sử dụng máy tính bỏ túi phát triển tư duy thuật toán trong giải quyết vấn đề

Do đó cần phải điều chỉnh chương trình phổ thông hiện nay phù hợp hơn theo hướng sử dụng tích cực MTBT trong việc giảng dạy...84 3.Chương trình đào tạo giáo viên ở các trường Đại học và

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Huế, Năm 2012

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác.

Tác giả luận văn

Trần Đình Cư

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê Thị Hoài Châu, người đã từng bước dẫn dắt tôi bước vào con đường nghiên cứu khoa học và là người đã tận tình chỉ dẫn, động viên tôi, giúp tôi có đủ niềm tin và nghị lực để hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS TS Trần Vui, GS TS Đào Tam, PGS.TS Bùi Văn Nghị, TS Nguyễn Thị Lan Phương, TS Hoàng Lê Minh đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp những thắc mắc giúp chúng tôi có thể tiếp thu một cách tốt nhất về chuyên ngành Lí luận và phương pháp dạy học môn toán

Tôi xin chân thành cảm ơn:

- Khoa Toán - Trường ĐHSP Huế, phòng đào tạo sau Đại học - Trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường

- Ban giám hiệu và quý thầy cô trường THPT Phong Điền, THPT Đặng Trần Côn (Huế) đã cho phép và hỗ trợ giúp chúng tôi thực hiện đề tài

Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn chia sẻ cùng tôi những buồn vui và khó khăn trong quá trình học tập

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình, đặc biệt là mẹ tôi, người luôn nâng đỡ và bảo ban tôi về mọi mặt

Huế, tháng 9 năm 2012

Tác giả luận văn

Trần Đình Cư

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mục lục 1

Danh mục các chữ viết tắt 3

Chương 1 5

MỞ ĐẦU 5

1 Lời giới thiệu 5

2 Mục đích nghiên cứu 8

3 Câu hỏi nghiên cứu 8

4 Định nghĩa các thuật ngữ 8

5 Ý nghĩa nghiên cứu 9

6 Cấu trúc luận văn 9

Chương 2 10

TỔNG QUAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 10

1 Sơ lược lịch sử hình thành và phát tiển máy tính bỏ túi Casio 10

2 Nền tảng lý thuyết 13

2.1 Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học 13

2.2 Một số quan điểm khác 14

2.3 Vấn đề và giải quyết vấn đề 15

3 Các nghiên cứu liên quan 17

3.1 Thuật toán và tư duy thuật toán 17

Khái niệm tư duy thuật toán liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán Do đó trước khi đưa ra khái niệm tư duy thuật toán ta hãy nghiên cứu khái niệm thuật toán 17

3.1.1 Khái niệm thuật toán và các yếu tố thuộc về thuật toán 17

3.1.2 Tư duy thuật toán 22

3.1.3 Quy trình, quy trình tựa thuật toán 23

3.2 Thực trạng và tầm nhìn MTBT trong dạy và học toán THPT 24

3.2.1 Lợi ích của sử dụng MTBT trong dạy và học toán 24

3.2.2 Những thách thức về sử dụng MTBT trong dạy và học toán 25

3.2.3 Thực trạng sử dụng MTBT trong lớp học toán ngày nay 27

Chương 3 29

SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI THIẾT LẬP QUY TRÌNH VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN TRONG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 29

1 Định hướng sư phạm về sử dụng MTBT hỗ trợ dạy và học toán 29

1.1 Sử dụng MTBT trong định hướng tìm lời giải phương trình đại số 29

1

1.2 Sử dụng MTBT trong định hướng tìm lời giải phương trình lượng giác 33

1.3 MTBT hỗ trợ giải bất phương trình 37

1.4 Sử dụng MTBT tính giới hạn thông qua đạo hàm 41

2 Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh trong giải quyết vấn đề 43

2.1 Thuật toán tìm số dư 43

2.2 Thuật toán tìm UCLN .44

2.3 Thuật toán tính liên phân số 46

2.4 Thuật toán giải phương trình lượng giác thường gặp 49

2.4.1 Giải phương trình dạng asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 52

2.4.2 Giải phương trình dạng a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c 53

2.4.3 Giải phương trình dạng a(sinx - cosx) + bsinxcosx = c 53

2.5 Thuật toán tính các số hạng của dãy số 54

Chương 4 65

KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ LÝ GIẢI SƯ PHẠM 65

1 Phương pháp thu thập dữ liệu 65

1.1 Tổ chức thu thập dữ liệu 65

1.3 Công cụ nghiên cứu để thu thập dữ liệu 66

1.3.1 Giáo án dạy thực nghiệm 66

1.3.2 Bộ đề kiểm tra 72

1.3.3 Ý định sư phạm đề kiểm tra 74

1.3.4 Đáp án vắn tắt và thang điểm đề kiểm tra 76

2 Phân tích dữ liệu 78

2.1 Kết quả đề kiểm tra 78

2.2 Kết quả thăm dò bảng hỏi 79

2.2.1 Kết quả thăm dò bảng hỏi của học sinh 79

2.2.2 Kết quả thăm dò bảng hỏi của giáo viên 80

KẾT LUẬN 83

Một số đề xuất kiến nghị 84

1.Sử dụng MTBT hỗ trợ vào quá trình dạy và học vẫn còn là vấn đề mới đối với phần lớn GV Việt Nam, và họ không biết hoàn toàn tất cả các chức năng và lợi thế của công nghệ cầm tay này Một số cá nhân giáo viên muốn thay đổi nhưng tiêu chí của trường và chương trình giảng dạy toán học hiện nay không cho phép thầy (cô) ấy để làm Vì vậy, việc sử dụng MTBT trong dạy và học toán nên được đưa nhiều vào trong chương trình toán THPT 84

2.Chương trình kiểm tra, thi cử và sách giáo khoa vẫn còn rất truyền thống Giáo viên phải dạy theo đúng phân phối chương trình, còn học sinh buộc phải học theo kiểu đối phó, họ bị ảnh hưởng rất nhiều đến việc sử dụng CNTT trong lớp học Do đó cần phải điều chỉnh chương trình phổ thông hiện nay phù hợp hơn theo hướng sử dụng tích cực MTBT trong việc giảng dạy 84 3.Chương trình đào tạo giáo viên ở các trường Đại học và Cao đẳng thiếu sự

hỗ trợ của CNTT mới và cách tiếp cận mới trong việc giảng dạy và học tập, phần lớn các kiến thức được truyền thụ một cách lý thuyết hơn so thực hành tính toán Vì vậy, cần phải đào tạo sinh viên ngay khi đang ngồi trên ghế nhà trường một cách bài bản về CNTT nói chung và công nghệ cầm tay nói riêng

sao cho sau khi tốt nghiệp, những giáo viên này có thể khai thác tốt nhất công

nghệ hiện đại hỗ trợ quá trình dạy và học 84

4.Thực tế là một số học sinh có hoàn cảnh khó khăn hoặc ở các vùng sâu vùng xa không đủ điều kiện để mua MTBT thì cần phải có một chế độ ưu đãi từ các công ty máy tính hay các nhà đầu tư giáo dục Cần trang bị cho mỗi trường phổ thông một số MTBT thông qua ngân sách trang thiết bị trường học hoặc các nguồn kinh phí khác Nhà trường có trách nhiệm quản lý và sử dụng MTBT này như là tài sản của thư viện hay phòng máy Đây cũng là một đầu tư nhỏ (50 MTBT bằng giá tiền một máy tính điện tử cá nhân) nhưng hiệu quả lớn vì phục vụ cho số đông 85

TÀI LIỆU THAM KHẢO 86

PHỤ LỤC 90

PHỤ LỤC 1 91

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

GQVĐ : Giải quyết vấn đề

GV : Giáo viên

HS : Học sinh

MTBT : Máy tính khoa học điện tử bỏ túi

NCTM : National Council of Teachers of Mathematics THPT : Trung học phổ thông

TDTT : Tư duy thuật toán

[?] : Câu hỏi đặt ra cho học sinh

[!] : Dự đoán câu trả lời hoặc cách xử lý của học sinh

Chương 1

MỞ ĐẦU

1 Lời giới thiệu

Để bắt kịp sự phát triển của xã hội trong bối cảnh bùng nổ thông tin, ngành giáo dục

và đào tạo phải đổi mới phương pháp dạy học một cách mạnh mẽ nhằm đào tạo những con người có đầy đủ phẩm chất của người lao động trong nền sản xuất tự động hóa như: năng động, sáng tạo, tự chủ, kỷ luật nghiêm, có tính tổ chức, tính trật

tự của các hành động và có ý thức suy nghĩ tìm giải pháp tối ưu khi giải quyết công việc Muốn đạt được điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực hiện trong quá trình dạy học là tận dụng các phương tiện hiện đại hỗ trợ vào quá trình dạy và học trong đó có máy tính khoa học điện tử bỏ túi (MTBT)

Vào những năm 1970, cuộc cách mạng công nghệ máy tính chuyển sang khuynh hướng chế tạo thiết bị cầm tay Năm 1972, MTBT được phát minh, với kích thước nhỏ gọn nhưng có khả năng hiển thị các hàm số, tính giá trị hàm số tại một điểm, lưu và trả kết quả dữ liệu đưa vào, và nhiều chức năng khác MTBT nhanh chóng phổ biến ở các lớp học toán ở các nước trên thế giới Từ khi MTBT ra đời, các nhà giáo dục và các nhà nghiên cứu đã quan tâm đến tác động của MTBT vào thành tích học tập của học sinh (HS) MTBT ra đời có làm giảm các kĩ năng cơ bản của HS hay không? Vào thời điểm đó, các cuộc tranh luận diễn ra thường xuyên giữa các nhà giáo dục học, các giáo viên (GV) và các nhà nghiên cứu ở Hoa Kỳ (và một số nơi khác)

Theo Pat Perks (1990, [20]) trong dạy và học toán, những tác động to lớn của MTBT được xem xét từ 4 phía cạnh sau:

1 Hứng thú và tự tin: MTBT cung cấp cho HS những cách thức khác nhau để giải quyết vấn đề (GQVĐ) HS hứng thú, tích cực trong các hoạt động và hoàn chỉnh lời giải một cách chắc chắn;

2 Mở rộng phạm vi của chương trình: MTBT tạo ra cơ hội để HS phám khá các tri thức, thậm chí đi xa hơn chương trình của một lớp học;

3 Tăng xu hướng giảng dạy: Đưa việc sử dụng MTBT vào chương trình giảng dạy dưới nhiều hình thức khác nhau để tăng tính hiệu quả của chương trình học của HS;

4 Sáng tạo và kiểm chứng: MTBT là công cụ giúp HS kiểm tra các kết quả, cho phép các em sáng tạo với những con số và kiểm chứng các ý tưởng.Theo nghiên cứu của (NCTM, 2000, [18]) và (Schuck, 1995, [23]) về yếu tố chính ảnh hưởng đến việc học của HS là GV, nghiên cứu cho rằng người GV phải có thái

độ tích cực đối với toán học và việc sử dụng nguồn tài nguyên công cụ, trong đó có MTBT để làm cho toán học trở nên nhẹ nhàng và có ý nghĩa hơn đối với HS Cũng như trong nghiên cứu (Fleener, 1995, [9]; Hembree và Dessart, 1986, [11]; Laumakis và Herman, 2008, [15]; Ruthven, 1990, [21]) đã chỉ ra rằng việc sử dụng MTBT trong giảng dạy có thể tác động tích cực đến cả GV và HS

Tăng hướng dẫn sử dụng MTBT vào quá trình giảng dạy sẽ thu hút người học xây dựng, hình thành và khám phá tri thức, khả năng GQVĐ Đồng thời thông qua việc thăm dò các ý tưởng và quá trình học của HS, GV cũng có cơ hội để học tập và nâng cao khả năng xử lý các tình huống bất ngờ mà người học có thể tạo ra với những ý tưởng táo bạo và sáng tạo trên MTBT của mình

1.1 Nhu cầu nghiên cứu

Ngày nay, hầu hết các nước trên thế giới đều đưa MTBT hỗ trợ trong quá trình giảng dạy toán từ chương trình bậc tiểu học cho đến chương trình bậc đại học

Nhiều nghiên cứu đã chỉ ra rằng: Trong môi trường máy tính một số vấn đề toán

khó giải thích, đặc biệt với các phép tính phức tạp thì với công cụ máy tính các kết quả được kiểm chứng và minh họa rõ ràng hơn

Theo Laumakis và Herman (2008, [15]) trong các bài kiểm tra cuối khóa ở các trường thì những HS có khả năng sử dụng MTBT thành thạo có điểm số cao hơn so với HS không sử dụng MTBT hay những HS chỉ biết sử dụng MTBT Điều này cũng đã tương đồng với nghiên cứu của Sigg và Pau O (2000, [24]), đã xác nhận thái độ và niềm tin của GV khi đưa MTBT vào trong lớp học Các GV thừa nhận, MTBT đã cải thiện được thành tích học tập của HS một cách đáng kể

Nhìn chung, trong các trường phổ thông và đại học ở Việt Nam hiện nay, việc gắn giảng dạy lý thuyết và tính toán thực hành còn chưa được đẩy mạnh Điều này hoàn toàn không phải vì thiếu công cụ tính toán, mà có lẽ là việc phổ biến cách sử dụng các cộng cụ tính toán chưa được quan tâm Trong nhiều năm qua Bộ Giáo dục và Đào tạo đều có tổ chức các cuộc thi giải toán MTBT từ cấp Tỉnh đến cấp Quốc gia, tuy nhiên việc hướng dẫn cho HS vận dụng MTBT một cách sáng tạo trong quá trình học tập bộ môn toán vẫn đang còn hạn chế

Nhìn chung HS chỉ sử dụng MTBT ở mức độ thực hiện các phép tính đơn giản mà chưa ứng dụng vào mức độ cao hơn như dự đoán kết quả, tư duy sáng tạo, tư duy thuật toán (TDTT) dựa trên công cụ MTBT Tư duy thuật toán, một dạng tư duy rất cần thiết trong thời đại công nghệ thông tin, được thể hiện trên máy tính điện tử qua nhiều dạng toán có nội dung toán học sâu sắc TDTT thông qua máy tính điện tử, sẽ

là cầu nối giữa hai bộ môn rất gần nhau, nhưng hiện nay được dạy một cách độc lập, ít liên hệ nhau là toán và tin học Các GV toán có thể hướng dẫn HS thực hành trên MTBT thay cho máy tính điện tử để đạt hiệu quả cao trong dạy học Nhiều thuật toán (tìm số nguyên tố, tính theo công thức truy hồi, tính giới hạn, giải gần đúng phương trình ) trước kia không có khả năng thực hành, nay có thể thực hiện thông qua MTBT

1.2 Phát biểu nghiên cứu

Với sự phát triển của công cụ tin học, việc học toán ngày càng được cải thiện hơn

so với trước đây Nhiều bài toán xuất phát từ thực tiễn hay các bài toán đòi hỏi độ tính toán phức tạp cao không thể giải quyết được bằng các tính toán thủ công hoặc giải quyết được nhưng mất rất nhiều thời gian Do đó phải dùng tới tính toán của máy tính điện tử hoặc MTBT

Máy tính và phần mền tính toán ra đời là nhằm đáp ứng các nhu cầu tính toán phức tạp (kể cả phổ thông lẫn cao cấp) trở thành công cụ làm việc dễ dàng cho mọi người Một điều thú vị là ngoài vai trò tính toán, MTBT và phần mền toán học có khả năng hỗ trợ rất tốt cho việc dạy và học, nếu chúng ta biết khai thác một cách khéo léo Việc nắm những thủ tục và thực hành trên máy là không khó khăn, cho nên nếu biết xác định đúng nội dung dạy và học thì chẳng những tránh được cái quá tải không cần thiết, mà còn làm tăng năng lực vận dụng các kiến thức toán học vào các hoạt động thực tiễn giúp HS thấy được một phần giá trị đích thực của toán học Tuy nhiên, để việc thực hiện tính toán trên MTBT dễ dàng đòi hỏi người sử dụng có hiểu biết sâu sắc về lý thuyết toán học Mặt khác, nhiều vấn đề lý thuyết (tính tăng giảm, bị chặn, tốc độ hội tụ, độ chính xác, độ phức tạp, tính xấp xỉ ) sẽ được soi sáng trong thực hành tính toán cụ thể

Vì vậy, việc sử dụng thành thạo công cụ tính toán là cần thiết cho GV và HS Công

cụ tính toán sẽ hỗ trợ đắc lực cho việc tiếp cận và truyền đạt các kiến thức lý thuyết, giảng dạy lý thuyết gắn với thực hành tính toán, sẽ giúp HS không chỉ tiếp thu tốt các kiến thức khoa học một cách bản chất, sâu sắc, mà còn tiếp cận tốt hơn với các

phương pháp giảng dạy và công cụ tính toán hiện đại Các thuật toán và các quy trình thao tác trên MTBT có thể coi là bước tập dược ban đầu để HS dần quen với

kĩ thuật lập trình trên máy tính cá nhân

Với mục đích minh họa khả năng sử dụng MTBT và ứng dụng trong dạy và học

toán, chúng tôi chọn "Sử dụng máy tính bỏ túi phát triển tư duy thuật toán trong giải quyết vấn đề" làm đề tài nghiên cứu của luận văn này.

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nhằm tìm hiểu vai trò của MTBT trong môi trường học toán của học sinh THPT Từ đó, khảo sát khả năng sử dụng MTBT để khám phá các tri thức toán học, hình thành và phát triển TDTT trong GQVĐ

3 Câu hỏi nghiên cứu

1 Vai trò của MTBT trong môi trường học toán của HS THPT được thể

hiện như thế nào?

2 Khả năng sử dụng MTBT giúp HS khám phá tri thức toán như thế nào

trong chương trình toán THPT?

3 HS sử dụng MTBT hỗ trợ phát triển tư duy thuật toán như thế nào

trong quá trình GQVD?

4 Định nghĩa các thuật ngữ

- Máy tính điện tử khoa học bỏ túi (scientific calculator): là máy tính có

kích cỡ nhỏ gọn (có thể bỏ túi được) dùng để hỗ trợ trong lĩnh vực tính toán, lưu và xử lý dữ liệu, tính toán nhanh và gần như chính xác

- Tư duy: là sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc

biệt bởi bộ não người Tư duy phản ánh tích cực hiện thực khách quan dưới dạng các khái niệm, sự phán đoán, lý luận (Từ điển bách khoa toàn thư Việt Nam tập 4, 2005, [8])

- Thuật toán (algorithm): Thuật toán để giải một bài toán là một dãy hữu

hạn các thao tác được sắp xếp theo một trình tự xác định sao cho sau khi

thực hiện dãy thao tác ấy, từ đầu vào (Input) của bài toán, ta nhận được đầu ra (Output) cần tìm.

- Tư duy thuật toán: là cách suy nghĩ để nhận thức, để giải quyết vấn đề

một cách có trình tự (Bùi Văn Nghị, 2005, [7])

- Vấn đề: Vấn đề là một tình huống đặt ra cho cá nhân hoặc một nhóm để

giải quyết, mà khi đối mặt với tình huống này họ không thấy được ngay các phương pháp hoặc con đường để thu được lời giải (Trần Vui, 2006, [12])

- Giải quyết vấn đề: Giải quyết vấn đề chỉ quá trình mà một cá nhân sử

dụng kiến thức, kĩ năng và hiểu biết đã học được trước đó để đáp ứng đòi hỏi của những tình huống không quen thuộc đang gặp phải (Stephen Krulik và Jesse A Rudnick,1980, [25])

5 Ý nghĩa nghiên cứu

Luận văn góp phần làm sáng tỏ

- Thứ nhất: Vai trò của MTBT trong môi trường học toán của HS THPT

- Thứ hai: Sử dụng MTBT hỗ trợ các quy trình dạy học, giúp HS khám phá

các tri thức toán học

- Thứ ba: Xác định được một số định hướng sư phạm trong quá trình dạy

học, cùng với sự hỗ trợ MTBT hình thành và phát triển TDTT cho HS trong qúa trình GQVĐ

6 Cấu trúc luận văn

Chương 1 Mở đầu;

Chương 2 Tổng quan các kiến thức liên quan;

Chương 3 Sử dụng máy tính bỏ túi thiết lập quy trình và phát triển tư duy

thuật toán trong giải quyết vấn đề;

Chương 4 Kết quả nghiên cứu và lý giải sư phạm;

Tóm tắt chương 1: Chúng tôi vừa trình bày mục đích nghiên cứu và ý nghĩa của đề

tài: Sử dụng máy tính bỏ túi phát triển tư duy thuật toán trong giải quyết vấn đề Đồng thời chúng tôi cũng phát biểu các câu hỏi nghiên cứu và định nghĩa một số thuật ngữ chính của luận văn Chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức làm cơ sở và định hướng cho nghiên cứu này ở chương tiếp theo

Chương 2

TỔNG QUAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

1 Sơ lược lịch sử hình thành và phát tiển máy tính bỏ túi Casio

Casio là một nhà sản xuất hàng đầu về thiết bị điện tử, và được xem là một nhà tiên phong trong thị trường máy tính điện tử Nó có các cơ sở sản xuất và tiếp thị trên khắp thế giới Phiên bản đầu tiên của công ty có nguồn gốc từ Tokyo-Nhật Bản chỉ sau khi kết thúc chiến tranh thế giới thứ II, và chính thức được biết đến theo tên Casio vào năm 1975 Năm 1946, một doanh nhân Nhật Bản là Kashido Tadao đã

mở một cửa hàng điện tử nhỏ tại Tokyo với mục đích là bộ phận sản xuất kính hiển

vi Như một cách mở rộng kinh doanh của mình, ông và anh trai mình phát minh ra một loại máy tính cơ khí mà đã trở thành tiền thân của máy tính điện tử hiện nay.Mười một năm sau khi mở cửa hàng đầu tiên của mình, Tadao bắt đầu công ty máy tính Casio để xây dựng máy tính chuyển tiếp hoàn toàn bằng điện Công ty bắt đầu

mở rộng nhanh chóng và mở các văn phòng trên thế giới, và cuối cùng bước vào thị trường Hoa Kỳ năm 1967 Cuối năm đó, họ cho ra mắt máy tính điện tử để bàn được lập trình đầu tiên trên thế giới Tháng 8 năm 1972 đánh dấu lần đầu tiên Casio bắt đầu tung ra thị trường Mini Casio, máy tính cầm tay đầu tiên trên thế giới Sản phầm này có thể đem theo bên mình và tính toán các con số nhanh chóng, thuận tiện

và chính xác Và do nhu cầu quá lớn mà Casio đã tăng gấp đôi sản xuất sau khi xuất xưởng lần đầu Một năm sau đó, cổ phiếu Casio được niên yết và bán trên thị trường chứng khoáng Mỹ Exchange

Trong những năm sau đó, Casio thêm vào dòng sản phẩm bổ sung, trong đó có máy tính tiền, nhạc cụ, đồng hồ đeo tay và từ điển điện tử Casio vẫn là “một người chơi” mới trong thị trường máy tính, phát hành một máy tính kích thước bằng thẻ tín dụng mà có thể xử lý tốt văn bản Trong thế kỉ XXI, Casio không ngừng phát triển mạnh mẻ Một số sản phẩm khác đáng chú ý của nó bao gồm máy kĩ thuật số kiểu đồng hồ đeo tay, điện thoại di động đầu tiên có tích hợp máy ảnh kĩ thuật số và

từ điển điện tử Nó cũng bắt đầu hoạt động trong các khu vực mới như: Bắc Âu, Tây Ban Nha, Mỹ La Tinh và Mexico

Năm 1992, các sách hướng dẫn giảng dạy trong trường học Nhật Bản có thay đổi, sách giáo khoa số học dành cho học sinh lớp 5 và lớp 6 bấy giờ yêu cầu HS sử dụng MTBT để giải quyết một số vấn đề, làm cho MTBT trở thành một công cụ mới trong dạy học Ý tưởng đằng sau này là giúp HS phát triển và nắm chắc số học cơ

HS tiết kiệm thời gian làm các phép tính toán trên giấy, mà dành nhiều thời gian học tập các khái niệm và định lý

Kể từ AZ-8 và SL-300LH (Hình 2.1) đã được giới thiệu trong các trường học như các thiết bị giảng dạy, hiển thị dấu thập phân đã thu hút một lượng lớn các HS nhỏ,

và một hộp vỏ cứng bảo vệ bổ sung cùng với những tính năng đặc biệt

Hình 2.1Năm 2002, chương trình giảng dạy ở Nhật Bản đã được sửa đổi lần nữa, và việc sử dụng MTBT đã được mở rộng để cho phép HS từ lớp 4 đã được bắt đầu sử dụng MTBT đáp ứng các yêu cầu toán học

Ở Việt Nam, MTBT được biết đến rất sớm từ những năm 1980, nhưng do điều kiện kinh tế khó khăn nên rất ít người có MTBT Theo Văn Như Cương (2000, [1]): “Việc

sử dụng MTBT để giải quyết phép tính sai số, các phương trình và bất phương trình

có hệ số thập phân, là rất phổ biến ở các nước, tuy nhiên ở nước ta không phải học sinh nào cũng có khả năng mua máy nên chỉ trông chờ vào các môn như Vật lý để học sinh có thể thực hành” Trải qua nhiều thay đổi của dòng MTBT, có thể liệt kê ra một số MTBT được HS, GV dùng nhiều nhất đó là các máy tính của hãng Casio:

fx− fx− fx− A fx− MS; fx−570MS fx; −500 ;ES fx−570 ;ES

fx− VN fx−570ESPlus Bên cạnh đó, Vinacal đã cho ra đời hai dòng

MTBT phục vụ học tập cho HS có tính năng tương tự với hãng Casio đó là

Vn− MS Vn− MS và tiếp đó tung ra một sản phẩm Vn−570MS NEW bao

gồm cả hai tính năng của Vn−500MS Vn; −570MS Tính năng của máy tính bỏ túi

500

fx− (bao gồm cả MS và ES) được sử dụng cho HS Trung học cơ sở và

570

fx− (bao gồm cả MS và ES) được sử dụng cho HS THPT

Theo công văn của Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố danh sách MTBT được đem vào phòng thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng năm 2012 như sau:

- Về nguyên tắc: Theo quy chế tuyển sinh Đại học, Cao đẳng hệ chính quy, các máy tính cầm tay được phép mang vào phòng thi là các máy:

• Không có chức năng soạn thảo văn bản (như tính năng ghi chép, ghi

số điện thoại )

• Không có thẻ nhớ cắm thêm vào

- Danh sách cụ thể các máy tính cầm tay thông dụng (làm được các phép tính số học, các phép tính lượng giác và các phép tính siêu việt) đáp ứng yêu cầu trên là :

Casio: fx−95, fx−220, fx−500A, fx−500MS, fx−500MS, fx−500ES,

fx−500VN Plus, fx−570 MS, fx−570ES, fx−570ES Plus;

Vinacal: Vn-500MS, Vn-570 MS, Vn-570MS New;

Vietnam CaCulator: VN-500RS, VN-500 MS, VN-570 RS, VN-570ES;

Sharp: EL-124A, EL-250S, EL-506W, EL-509WM;

Canon: FC 45S, LS153TS, F720;

Và các máy có tính năng tương đương

Sau đây là ba loại máy tính bỏ túi (Hình 2.4) thông dụng nhất hiện nay tại Việt Nam

mà HS, GV dùng:

Hình 2.4Trong luận văn này, các thao tác chúng tôi đều tiến hành thực hiện trên 3 dòng máy tính phổ biến trên Mỗi máy có một tính năng riêng biệt mà máy kia không có Tùy thuộc vào nội dung của bài toán mà chúng tôi sẽ lựa chọn nên dùng MTBT nào là phù hợp (dễ dùng, dễ lập trình) Và trong luận văn này, sẽ không trình bày lại cách

sử dụng MTBT mà ngầm hiểu rằng người tham gia nghiên cứu đã biết những kĩ năng cơ bản tối thiểu để sử dụng MTBT Khi nói dùng MTBT mà không giải thích

gì thêm thì ta ngầm hiểu là thao tác trên cả hai dòng máy ES và MS

2 Nền tảng lý thuyết

2.1 Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học

Chúng ta biết rằng quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt động giao lưu của HS nhằm thực hiện những mục đích dạy học Còn học tập là một quá trình xử lý thông tin Quá trình này có các chức năng: đưa thông tin vào, ghi nhớ thông tin, biến đổi thông tin, đưa thông tin ra và điều phối HS thực hiện các chức năng này bằng những hoạt động của mình Thông qua hoạt động thúc đẩy sự phát triển về trí tuệ ở HS làm cho HS học tập một cách tự giác, tích cực

Xuất phát từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện những hoạt động liên hệ với nó rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho HS một số trong những hoạt động đã phát hiện Việc phân tích một hoạt động thành những hoạt động thành phần giúp ta tổ chức cho HS tiến hành những hoạt động với độ phức hợp vừa sức các em Việc tiến hành hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt là tri thức phương pháp Những tri thức này lại là kết quả của một quá trình hoạt động khác Trong hoạt động, kết quả rèn luyện được ở một mức độ nào đó có

thể lại là tiền đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn Do đó cần phân bậc những hoạt động theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo quá trình dạy học Trên cơ sở việc phân tích trên về phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động Luận văn được nghiên cứu trong khuôn khổ của lý luận dạy học, lấy quan điểm hoạt động làm nền tảng tâm lý học Nội dung của quan điểm này được thể hiện một cách tóm tắt qua những tư tưởng chủ đạo sau:

- Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động tương thích với nội dung và mục đích dạy học;

- Hướng đích và gợi động cơ cho các hoạt động;

- Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phương pháp, như phương tiện và kết quả của hoạt động;

- Phân bậc hoạt động làm căn cứ cho việc điều khiển quá trình dạy học

2.2 Một số quan điểm khác

Luận văn lấy quan điểm hoạt động làm nền tảng tâm lý học để nghiên cứu nhưng cũng dựa vào quan điểm của lý thuyết tình huống và lý thuyết kiến tạo bởi vì các quan điểm dạy học của các lý thuyết này có sự giao thoa với quan điểm của lý thuyết hoạt động Theo lý thuyết tình huống thì học là sự thích ứng (bao gồm đồng hóa và điều ứng) đối với một môi trường sản sinh ra những mâu thuẫn, những khó khăn, những sự mất cân bằng

Một tình huống thường liên hệ với những quy trình hành động Một yếu tố của tình huống mà sự thay đổi giá trị của nó có thể gây ra sự thay đổi quy trình GQVĐ của học sinh Do đó trong quá trình dạy học ta cần soạn thảo ra tình huống tương ứng với tri thức cần dạy (tình huống cho tri thức đó một nghĩa đúng) Sau đó ủy thác tình huống này cho học sinh Học sinh tiến hành hoạt động học tập diễn ra nhờ sự tương tác với môi trường

Theo lý thuyết kiến tạo, học tập là hoạt động thích ứng của người học Do đó dạy học phải là dạy hoạt động, tổ chức các tình huống học tập đòi hỏi sự thích ứng của

HS, qua đó HS kiến tạo được kiến thức, đồng thời phát triển được trí tuệ và nhân cách của mình Như vậy, nếu phân tích rõ quan điểm dạy học theo lý thuyết tình huống và lý thuyết kiến tạo sẽ góp phần nâng cao hiệu quả phương pháp dạy học phát triển tư duy thuật toán cho HS

a) câu hỏi: một tình huống mà ta có thể giải bằng cách tái hiện lại kiến thức

hoặc trí nhớ

b) bài tập: một tình huống liên quan đến luyện tập và thực hành để củng cố

những kĩ năng và thuật toán đã được học trước đó

c) bài toán: là một tình huống đòi hỏi tư duy và sự tổng hợp các kiến thức

đã được học trước đó để giải

Ngoài ra, bất kể lý do nào, bài toán phải được chấp nhận bởi chính người học sinh Nếu người học sinh từ chối để chấp nhận các thách thức, thì vào thời điểm đó, nó không phải là bài toán cho em học sinh đó Như vậy một bài toán cần phải thỏa mãn

ba tiêu chí sau đây

1 Chấp nhận: Cá nhân chấp nhận bài toán Có một mối liên hệ mang tính

cá nhân với bài toán, mối liên hệ này có thể có được bởi nhiều lý do: động cơ bên trong, động cơ bên ngoài (do áp lực của bạn học, cha mẹ, thầy giáo), hay đơn giản là sự mong muốn thỏa mãn sở thích giải toán

2 Cản trở: Những nổ lực bước đầu của cá nhân để giải là thất bại Những

đáp ứng và dạng toán quen thuộc để tấn công bài toán là không hiệu lực

3 Khám phá: Mối liên hệ cá nhân như đã xác định ở (1) thúc ép cá nhân

khám phá những phương pháp tấn công mới

Sự tồn tại của một bài toán dẫn một cá nhân đối mặt với một điều mà họ không nhận ra, và với nó cá nhân đó không thể chỉ đơn thuần áp dụng một cách giải đã biết Một tình huống không được xem là một bài toán khi nó có thể giải được bằng cách áp dụng các thuật toán đã được học, hoặc khi nó giống với một tình huống đã gặp trước đó

Trong các sách giáo khoa toán hiện nay, sau mỗi phần lý thuyết có phần câu hỏi và bài tập Một số trong các bài tập này có thể xem như là bài toán Trong nhiều trường hợp, cách giải mẫu đã được trình bày trước lớp bởi GV rồi HS chỉ việc áp dụng cách giải mẫu này cho một loạt các bài tập tương tự để giải chúng Thực chất là HS đang thực hành một thuật toán, một kĩ thuật áp dụng cho một lớp các bài tập và nó bảo đảm thành công nếu tránh được các sai sót có tính kĩ thuật Chỉ một ít bài tập có thể đòi hỏi suy luận của HS Nếu các bài tập này đặt ra cho HS dưới dạng không có thuật toán đã biết trước thì chúng trở thành các bài toán cho HS

Những bài tập trong sách giáo khoa đặt nền tảng cho GQVĐ, việc thực hành và luyện tập các thuật toán, các cách giải cụ thể sẽ được kết nối vào trong các quá trình toán học GV không nên nghĩ rằng những HS đã giải xong hết các bài tập này bằng cách vận dụng cẩn thận các cách giải có sẵn, hay các thuật toán sẽ trở thành những người GQVĐ Tuy nhiên, những GV sáng tạo có thể bằng cách tiếp cận dạy học của mình tận dụng được các bài tập này để giúp HS phát triển những kĩ năng GQVĐ

HS phải hiểu khi học toán, tích cực xây dựng kiến thức mới từ kinh nghiệm và kiến thức toán đã có của chính mình Khi HS hiểu toán, các em sẽ có khả năng sử dụng các kiến thức của mình một cách linh hoạt và theo những cách có hiệu quả

Một vấn đề được xem như là một “bài toán” đối với một người nào đó, nếu khi đối mặt với nó, người đó có mong muốn cần phải tìm một lời giải và không có một qui trình sẵn khả dĩ dùng được để tìm ra lời giải GQVĐ là một phần chính của mọi quá trình học toán Các chương trình giáo dục toán thường tạo điều kiện cho HS:

- Xây dựng kiến thức toán thông qua GQVĐ;

- Giải quyết các vấn đề nảy sinh từ trong toán học và những hoàn cảnh khác;

- Áp dụng và mô phỏng nhiều phương pháp giải toán thích hợp để giải quyết các vấn đề;

- Theo dõi và phản ảnh về quá trình GQVĐ toán

Điều đó nói lên rằng không nên xem giải quyết vấn đề là một bộ phận độc lập với chương trình toán mà nên gắn kết nó với mọi nội dung toán học

b Giải quyết vấn đề

Theo Stephen Krulik và Jesse A Rudnick (1980, [25])

Giải quyết vấn đề chỉ quá trình mà một cá nhân sử dụng kiến thức, kĩ năng và hiểu biết đã học được trước đó để đáp ứng đòi hỏi của những tình huống không quen thuộc đang gặp phải.

Những hướng dẫn tìm tòi mà chúng ta dùng trong GQVĐ khác một cách đáng kể với những thuật toán chúng ta dạy trong lớp học toán của chúng ta Một thuật toán luôn bảo đảm thành công nếu được áp dụng đúng đắn và nếu thuật toán đúng được lựa chọn Những hướng dẫn được trình bày trong sơ đồ sau chỉ một tiếp cận 5-bước đến giải quyết vấn đề mà chúng ta thấy là cần thiết phải phát triển và nhấn mạnh cho HS:

• Đọc bài toán;

• Khám phá;

• Chọn phương pháp;

• Giải bài toán;

• Kiểm tra, mở rộng bài toán

Những hướng dẫn này đưa ra một “bản đồ về đường đi”; chúng là một kế hoạch chi tiết chỉ dẫn con đường đi đến lời giải của một bài toán Không giống như thuật toán, chúng không thể bảo đảm cho sự thành công! Tuy nhiên, nếu các em học sinh được dạy theo các hướng dẫn tìm tòi này trong mọi tình huống có vấn đề mà các em gặp phải thì các em sẽ tự tin trong việc giải quyết thành công các vấn đề gặp phải trong lớp học và trong cuộc sống Khi chúng ta thực sự mong muốn học sinh tìm được một cách thành công lời giải và tìm được câu trả lời đòi hỏi, đó là quá trình giải quyết vấn đề mà chúng ta cần quan tâm để phát triển cho học sinh

3 Các nghiên cứu liên quan

3.1 Thuật toán và tư duy thuật toán

Khái niệm tư duy thuật toán liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán Do đó trước khi đưa ra khái niệm tư duy thuật toán ta hãy nghiên cứu khái niệm thuật toán

3.1.1 Khái niệm thuật toán và các yếu tố thuộc về thuật toán

a Khái niệm bài toán

Trong tin học, người ta quan niệm bài toán là một vấn đề nào đó ta muốn máy tính thực hiện Những vấn đề như viết một dòng lệnh trên màn hình yêu cầu máy thực hiện, giải phương trình bậc hai, giải hệ phương trình, quản lý cán bộ của một cơ quan là những ví dụ về bài toán

Khi dùng máy tính giải toán, ta cần quan tâm đến hai yếu tố: Đưa vào máy thông tin

gì (Input) và lấy ra thông tin gì (Output) Do đó để phát biểu một bài toán, ta cần phải trình bày rõ Input và Output của bài toán và mối quan hệ giữa Input và Output

Ví dụ 1 Bài toán tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương.

Input: Hai số nguyên dương M và N

Output: Ước chung lớn nhất của M và N

Ví dụ 2 Bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc 2: ax2+bx c+ =0,a≠0

Output: Các thông tin cần tìm từ Input

b Khái niệm thuật toán

Việc cho một bài toán là mô tả rõ Input cho trước và Output cần tìm Vấn đề là làm thế nào để tìm ra Output

Việc chỉ ra tường minh một cách tìm Output của bài toán được gọi là một thuật toán giải bài toán đó Có nhiều định nghĩa khác nhau về thuật toán Dựa vào sự phân tích trên ta có thể định nghĩa thuật toán như sau:

Thuật toán để giải một bài toán là một dãy hữu hạn các thao tác được sắp xếp theo một trình tự xác định sao cho sau khi thực hiện dãy thao tác ấy, từ Input của bài toán, ta nhận được Output cần tìm

Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất của một dãy số nguyên.

- Xác định bài toán

- Input: Số nguyên dương N và dãy N số nguyên a a1, , ,2 a n

- Output: Giá trị lớn nhất Max của dãy số

 Ý tưởng:

- Khởi tạo giá trị Max a= 1;

- Lần lượt với i từ 2 đến N , so sánh giá trị số hạng a với giá trị Max, nếu i

Max

i

a > thì Max nhận giá trị mới là a i

 Thuật toán: Giải bài toán này có thể được mô tả theo cách liệt kê như sau:

Bước 1 : Nhập N và dãy a a1, , ,2 a n;

Bước 2 : Max=a i ; i: 2= ;

Bước 3 : Nếu i N> thì đưa ra giá trị Max rồi kết thúc;

Bước 4 :

• Bước 4.1 Nếu a i >Max thì Max:=a i

• Bước 4.2 Nếu i i:= +1 rồi quay lại bước 3.

Từ định nghĩa ta thấy thuật toán có các tính chất sau:

 Tính dừng: Thuật toán phải kết thúc sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao tác

 Tính xác định: Sau khi thực hiện một thao tác thì hoặc là thuật toán kết thúc hoặc là có đúng một thao tác xác định để được thực hiện tiếp theo

 Tính đúng đắn: sau khi thuật toán kết thúc ta phải nhận được Output cần tìm

Ví dụ Với thuật toán tìm Max đã xét:

 Tính dừng: Vì giá trị của i mỗi lần tăng lên một đơn vị nên sau N lần thì

i N> , khi đó kết quả của phép so sánh ở bước 3 xác định việc đưa ra giá trị Max rồi kết thúc

 Tính xác định: Thứ tự thực hiện các bước của thuật toán được mặc định là tuần

tự nên sau bước 1 là bước 2, sau bước 2 là bước 3 Kết quả các bước so sánh trong bước 3 và bước 4 đều xác định duy nhất bước tiếp theo cần thực hiện

 Tính đúng đắn: Vì thuật toán so sánh Max với từng số hạng của dãy số và thực hiện Max:=a i nếu a i >Maxnên sau khi so sánh hết N số hạng của dãy thì

Max là giá trị lớn nhất

Ví dụ Tính tổng các số nguyên dương lẻ trong khoảng từ 1 đến N

Xác định bài toán:

- Input: N là số nguyên dương lẻ.

- Output: Tổng các số nguyên dương lẻ từ 1 đến N

Thuật toán: Tính tổng các số nguyên dương lẻ từ 1 đến N như sau:

Bước 1 : Hỏi giá trị của N

Bước 2 : S: 0 =

Bước 3 : i= 1.

Bước 4 : Nếu i N= +1 thì sang bước 8, ngược lại sang bước 5.

Bước 5 : Cộng thêm i vào S

Bước 6 : Cộng thêm 2 vào .i

Bước 7 : Quay lại bước 4.

Bước 8 : Tổng cần tìm chính là S

Ta chú ý đến bước 4 Ở đây ta muốn kết thúc thuật toán khi giá trị của i vượt quá

N Thay vì viết "nếu i lớn hơn N " thì ta viết điều kiện " i N= +1" không phải lúc

nào cũng đạt được Vì ban đầu i là một số lẻ, sau mỗi bước i lại được tăng thêm 2 đơn vị nên i luôn luôn là số lẻ Nếu N là số chẵn thì N+1 là số lẻ nên sau một số

bước nhất định, i sẽ bằng N+1. Tuy nhiên, nếu N là số lẻ thì N+1là số chẵn, do

i là số lẻ nên dù có qua bao nhiêu bước đi chăng nữa, i vẫn khác N +1 Trong trường hợp đó, thuật toán trên bị quẩn (hay vi phạm tính dừng)

Tính "đúng" là một tính chất khá hiển nhiên nhưng là tính chất khó đạt tới nhất Thật vậy, khi giải quyết một số bài toán, ta luôn mong muốn lời giải của mình sẽ cho kết quả đúng nhưng không phải lúc nào cũng đạt được Mọi HS khi làm bài kiểm tra đều muốn bài làm của mình có đáp số đúng, nhưng trên thực tế, trong lớp chỉ có một số HS nhất định là có khả năng đưa ra lời giải đúng

c Các đặc trưng của thuật toán

c1 Tính đơn trị

Tính đơn trị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải đơn trị, nghĩa là hai phần tử thuộc cùng một cơ cấu, thực hiện cùng một thao tác trên cùng một đối tượng thì phải cho cùng kết quả

Ví dụ Quy trình 4 bước để giải một bài toán của Polia.

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán;

Bước 2: Tìm đường lối giải toán;

Bước 3: Thực hiện chương trình giải toán;

Bước 4: Kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải.

Quy trình này không phải là một thuật toán vì tính đơn trị bị vi phạm Chẳng hạn bước 1, bước 2, bước 3, bước 4 không được xác định vì người ta có thể hiểu và làm theo nhiều cách khác nhau

Từ tính đơn trị, ta cũng thấy được tính hình thức hóa của thuật toán Bất kể cơ cấu nào, chỉ cần biết thực hiện đúng trình tự quy định là sẽ đi đến kết quả HS không giỏi toán nhưng nếu làm đúng các thao tác và quy trình của một thuật toán vẫn có thể có được kết quả đúng Tuy nhiên, vấn đề đặt ra là làm thế nào để HS có thể từ các bài toán đơn lẻ thì HS tự mình lập ra được các thuật toán để giải các bài tổng quát hơn

c2 Tính hiệu quả

Tính hiệu quả của thuật toán được đánh giá dựa trên một số tiêu chuẩn như: khối lượng tính toán, không gian và thời gian khi thuật toán được thực hiện Tính hiệu quả của thuật toán là một yếu tố quyết định để đánh giá, chọn lựa cách giải quyết vấn đề hay các bài toán Có rất nhiều phương pháp để đánh giá tính hiệu quả của thuật toán Độ phức tạp của thuật toán là một tiêu chuẩn được dùng rộng rãi

c3 Độ phức tạp của thuật toán

Trong thực tế có nhiều thuật toán, về mặt lý thuyết là kết thúc sau hữu hạn bước, tuy nhiên thời gian "hữu hạn" đó vượt quá khả năng làm việc của chúng ta Do đó

để đánh giá tính hiệu quả của một thuật toán, chúng ta phải chú ý đến độ phức tạp của các thuật toán Độ phức tạp của thuật toán có thể đo bằng không gian, tức là dung lượng bộ nhớ của máy tính cần thiết để thực hiện thuật toán; và bằng thời gian, tức là thời gian máy tính làm việc Trong luận văn này, khi nói đến độ phức tạp của thuật toán ta luôn hiểu là độ phức tạp không gian Độ phức tạp của thuật toán chính là cơ sở để phân loại bài toán giải được hay không giải được

Trong thực tế, có lúc người ta chỉ xây dựng thuật toán cho một dạng đặc trưng của bài toán.

Ví dụ Thuật toán giải phương trình bậc hai: ax2 +bx c+ =0 (a≠0)

1 Cho biết giá trị ba hệ số a b c, , .

22

∆+

−

= 3.2.3 Kết thúc thuật toán.

3.3 Nếu ∆ =0 3.3.1 Phương trình có nghiệm kép x0

3.3.2 Giá trị của nghiệm kép là 0

2

b x

a

= − 3.3.3 Kết thúc thuật toán.

3.4 Nếu ∆ <0 thì:

3.4.1 Phương trình vô nghiệm.

3.4.2 Kết thúc thuật toán.

3.1.2 Tư duy thuật toán

Tư duy thuật toán (TDTT) là cách suy nghĩ để nhận thức, để giải quyết vấn đề một cách có trình tự (sắp xếp lần lượt, thứ tự trước sau)

Thông qua dạy các quy trình, phương pháp có tính chất thuật toán, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh tư duy thuật toán TDTT được đặc trưng bởi các khả năng:

1 Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật toán cho trước;

2 Phân tích một hoạt động thành những thao tác thành phần được thực hiện theo một trình tự xác định;

3 Mô tả chính xác quá trình trình tiến hành một hoạt động;

4 So sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một công việc và phát triển thuật toán tối ưu

Khả năng đầu thể hiện khả năng thực hiện thuật toán, ba khả năng sau thể hiện khả

năng xây dựng thuật toán, đặc trưng khả năng thứ hai thể hiện “con mắt phát hiện thuật toán”

3.1.3 Quy trình, quy trình tựa thuật toán

Quy trình là một trình tự phải tuân theo để tiến hành một công việc nào đó

Ví dụ Quy trình 4 bước của Polia để giải một bài toán.

Mỗi quy trình có thể chia thành các bước Mỗi bước là một hoạt động nhằm một mục đích nhất định Mỗi hoạt động có thể có nhiều thao tác

Ví dụ Hoạt động “tìm hiểu nội dung bài toán” có các thao tác: Vẽ hình, chọn kí

hiệu, phân tích giả thiết và kết luận của bài toán

Quy trình tựa thuật toán hay quy trình có tính thuật toán là quy trình gồm một số hữu hạn các hoạt động có mục đích rõ ràng, cụ thể, được sắp xếp theo một trình tự nhất định, nhằm đi đến kết quả là giải được một loạt công việc nào đó theo đúng yêu cầu đã định

Một quy trình có tính thuật toán phải có các đặc điểm sau:

• Đó là một dãy hữu hạn các bước sắp xếp theo trình tự nhất định;

• Mỗi bước là một hoạt động nhằm mục đích cụ thể, có bước là một thao tác sơ cấp, có bước chỉ là gợi ý định hướng suy nghĩ hoặc là hướng dẫn thực hiện thao tác được lựa chọn trong một số hữu hạn trường hợp;

• Trong đa số trường hợp, sau khi thực hiện xong tất cả các bước đi đến kết quả

Trong chương trình hình học không gian ở THPT ta có thể hướng dẫn HS giải một

số bài toán theo một quy trình nhất định

Ví dụ 1 Quy trình viết phương trình đường thẳng ( ) d đi qua điểm A và vuông góc

với hai đường thẳng ( )d và 1 ( )d cho trước2

- Bước 1: Tìm các vectơ chỉ phương (vtcp) uur1và uur2 của ( )d và 1 ( )d2

- Bước 2: Tính vectơ u= êéu u1, 2ùú

r ur ur

- Bước 3: Viết phương trình Qua

( ) :vtcp

A d

u

ìïïíï

ïî rQuy trình này không phải là một thuật toán nhưng có một số điểm giống với thuật toán Trong quy trình này các thao tác được chỉ ra một cách khá rõ ràng, không quá khái quát như trong quy trình bốn bước của Polya để giải bài toán, song cũng không

cụ thể như một thuật toán

Ví dụ 2 Quy trình xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

a và b (Hình 3.1)

- Bước 1: Dựng mặt phẳng ( )α chứa b

song song với a

- Bước 2: Chọn M trên a, dựng MH vuông

góc với ( )α tại H

- Bước 3: Từ H dựng đường thẳng a song 1

song với a , và cắt b tại B

- Bước 4: Từ B dựng đường thẳng song song với MH , cắt ( )α tại A

Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b

Nhận xét rằng, các bước trong quy trình của ví dụ đầu là các thao tác sơ cấp Các bước trong quy trình của ví dụ sau chỉ là các gợi ý định hướng suy nghĩ

3.2 Thực trạng và tầm nhìn MTBT trong dạy và học toán THPT

3.2.1 Lợi ích của sử dụng MTBT trong dạy và học toán

Trong nghiên cứu Azita (1999, [2]) và Hunter (1994, [12]) về việc sử dụng công nghệ MTBT trong giảng dạy đã chỉ ra rằng: Công nghệ này giúp nâng cao kĩ năng thực hành tính toán, khả năng tư duy phê phán, sự hiểu biết về đại số, số học và cải thiện sự tự tin của học sinh trong toán học Đây là những lợi thế khi người học khai thác từ những tiện ích của nó Những tiện ích này có thể phát sinh từ phương pháp giảng dạy của giáo viên và cách tiếp cận các phương tiện hiện đại hỗ trợ vào quá trình học tập và lĩnh hội tri thức của học sinh

Kể từ khi công nghệ được công nhận là một điều cần thiết của quá trình giảng dạy,

sự ra đời của công nghệ cầm tay có ảnh hưởng đến giảng dạy và học tập toán học một cách sâu sắc đó là học sinh cảm nhận việc học trở nên vui vẻ, thú vị và có ý nghĩa hơn (Demana và Waits, 1990, [6]; Dunham, 1995, [7]) Trong môi trường lớp học mà ở đó tồn tại sự kích thích các động cơ học tập, khả năng kiểm soát động lực

M

α

a1B

A

H b a

Hình 3.1

cá nhân, hỗ trợ, tìm hiểu hay tự điều chỉnh kết quả của quá trình học tập xảy ra tự nhiên Điều này đã xác nhận bởi Briggs (1977, [4]) lưu ý rằng, MTBT thay đổi thái

độ và đánh giá sự phát triển khả năng toán học của học sinh

Một nghiên cứu khác đáng chú ý được thực hiện bởi Ruth (2000, [24]) về việc sử dụng MTBT trong giảng dạy và học tập toán học, đối tượng tham gia là HS ở độ tuổi từ 5-14 tuổi Khi cho HS sử dụng MTBT và thao tác chúng trong các lớp học của riêng mình và đã rút ra kết luận là HS đã có thể phát triển một loạt các kĩ năng Kết quả nổi bậc nhất là: khả năng điều tra mẫu, nâng cao khả năng tư duy, phát triển ý nghĩa các con số và kĩ năng dự đoán, xây dựng khái niệm số (đặc biệt đặt giá trị) và GQVĐ toán học thực tế trong cuộc sống Theo Dunham (1995, [7]), sử dụng MTBT thu được kết quả tích cực hơn, cảm xúc và thái độ tốt hơn về toán học cho cả học sinh và giáo viên

Các nghiên cứu khoa học đã chỉ ra những lợi ích của việc sử dụng MTBT trong dạy học toán MTBT không chỉ là công cụ thực hiện tính toán, mà nó còn có tiềm năng lớn hỗ trợ giảng dạy như các khái niệm, các định lý, tăng hiểu biết toán học đặc biệt

là khi người học có thể sử dụng thành thạo MTBT và tham gia tích cực thường xuyên trong bài học Khi giải quyết các vấn đề, MTBT tạo cơ hội cho HS tham gia vào các quá trình sáng tạo HS có thể tìm kiếm các phương pháp thay thế để GQVĐ, do đó tiết kiệm được rất nhiều thời gian và tránh trình bày nhiều công việc trên giấy và bút

Bên cạnh đó, họ có thể tạo ra mô hình từ các vấn đề toán học, thông qua kết hợp các

ý tưởng có liên quan Người học cũng có thể thử nghiệm các cách khác nhau để kiểm chứng ý tưởng toán học của mình và thảo luận với các học viên khác Cuối cùng, người học cũng có thể tạo ra các giả thuyết cá nhân và các vấn đề có liên quan đến những gì họ đã học được Từ những phát hiện của nghiên cứu này, MTBT cung cấp cho HS cơ hội thành công khi sử dụng nó trong công việc học tập HS có thể thực hiện một “khối lượng” phép tính trong một thời gian ngắn nhất Do đó, cần phải khuyến khích HS thường xuyên sử dụng MTBT để khai thác các tiện ích của

nó, chẳng hạn như cải thiện thái độ đối với các chủ đề và làm chủ được thời gian

3.2.2 Những thách thức về sử dụng MTBT trong dạy và học toán

Theo cách dạy học truyền thống thì GV là người trung tâm, truyền đạt kiến thức đến

HS Điều này hoàn toàn bỏ qua một thực tế rằng, khả năng học tập của HS rất đa dạng ở nhiều mức độ khác nhau, kết quả là các HS trở thành người nhận kiến thức

một cách thụ động Như vậy, toán bị giảm xuống ghi nhớ các thủ tục, sự kiện, công thức Trong nghiên cứu này, thông qua sử dụng MTBT trong lớp học nhằm để cải thiện khả năng tiếp thu và khám phá tri thức của HS.

Trong nhiều nghiên cứu hầu hết đã chỉ ra rằng, những thách thức mà HS phải đối mặt đó là sự “bất lực” về khả năng sử dụng MTBT trong toán học và đa số (65,47%) thừa nhận rằng, họ không thể sử dụng MTBT có hiệu quả trong tiết học - bởi vì thiếu kĩ năng sử dụng MTBT hỗ trợ cho việc học toán Điều này do trước đây

GV không hề dạy HS cách sử dụng MTBT, trước khi khái niệm từ một chủ đề cụ thể được dạy Vấn đề này là do khả năng chuẩn bị của GV Điều này được phản ảnh trong nghiên cứu của Kituku (2004, [14]) về việc lập kế hoạch bài học của các GV trong trường trung học Nghiên cứu phát hiện ra, GV thiếu chuẩn bị kế hoạch bài học hay chuẩn bị không chu đáo đã dẫn đến không hiệu quả việc phân phối nội dung, ảnh hưởng không tốt đến kết quả học tập

Mặc dù, nghiên cứu của Ambuko (2008, [1]) chỉ ra rằng, để đạt được hiệu quả trong lớp học thì người GV cần phải ứng dụng các phương tiện hiện đại vào trong lớp học, HS phải được trang bị các công cụ tính toán tiên tiến Vì vậy, thách thức đặt ra

là làm thế nào để sử dụng MTBT một cách có hiệu quả trong việc giảng dạy và học tập toán Những thách thức cũng có thể phát sinh từ một tình huống là người GV hay HS không hề sử dụng hay không biết sử dụng MTBT trong quá trình giảng dạy

và học tập Điều này có thể ảnh hưởng đến thái độ của cả GV và HS đối với việc sử dụng MTBT trong toán học

Để sử dụng hiệu quả công nghệ cầm tay trong lớp học toán, mỗi HS trong lớp nên phải có ít nhất một MTBT trong các buổi học tập Các MTBT có thể được cung cấp cho người học thông qua một hệ thống đảm bảo tất cả HS có các tiện ích phục vụ học tập như nhau Các hoạt động được lựa chọn trong việc giảng dạy và học toán bằng cách sử dụng MTBT phải phù hợp với các mục tiêu của bài học Các tình huống phải liên quan đến nhiều hoạt động của HS và đem lại các kĩ năng Cần tạo

ra một môi trường thuận lợi cung cấp cho HS các cơ hội để tương tác một cách tự

do với MTBT thông qua giải quyết các câu hỏi hay bài toán Đây là yếu tố quan trọng mà GV cần phải trang bị đầy đủ cho các buổi giảng dạy

Theo Indoshi (1999, [13]), bất kỳ nghề nghiệp nào bao gồm cả dạy học đòi hỏi

“người học việc” không ngừng tích lũy trình độ chuyên môn Một trong những giải pháp đó là mở các khóa học bồi dưỡng thường xuyên nhằm giúp GV có thể đạt được kiến thức, năng lực và những kĩ năng tốt nhất phục vụ cho việc dạy học

Theo Wild (1996, [29]), giả định đặt ra là các GV cần phải biết làm thế nào để sử dụng các công cụ của công nghệ mà không biết tại sao họ cần những công cụ, và họ

sẽ làm gì với những công cụ trong lớp học Điều này có nghĩa rằng, phần lớn các

GV không biết làm thế nào để sử dụng MTBT trong giảng dạy và quá trình học tập Taylor (1994, [27]) cũng lưu ý rằng, GV không quan tâm đến việc sử dụng công nghệ, cần một số mức độ khuyến khích cũng như hỗ trợ chuyên môn về công nghệ Olson (1992, [19]) cũng lưu ý rằng, trường học thường bỏ qua tầm quan trọng của các hoạt động phát triển chuyên môn, nơi mà cho phép GV để hiểu tại sao họ cần các công cụ, họ sẽ làm gì với các công cụ, và làm thế nào sử dụng các công cụ Điều này làm cho hầu hết các GV đứng lớp ngày hôm nay dành phần lớn thời gian rất nhiều vào thao tác sử dụng kĩ thuật dùng giấy và bút

3.2.3 Thực trạng sử dụng MTBT trong lớp học toán ngày nay

Đưa MTBT vào trường học chỉ có ý nghĩa khi chúng ta khẳng định được vai trò tích cực của MTBT trong giáo dục phổ thông, thiết kế các nội dung thiết thực, phong phú, gắn bó một cách hữu cơ với các bộ môn khác nhằm tác động mạnh mẽ đến toàn bộ quá trình dạy học hiện tại cũng như ảnh hưởng tốt đến cải cách giáo dục những năm tới

Nhiều người đồng nhất MTBT với vai trò tính toán số học của nó Quan niệm này dẫn đến xem nhẹ việc dạy MTBT trong trường THPT ngay trong số cán bộ giáo viên và quản lý MTBT không chỉ là một công cụ đắc lực trong tính toán, trong đó còn tiềm ẩn nhiều khả năng khác cần được khai thác phục vụ cho giảng dạy ở trường THPT

Một thực tế hiện nay là: Nhiều giáo viên toán không chú trọng đến những tiết dạy hướng dẫn sử dụng MTBT và cắt bỏ những tiết này trong chương trình giảng dạy Điều này do chủ yếu hai nguyên nhân: thứ nhất là do một số GV chưa làm quen được với MTBT, do đó chưa có những quan niệm đúng đắn về các tiết dạy trong chương trình Thứ hai là các yêu cầu về tính toán rất ít xuất hiện trong các sách giáo khoa, các kỳ thi tốt nghiệp và đề thi đại học, trong khi chúng ta luôn chủ trương gắn kết lý thuyết với thực hành

Để nâng cao trình độ GV về MTBT và khả năng sử dụng MTBT của HS phục vụ học tập cần có một số giải pháp sau:

1 Tổ chức biên soạn và xuất bản về một bộ sách MTBT bao gồm: sách hướng dẫn sử dụng MTBT bám sát từng tiết học toán theo chương trình; sách hướng

dẫn GV giảng dạy và ra đề thi giải toán trên MTBT Hiện nay đã có một số tài liệu như vậy, nhưng chưa đủ đáp ứng các nhu cầu đa dạng của GV và HS, các nhà chuyên môn hoàn toàn có thể đảm bảo được công việc này Đây là một đầu tư thiết thực, hiệu quả và có tính kinh tế nhất;

2 Thường xuyên tổ chức các lớp tập huấn giáo viên trên tinh thần thiết thực về nội dung nhằm nâng cao khả năng sử dụng hiệu quả và sáng tạo MTBT cho giáo viên và học sinh;

3 Giáo viên cần được hỗ trợ và khuyến khích mạnh dạng ứng dụng công nghệ cầm tay trong lớp học toán của mình và chấp nhận những “rủi ro” của nó Từ

đó, giáo viên có thể rút ra được nhiều kinh nghiệm và chia sẻ các ý tưởng với các đồng nghiệp về công nghệ;

4 Xây dựng đội ngũ GV dạy thực hành toán Mỗi trường nên có ít nhất hai GV giỏi Những GV này sẽ thực hiện để nâng cao trình độ GV cũng như trong đào tạo HS giỏi;

5 Thường xuyên tổ chức các buổi ngoại khóa về sử dụng MTBT trong trường học cho các khối lớp khác nhau Tổ chức thi cá nhân hay thi đồng đội về giải toán nhanh bằng MTBT, sử dụng MTBT phám phá các điều kì lạ của thế giới toán học

6 Các công ty cổ phần máy tính và các nhà đầu tư giáo dục có thể tổ chức nhiều cuộc thi MTBT dưới nhiều hình thức khác nhau như giải toán MTBT qua mạng, viết sách hay MTBT tham khảo

Tóm tắt chương 2: Trong chương này chúng tôi đã trình bày về lịch sử của MTBT

Casio, nền tảng lí thuyết và các nghiên cứu liên quan như: Thuật toán, tư duy thuật toán, quy trình và quy trình tựa thuật toán Đồng thời nêu bậc được thực trạng và những thách thức về sử dụng MTBT trong dạy và học toán Từ đó, đưa ra một số giải pháp nhằm nâng cao chất lượng ứng dụng MTBT trong dạy và học toán

Chương 3

SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI THIẾT LẬP QUY TRÌNH VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN TRONG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Định hướng sư phạm về sử dụng MTBT hỗ trợ dạy và học toán

1.1 Sử dụng MTBT trong định hướng tìm lời giải phương trình đại số

Ta xét bài toán tổng quát sau: Giải phương trình ( )f x =g x( ) hay ( ) 0h x =

Quy trình:

- Bước 1: Đoán nghiệm phương trình bằng MTBT theo cách sau :

o Ghi vào màn hình phương trình ( )f x =g x hay ( ) 0( ) h x = ;

o Ấn phím máy hỏi solve for X Lúc đó nhập một số giá trị cụ

thể nào đó của X sau đó bấm phím đối với máy ES và đối với máy MS

Đợi trong giây lát máy sẽ hiện kết quả nghiệm (đúng hoặc gần đúng) Sau khi tìm được các nghiệm, ta có thể định hướng lời giải cho bài toán

- Bước 2: Tìm điều kiện phương trình xác định;

- Bước 3: Giải phương trình (dựa trên định hướng sau khi tìm được nghiệm);

- Bước 4: So sánh điều kiện và kết luận.

Chú ý: Giải bằng lệnh ta phải chú ý xử lý hai vấn đề

 Chọn x khá gần với nghiệm (nhiều khi máy hiện 1 CAN’T SOLVE dù phương trình có nghiệm, do chọn giá trị x không thích hợp);1

 Có thể giải được những phương trình không bình thường

3 13

Vậy nghiệm của phương trình là x= −2

Chú ý: Trong ví dụ trên khi ta chọn các giá trị x như i x=1, x=2, x= −1, x= −2,3

x= − máy đều cho ra nghiệm là x= −2 Tuy nhiên, nếu chọn x=0 máy báo CAN’T SOLVE.

sẽ là nhân tử chung của phương trình đã cho Ta để ý rằng:

• 3− +x x2 −2 khi nhân lượng liên hiệp sẽ cho x2− −x 1

• 1− 2 x x+ − 2 khi nhân lượng liên hiệp sẽ cho x2− −x 1

Do đó ta có thể giải vắn tắt bài toán trên như sau:

Điều kiện:

2 2

Nhận xét: Rõ ràng đối với hai bài toán trên nếu không phát hiện ra được nghiệm của

phương trình thì khó định hướng được lời giải cho bài toán Công cụ máy tính đã giúp ta dễ dàng tìm được các nghiệm đó

2

22

Nếu ta so sánh cách giải sau đối với bài toán trên thì thấy MTBT là một công cụ

“tuyệt vời” giúp ta tiết kiệm thời gian và giải toán một cách nhẹ nhàng hơn

Điều kiện: 0≤ ≤x 2 Ta dễ dàng chứng minh được hàm ( )f x = x là đồng biến và

Ví dụ 4 Giải phương trình sau: 4x − + 3 2x +4x + + 6 5x =42x + + 3 7x +1.

Định hướng: Dùng MTBT ta tìm được các nghiệm phương trình là x=1;x=2;

x= − x= − Dựa vào số mũ của phương trình thì ta cĩ thể phân tích phương trình

đã cho về dạng

2 2

Vậy nghiệm của phương trình là x=1; x=2; x= −1; x= −5.

Ví dụ 5 Giải phương trình: 1 log22 log2 2 4

Do đĩ, nếu đặt t=log , với 2x x>0 thì t=1 hoặc t= −2

Từ đĩ ta cĩ thể giải bài tốn trên như sau

Điều kiện: 0< ≠x 1 Đặt t=log2x, khi đĩ phương trình đã cho trở thành

Lời bình: Qua 5 ví dụ trên, chúng tôi sử dụng MTBT để tìm ra được các kết quả của

bài toán Từ đó “lật ngược vấn đề” để đi đến lời giải đẹp, ngắn gọn và đơn giản hơn Tuy nhiên, khi dùng lệnh ta thường phải thử nhiều giá trị ban đầu khác nhau

và cũng có nguy cơ không tìm hết các nghiệm của phương trình Do đó, nó phụ thuộc rất nhiều vào kinh nghiệm người làm toán (người dùng máy)

1.2 Sử dụng MTBT trong định hướng tìm lời giải phương trình lượng giác Quy trình:

- Bước 1: Tiến hành phép thử để tìm một nghiệm đặc biệt Ta thử các giá

trị đặc biệt như sau: 0; ; ; ; ; ;2 3 5; ;

 Thử với giá trị đối của nó:

6

x= −π, nếu thỏa mãn phương trình thì ta

dự đoán phương trình có nghiệm x sao cho cos 3

2

x= , hay phương

trình được đưa về dạng tích với một thừa số (2cosx− 3) ;

 Thử với giá trị bù của nó: 5

6

x= π, nếu thỏa mãn phương trình thì ta

dự đoán phương trình có nghiệm x sao cho sin 1

2

x= , hay phương

trình được đưa về dạng tích với một thừa số (2sinx−1);

 Thử với giá trị hơn (kém) π của nó: 7 hay 5

3

x= , hay phương trình được đưa về dạng tích với một thừa số ( 3 tanx−1)

Phương tiện dùng để nhẩm nghiệm: Có thể dùng MTBT để tiến hành nhẩm

nghiệm một trong hai cách sau:

Cách 1: Dùng chức năng , chức năng này có công dụng tính giá trị của một hàm

số tại một điểm

- Bước 1: Chuyển phương trình về dạng ( ) 0 f x = Giả sử cần thử với giá

trị

6

x= π ta thực hiện theo bước 2;

- Bước 2: Nhập vào máy hàm số ( ) f x , bấm phím , máy hỏi ? X ta nhập

Cách 2: Dùng chức năng , chức năng này có công dụng là tìm nghiệm của phương

trình trong một lân cận của x đã chỉ ra Ta thực hiện theo các bước sau đây:

- Bước 1: Chuyển chương trình máy tính về đơn vị độ;

- Bước 2: Nhập vào phương trình ( ) 0 f x = ;

- Bước 3: Ấn phím máy hỏi ?X ta nhập vào giá trị mà ta dự đoán là

nghiệm, chẳng hạn 60 (600), máy sẽ dò tìm một nghiệm trong lân cận của

60 Tiếp tục nhấn để kiểm tra các giá trị khác

Cách này có một nhược điểm là đôi lúc ta chọn các giá trị x ban đầu máy báo i

CAN’T SOLVE hoặc tốc độ cho ra nghiệm tương đối lâu.

Ví dụ 1 Giải phương trình sau: 2sin2 x−2cosx=7sinx+cos2x−4

Định hướng: Dùng MTBT ta tìm được 1 nghiệm x=300, thử với giá trị bù của nó (

( 2) 2 ( )

4 cost x− −1 2t − −7 2cost x+ = ⇔4 0 2t + 4cosx−7 t+ −3 2cosx=0

Theo định lý Viet thì 1 2 7 4cos

Cách 2: Theo phân tích trên thì ta thấy phương trình phải xuất hiện nhân tử chung là

2sinx−1 Vậy ta phải làm như thế nào để xuất hiện? Ta để ý rằng:

2

2sin2 2cos 2cos 2sin 1

Từ đó ta có giải tóm tắt bài toán trên như sau:

Phương trình đã cho được viết lại

Ví dụ 2 Giải phương trình: cos3x+cos2x−7cosx+2 sin2( x+sinx− =2) 0

Định hướng: Dùng MTBT ta tìm được 1 nghiệm x=1200, thử với giá trị đối của nó (x= −1200) cũng đúng là nghiệm của phương trình Do đó ta dự đoán phương trình

2 2

Ví dụ 3 Giải phương trình: 4sin x+cosx+3sin tanx x−5tanx=5

Định hướng: Dùng MTBT ta tìm được 1 nghiệm x=1350, thử với giá trị x= −450cũng đúng là nghiệm của phương trình Do đó ta dự đoán phương trình có nghiệm

tanx= −1 nên nếu biến đổi phương trình về dạng tích thì sẽ có thừa số tanx+1

Từ đó, ta có thể giải bài toán trên như sau:

Điều kiện: cosx≠0

Với điều kiện trên, phương trình được viết thành

(sinx+cosx) (+ 3sinx+3sin tanx x) (=5 tanx+1)

Tính chất: Giả sử ( )f x liên tục trên miền K , nếu ( ) 0 f x = vô nghiệm trên K thì

( )

f x không đổi dấu trên K

Từ đó ta có quy trình giải bất phương trình như sau:

- Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số;

- Bước 2: Giải phương trình ( ) 0 f x = ;

- Bước 3: Lập bảng xét dấu của ( ) f x (để xác định dấu của ( ) f x trên các khoảng K của D mà ( ) f x vô nghiệm, ta chỉ cần xác định dấu của f x ( )0với x là phần tử bất kỳ của K , ta có thể dùng máy tính để tính 0 f x ).( )0