Hình học 11 chuyên đề phép biến hình

Chuyên ñề Phép biến hình – Hình lớp 11 Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 1 I. Tóm tắt lý thuyết : 1. Phép dời hình : a. ðịnh nghĩa : Phép dời hình là phép biến hình không làm thay ñổi khoảng cách giữa 2 ñiểm bất kì. b. Tính chất : - Biến 3 ñiểm thẳng hàng thành 3 ñiểm thẳng hàng. - Biến ñường thẳng thành ñường thẳng. - Biến tia thành tia. - Biến ñoạn thẳng thành ñoạn thẳng bằng nó. - Biến tam giác thành tam giác bằng nó. - Biến ñường tròn thành ñường tròn có cùng bán kính. - Biến góc thành góc bằng nó. c. Bài toán thường gặp : Chứng minh f là một phép biến hình Phương pháp : Lấy 2 ñiểm , M N bất kì. Giả sử ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , : , ' , : , ' , M M M M N N N N f M x y M x y f N x y N x y  →   →   Ta chứng minh ' ' MN M N = . A. PHÉP DỜI HÌNH : (là phép bi ế n hình b ả o toàn kho ả ng cách gi ữ a hai ñ i ể m b ấ t k ỳ ) 1. Phép tịnh tiến ( ) ' ' v T M M MM v = ⇔ =    - G ọ i '( ' ; ') M x y là ả nh c ủ a ( ; ) M x y qua phép t ị nh ti ế n theo ( ; ) v a b  Khi ñó: ' ' x x a y y b = +   = +  2. Phép ñối xứng trục Ox ( ) ' Ox ð M M = Nghĩa là M’ ñối xứng với M qua trục tọa ñộ Ox Gọi '( ' ; ') M x y là ảnh của ( ; ) M x y qua phép ñối xứng trục Ox Khi ñó: ' ' x x y y =   = −  3. Phép ñối xứng trục Oy ( ) ' Oy ð M M = Nghĩa là M’ ñối xứng với M qua trục tọa ñộ Oy Gọi '( ' ; ') M x y là ảnh của ( ; ) M x y qua phép ñối xứng trục Oy. Khi ñó: ' ' x x y y = −   =  4. Phép ñối xứng trục : 0 d ax by c + + = bất kỳ B1: Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua ñiểm M và vuông góc với ñường thẳng d: 0 0 0 0 : ( ) ( ) 0 0 b x x a y y bx ay bx ay ∆ − − + − = ⇔ − + + − = B2: Giải hệ phương trình sau ñể tìm giao ñiểm ( ; ) k k K x y của d và ∆ : Chuyên ñề : Phép Biến Hình Chuyên ñề Phép biến hình – Hình lớp 11 Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 2 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ax by c bx ay bx ay ax by c bx ay bx ay + + =    − + + − =   + = −   ⇔  − + = − −   B3: Gọi '( ' ; ') M x y là ảnh của ( ; ) M x y qua phép ñối xứng trục d. Khi ñó: ' 2 ' 2 k k x x x y y y = −   = −  Thay tọa ñộ vào tìm ñược M’ 5. Phép ñối xứng tâm O ( ) ' O ð M M = Nghĩa là M’ ñối xứng với M qua gốc tọa ñộ O Gọi '( ' ; ') M x y là ảnh của ( ; ) M x y qua phép ñối xứng tâm O Khi ñó: ' ' x x y y = −   = −  6. Phép ñối xứng tâm ( ; ) H H H x y bất kỳ ( ) ' H ð M M = Nghĩa là M’ ñối xứng với M qua tâm H Gọi '( ' ; ') M x y là ảnh của ( ; ) M x y qua phép ñối xứng tâm H Khi ñó: ' 2 ' 2 H H x x x y y y = −   = −  7. Phép quay tâm O, góc α ( , ) ( ) ' ' ( ' ; ) O Q M M OM OM OM OM α α = =  ⇔  =  Xây dựng biểu thức tọa ñộ như sau : + ðặt OM r = . Góc lượng giác  ( ) ,Ox OM α = và  ( ) , 'Ox OM α ϕ = + . + Ta có ( ) ( ) ' cos cos .cos sin .sin ' sin sin .cos cos .sin x r r r y r r r α ϕ α ϕ α ϕ α ϕ α ϕ α ϕ = + = −    = + = +   ⇔ ' cos .sin ' sin cos x x y y x y ϕ ϕ ϕ ϕ = −   = +  8. Phép quay tâm I, góc α + ( ) , '' cos sin '' '' sin cos Q O x x y M M y x y ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − = +  →  = − +  + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , , 0 0 ' cos sin ' ' sin cos o o o Q I I x y o x x x x y y M M y x x x y y ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − = − − −   →  − = − − −   + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , , 0 0 '' cos sin '' '' sin cos o o o Q I I x y o x x x x y y M M y x x x y y ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − − = − + −   →  − =− − + −   Chuyên ñề Phép biến hình – Hình lớp 11 Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 3 B. PHÉP ðỒNG DẠNG : 9. Phép vị tự tâm O (tỉ số k) ( , ) ( ) ' ' . O k V M M OM k OM = ⇔ =   Gọi '( ' ; ') M x y là ảnh của ( ; ) M x y qua phép vị tự tâm O Khi ñó: ' . ' . x k x y k y =   =  10. Phép vị tự tâm ( , ) H H H x y bất kỳ (tỉ số k) ( , ) ( ) ' ' . H k V M M HM k HM = ⇔ =   Gọi '( ' ; ') M x y là ảnh của ( ; ) M x y qua phép vị tự tâm ( , ) H H H x y Khi ñó: ' .( ) ' .( ) H H H H x k x x x y k y y x = − −   = − −  11. Phép ñồng dạng (tỉ số 0 k > ) - Phép d ờ i hình là phép ñồ ng d ạ ng t ỉ s ố 1 - Phép v ị t ự t ỉ s ố k là phép ñồ ng d ạ ng t ỉ s ố k * Chú ý: - Hai hình b ằ ng nhau khi có phép d ờ i hình bi ế n hình này thành hình kia. - Hai hình ñồ ng d ạ ng v ớ i nhau khi có phép ñồ ng d ạ ng bi ế n hình này thành hình kia. II. Bài Tập : Bài 1: Trong m ặ t ph ẳ ng tọ a ñộ Oxy, cho ñ i ể m ( 2;1) A − và ñườ ng th ẳ ng d: 3 1 0 x y + − = 1. Hã y tì m ả nh củ a A và d qua phé p tị nh ti ế n theo vect ơ (3; 2) v = −  . 2. Tìm ñiểm B sao cho A là ảnh của B qua phép tịnh tiến theo vectơ ( 5;7) u = −  . Bài 2: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho ñường tròn (C) có phương trình 2 2 ( 3) ( 1) 8 x y − + + = . Hãy viết phương trình ñường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O, tỉ số 1 2 − . Bài 3: Cho tam giác ABC. D ự ng v ề phía bên ngoài tam giác ñ ó các hình vuông ABEF và ACIK. G ọ i M là trung ñ i ể m c ủ a BC. Ch ứ ng minh r ằ ng AM vuông góc v ớ i FK và 1 2 AM FK = . Bài 4: Trong m ặ t ph ẳ ng Oxy, cho phép t ị nh ti ế n T theo vect ơ ( ) 3;1 u −  và ñ i ể m M(1;1) 1. Tìm ả nh c ủ a M qua phép t ị nh ti ế n T 2. Vi ế t ph ươ ng trình ả nh c ủ a ðườ ng th ẳ ng ∆: 3 5 1 0 x y − + = qua phép t ị nh ti ế n T 3. Tìm ả nh c ủ a M qua phép quay tâm O góc α = + 90 0, và ả nh c ủ a ñườ ng th ẳ ng ∆: 3 5 1 0 x y − + = Bài 5: Trong m ặ t ph ẳ ng Oxy cho ñườ ng tròn tâm I(1;1), bán kính R = 1 1. Tìm ả nh c ủ a I qua phép v ị t ự tâm O t ỉ s ố k=3 2. Tìm ả nh ñườ ng tròn tâm I bán kính R = 1 qua phép v ị t ự tâm O t ỉ s ố k = 3 3. Tìm ả nh c ủ a I qua phép ñồ ng d ạ ng là k ế t qu ả c ủ a phép v ị t ự tâm O t ỉ s ố k = 3 và phép t ị nh Chuyên ñề Phép biến hình – Hình lớp 11 Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 4 tiến ( ) −  0; 3 u 4. Tìm ảnh của ñường tròn tâm I bán kính R=1 qua phép ñồng dạng là kết quả của phép vị tự tâm O tỉ số k = 3 và phép tịnh tiến ( ) −  0; 3 u . Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình ( ) ( ) f :M x, y M' x 3;y 1 → + + . Chứng minh rằng f là một phép dời hình ? Bài 7: Cho hình vuông ABCD, I là trung ñiểm của AB, O là giao ñiểm của AC và BD. Hãy tìm ảnh của tam giác OAI 1. Qua phép tịnh tiến theo véc tơ 1 2 v BC =   2. Qua phép quay tâm O góc 90 0 3. Qua phép v ị t ự tâm A t ỉ s ố k = 2 Bài 8: Trong m ặ t ph ẳ ng t ọ a ñộ Oxy. Cho ñ i ể m M(-1;-2), ñườ ng th ẳ ng d: 2x – 3y – 4 = 0 và ñườ ng tròn (C’): 2 2 ( 2) ( 1) 9 x y − + + = 1. Tìm t ọ a ñộ ñ i ể m M’ là ả nh c ủ a M qua phép t ị nh ti ế n theo véc t ơ (3;4) v  2. Viết phương trình ñường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo véc tơ (3;4) v  3. Viết phương trình ñường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = - 2 Bài 9: Trong mặt phẳng tọa ñộ, cho ñường thẳng ( ) ∆ + − = : x 2y 5 0 . Tìm ñường thẳng ( ) d , biết rằng qua phép tịnh tiến theo vectơ ( ) −  u 3; 1 thì ( ) d biến thành ( ) ∆ . Bài 10: Trong mặt phẳng tọa ñộ, cho ñường thẳng ( ) d có phương trình − − = 3x 2y 1 0 . Tìm ảnh của ñường thẳng ( ) d qua phép ñối xứng tâm ( ) − I 1;2 . Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy, cho ñiểm I(1,2) và ñường tròn tâm I, bán kính 2. Viết phương trình ñường tròn là ảnh của ñường tròn trên qua phép ñồng dạng có ñược bằng cách thực hiện liên tiếp : 1. Phép quay tâm O, góc 0 45 và phép vị tự tâm O, tỉ số 2. 2. Phép ñối xứng trục Oy và phép vị tự tâm O. tỉ số 2 . 3. Phép ñối xứng tâm O và phép vị tự tâm O. tỉ số -2 Bài 12: Trong mp Oxy cho phép biến hình F biến ( ; ) M x y thành ' ' ' ( ; ) M x y thỏa ' ' 2 3 2 5 x x y y x y  = − +   = + +   . 1. Tìm ả nh c ủ a (2; 3) A − qua F. 2. Tìm I sao cho F(I) = I. Ch ứ ng minh F không ph ả i là phép d ờ i hình. 3. Tìm ả nh c ủ a ∆ − ( ) : x + 3y 2 = 0 qua phép bi ế n hình F. Chuyên ñề Phép biến hình – Hình lớp 11 Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 5 Bài 13: Trong mặt phẳng Oxy cho ñường tròn 2 2 ( ): 4 2 11 0 C x y x y + + − − = 1. Viết phương trình ảnh của ( ) C qua phép vị tự ( ) , 2 O V − . 2. Cho ( ) ( ) 2 2 ( '): 1 3 4 C x y − + + = . Xác ñị nh tâm v ị t ự ngoài c ủ a phép v ị t ự bi ế n ( ) C thành ( ') C . Bài 14: Cho hai ñườ ng tròn (O) và (O’) ti ế p xúc ngoài nhau t ạ i A, l ầ n l ượ t có bán kính là R = 2 và R’ = 5. Xác ñị nh tâm và t ỉ s ố v ị t ự c ủ a các phép v ị t ự bi ế n (O) thành (O’). Bài 15: Trong mp v ớ i h ệ tr ụ c to ạ ñộ Oxy cho ( ) 2,3 v → = − và hai ñ i ể m A(4;-2), B( 1;3) và ñ i ể m D( 2;-1) 1. Xác ñị nh to ạ ñộ c ủ a A’ là ả nh c ủ a A qua phép quay tâm O, góc quay 0 60 = α 2. Xác ñị nh to ạ ñộ c ủ a C sao cho B là ả nh c ủ a C qua phép t ị nh ti ế n theo → v . 3. Xác ñị nh ả nh c ủ a ñ i ể m D qua phép d ờ i hình có ñượ c b ằ ng cách th ự c hi ệ n liên ti ế p phép quay tâm O góc quay 60 0 . và phép t ị nh ti ế n theo → v . ================= H Ế T ================= . Chuyên ñề Phép biến hình – Hình lớp 11 Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 1 I. Tóm tắt lý thuyết : 1. Phép dời hình : a. ðịnh nghĩa : Phép dời hình là phép biến hình không. trình sau ñể tìm giao ñiểm ( ; ) k k K x y của d và ∆ : Chuyên ñề : Phép Biến Hình Chuyên ñề Phép biến hình – Hình lớp 11 Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 2 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ax. I. Ch ứ ng minh F không ph ả i là phép d ờ i hình. 3. Tìm ả nh c ủ a ∆ − ( ) : x + 3y 2 = 0 qua phép bi ế n hình F. Chuyên ñề Phép biến hình – Hình lớp 11 Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang