2, n´ o c´ o kha n˘ ang t`ım d ¯uo c môt ¯i ho p lê to môt buoc d th´ r˜ o ❏ 236 ,, , ˜,ng tr` Chuong Nhu o choi to´ an hoc , , , ´ ng dung ´ `u no 5.4.3 Ch´ ung minh bang chiê´n thuât va , , ´,ng minh bang chiê´n thuât ´ ng: Bây gi`o ta d¯i chu 5.3 d¯u , ,, , ,, , ´ theo (N2 ) ngu`oi thu´ nhâ´t a) Gia su trang nguyên gô´c l` a m`o: Khi d¯o th´ , ,´, ,, , ,´, , c´ o thê c´ o buo cd r˜ o; ngu`oi n` ay goi c d¯i nhu vây ¯i d¯ê´n trang th´ nh˜ung buo , ,, ,, ,, , ´ nê´u ngu`oi thu´ hai c´ l` a buo´c d o thê c` on d¯i d¯uo c (nê´u trang th´ ¯i tô´t Sau d¯o , , , , , , , không phai l` a kê´t th´ uc tr` o choi), ngu`oi n` ay theo (N1 ) chı c´ o thê d¯ua vê` , , , , ,, , , , , ´c d trang m`o Tiê´p tuc ¯i tô´t, ngu`oi thu´ thu c hiên buo th´ ngu`oi thu´ nhâ´t lai ,´, , ,, , ´, cho,i theo ´,i trang hai s˜e lai o buo cd m`o, Nê´u ngu`oi thu´ nhâ´t cu ¯i t o c´ th´ , , ´, ,´, , ,, i d˜ ay trang c´ ach n` ay (buo c d¯i tô´t), th`ı ngu`oi thu´ hai luôn d¯ê´n luo t vo , , ,´, , , , ˜ ´c Ðê´n môt th´ r˜ o, môi buoc d l´ u c n` ao ¯i k´eo theo giam sô´ viên soi hon truo , ,`, ´, , ´i trang ˘ t vo ´ nguoi thu hai s˜e phai d¯ô´i ma d kê´t th´ uc v` a bi thua ¯o th´ ,, , ´ ,´, , , , b) Tuong tu , nêu trang nguyên gô´c l` a r˜ o: ngu`oi thu´ nhâ´t s˜e c´ o buo c th´ , , , , , , , , , ´ ` ´ ´i d˜ d th´ m`o v` a ngu`oi thu´ hai c´ o thê dôn ngu`oi thu´ nhât vo ay ¯i d ¯ên trang ,´, ,`, ´, ´ ´ ´ ´ buoc d th´ r˜ o; tât nhiên nguoi thu nhât d uc n` ao d¯o ¯i cho trang ¯ên môt l´ , , , , , ´ ´ ´ ´i trang ˘ t vo ˘ng ´ ngu`oi thu´ hai s˜e tha phai d¯ôi ma kêt th´ uc v` a d ¯o th´ , , , H`ınh 5.8 So d¯ô` b´ı quyê´t cua tr` o choi Nim , , , , T´ om lai, o choi Nim, th`ı trang th´ s˜e phai thay d¯ê choi tô´t tr` , , , , ´,i d ´,i trang chuyên d¯ôi gi˜ua r˜ o v` a m`o cho to th´ kê´t th´ uc Nê´u ¯at to , 5.4 Chuyên d o choi Nim ¯ê` chiê´n thuât tr` 237 , , ´, , không c´ o g`ı sai lâ`m th`ı nê´u trang nguyên gô´c l` a m`o th`ı ngu`oi thu nhâ´t th´ , , , , , ´ ´˘ng ´ hai phai tha ˘ng, nê´u trang phai tha th´ nguyên gô´c l` a r˜ o th`ı ngu`oi thu , , , , ` nhu bang chiê´n thuât a thu c hiên ¯ô 5.8 5.3 v` theo so d , ,, , `, `, nhu ˜,ng trang V´ı du 5.28 Tu m`o sau d ay t`ım tâ´t ca buo´c d ¯i tô´t tu ¯ây h˜ th´ ch´ ung: a) [3, 4, 8, 9] b) [8, 10, 7, 1] , , `,i giai a) Tông-Nim Lo = = = = = c) [9, 25, 49] d) [6, 5, 3, 1] , = 6, ta kiêm tra lai: 23 0 1 22 0 21 0 20 0 , , , , , ,´, `˘ng 0, nh`ın v` Ðê c´ o buo cd a ta phai d ao bang ¯i tô´t ngh˜ıa l` ¯ôi Tông-Nim ba , , ta phai thay d a 21 môt ac sô´ hang Tai ¯ôi tai vi tr´ı côt v` c´ vi tr´ı , , ,´, ˜ ´ ´ Do d¯o ´ buoc d¯i tô´t l` côt o sô l` a c´ o biêu diên nhi phân tai a ¯o chı c´ d , , ,, , ´ ´ ´ d¯ôi 4(= 0100) th` anh 2(= 0010) Ngh˜ıa l` a lây o d ¯ông thu hai d¯i hai viên soi , , , , , ˘ c Meo o choi Nim: Trong choi tr` o n` ay không thê ke bang hoa tr` , , ,, biê´n d¯ôi nhi phân c´ ac sô´ rô`i t´ınh tông râ´t phiê`n h` a C´ o môt ach l` a su dung c´ , ,, ´ , ph´ep Tông-Nim d¯uo c tiên h` anh nhu sau (h`ınh 5.9): , , , ˜ d¯ô´ng soi Chia môi lâ´y phâ`n l˜ uy th`ua cua gâ`n nhâ´t, v´ı du [3, 4, 8, 9] chia th` anh d˜ ay 1, 2, 4, 8, 8, , , ,, Theo Tông-Nim d˜ ay c´ o hai 8, v` a 1, d on ¯ê`u bi truo t tiêu, chı c` , , , , ` ` ˘ng th`ı tông hai sô´ n` ˘ng lai am Tông-Nim ba ay phai ba ¯ê l` d¯ô´ng 2, d , ,, ngh˜ıa l` a phai lâ´y d ¯i viên o d ¯ô´ng viên , `˘ng 4: b) Tông-Nim ba ,, , ˜,ng tr` Chuong Nhu o choi to´ an hoc 238 ? 10 H`ınh 5.9 23 1 0 = = = = = 22 0 1 21 1 0 20 0 1 , , , , ,, `˘ng 0, ta phai thay d¯ôi môt Ðê Tông-Nim ba ay sô´ hang o côt Trong côt n` , , , , ´c d¯i tô´t nhâ´t l` chı c´ o c´ o sô´ 1, vây a chuyên 7(= 0111) th` anh 3(= 0011), buo , ,, , ´ ba d ngh˜ıa l` a lâ´y o d ¯ô´ng thu ¯i viên soi , `˘ng 33: c) Tông-Nim ba 25 49 33 25 0 1 = = = = 24 1 23 1 0 22 0 0 21 0 0 20 1 1 , , , , ,, `˘ng 0, ta phai thay d¯ôi môt Ðê Tông-Nim ba o côt a môt sô´ hang v` sô´ , ,, , , ´c d¯i tô´t nhâ´t l` hang o côt o 49 c´ o sô´ 1, vây a Trong côt chı c´ buo , ,, , ´ ´ ´ chuyên 49(= 110001) th` anh 16(= 010000), ngh˜ıa l` a lây o d ¯ông thu ba d¯i , 33 viên soi , `˘ng 1: d) Tông-Nim ba 1 = = = = = 22 1 0 21 1 0 20 1 1 , 5.4 Chuyên d o choi Nim ¯ê` chiê´n thuât tr` 239 , , , , ,, `˘ng 0, ta phai thay d¯ôi môt Ðê Tông-Nim ba ay Trong côt n` sô´ hang o côt , , , ´c d c´ o ba sô´ 5, 3, c´ o sô´ 1, vây o ba kha n˘ ang l` a lâ´y d ¯i tô´t nhâ´t c´ ¯i viên buo ,, ´ o môt ¯ô´ng d¯o ba d ❏ ` tâp Bai , ,, , , 5.29 (Tr` o choi Nim giai ô) Môt ang giâ´y d` d anh nh˜ung ô ¯uo c chia th` b˘ vuông v` a g´ an nh˜ an 0, 1, 2, 3, (h`ınh 5.10) H`ınh 5.10 , ,, , ˜ ô vuông c´ ˘ t môt ˘ c môt Trên môi o thê d¯a quân c`o Hai ngu`oi lâ`n hoa v` , ,, , ,´, ,´, , ´ ng quân vê` luo t thu c hiên ac buo cd cd a chuyên d ¯i: Môt ¯i ho p lê l` ¯u c´ buo , , , , , , ´˘ng cuôc ´c cuô´i c` ph´ıa tr´ (vê` sô´ 0) Ngu`oi tha a ngu`oi d¯i buo ung vê` chuô`ng l` , , , , ´i tr` (ô nh˜ an sô´ 0) H˜ ay t`ım mô´i quan gi˜uu tr` o choi n` ay vo o choi Nim v` a ,´, , , , ´ ´c t`ım buoc d cho truo ¯i tôt t`u môt trang th´ , , 5.30 (Tr` o choi Nim quân c`o) , , ,, , ˜ ô d¯u,o.,c d ˘ t môt ˘ c Tr` o choi d an c`o vua Trên môi ¯uo c thu c hiên ¯a b` hoa ,`, , ,´, ,´, , , v` quân c`o Hai nguoi choi thay phiên thu c hiên ¯i: Môt buoc d buoc , , , , ´ ´ ng môt d¯i ho p lê l` a chuyên d¯u ao quân c`o t`u môt ô sang bât k`ı ô vuông n` , , ` ` ` ˘ c vê ph´ıa tr´ vê ph´ıa hoa (nhung không d¯ông th`oi) Muc a dô`n d¯´ıch l` , , ,, , , ´nh dâ´u l` hê´t tâ´t ca quân c`o vê` ô vuông d¯uo c d¯a a chuô`ng (h`ınh ??) v` a ngu`oi , , ,, ´ , ˘ng cuôc ay giai th´ıch mô´i d¯ua quân c`o cuô´i c` ung vê` chuô`ng l` a ngu`oi tha H˜ ,´, , , , ´,i tr` liên quan tr` o choi n` ay vo o choi Nim v` a t`ım buo c d¯i tô´t t`u môt trang th´ , ˜ cho (v´ı du nhu h`ınh ??) d¯a , ` LIÊU TAI THAM KHAO , , ,, [1] Kvant (Tap an hoc a tru`ong phô thông cua Liên Xô c˜ u v` a ch´ı to´ cho nh` ng` ay l` a Liên bang Nga, n˘ am 1970-2002) ˜,ng suy luân [2] G Polya, To´ an hoc a nhu o l´ı, NXBGD, 1995 v` c´ [3] R j McEliece, R B Ash, C Ash, Introduction to Discrete Mathematics, McGraw-Hill Book Co., 1989 , , [4] G H Hardy, J.E Littlewood, G Polya Bâ´t d ˘ng thu´c, NXB ÐHQG H` a ¯a Nôi, 2002 ,, [5] Nguy˜ên V˘ an Mâu, am, NXB GD, 1998 Phuong tr`ınh h` , , ,, , [6] Nguy˜ên H˜uu Ðiên, Phuong ph´ ap Ðirichle v` a u´ng dung, NXB KHKT, 1999 , , ,, [7] Nguy˜ên H˜uu Ðiên, Phuong ph´ ap Quy nap an hoc, to´ NXB GD, 2000 , , , ,, , , [8] Nguy˜ên H˜uu Ðiên, Phuong ph´ ap Sô´ phu´c v´ oi h`ınh hoc ˘ng, NXB pha ÐHQG, 2000 , , , , , ˜,ng phu,o,ng ph´ [9] Nguy˜ên H˜uu Ðiên, Nhu ap d an phô ¯iên h`ınh giai to´ thông, NXB GD, 2001 , , , , ˜,ng phu,o,ng ph´ [10] Nguy˜ên H˜uu Ðiên, Nhu ap giai b` to´ an cu c tri h`ınh hoc, NXB KHKT, 2001 , , , , [11] Nguy˜ên H˜uu Ðiên, S´ ang tao an phô thông, NXB GD, 2002 giai to´ , , , , [12] Nguy˜ên H˜uu Ðiên, Ða thu´c v` a u´ng dung, NXB GD, 2003 240 , ˜ NHUNG K´I HIÊU , ´,i c´ Trong cuô´n s´ ach n` ay ta d` ung nh˜ung k´y hiêu ac ´y ngh˜ıa x´ ac d¯inh vo , ,´, bang duoi d ây: ¯ N Z Q R C ≡ Ckm USCLN BSCNN deg ❏ IMO APMO , , tâp ho p sô´ tu nhiên , tâp ho p sô´ nguyên , , , tâp ho p sô´ h˜uu tı , , tâp ho p sô´ thu c , ´ ´, tâp ho p sô phuc , dâ´u d¯ô`ng du , , , ,, tô ho p châp k cua m phâ`n tu ph´ep chia hê´t không chia hê´t ,´, ´ ´,n nhâ´t uo c sô chung lo , bôi sô´, chung nho nhâ´t ´,c bâc ¯a thu cua d , ´ ng minh Kê´t th´ uc chu International Mathematics Olympiad Asian Pacific Mathematics Olympiad 241 MUC LUC `,i n´ Lo oi d ¯â`u ,, Chuong Nguyên l´ı bâ´t biê´n ,, ,, ´,i thiêu 1.1 Gio ap d¯ai phuong ph´ luo ng bâ´t biê´n 7 1.2 Ph´ at hiên to´ an bâ´t biê´n b` , , , `˘ng d¯ai 1.3 Giai to´ an ba luo ng bâ´t biê´n 24 , 1.4 Bâ´t biê´n d ¯on d ¯iêu 27 , 1.5 Nh˜ung b` to´ an nâng cao 43 1.6 Chuyên d¯ê` vê` h` am bâ´t biê´n 51 1.6.1 Ðinh am bâ´t biê´n trang ngh˜ıa h` th´ , 1.6.2 Hê thô´ng bâ´t biê´n d ¯â`y d ¯u ,, , , ´c d ´ ng hai biê´n Chuong Ða thu ¯ô´i xu 52 58 64 2.1 Ðinh a t´ınh châ´t 65 ngh˜ıa v` , , ´,c hai biê´n 67 2.2 Ðinh l´ı co ban cho d¯a thu , ,, ´,ng 71 2.3 Giai phuong tr`ınh d¯ô´i xu , ,, ´,ng 77 2.4 Ðua vê` phuong tr`ınh dang ¯ô´i xu d , ´,c d ´,ng 82 ´,ng minh bâ´t d ˘ng thu 2.5 Chu ¯ô´i xu ¯a ´,c bâc 2.6 B` to´ an vê` tam thu hai 87 ´,c d ´,ng th`u,a sô´ 91 2.7 Phân t´ıch d¯a thu ¯ô´i xu , 2.8 Nh˜ung b` to´ an kh´ ac 95 ,, ´,ng 101 2.9 Chuyên d¯ê` vê` phuong tr`ınh sô´ d ¯ô´i xu , , , ´,c sô´ d¯ô´i xu ´,ng 101 2.9.1 Ðinh l´ı co ban cua d¯a thu 242 MUC LUC , , ,, 2.9.2 Nh˜ung v´ı du giai phuong tr`ınh bâc cao , , , , , 2.10 Go i ´y v` a tra l`oi b` tâp chuong , , ,, , ´, tu., ´ c cua c´ ˘ng thu Chuong Bâ´t d ac d˜ ay sô´ d¯ô`ng thu ¯a ´, tu., hai hoa ˘ p thu ˘ c ba sô´ 3.1 Ca , 3.2 Tông qu´ at h´ oa ,, ´, tu., 3.3 Su dung c´ ac d˜ ay sô´ d ¯ô`ng thu , ´,c Karamata ˘ng thu 3.4 Chuyên d¯ê` vê` bâ´t d¯a , ´,c Karamata ˘ng thu 3.4.1 H` am lô`i v` a bâ´t d¯a , ,, ´,c Karamata ˘ng thu 3.4.2 Su dung bâ´t d ¯a , ´,c kh´ ˘ng thu 3.4.3 Môt ac sô´ bâ´t d¯a , , ´,c tam gi´ ˘ng thu 3.4.4 Nh˜ung bâ´t d ac ¯a , ,, , , 3.5 Go i ´y v` a tra l`oi b` tâp chuong ,, ,, Chuong Phuong tr`ınh h` am ,, , 4.1 Phuong ph´ ap thê´ nh˜ung gi´ a tri d ¯ô´i sô´ , ,, 4.2 Phuong ph´ ap d ¯iêm bâ´t d¯ông ´,c giao ho´ 4.3 Chuyên d ac d an ¯ê` vê` c´ ¯a thu 4.3.1 Ðinh ngh˜ıa ´,c Chebyshev 4.3.2 Ða thu , ´,c giao ho´ 4.3.3 B` to´ an tông qu´ at vê` c´ ac d an ¯a thu , , , , , 4.4 Go i ´y v` a tra l`oi b` tâp chuong ,, , , ˜ ng tr` Chuong Nhu o choi to´ an hoc 5.1 Chiê´n thuât bâ´t biê´n , ´,c to´ ´,i tr` 5.2 Kiê´n thu an vo o choi , , 5.3 Nh˜ung b` to´ an thi hoc sinh gioi 243 105 110 132 134 143 149 156 156 163 166 168 171 176 176 187 194 194 197 200 203 205 206 210 214 244 MUC LUC , 5.4 Chuyên d¯ê` chiê´n thuât o choi Nim tr` 225 5.4.1 Ðinh a v´ı du ngh˜ıa v` , 5.4.2 Chiê´n thuât o choi Nim tr` , ´,ng minh bang chiê´n thuât ´,ng dung 5.4.3 Chu au n´ o v` , T` liêu tham khao , Nh˜ung k´ı hiêu 225 241 Muc luc 242 229 236 240 , Chiu ach nhiêm tr´ xuâ´t ban: , , ` ´ Chu tich am d ¯ô´c NGÔ TRÂN AI HÐQT kiêm Tông Gi´ , , , , ˜ DUONG THUY Ph´ o Tông Gi´ am d¯ô´c kiêm Tông biên tâp VU Biên tâp nôi dung: , ` ˜ TRÂN HUU NAM Tr`ınh b` ay b`ıa: ` ´ HANH TRÂN THI THUY , Chê´ ban: , ˜ HU ˜,U ÐIÊN NGUYÊN ,, , Sua ban in: , ˜ HÔNG ` NGUYÊN SON , , , , , ´ ´ ˘` ´ ÐAI ´ BANG PHUONG PHAP GIAI TOAN LUO NG BÂT BIÊN M˜ a sô´: 8I004T5-TTS , , In 3.000 ban (10TK), khô 14, × 20, cm Tai a Tây Công ty In H` , Sô´ in: 29/TK Sô´ xuâ´t ban: 21/727-05 , , In xong v` a nôp ang n˘ am 2005 luu chiêu th´