Bài giảng hình học afin và hình học ơclit

1 CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN 1.1. ðịnh nghĩa không gian afin 1.1.1. ðịnh nghĩa Cho K- không gian véc tơ V, tập hợp A ∅ ≠ mà các phần tử của nó gọi là ñiểm và một ánh xạ ϕ : A × A → V. Kí hiệu MNN)(M, = ϕ , với mọi M, N ∈ A . Bộ ba ( A , ϕ , V) ñược gọi là một không gian afin nếu hai tiên ñề sau ñược thoả mãn: i) Với mọi ñiểm M ∈ A và mọi véc tơ u  ∈ V, có duy nhất một ñiểm N ∈ A sao cho uMN  = . ii) Với mọi bộ 3 ñiểm M, N, P ∈ A ta luôn có MPNPMN =+ . Không gian afin ( A , ϕ , V) còn ñược gọi là không gian afin A liên kết với không gian véc tơ V, hay gọi tắt là K- không gian afin A (không gian afin A trên trường K). Không gian véc tơ liên kết V thường ñược kí hiệu là  A . Không gian afin A gọi là n chiều và viết dim A = n, nếu dimV = n và thường ñược ký hiệu là n A . Khi trường K là trường số thực R , ta nói A là không gian afin thực, còn khi K = C ta nói A là không gian afin phức. 1.1.2. Ví dụ a) Không gian Ơclit 2 chiều 2 E và 3 chiều 3 E ñã ñược học ở trường phổ thông là những không gian afin liên kết với không gian véc tơ (tự do) hai chiều, ba chiều. b) Nếu V là một K- không gian véc tơ và ϕ : V × V → V là ánh xạ xác ñịnh bởi ),(),( Vbaabba ∈∀−=       ϕ thì V trở thành không gian afin liên kết với V và gọi là không gian afin chính tắc trên V. 1.1.3. Một số tính chất ñơn giản 1. Với mọi ñiểm M ∈ A ta luôn có 0  =MM . Thật vậy theo ii) thì MM MM MM = + , do ñó 0  =MM . 2. Với mọi ñiểm M, N ∈ A mà 0  =MN , thì M ≡ N. Thật vậy từ 0  =MN và theo 1. 0  =MM nên theo i) suy ra M ≡ N. 3. Với mọi căp ñiểm M, N ∈ A thì NMMN −= . Thật vậy theo ii) ta có 0  ==+ MMNMMN , do ñó NMMN −= . 4. Với mọi ñiểm A, B, C, D ∈ A , ta có ⇔= CDAB BDAC = . Thật vậy ⇔+=+⇔= CDBCBCABCDAB BDAC = . 5. Với mọi ñiểm O, A, B ∈ A , ta có OAOBAB −= . Thật vậy OAOBOBOAOBAOAB −=+−=+= . 1.1.4. Hệ ñiểm ñộc lập Hệ m + 1 ñiểm A 0 , A 1 , A 2 , , A m ( m ≥ 1) của không gian afin A ñược gọi là hệ ñiểm ñộc lập nếu m véc tơ m AAAAAA 02010 , ,, của  A là hệ véc tơ ñộc lập tuyến tính. Hệ gồm một ñiểm bất kì (tức là m = 0) luôn ñược xem là hệ ñộc lập. Chú ý. Trong ñịnh nghĩa trên ñiểm A 0 không ñóng vai trò ñặc biệt gì so với các ñiểm A i khác. ðiều ñó có nghĩa là nếu các véc tơ m AAAAAA 02010 , ,, là ñộc lập tuyến tính thì ñối với một chỉ số i nào ñó (i = 1, 2, , m) hệ các véc tơ sau ñây cũng ñộc lập tuyến tính: miiiiii AAAAAAAA , ,,, , 111 +− . 2 • ðịnh lí. Nếu A là không gian afin n chiều, thì trong A luôn luôn có những hệ m ñiểm ñộc lập với 0 ≤ m ≤ n + 1. Mọi hệ ñiểm nhiều hơn n + 1 ñiểm ñều là không ñộc lập. Chứng minh. Giả sử  A là không gian véc tơ liên kết với không gian afin A và trong  A có một cơ sở n eee    , ,, 21 . Vì A ∅ ≠ nên ta có thể chọn một ñiểm A 0 nào ñó của A , sau ñó chọn các ñiểm A i sao cho nieAA ii , ,2,1, 0 ==  . Rõ ràng hệ n + 1 ñiểm A 0 , A 1 , A 2 , , A n là ñộc lập. Ngoài ra nếu ta lấy m ñiểm A 0 , A 1 , A 2 , , A m – 1 với 0 ≤ m ≤ n + 1 của hệ ñó thì hiển nhiên ta ñược m ñiểm ñộc lập. Cuối cùng nếu ta có một hệ gồm r ñiểm: P 0 , P 1 , , P r – 1 (r > n + 1) thì hệ r – 1 véc tơ: 102010 , ,, −r PPPPPP không ñộc lập tuyến tính vì r – 1 > n = dim  A . Từ ñó suy ra hệ r ñiểm ñó là không ñộc lập. 1.2. Toạ ñộ afin 1.2.1. ðịnh nghĩa mục tiêu afin Cho không gian afin n chiều A liên kết với không gian véc tơ  A . Gọi O là ñiểm bất kì của A và 1 2 ( , , , ) n e e e ε =    là một hệ véc tơ cơ sở của không gian véc tơ  A . Khi ñó hệ sau (O; n eee    , ,, 21 ) ñược gọi là một mục tiêu afin của A . ðiểm O ñược gọi là gốc của mục tiêu, véc tơ i e  gọi là véc tơ cơ sở thứ i của mục tiêu. 1.2.2. ðịnh nghĩa toạ ñộ của ñiểm Trong không gian afin n chiều A cho mục tiêu afin (O; n eee    , ,, 21 ). Với mỗi ñiểm X ∈ A ta có OX ∈   A , do ñó nn exexexOX    +++= 2211 , trong ñó x 1 , x 2 , , x n là các phần tử của K ñược xác ñịnh một cách duy nhất. Bộ n phần tử có thứ tự (x 1 , x 2 , , x n ) ñó ñược gọi là toạ ñộ của ñiểm X ñối với mục tiêu ñã chọn (O; ε ) và ñược kí hiệu là: X(x 1 , x 2 , , x n ) hoặc X = (x 1 , x 2 , , x n ). Dễ thấy nếu X(x 1 , x 2 , , x n ) và Y(y 1 , y 2 , , y n ), thì: OXOYXY −= = nnn exyexyexy    )( )()( 222111 −++−+− , và do ñó véc tơ XY có toạ ñộ là: XY = ), ,,( 2211 nn xyxyxy − − − ñối với cơ sở n eee    , ,, 21 của  A . 1.2.3. ðổi mục tiêu afin Trong không gian afin n chiều A cho hai mục tiêu afin (O; n eee    , ,, 21 ) và (O ’ ; n eee ′ ′ ′    , ,, 21 ). Với mỗi ñiểm X ∈ A , gọi (x 1 , x 2 , , x n ) là toạ ñộ của ñiểm X ñối với mục tiêu (O; ε ) và ), ,,( 21 n xxx ′ ′ ′ là toạ ñộ của ñiểm X ñối với mục tiêu (O’; ε ′ ). Ta hãy ñi tìm sự liên hệ giữa x i và j x ′ . Muốn vậy gọi C = (c ij ) là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở ε sang cơ sở ε ′ của không gian véc tơ  A (chú ý rằng ta có detC ≠ 0) và ngoài ra gọi (a 1 , a 2 , , a n ) là toạ ñộ của O ' ñối với cơ sở ε . Như vậy ta có: 1 n j ij i i e c e = ′ = ∑   và 1 n i i i OO a e = ′ = ∑   . Khi ñó từ ñẳng thức XOOOOX ′ + ′ = , ta có: = ∑ = n i ii ex 1  = ′ += ′′ + ∑∑∑∑ ∑ ==== = n i iij n j j n i ii n i n j jjii ecxeaexea 1111 1     ∑ ∑∑ = ==         ′ + n i i n j jij n i ii excea 1 11  ∑ ∑ = =         + ′ = n i iij n j ij eaxc 1 1  . Từ ñó suy ra: niaxcx n j ijiji , ,2,1, 1 =+ ′ = ∑ = . (*) Biểu thức trên gọi là công thức ñổi mục tiêu. Nếu kí hiệu các ma trận cột như sau: 3 , 2 1               = n x x x x , 2 1               ′ ′ ′ = ′ n x x x x               = n a a a a 2 1 thì công thức ñổi mục tiêu có thể viết dưới dạng ma trận như sau: axCx + ′ = hay aCxCx 11 −− −= ′ . 1.3. Các phẳng trong không gian afin 1.3.1. ðịnh nghĩa Cho không gian afin A liên kết với không gian véc tơ  A . Gọi I là ñiểm bất kì của A và α  là một không gian véc tơ con của  A . Khi ñó tập hợp: { } α M IM α = ∈ ∈   A , ñược gọi là cái phẳng (gọi tắt là phẳng) ñi qua ñiểm I và có phương α  . Nếu dim α  = m thì α gọi là phẳng m chiều hay còn gọi là m – phẳng. Như vậy 0 – phẳng chính là một ñiểm, còn n – phẳng của không gian afin n chiều A chính là A . Nếu dim A = n, thì (n – 1) – phẳng còn gọi là siêu phẳng. Chú ý. Trong ñịnh nghĩa trên ñiểm I không ñóng vai trò gì ñặc biệt cả so với các ñiểm khác của phẳng α . Thật vậy nếu α là phẳng qua I và có phương α  và J là một ñiểm nào ñó của α , thì IJ  ∈ α  . Thế thì ñiểm M ∈ α khi và chỉ khi IM ∈ α  , tức là khi và chỉ khi IM  – IJ  ∈ α  , cũng tức là khi và chỉ khi JM ∈ α  . Vậy ñiểm J có thể ñóng vai trò của ñiểm I. 1.3.2. ðịnh lý Nếu α là m – phẳng của không gian afin A có phương α  thì α là không gian afin m chiều liên kết với không gian véc tơ α  . Chứng minh. Rõ ràng α ∅ ≠ . Giả sử I là một ñiểm nào ñó của α . Với mọi cặp ñiểm M, N của α ta lấy véc tơ =MN ϕ (M, N) ∈  A , theo ñịnh nghĩa của α thì ta có: IM ∈ α  và IN ∈ α  . Từ ñó suy ra MN ∈ α  . Vì vậy có thể xét ánh xạ: αα ϕ × : α × α → α  . Rõ ràng ánh xạ này thoả mãn cả 2 tiên ñề của ñịnh nghĩa không gian afin vì tiên ñề i) ñược suy ra từ ñịnh nghĩa của phẳng, còn tiên ñề ii) ñúng vì nó ñúng trên toàn bộ A . Vậy bộ ba ( α , α α φ × , α  ) là một không gian afin, tức là α là không gian afin liên kết với không gian véc tơ α  . 1.3.3. ðịnh lý Qua m + 1 ñiểm ñộc lập của không gian afin A có một và chỉ một m – phẳng, trong ñó m ≥ 0. Chứng minh. Giả sử A 0 , A 1 , , A m là m + 1 ñiểm ñộc lập của không gian afin A liên kết với không gian véc tơ  A . Khi ñó hệ m véc tơ m AAAAAA 02010 , ,, là ñộc lập tuyến tính. Ta gọi α  là không gian véc tơ con của  A nhận m véctơ ñó làm cơ sở. Gọi α là phẳng qua A 0 có phương α  . Rõ ràng vì 0 i A A α ∈   nên A i ∈ α với i = 0, 1, 2, , m. Vậy α là phẳng ñi qua m +1 ñiểm ñã cho. Sự duy nhất của m - phẳng ñó là hiển nhiên. Hệ quả. Hệ m + 1 ñiểm của không gian afin A là ñộc lập khi và chỉ khi chúng không cùng nằm trên (m – 1) – phẳng ( m ≥ 1). 1.3.4. Phương trình tham số của m - phẳng trong không gian afin n A (dim n A = n) Trong không gian afin n A chọn mục tiêu afin (O; ε ). Giả sử α là m – phẳng ñi qua ñiểm I ∈ 4 n A và có phương là không gian véc tơ con m chiều α  của n  A . Chọn trong α  một hệ gồm m véc tơ ñộc lập tuyến tính m aaa    , ,, 21 . Giả sử véc tơ i a  ñối với cơ sở ε có toạ ñộ là: i a  = ( niii aaa    , ,, 21 ), i = 1, 2, , m và toạ ñộ của ñiểm I ñối với mục tiêu (O, ε ) là I(b 1 , b 2 , , b n ). Khi ñó ñiểm X có toạ ñộ (x 1 , x 2 , , x n ) thuộc α khi và chỉ khi α  ∈IX hay khi và chỉ khi ∑ = ∈= m j jjj KtatIX 1 )(  , tức là: 1 1 1 1 1 ( ) n m n n n i i i j ij i ij j i i j i i j x b e t a e a t e = = = = =   − = =     ∑ ∑ ∑ ∑ ∑    . Vậy ta có: ) ,,2,1( 1 nibtax i m j jiji =+= ∑ = (1). Hệ phương trình trên gọi là phương trình tham số của m – phẳng α , với m tham số t 1 , t 2 , , t m . Với bộ m số (t 1 , t 2 , , t m ) ta có bộ n số (x 1 , x 2 , , x n ) là toạ ñộ của ñiểm X nào ñó thuộc m – phẳng α . Với trường hợp ñường thẳng (m = 1) ta có phương trình tham số là: x i = a i t + b i , i = 1, 2, , n (2). ðó là phương trình của ñường thẳng ñi qua ñiểm I(b 1 , b 2 , , b n ) có phương là không gian véctơ một chiều sinh bởi véc tơ a  = (a 1 , a 2 , , a n ). Nếu tất cả các a i ñều khác không ta khử t từ hệ (2) sẽ ñược: n nn a bx a bx a bx − == − = − 2 22 1 11 . Công thức (1) viết dưới dạng ma trận là: x = At + b (hạngA = rankA = m), trong ñó A = (a ij ) là ma trận n dòng, m cột, còn x, t, b là các ma trận cột có dạng: , 2 1               = n x x x x 1 2 , m t t t t       =                     = n b b b b 2 1 1.3.5. Phương trình tổng quát của m - phẳng Trong không gian afin n chiều n A cho mục tiêu afin (O, ε ). Giả sử α là m – phẳng ñi qua ñiểm I và có phương là α  . Trong α  ta chọn hệ m véc tơ ñộc lập tuyến tính nmnmn eee ′ ′ ′ +−+−    , ,, 21 và bổ sung vào n – m véc tơ ñó các véc tơ mn eee − ′ ′ ′    , ,, 21 ñể ñược một cơ sở ε ′ : n eee ′ ′ ′    , ,, 21 của n  A . Như vậy ta có mục tiêu afin (I; ε ′ ). Với mỗi ñiểm X ∈ n A ta gọi (x 1 , x 2 , , x n ) là toạ ñộ của X ñối với mục tiêu (O, ε ) và ), ,,( 21 n xxx ′ ′ ′ là toạ ñộ của ñiểm X ñối với mục tiêu (I, ε ′ ). Khi ñó theo công thức ñổi mục tiêu thì: nibxax n j ijiji , ,2,1, 1 =+= ′ ∑ = . ðể cho ñiểm X = ), ,,( 21 n xxx ′ ′ ′ ∈ α ñiều kiện cần và ñủ là: 1 2 0 n m x x x − ′ ′ ′ = = = = . Từ ñó suy ra: 5 mnibxa n j ijij −==+ ∑ = , ,2,1,0 1 . ðó là hệ phương trình gồm n – m phương trình tuyến tính của n biến x i , và gọi là phương trình tổng quát của m – phẳng α . Chú ý rằng ma trận A = (a ij ) của hệ phương trình trên có hạng bằng n – m. Như vậy mỗi m – phẳng trong không gian afin n chiều n A ñược biểu thị bằng một hệ phương trình tuyến tính của các biến x i mà hạng của ma trận các hệ số của các biến là n – m. Ngược lại hệ phương trình ñó là hệ phương trình xác ñịnh một m – phẳng. ðặc biệt mỗi siêu phẳng trong n A có phương trình dạng: a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n + b = 0, trong ñó hạng của ma trận (a 1 a 2 a n ) là bằng 1, tức là có ít nhất một hệ số a i khác không. Cũng theo trên thì mỗi m – phẳng trong không gian afin n chiều n A có phương trình tổng quát là một hệ gồm n – m phương trình tuyến tính nên suy ra: Trong không gian afin n chiều n A mỗi m – phẳng ñều có thể xem như là giao của n – m siêu phẳng nào ñó (giao ở ñây hiểu theo nghĩa của lí thuyết tập hợp). 1.4. Vị trí tương ñối của các phẳng trong không gian afin 1.4.1. ðịnh nghĩa Trong không gian afin n A cho p – phẳng α và q – phẳng β (p ≤ q) lần lượt có phương α  và β  . + Các phẳng α và β ñược gọi là cắt nhau nếu chúng có ñiểm chung. + Cái phẳng α ñược gọi là song song với cái phẳng β nếu α  là không gian con của không gian β  . + Các phẳng α và β ñược gọi là chéo nhau nếu chúng không cắt nhau và không song song với nhau. + Giao α β ∩ ñược hiểu theo nghĩa thông thường của lí thuyết tập hợp ñược gọi là giao của hai cái phẳng α và β . + Tổng α β + là giao của tất cả các phẳng chứa α và β , và tổng ñó ñược gọi là tổng của hai cái phẳng α và β . (Tổng hai phẳng là phẳng nhỏ nhất chứa cả hai phẳng ấy). 1.4.2. ðịnh lý. Giao của hai cái phẳng α và β hoặc là một tập hợp rỗng hoặc là một cái phẳng có phương α β   ∩ . Chứng minh. Nếu α β ∩ ∅ ≠ , thì chúng có ít nhất một ñiểm chung I. Gọi δ là cái phẳng ñi qua ñiểm I có phương δ  = α β   ∩ . Mỗi ñiểm M ∈ α β ∩ khi và chỉ khi M ∈ α và M ∈ β , tức là α  ∈IM và β  ∈IM . ðiều ñó cũng có nghĩa là khi và chỉ khi IM α β IM δ ∈ ⇔ ∈      ∩ hay M ∈ δ . Vậy α β ∩ là cái phẳng δ có phương α  ∩ β  = δ  . (Như vậy α β α β =    ∩ ∩ ). Hệ quả 1. Nếu phẳng α song song với phẳng β thì hoặc chúng không có ñiểm chung, hoặc α nằm trong β . Thật vậy nếu phẳng α song song với phẳng β thì α  ⊂ β  . Nếu chúng có ñiểm chung thì theo ñịnh lí trên ta có giao α ∩ β là cái phẳng có phương α β   ∩ = α  . Suy ra α β ∩ = α hay α ⊂ β . Hệ quả 2. Qua một ñiểm I ñã cho, có một m – phẳng duy nhất song song với m – phẳng α cho trước. Thật vậy gọi α ′ là m – phẳng ñi qua ñiểm I và có phương là phương α  của cái phẳng 6 α . Khi ñó α ′ song song với α . Nếu có một m – phẳng α ′ ′ cũng ñi qua I và song song với α thì rõ ràng α ′ và α ′ ′ cũng song song với nhau và vì chúng có ñiểm chung I cũng như α  ′ ′ = α  nên chúng trùng nhau. 1.4.3. ðịnh lý. Hai cái phẳng α và β là cắt nhau khi và chỉ khi với mọi ñiểm I của α và mọi ñiểm J của β , ta có IJ α β ∈ +    . Chứng minh. Nếu α và β cắt nhau, M là một ñiểm chung của chúng thì α  ∈IM và β  ∈MJ , do ñó βαMJIMIJ   +∈+= . Ngược lại nếu βα   +∈IJ thì vuIJ   += , trong ñó ∈ u  α  và ∈ v  β  . Trong α ta lấy ñiểm M sao cho uIM  = và trong β lấy ñiểm N sao cho vJN  −= . Khi ñó ta có JNIMvuIJ −=+=   . Suy ra IMIN = và do ñó M ≡ N và là ñiểm chung của α và β . 1.4.4. ðịnh lý về số chiều của giao và tổng hai cái phẳng ðịnh lý. Trong không gian afin n A cho hai cái phẳng α và β lần lượt có phương là α  và β  . Khi ñó: Nếu α và β cắt nhau thì: dim( α β + ) = dim α + dim β – dim( α β ∩ ). Nếu α và β không cắt nhau thì: dim( α β + ) = dim α + dim β – dim( α β   ∩ ) + 1. Chứng minh. Nếu α và β cắt nhau thì giao α β ∩ là cái phẳng có phương α  ∩ β  . Lấy I ∈ α β ∩ và gọi γ là cái phẳng ñi qua I và có phương γ  = α  + β  . Rõ ràng γ chứa α và β . Ngoài ra nếu có một phẳng γ ′ chứa α và β thì nó phải chứa ñiểm I và phương của nó phải chứa α  và β  do ñó chứa γ  = α  + β  . Nói cách khác γ ′ phải chứa γ , và từ ñó suy ra γ = α + β . Vậy: dim( α + β ) = dim( α  + β  ) = dim α  + dim β  – dim( α  ∩ β  ) = dim α + dim β – dim( α β ∩ ). Bây giờ xét trường hợp α và β không cắt nhau. Theo ñịnh lí 1.4.3 ở trên có ñiểm I thuộc α , có ñiểm J thuộc β sao cho βα   +∉IJ . Gọi δ  là không gian véctơ một chiều sinh bởi véc tơ IJ . Lấy một ñiểm E nào ñó của phẳng α và gọi γ là cái phẳng ñi qua ñiểm E và có phương γ  = ( α  + β  ) ⊕ δ  . Rõ ràng phẳng γ chứa các phẳng α , β và chứa ñường thẳng ñi qua I, J. Giả sử γ ′ là một phẳng khác chứa α , β , thế thì γ ′ ñi qua ñiểm E và phương của nó phải chứa α  , β  , δ  . Từ ñó suy ra γ ′ chứa γ và do ñó γ = α + β . Vậy: dim( α + β ) = dim[( α  + β  ) ⊕ δ  ] = dim( α  + β  ) + dim δ  = dim α  + dim β  – dim( α  ∩ β  ) + 1 = dim α + dim β – dim( α β   ∩ ) + 1. 1.4.5. ðịnh lý Một siêu phẳng α và m – phẳng β trong không gian afin n A thì hoặc β song song với α hoặc cắt α theo một (m – 1) – phẳng (1 ≤ m ≤ n – 1). Chứng minh. Nếu α và β cắt nhau thì chỉ có thể xảy ra hai trường hợp: 7 1. β ⊂ α , khi ñó β song song với α . 2. β ⊄ α , khi ñó α + β = n A và áp dụng ñịnh lí 1.4.4 ở trên ta ñược: n = m + n – 1 – dim( α ∩ β ). Suy ra dim( α ∩ β ) = m – 1. Vậy β cắt α theo một (m – 1) – phẳng. Nếu β và α không cắt nhau thì cũng áp dụng ñược ñịnh lí 1.4.4, cụ thể là: n = m + n – 1 + 1 – dim( α  ∩ β  ) trong ñó α  và β  lần lượt là phương của α và β . Từ ñó suy ra dim( α  ∩ β  ) = m, tức là β  ⊂ α  . Như vậy β song song với α và ñịnh lí ñược chứng minh. 1.5. Tâm tỉ cự 1.5.1. ðịnh lí. Cho k ñiểm P 1 , P 2 , , P k của không gian afin A và k số thuộc trường K là: k λ λ λ , ,, 21 sao cho 0 1 ≠ ∑ = k i i λ . Khi ñó tồn tại duy nhất một ñiểm G sao cho: 0 1  = ∑ = i k i i GP λ . Chứng minh. Lấy một ñiểm O tuỳ ý của A . Thế thì ñiểm G ñược xác ñịnh bởi: ⇔= ∑ = 0 1  i k i i GP λ ( ) ∑ ∑∑ = ==         =⇔=− k i k i iiii k i i OGOPOGOP 1 11 0 λλλ  . Từ ñó suy ra ∑ ∑ = = = k i ii k i i OPOG 1 1 1 λ λ . ðiều ñó chứng tỏ ñiểm G tồn tại và xác ñịnh duy nhất theo công thức trên. 1.5.2. ðịnh nghĩa. ðiểm G nói trong ñịnh lí 1.5.1 ở trên ñược gọi là tâm tỉ cự của hệ ñiểm P i gắn với họ hệ số i λ . ðặc biệt nếu các i λ bằng nhau thì ñiểm G ñược gọi là trọng tâm của hệ ñiểm P i . Chú ý. + Nếu thay các hệ số i λ , i = 1, 2, , k , 0 1 ≠ ∑ = k i i λ bởi số i k λ trong ñó k thuộc K \ { } 0 , thì tâm tỉ cự G không thay ñổi. Vì thế trong trường hợp G là trọng tâm thì có thể lấy các i λ = 1 và khi ñó trọng tâm G của hệ ñiểm P i (i = 1, 2, , k) ñược xác ñịnh bởi công thức: 1 1 k i i OG OP k = = ∑   . + Khi k = 2, thì trọng tâm G của hệ 2 ñiểm P 1 và P 2 còn ñược gọi là trung ñiểm của cặp ñiểm (P 1 , P 2 ). 1.5.3. ðịnh lí. Tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của họ ñiểm P 0 , P 1 , , P k (với các họ hệ số khác nhau) là cái phẳng bé nhất chứa các ñiểm ấy. Chứng minh. Gọi α là cái phẳng bé nhất chứa các ñiểm P i (i = 0, 1, 2, , k). Khi ñó các véc tơ k PPPPPP 02010 , ,, thuộc phương α  của phẳng α . Bằng cách ñánh chỉ số lại (nếu cần) gọi s PPPPPP 02010 , ,, (s ≤ k) là hệ ñộc lập tuyến tính tối ñại của hệ véc tơ k PPPPPP 02010 , ,, . Như vậy dim α = s. Khi ñó: 8 ðiểm G ∈ α 0 0 P G P G α ⇔ ∈ ⇔ =    ∑∑ == −=⇔ s i ii s i ii GPGPGPPP 1 00 1 0 )( λλ 0.1 1 0 1  =+         −⇔ ∑∑ == s i ii s i i GPGP λλ . ðẳng thức này chứng tỏ ñiểm G là tâm tỉ cự của họ ñiểm P 0 , P 1 , , P k gắn với họ hệ số 1 1 s i i λ =   −     ∑ , s λ λ λ , ,, 21 , 0, , 0 (tổng các hệ số này bằng 1). Ngược lại nếu G là tâm tỉ cự của họ ñiểm P 0 , P 1 , , P k gắn với họ hệ số k λ λ λ , ,, 10 , thì ∑∑ == ⇒=+⇒= k i ii k i ii PPGPGP 0 00 0 0)(0   λλ 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 . 0 . k k k i i i i i k i i i i i GP P P P G P P P G G λ λ λ α α λ = = = =   + = ⇒ = ⇒ ∈ ⇒ ∈     ∑ ∑ ∑ ∑        . ðịnh lí ñược chứng minh. Hệ quả. Cho m − phẳng α ñi qua m + 1 ñiểm ñộc lập P 0 , P 1 , , P m . Khi ñó α chính là tập hợp các tâm tỉ cự của họ ñiểm ñó (gắn với họ các hệ số khác nhau). 1.5.4. ðịnh lí. Cho m − phẳng α ñi qua m + 1 ñiểm ñộc lập P 0 , P 1 , , P m và một ñiểm O tuỳ ý. ðiều kiện cần và ñủ ñể ñiểm M thuộc α là: =OM ∑ = m i ii OP 0 λ , trong ñó 1 0 = ∑ = m i i λ . Chứng minh. ðiểm M ∈ α ⇔ M là tâm tỉ cự của họ ñiểm P 0 , P 1 , , P m gắn với họ hệ số m λ λ λ λ ′ ′ ′ ′ , ,,, 210 nào ñó 0 1 0 ( ) 0 m m i i i i i i MP OP OM λ λ = = ′ ′ ⇔ = ⇔ − = ∑ ∑      0 1 . . m m i i i i i OM OP λ λ = =   ′ ′ ⇔ =     ∑ ∑   . Vì 0 0 ≠ ′ ∑ = m i i λ , nên nếu ñặt ∑ = ′ ′ = m i i i i 0 λ λ λ , thì ta có =OM ∑ = m i ii OP 0 λ , trong ñó 1 0 = ∑ = m i i λ . (ñpcm) 1.6. Tập lồi trong không gian afin thực 1.6.1. ðoạn thẳng Cho hai ñiểm P, Q của không gian afin thực A . ðiểm M thuộc ñường thẳng d ñi qua hai ñiểm P, Q khi và chỉ khi với ñiểm O tuỳ ý thì theo ñịnh lý 1.5.4 ở trên ta có: =OM OQOP µλ + với 1 = + µ λ , hay là =OM ∈−+ λλλ ,).1(. OQOP R . Như vậy M là tâm tỷ cự của họ (P, λ ) và (Q, 1 λ − ) với 10 ≤ ≤ λ . Tập hợp tất cả những ñiểm M sao cho =OM ∈−+ λλλ ,).1(. OQOP R và 10 ≤ ≤ λ ñược gọi là ñoạn thẳng PQ. Khi P ≡ Q, thì ñoạn thẳng PQ gồm chỉ một ñiểm P. Khi P ≠ Q, ñoạn thẳng PQ gồm ñiểm P (khi 1 = λ ), ñiểm Q (khi 0 = λ ) và những ñiểm ứng với λ (0 < λ < 1). Hai ñiểm P, Q gọi là hai mút của ñoạn thẳng PQ, những ñiểm khác của ñoạn thẳng PQ gọi là ở giữa P và Q. 1.6.2. Tập lồi 9 Một tập hợp X trong không gian afin thực A gọi là tập lồi nếu với mọi bộ hai ñiểm P, Q thuộc X thì ñoạn thẳng PQ nằm hoàn toàn trong X. Ví dụ: + Mỗi m − phẳng α trong không gian afin thực A là tập lồi vì nếu P, Q là hai ñiểm phân biệt thuộc α thì tất cả ñường thẳng PQ nằm trong α và do ñó ñoạn thẳng PQ nằm trong α . + Gọi α là một siêu phẳng trong A . Ta chia tập A \ α thành hai tập, mỗi tập gọi là một nửa không gian mở bằng cách sau ñây. Lấy một ñiểm O ∈ A \ α . Tập hợp X gồm những ñiểm M mà ñoạn thẳng OM không có ñiểm chung với α . Tập hợp Y gồm những ñiểm M mà ñoạn thẳng OM có ñiểm chung với α . Khi ñó X, Y là những tập hợp lồi. Trước hết ta chứng minh X là tập hợp lồi. Muốn vậy chọn một mục tiêu trong A . Khi ñó siêu phẳng α có phương trình dạng: a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n + b = 0. Giả sử ñiểm O có toạ ñộ ( 00 2 0 1 , ,, n xxx ) và M(x 1 , x 2 , x n ) là một ñiểm thuộc X. Nếu ñường thẳng OM song song với siêu phẳng α thì: = OM ( 00 22 0 11 , ,, nn xxxxxx −−− ) ∈ α  , tức là 0 0 1 1 1 ( ) 0 n n n i i i i i i i i i i a x x a x b a x b = = = − = ⇔ + = + ∑ ∑ ∑ . Suy ra ∑ = + n i ii bxa 1 và ∑ = + n i ii bxa 1 0 là cùng dấu. Nếu ñường thẳng OM cắt α tại một ñiểm ), ,,( 21 n xxxM ′ ′ ′ ′ , thì OMMM ′ = ′ . λ với λ > 0. Khi ñó: λ λ − − = ′ 1 . 0 ii i xx x và 0 1 . 1 0 =+ − − ∑ = b xx a n i ii i λ λ , hay ∑ = + n i ii bxa 1 = λ         + ∑ = n i ii bxa 1 0 . Vậy ñiểm M ∈ X ⇔ λ > 0 ⇔ ∑ = + n i ii bxa 1 và ∑ = + n i ii bxa 1 0 là cùng dấu. α α O M M' O M M' XY Chứng minh tương tự ta có M ∈ Y ⇔ M M λ.M O ′ ′ =   với λ < 0 ⇔ ∑ = + n i ii bxa 1 và ∑ = + n i ii bxa 1 0 là khác dấu. Vậy ñể chứng minh X, Y là những tập lồi ta chỉ cần chứng minh tập những ñiểm M có toạ ñộ thoả mãn bất ñẳng thức ∑ = + n i ii bxa 1 > 0 (hoặc ∑ = + n i ii bxa 1 < 0) là một tập lồi. Thật vậy giả sử hai ñiểm P = ( 11 2 1 1 , ,, n xxx ) và Q = ( 22 2 2 1 , ,, n xxx ) là hai ñiểm sao cho 0 1 1 >+ ∑ = n i ii bxa và 0 1 2 >+ ∑ = n i ii bxa . Ngoài ra M là ñiểm thuộc ñoạn thẳng PQ. Khi ñó M có toạ ñộ dạng: 10 ( ) 211 2 1 2 2 1 1 1 )1(, ,)1(,)1( nn xttxxttxxttx −+−+−+ , trong ñó 0 ≤ t ≤ 1. Ta có: ( ) 1 2 1 2 1 1 1 (1 ) (1 ) n n n i i i i i i i i i i a tx t x b t a x b t a x b = = =     + − + = + + − +         ∑ ∑ ∑ > 0, vì t ≥ 0, 1 – t ≥ 0, 0 1 1 >+ ∑ = n i ii bxa và 0 1 2 >+ ∑ = n i ii bxa . Vậy ñiểm M cũng thuộc tập hợp ñó, nên tập này là tập lồi. + Tập hợp X ∪ α , Y ∪ α ñược gọi là các nửa không gian ñóng của không gian afin A . Chúng cũng là các tập lồi. 1.6.3. ðơn hình Nhận xét. Cho m + 1 ñiểm ñộc lập P 0 , P 1 , , P m . Khi ñó m – phẳng α ñi qua m + 1 ñiểm ñó gồm những ñiểm M sao cho =OM ∑ = m i ii OP 0 λ , với 1 0 = ∑ = m i i λ . Bây giờ ta xét tập hợp những ñiểm M sao cho =OM ∑ = m i ii OP 0 λ , với 1 0 = ∑ = m i i λ và i λ ≥ 0, i = 0, 1, , m. + ðịnh nghĩa. Trong không gian afin n chiều n A cho m + 1 ñiểm ñộc lập P 0 , P 1 , , P m và ñiểm O tùy ý. Tập hợp, ký hiệu S(P 0 , P 1 , , P m ) ñược xác ñịnh bởi: m m n 0 1 m i i i i i 0 i 0 S(P ,P , ,P ) M OM λ OP , λ 1, λ 0, i 0,1, , m = =   = ∈ = = ≥ =     ∑ ∑   A , ñược gọi là m – ñơn hình các ñỉnh P 0 , P 1 , , P m . Ví dụ: + Trong không gian afin 2 chiều 2 A , cho 3 ñiểm không thẳng hàng A, B, C tức là 3 ñiểm ñộc lập. Khi ñó 2 – ñơn hình S(A, B, C) chính là tam giác ABC (xem ñịnh nghĩa ñoạn thẳng). + Trong không gian afin 3 chiều 3 A , cho 4 ñiểm không ñồng phẳng A, B, C, D tức là 4 ñiểm ñộc lập. Khi ñó 3 – ñơn hình S(A, B, C, D) chính là tứ diện ABCD. ðịnh lý. Mỗi m – ñơn hình S(P 0 , P 1 , , P m ) là một tập lồi bé nhất chứa các ñỉnh của ñơn hình ñó. Chứng minh. - Cho i λ = 1 và các j λ khác bằng không ta ñược ñỉnh P i và như vậy suy ra các ñỉnh P 0 , P 1 , , P m ñều thuộc ñơn hình. - Lấy hai ñiểm M, N thuộc ñơn hình, tức là =OM ∑ = m i ii OP 0 λ , với 1 0 = ∑ = m i i λ và i λ ≥ 0 , =ON ∑ = m i ii OP 0 . µ , với 1 0 = ∑ = m i i µ và i µ ≥ 0. - Nếu ñiểm X thuộc ñoạn thẳng MN thì : ONtOMtOX )1( −+= hay =OM [ ] ∑ = −+ m i iii OPtt 0 )1( µλ . Rõ ràng [ ] ∑∑ ∑ == = −+=−+ m i i m i m i iii tttt 00 0 )1()1( µλµλ với ii tt µ λ )1( − + ≥ 0 vì i λ ≥ 0, i µ ≥ 0, t ≥ 0, 1 – t ≥ 0. Vậy ñiểm X thuộc ñơn hình. Tóm lại ñơn hình S(P 0 , P 1 , , P m ) là tập lồi chứa các ñỉnh P i . Bây giờ ta chứng minh rằng nếu S' là tập lồi chứa P 0 , P 1 , , P m thì S' chứa m – ñơn hình S(P 0 , P 1 , , P m ). Thật vậy S' chứa 1 – ñơn hình S(P 0 , P 1 ). Bằng quy nạp giả sử S' chứa k - ñơn hình S(P 0 , P 1 , , P k ), (0 ≤ k < m) thì S' chứa (k + 1) – ñơn hình S(P 0 , P 1 , , P k , P k + 1 ). [...]... xạ afin nên [P, Q, R] = [P', Q', R'] 2.2 Đẳng cấu afin Biến đổi afin 16 2.2.1 Định nghĩa + ánh xạ afin f: A A giữa hai không gian afin A và A trên trờng K gọi là phép đẳng cấu afin nếu f là song ánh + Không gian afin A đợc gọi là đẳng cấu với không gian afin A nếu có đẳng cấu afin f: A A Khi đó ta cũng kí hiệu là A ~ A 2.2.2 V i tính chất đơn giản + ánh xạ afin f: A A là đẳng cấu afin khi và chỉ... biến đối với nhóm biến đổi F của không gian X gọi là hình học của nhóm F trên không gian X Hình học của nhóm afin A f( A ) trên không gian afin A gọi là hình học afin 2.3.6 Nhận xét Trên một không gian X có thể có nhiều nhóm biến đổi khác nhau, bởi vậy có thể có nhiều thứ hình học khác nhau trên không gian X Ta giả sử F là một nhóm biến đổi của X và F1 là một nhóm con của nhóm F Khi đó mọi bất biến... F1, nhng ngợc lại thì nói chung không đúng Nói cách khác hình học của nhóm F là một bộ phận của hình học của nhóm F1 và nh thế hình học của nhóm F1 phong phú hơn hình học của nhóm F chơng 3 siêu mặt bậc hai afin 3.1 Định nghĩa siêu mặt bậc hai Tâm v phơng tiệm cận 3.1.1 Định nghĩa Trong không gian afin A n trên trờng số thực với một mục tiêu afin đã chọn {O, e1 , e2 , , en }, cho phơng trình bậc hai:... H1 ~ H2 và H2 ~ H3 thì H1 ~ H3 Nh vậy tập hợp các hình của không gian X đợc chia thành các lớp F- tơng đơng, sao cho hai hình thuộc cùng một lớp khi và chỉ khi có một phép f F biến hình này thành hình kia Dới đây là một số ví dụ những hình tơng đơng đối với nhóm afin A f( A ) a) Hai đơn hình có cùng số đỉnh đều tơng đơng Thật vậy, giả sử S(P0, P1, , Pm) và S(P'0, P'1, , P'm) là hai đơn hình có cùng... số 1 và n m số ) Chú ý là phép thấu xạ afin với cơ sở , phơng và hệ số có phẳng là bất động, phơng là bất biến 2.2.8 Phép thấu xạ trợt afin + Định nghĩa Trong không gian afin A n cho siêu phẳng và không gian véc tơ một chiều thuộc không gian chỉ phơng của siêu phẳng Biến đổi afin f của A n giữ bất động mọi điểm của và nếu mọi điểm M A n thì Mf (M ) gọi là phép thấu xạ trợt afin, ... của hai cái phẳng và , nếu trực giao với cả và , đồng thời cắt cả và 4.3.2 Các tính chất Định lý 1 Nếu đờng thẳng là đờng vuông góc chung của hai cái phẳng và , và giao điểm của với và là I và J thì d( , ) = d(I, J) Chứng minh Với mọi điểm M và N ta có: MN = MI + IJ + JN Từ đó suy ra 2 2 2 2 MN = MI + IJ + JN = MI + JN + IJ + 2IJ(MI + JN) Nhng ta có IJ.MI = 0 và IJ.JN = 0 nên... (v ) (*) Nếu u và v không cộng tuyến thì f (u ) và f (v ) cũng không cộng tuyến và từ (*) ta suy ra k' = k'' = k''' có nghĩa là số k' không thay đổi khi ta thay u bởi v Còn nếu u và v cộng tuyến thì ta lấy thêm một véc tơ w sao cho u và w không cộng tuyến (do đó w và v cũng không cộng tuyến) thì số k' không thay đổi khi ta thay u bởi w và thay w bởi v Tóm lại số k' không phụ thuộc vào véc tơ u Bởi... không gian afin A n cho siêu phẳng và hai điểm N, N' không phụ thuộc nhng NN ' Khi đó có một và chỉ một thấu xạ trợt afin với cơ sở , phơng NN ' biến N thành N' Chứng minh Chọn mục tiêu afin {O; e1 , e2 , , en } sao cho O , { e1 , e2 , , en 1 } là một cơ sở của và en = ON Rõ ràng { e1 , e2 , , en1 , en } ( en = ON ' ) là một cơ sở của A n , do đó có một và chỉ một biến đổi afin f: A... thuộc trờng K sao cho RP = RQ và đợc kí hiệu là [P, Q, R] Vậy [P, Q, R] = + Định lí cơ bản của ánh xạ afin Đơn ánh f: A A của hai không gian afin A , A là một ánh xạ afin khi và chỉ khi f bảo toàn tính chất thẳng hàng của các điểm và bảo toàn tỷ số đơn của các hệ ba điểm thẳng hàng (nghĩa là nếu P' = f(P), Q' = f(Q), R' = f(R) và P, Q, R thẳng hàng thì P', Q', R' thẳng hàng và [P, Q, R] = [P', Q', R']... không gian afin A n Bổ xung vào hệ m + 1 điểm độc lập {P0, P1, , Pm} các điểm Pm+1, Pm+2, , Pn và bổ xung vào hệ m + 1 điểm độc lập {P'0, P'1, , P'm} các điểm P'm+1, P'm+2, , P'n để đợc hai hệ n + 1 điểm độc lập là{P0, P1, , Pn} và {P'0, P'1, , P'n} Khi đó tồn tại một phép biến đổi afin f của A sao cho f(Pi) = P'i với i = 1, 2, , n Ta chứng minh f biến đơn hình S(P0, P1, , Pm) thành đơn hình S(P'0, . không gian afin A và kí hiệu là A f( A ). 2.2.6. Biểu thức toạ độ của ánh xạ afin f: n A n A . Cho ánh xạ afin f: n A n A của không gian afin n A vào chính nó. Chọn một mục tiêu afin {O,. cấu afin f: A A từ không gian afin A lên chính nó đợc gọi là một biến đổi afin, hay cho gọn là phép afin. + Một số ví dụ về biến đổi afin: Ví dụ 1. Phép tịnh tiến. Cho không gian afin. ánh xạ afin và tính chất của phép đẳng cấu afin. 2.2.5. Định lí. Tập hợp các biến đổi afin của không gian afin A với phép toán lấy tích các ánh xạ lập thành một nhóm, gọi là nhóm afin của