Bài giảng hình học afin và hình học ơclit

Như vậy mỗi m Ờ phẳng trong không gian afin n chiều A n ựược biểu thị bằng một hệ phương trình tuyến tắnh của các biến xi mà hạng của ma trận các hệ số của các biến là n Ờ m.. Phép tịnh

CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN AFIN

1.1 ðịnh nghĩa không gian afin

1.1.1 ðịnh nghĩa

Cho K- không gian véc tơ V, tập hợp A ≠∅ mà các phần tử của nó gọi là ñiểm và một ánh

xạ ϕ: A × A → V Kí hiệu ϕ(M,N)=MN, với mọi M, N ∈ A Bộ ba (A, ϕ, V) ñược gọi là một không gian afin nếu hai tiên ñề sau ñược thoả mãn:

i) Với mọi ñiểm M ∈ Avà mọi véc tơ u
∈ V, có duy nhất một ñiểm N ∈ Asao cho MN= u
ii) Với mọi bộ 3 ñiểm M, N, P ∈ Ata luôn có MN+NP =MP

Không gian afin (A, ϕ , V) còn ñược gọi là không gian afin Aliên kết với không gian véc tơ

V, hay gọi tắt là K- không gian afin A(không gian afin Atrên trường K) Không gian véc tơ liên kết V thường ñược kí hiệu là



A Không gian afin Agọi là n chiều và viết dimA = n, nếu dimV = n và thường ñược ký hiệu là

n

A

Khi trường K là trường số thực R, ta nói Alà không gian afin thực, còn khi K = C ta nói

Alà không gian afin phức

()

3 Với mọi căp ñiểm M, N ∈ Athì MN =−NM

=

=+ NM MM

Chú ý Trong ñịnh nghĩa trên ñiểm A0 không ñóng vai trò ñặc biệt gì so với các ñiểm Ai khác ðiều ñó có nghĩa là nếu các véc tơ A0A1, A0A2, , A0A m là ñộc lập tuyến tính thì ñối với một chỉ số i nào ñó (i = 1, 2, , m) hệ các véc tơ sau ñây cũng ñộc lập tuyến tính:

A i A1, , A i A i−1, A i A i+1, , A i A m

2

• ðịnh lí Nếu Alà không gian afin n chiều, thì trong Aluôn luôn có những hệ m ñiểm ñộc lập với 0 ≤ m ≤ n + 1 Mọi hệ ñiểm nhiều hơn n + 1 ñiểm ñều là không ñộc lập

Chứng minh. Giả sử A
là không gian véc tơ liên kết với không gian afin Avà trong 
A có một

cơ sở e
1, e
2, , e
n Vì A ≠∅ nên ta có thể chọn một ñiểm A0 nào ñó của A, sau ñó chọn các ñiểm Ai sao cho A0A i =e
i,i =1,2, ,n Rõ ràng hệ n + 1 ñiểm A0, A1, A2, , An là ñộc lập Ngoài ra nếu ta lấy m ñiểm A0, A1, A2, , Am – 1 với 0 ≤ m ≤ n + 1 của hệ ñó thì hiển nhiên ta ñược m ñiểm ñộc lập

Cuối cùng nếu ta có một hệ gồm r ñiểm: P0, P1, , Pr – 1 (r > n + 1) thì hệ r – 1 véc tơ:

1 0 2

1.2.1 ðịnh nghĩa mục tiêu afin

Cho không gian afin n chiều Aliên kết với không gian véc tơ 
A Gọi O là ñiểm bất kì của

Avà ε = ( , e e

1 2, , e
n) là một hệ véc tơ cơ sở của không gian véc tơ A
Khi ñó hệ sau (O;

n

e

e

e
1,
2, ,
) ñược gọi là một mục tiêu afin của A ðiểm O ñược gọi là gốc của mục tiêu, véc

tơ e
i gọi là véc tơ cơ sở thứ i của mục tiêu

1.2.2 ðịnh nghĩa toạ ñộ của ñiểm

Trong không gian afin n chiều A cho mục tiêu afin (O; e
1,e
2, ,e
n) Với mỗi ñiểm X ∈

Ata có OX∈




A, do ñó OX = x1e
1 + x2e
2 + + x n e
n, trong ñó x1, x2, , xn là các phần tử của K ñược xác ñịnh một cách duy nhất Bộ n phần tử có thứ tự (x1, x2, , xn) ñó ñược gọi là toạ ñộ của ñiểm X ñối với mục tiêu ñã chọn (O; ε ) và ñược kí hiệu là: X(x1, x2, , xn) hoặc X = (x1, x2, , xn) Dễ thấy nếu X(x1, x2, , xn) và Y(y1, y2, , yn), thì:

OX

OY

XY = − = (y1−x1)e
1+(y2−x2)e
2+ +(y n−x n)e
n, và do ñó véc tơ XY có toạ ñộ là:

XY= (y1−x1, y2 −x2, , y n −x n) ñối với cơ sở e
1, e
2, , e
ncủa 
A

1.2.3 ðổi mục tiêu afin

Trong không gian afin n chiều A cho hai mục tiêu afin (O; e
1, e
2, , e
n) và (O’

;e
1′, e
2′, , e
n′) Với mỗi ñiểm X ∈ A, gọi (x1, x2, , xn) là toạ ñộ của ñiểm X ñối với mục tiêu (O; ε ) và (x1′, x2′, , x n′) là toạ ñộ của ñiểm X ñối với mục tiêu (O’; ε ′) Ta hãy ñi tìm sự liên

hệ giữa xi và x′j Muốn vậy gọi C = (cij) là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở ε sang cơ sở ε ′của

không gian véc tơ A
(chú ý rằng ta có detC ≠ 0) và ngoài ra gọi (a1, a2, , an) là toạ ñộ của O'ñối với cơ sở ε Như vậy ta có:

j j n

i i i n

i

n

j

j j i

a

1 1 1

n

i

i n

j

j ij n

i i

j

ijx a e c

i , 1, 2, ,

1

=+

′

=∑

=

(*) Biểu thức trên gọi là công thức ñổi mục tiêu Nếu kí hiệu các ma trận cột như sau:

thì công thức ñổi mục tiêu có thể viết dưới dạng ma trận như sau:

x=C x′+a hay x′=C−1x−C−1a

1.3 Các phẳng trong không gian afin

1.3.1 ðịnh nghĩa

Cho không gian afin A liên kết với không gian véc tơ A
Gọi I là ñiểm bất kì của A và α

là một không gian véc tơ con của 
A Khi ñó tập hợp:

α={M∈A IM
∈α
},

ñược gọi là cái phẳng (gọi tắt là phẳng) ñi qua ñiểm I và có phương α

Nếu dimα
= m thì α gọi là phẳng m chiều hay còn gọi là m – phẳng Như vậy 0 – phẳng chính là một ñiểm, còn n – phẳng của không gian afin n chiều Achính là A Nếu dimA = n, thì (n – 1) – phẳng còn gọi là siêu phẳng

Chú ý Trong ñịnh nghĩa trên ñiểm I không ñóng vai trò gì ñặc biệt cả so với các ñiểm khác của

phẳng α Thật vậy nếu α là phẳng qua I và có phương α
và J là một ñiểm nào ñó của α , thì

Nếu α là m – phẳng của không gian afin A có phương α
thì α là không gian afin m chiều

liên kết với không gian véc tơ α

Chứng minh Rõ ràng α ≠∅ Giả sử I là một ñiểm nào ñó của α Với mọi cặp ñiểm M, N của

α ta lấy véc tơ MN = ϕ (M, N) ∈A
, theo ñịnh nghĩa của α thì ta có: IM ∈α
và IN ∈α
Từ

ñó suy ra MN ∈α
Vì vậy có thể xét ánh xạ:

ϕ α×α : α ×α → α

Rõ ràng ánh xạ này thoả mãn cả 2 tiên ñề của ñịnh nghĩa không gian afin vì tiên ñề i) ñược suy

ra từ ñịnh nghĩa của phẳng, còn tiên ñề ii) ñúng vì nó ñúng trên toàn bộ A Vậy bộ ba ( α ,φ α α× ,α
) là một không gian afin, tức là α là không gian afin liên kết với không gian véc

tơ α

1.3.3 ðịnh lý

Qua m + 1 ñiểm ñộc lập của không gian afin A có một và chỉ một m – phẳng, trong ñó m ≥ 0

Chứng minh Giả sử A0, A1, , Am là m + 1 ñiểm ñộc lập của không gian afin A liên kết với không gian véc tơ 
A Khi ñó hệ m véc tơ A0A1, A0A2, , A0A m là ñộc lập tuyến tính Ta gọi α

là không gian véc tơ con của 
A nhận m véctơ ñó làm cơ sở Gọi α là phẳng qua A0 có phương

α
Rõ ràng vì A A
0 i∈α
nên Ai ∈α với i = 0, 1, 2, , m Vậy α là phẳng ñi qua m +1 ñiểm ñã cho Sự duy nhất của m - phẳng ñó là hiển nhiên

Hệ quả Hệ m + 1 ñiểm của không gian afin Alà ñộc lập khi và chỉ khi chúng không cùng nằm trên (m – 1) – phẳng ( m ≥ 1)

1.3.4 Phương trình tham số của m - phẳng trong không gian afin A n(dimA n = n)

Trong không gian afin A nchọn mục tiêu afin (O; ε ) Giả sử α là m – phẳng ñi qua ñiểm I ∈

(a
1i, a
2i, , a
ni), i = 1, 2, , m và toạ ñộ của ñiểm I ñối với mục tiêu (O, ε ) là I(b1, b2, ,

bn) Khi ñó ñiểm X có toạ ñộ (x1, x2, , xn) thuộc α khi và chỉ khi IX ∈ α
hay khi và chỉ khi

b t a

m

j j ij

=

(1)

Hệ phương trình trên gọi là phương trình tham số của m – phẳng α , với m tham số t1, t2, ,

tm Với bộ m số (t1, t2, , tm) ta có bộ n số (x1, x2, , xn) là toạ ñộ của ñiểm X nào ñó thuộc m – phẳng α

Với trường hợp ñường thẳng (m = 1) ta có phương trình tham số là:

b x a

b x a

m

t t t t

1.3.5 Phương trình tổng quát của m - phẳng

Trong không gian afin n chiều A ncho mục tiêu afin (O, ε ) Giả sử α là m – phẳng ñi qua ñiểm I và có phương là α
Trong α
ta chọn hệ m véc tơ ñộc lập tuyến tính

n m

A Như vậy ta có mục tiêu afin (I; ε ′) Với mỗi ñiểm X ∈ A n

ta gọi (x1, x2, , xn) là toạ ñộ của X ñối với mục tiêu (O, ε ) và ( x1′ , x2′ , , xn′ ) là toạ ñộ của

ñiểm X ñối với mục tiêu (I, ε ′) Khi ñó theo công thức ñổi mục tiêu thì:

n

j

i j ij

i , 1 , 2 , ,

1

= +

a x b i n m

n

j

i j

∑

=

,

, 2 , 1 , 0

1

đó là hệ phương trình gồm n Ờ m phương trình tuyến tắnh của n biến xi , và gọi là phương trình tổng quát của m Ờ phẳng α Chú ý rằng ma trận A = (aij) của hệ phương trình trên có hạng bằng

n Ờ m Như vậy mỗi m Ờ phẳng trong không gian afin n chiều A n ựược biểu thị bằng một hệ

phương trình tuyến tắnh của các biến xi mà hạng của ma trận các hệ số của các biến là n Ờ m Ngược lại hệ phương trình ựó là hệ phương trình xác ựịnh một m Ờ phẳng đặc biệt mỗi siêu phẳng trong A n có phương trình dạng:

a1x1 + a2x2 + + anxn + b = 0,

trong ựó hạng của ma trận (a1 a2 an) là bằng 1, tức là có ắt nhất một hệ số ai khác không Cũng theo trên thì mỗi m Ờ phẳng trong không gian afin n chiều A n có phương trình tổng quát là một

hệ gồm n Ờ m phương trình tuyến tắnh nên suy ra:

Trong không gian afin n chiều A n mỗi m Ờ phẳng ựều có thể xem như là giao của n Ờ m siêu phẳng nào ựó (giao ở ựây hiểu theo nghĩa của lắ thuyết tập hợp)

1.4 Vị trắ tương ựối của các phẳng trong không gian afin

1.4.1 định nghĩa

Trong không gian afin A ncho p Ờ phẳng α và q Ờ phẳng β(p ≤ q) lần lượt có phương α
và

β

+ Các phẳng α và β ựược gọi là cắt nhau nếu chúng có ựiểm chung

+ Cái phẳng α ựược gọi là song song với cái phẳng βnếu α
là không gian con của không gianβ

+ Các phẳng α và β ựược gọi là chéo nhau nếu chúng không cắt nhau và không song song với nhau

+ Giao α β ∩ ựược hiểu theo nghĩa thông thường của lắ thuyết tập hợp ựược gọi là giao của

6

α Khi ñó α′song song với α Nếu có một m – phẳng α′′cũng ñi qua I và song song với α

thì rõ ràng α′và α′′ cũng song song với nhau và vì chúng có ñiểm chung I cũng như α
′′= α

∈+

Ngược lại nếu IJ∈α
+β
thì IJ =u
+v
, trong ñó u
∈ α
và v
∈ β
Trong α ta lấy ñiểm M sao cho IM = u
và trong β lấy ñiểm N sao cho JN = − v
Khi ñó ta có

JN IM v

u

IJ =
+
= − Suy ra IN = IM và do ñó M ≡ N và là ñiểm chung của α và β

1.4.4 ðịnh lý về số chiều của giao và tổng hai cái phẳng

ðịnh lý Trong không gian afin A n cho hai cái phẳng α và β lần lượt có phương là α
và β

Khi ñó:

Nếu α và β cắt nhau thì: dim(α β + ) = dimα + dimβ – dim(α β ∩ )

Nếu α và β không cắt nhau thì: dim(α β + ) = dimα + dimβ – dim(α β
∩
) + 1

Chứng minh Nếu α và βcắt nhau thì giao α β ∩ là cái phẳng có phương α
∩ β
Lấy I

∈α β ∩ và gọi γ là cái phẳng ñi qua I và có phương γ
= α
+β
Rõ ràng γ chứa α và β Ngoài ra nếu có một phẳng γ ′chứa α và β thì nó phải chứa ñiểm I và phương của nó phải

chứa α
và β
do ñó chứa γ
= α
+β
Nói cách khác γ ′ phải chứa γ , và từ ñó suy ra γ = α

+β Vậy:

dim(α +β) = dim(α
+β
) = dimα
+ dimβ
– dim(α
∩ β
)

= dimα + dimβ – dim(α β ∩ )

Bây giờ xét trường hợp α và β không cắt nhau Theo ñịnh lí 1.4.3 ở trên có ñiểm I thuộc α,

có ñiểm J thuộc β sao cho IJ ∉ α
+ β
Gọi δ
là không gian véctơ một chiều sinh bởi véc tơ

IJ Lấy một ñiểm E nào ñó của phẳng α và gọi γ là cái phẳng ñi qua ñiểm E và có phương

γ
= (α
+β
) ⊕δ
Rõ ràng phẳng γ chứa các phẳng α , β và chứa ñường thẳng ñi qua I, J

Giả sử γ ′ là một phẳng khác chứa α, β, thế thì γ ′ñi qua ñiểm E và phương của nó phải chứa

α
, β
, δ
Từ ñó suy ra γ ′chứa γ và do ñó γ = α +β Vậy:

dim(α +β) = dim[(α
+β
)⊕δ
] = dim(α
+β
) + dimδ

= dimα
+ dimβ
– dim(α
∩ β
) + 1

= dimα + dimβ – dim(α β
∩
) + 1

1 β ⊂α, khi ñó β song song với α

2 β ⊄α, khi ñó α + β = A n và áp dụng ñịnh lí 1.4.4 ở trên ta ñược:

n = m + n – 1 – dim(α ∩ β)

Suy ra dim(α ∩ β) = m – 1 Vậy β cắt α theo một (m – 1) – phẳng

Nếu β và α không cắt nhau thì cũng áp dụng ñược ñịnh lí 1.4.4, cụ thể là:

n = m + n – 1 + 1 – dim(α
∩ β
)

trong ñó α
và β
lần lượt là phương của α và β Từ ñó suy ra dim(α
∩ β
) = m, tức là

β
⊂α
Như vậy β song song với α và ñịnh lí ñược chứng minh

λ Khi ñó tồn tại duy nhất một ñiểm G sao cho:

i k

i i

i i k

i i

OP OG

1

1

1

λλ

λ bởi số kλitrong ñó k thuộc K \ { }0 , thì tâm tỉ cự G không thay ñổi Vì thế trong trường hợp G là trọng tâm thì có thể lấy các λi= 1

và khi ñó trọng tâm G của hệ ñiểm Pi (i = 1, 2, , k) ñược xác ñịnh bởi công thức:

1

1 k

i i

P

P

P0 1, 0 2, , 0 (s ≤ k) là hệ ñộc lập tuyến tính tối ñại của hệ véc tơ P0P1, P0P2, , P0P k

Như vậy dimα = s Khi ñó:

=+

i i s

⇒

=

k i

i i

0)(

Chứng minh ðiểm M ∈α ⇔ M là tâm tỉ cự của họ ñiểm P0, P1, , Pm gắn với họ hệ số

m

λ λ

i i

0λ

1.6 Tập lồi trong không gian afin thực

1.6.1 ðoạn thẳng

Cho hai ñiểm P, Q của không gian afin thực A ðiểm M thuộc ñường thẳng d ñi qua hai ñiểm

P, Q khi và chỉ khi với ñiểm O tuỳ ý thì theo ñịnh lý 1.5.4 ở trên ta có:

OM = λ OP + µ OQ với λ + µ = 1, hay là OM = λ OP + ( 1 − λ ) OQ , λ ∈R

Như vậy M là tâm tỷ cự của họ (P, λ) và (Q, 1 −λ) với 0≤λ≤1

Tập hợp tất cả những ñiểm M sao cho OM = λ.OP+(1−λ).OQ, λ∈R và 0 ≤ λ ≤ 1 ñược gọi là ñoạn thẳng PQ Khi P ≡ Q, thì ñoạn thẳng PQ gồm chỉ một ñiểm P Khi P ≠ Q, ñoạn thẳng PQ gồm ñiểm P (khi λ = 1), ñiểm Q (khi λ = 0) và những ñiểm ứng với λ (0 < λ < 1) Hai ñiểm P, Q gọi là hai mút của ñoạn thẳng PQ, những ñiểm khác của ñoạn thẳng PQ gọi là

ở giữa P và Q

1.6.2 Tập lồi

Một tập hợp X trong không gian afin thực A gọi là tập lồi nếu với mọi bộ hai ñiểm P, Q thuộc X thì ñoạn thẳng PQ nằm hoàn toàn trong X

Ví dụ:

+ Mỗi m − phẳng α trong không gian afin thực Alà tập lồi vì nếu P, Q là hai ñiểm phân biệt thuộc α thì tất cả ñường thẳng PQ nằm trong α và do ñó ñoạn thẳng PQ nằm trong α

+ Gọi αlà một siêu phẳng trong A Ta chia tập A\ α thành hai tập, mỗi tập gọi là một nửa

OM có ñiểm chung với α Khi ñó X, Y là những tập hợp lồi

Trước hết ta chứng minh X là tập hợp lồi Muốn vậy chọn một mục tiêu trong A Khi ñó siêu phẳng α có phương trình dạng:

a1x1 + a2x2 + + anxn + b = 0

Giả sử ñiểm O có toạ ñộ (x10, x20, , x n0) và M(x1, x2, xn) là một ñiểm thuộc X Nếu ñường

thẳng OM song song với siêu phẳng α thì:

x x

1

.1

0

=+

n

i

i i i

a

1

0

O M M'

X Y

Chứng minh tương tự ta có M ∈ Y ⇔ M M
′ =λ.M O
′ với λ < 0 ⇔ ∑

=

+

n

i i

a

1

< 0) là một tập lồi Thật vậy giả sử

hai ñiểm P = (x11, x12, , x1n) và Q = (x12, x22, , x n2) là hai ñiểm sao cho 0

1

1

>+

∑

=

n

i i

10

2 1

2 2

∑

=

n i i

i x b a

Vậy ñiểm M cũng thuộc tập hợp ñó, nên tập này là tập lồi

+ Tập hợp X ∪α , Y ∪α ñược gọi là các nửa không gian ñóng của không gian afin A Chúng cũng là các tập lồi

λ Bây giờ ta xét tập hợp những

=

m i

λ và λi ≥ 0, i = 0, 1, , m

+ ðịnh nghĩa Trong không gian afin n chiều A cho m + 1 ñiểm ñộc lập Pn 0, P1, , Pm và ñiểm

O tùy ý Tập hợp, ký hiệu S(P0, P1, , Pm) ñược xác ñịnh bởi:

ñược gọi là m – ñơn hình các ñỉnh P0, P1, , Pm

Ví dụ: + Trong không gian afin 2 chiều A , cho 3 ñiểm không thẳng hàng A, B, C tức là 3 ñiểm 2ñộc lập Khi ñó 2 – ñơn hình S(A, B, C) chính là tam giác ABC (xem ñịnh nghĩa ñoạn thẳng) + Trong không gian afin 3 chiều A , cho 4 ñiểm không ñồng phẳng A, B, C, D tức là 4 3ñiểm ñộc lập Khi ñó 3 – ñơn hình S(A, B, C, D) chính là tứ diện ABCD

ðịnh lý Mỗi m – ñơn hình S(P0, P1, , Pm) là một tập lồi bé nhất chứa các ñỉnh của ñơn hình

λ và λi ≥ 0 ,

ON = ∑

=

m i

i

i OP

0

m

i

i i

i t OP t

0

)1

=

−+

m i i m

i

m i i i

i t t t t

0

)1()

Giả sử M ∈ S(P0, P1, , Pk, Pk + 1) tức là

OM = ∑+

= 1

0

k i

i i

OP

OP λλ

cho nên N ∈ S(P0, P1, , Pk), suy ra N ∈ S'

Khi ựó OM = λON +λk+1OP k+1 với λ + λk+1 = 1 và λ ≥ 0, λk+1 ≥ 0, bởi vậy M thuộc ựoạn thẳng Pk + 1N Vì S' chứa N và chứa Pk+1 nên M ∈ S' Vậy ta có:

i

i P P

1 0

λ , với 0 ≤ λi ≤ 1, và P0N = ∑

=

m i

i

i P P

1 0

m

i

i i

i t P P t

1

0)1

+ Cho X là một tập con của không gian afin thực A Khi ựó có một tập lồi bé nhất (theo quan

hệ bao hàm) chứa X đó là giao của mọi tập lồi chứa X và nó ựược gọi là bao lồi chứa X Chẳng hạn như ựơn hình S(P0, P1, , Pm) là bao lồi của m + 1 ựiểm ựộc lập P0, P1, , Pm

12

CHƯƠNG 2 ÁNH XẠ AFIN

2.1 ánh xạ afin, phép chiếu song song

2.1.1 Định nghĩa

Cho hai không gian afin trên trường K là Avà A ′ liên kết với hai không gian véc tơ 
Avà A
′

ánh xạ f: A → A ′được gọi là ánh xạ afin nếu có ánh xạ tuyến tính f :
A
→A
′, sao cho với mọi cặp điểm M, N ∈ A và ảnh M' = f(M), N' = f(N) ta luôn có M N
′ ′ =f(MN)

ánh xạ tuyến tính

a) Mỗi ánh xạ afin f: A → A ′, chỉ có một ánh xạ tuyến tính liên kết duy nhất f :

A→
A′

Thật vậy giả sử ngoài sự tồn tại ánh xạ tuyến tính liên kết f :

A→A
′, còn tồn tại ánh xạ tuyến tính liên kết f :
′ A
→
A′ với ánh xạ afin f: A → A ′ Khi đó với mọi cặp điểm M, N của A, ta có

Thật vậy, ta xác định ánh xạ f: A → A ′biến mỗi điểm M ∈A thành điểm M' ∈A ′ sao cho

Thật vậy Từ giả thiết cho n + 1 điểm độc lập M0, M1, , Mn trong không gian afin n chiều

A, nên hệ véc tơ M0M1, M0M2, , M0M n là một cơ sở của không gian véc tơ liên kết A
Khi đó theo định lý về sự xác định các ánh xạ tuyến tính trong các không gian hữu hạn chiều thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f :
A
→
A′sao cho f(M0M i)= M0′M i′

(i = 0, 1, , n) Theo tính chất b) ở trên thì có duy nhất một ánh xạ afin f: A → A ′ sao cho f(M0) = M0' (i =

0, 1, , n) và f có ánh xạ tuyến tính liên kết f

Rõ ràng f(Mi) = Mi' và ánh xạ f là duy nhất 2.1.4 ảnh và tạo ảnh của phẳng qua ánh xạ afin

Cho ánh xạ afin f: A → A ′ liên kết với ánh xạ tuyến tính f :

A→
A′

a) Nếu α là cái phẳng trongAcó phương α
thì f (α )cũng là cái phẳng trong A ′ có phương

b) Nếu α′ là cái phẳng trong A ′ có phương α
′ và ư ′ ≠ ∅

) (

+ Tỷ số đơn của ba điểm phân biệt thẳng hàng P, Q, R là số λ thuộc trường K sao cho

Với cách xây dựng như trên ta sẽ chứng minh f

, λ ≠1, λ ≠0 Lấy IM = x
, IN = λ x
thì M, I, N thẳng hàng và [N,

M, I] = λ Suy ra N', M', I' thẳng hàng và [N', M', I'] = λ, tức là I′N′= λI′M′ hay

14

)(

2

1

y x

P] = – 1 Suy ra M', N', P' thẳng hàng và [M', N', P'] = – 1, tức là:

)(

2

1

N I M

1

y f x f y

1)

(

2

1

y x f y

+ Định lí cơ bản của ánh xạ afin giữa các không gian afin thưc

Cho A,A ′ là các không gian afin thực n chiều (n > 1) và song ánh f: A → A ′ Nếu f biến ba

điểm thẳng hàng bất kì thành ba điểm thẳng hàng thì f là phép afin

Chứng minh Ta trình bày chứng minh trong trường hợp n = 2, trong trường hợp tổng quát chứng minh tương tự Với giả thiết song ánh f biến ba điểm thẳng hàng bất kì thành ba điểm thẳng hàng ta lần lượt chứng minh các tính chất sau đây của f

a) f biến ba điểm không thẳng hàng bất kì thành ba điểm không thẳng hàng

Thật vậy cho 3 điểm không thẳng hàng A, B, C của Avà ảnh của chúng bởi f là A', B', C' nằm trên đường thẳng d của A ′ Với mỗi điểm M của Ata vẽ đường thẳng đi qua M cắt AB và AC tại hai điểm phân biệt P, Q và gọi M', P', Q' là ảnh của M, P, Q Vì f bảo toàn tính thẳng hàng nên P', Q' đều thuộc d và do đó M' cũng thuộc d Như vậy toàn bộ không gian A(2 chiều) biến vào

đường thẳng d, nên f không phải là song ánh Mâu thuẫn với giả thiết Tránh mâu thuẫn này ta có

điều phải chứng minh

b) f biến đường thẳng thành đường thẳng

Thật vậy cho đường thẳng d trong Ađi qua hai điểm A, B và gọi d' là đường thẳng trong A ′ đi qua ảnh A', B' của A, B Nếu M thuộc d thì ảnh của nó là M' cũng thuộc d' và nếu M' thuộc d' thì theo tính chất a) tạo ảnh M của nó cũng thuộc d, tức là f(d) = d'

c) f biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song

Tính chất này là hiển nhiên do f là song ánh Từ đó suy ra:

d) f biến 4 đỉnh của một hình bình hành thành 4 đỉnh của một hình bình hành

e) Nếu f biến 4 điểm A, B, C, D thành 4 điểm A', B', C', D' mà AB=CD, thì A′B′=C′D′ f) Nếu đ) cho f , thì có song ánh f :

A→A
′ sao cho với mọi cặp điểm M, N của A và ảnh của chúng M', N' ta có f(MN) =M′N′

ánh xạ f

đó có tính chất cộng tính tức là

=+

là cộng tính nên ta có: k' f (u
)

= k'' = k''' có nghĩa là số k' không thay đổi khi ta thay u
bởi v
Còn nếu u
và v
cộng tuyến thì

ta lấy thêm một véc tơ w
sao cho u
và w
không cộng tuyến (do đó w
và v
cũng không cộng tuyến) thì số k' không thay đổi khi ta thay u
bởi w
và thay w
bởi v
Tóm lại số k' không phụ thuộc vào véc tơ u
Bởi vậy nếu đặt σ (k) = k', thì ta có ánh xạ σ :R →R Ta sẽ chứng minh

2.1.6 Phép chiếu song song trong An

Trong không gian afin n chiều Ancho m - phẳng α với phương α
Ngoài ra cho không gian véc tơ con β
của 
n

A sao cho α
⊕ β
= 
n

A (khi đó dimβ
= n – m và α
∩ β
= { }0

) Ta

MN =M M′+M′N′+N′N =(M M′+N′N)+M′N′

Do M M′ ∈β
và N ′ N ∈ β
, nên M M′ + N ′ N ∈ β
, ngoài ra M′N′∈ α
nên ta cũng suy ra theo cách xác định của f

Chứng minh Ba siêu phẳng phân biệt song song α, β , γ nên phương của chúng trùng nhau và gọi là phương β
Khi đó phép chiếu song lên đường thẳng d' theo phương β
biến ba điểm P, Q,

R lần lượt thành ba điểm P', Q', R' Vì phép chiếu song song là phép ánh xạ afin nên [P, Q, R] = [P', Q', R']

2.2 Đẳng cấu afin Biến đổi afin

2.2.2 Vài tính chất đơn giản

+ ánh xạ afin f: A → A ′ là đẳng cấu afin khi và chỉ khi ánh xạ tuyến tính liên kết của nó

là những song ánh ta suy ra tính chất này

+ Hai không gian afin là đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi hai không gian véc tơ liên kết của chúng là đẳng cấu với nhau

+ Hai không gian afin hữu hạn chiều trên trường K là đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng

có cùng số chiều

+ Nếu f: A → A ′là đẳng cấu afin thì ánh xạ ngược f –1: A ′→ A cũng là đẳng cấu afin và

đẳng cấu tuyến tính liên kết với nó là 1

(f) :
ư 
A′ →
A + Quan hệ đẳng cấu giữa các không gian afin trên trường K là một quan hệ tương đương Thật vậy: - A ~ A với ánh xạ là IdA

- Nếu A ~ A ′ với ánh xạ f, thì A ′ ~ A với ánh xạ f –1

- Nếu A ~ A ′ với ánh xạ f và A ′ ~ A ′′ với ánh xạ g, thì A ~ A ′′ với ánh xạ là g.f 2.2.3 Định nghĩa

+ Phép đẳng cấu afin f: A → A từ không gian afin A lên chính nó được gọi là một biến đổi afin, hay cho gọn là phép afin

+ Một số ví dụ về biến đổi afin:

Ví dụ 1 Phép tịnh tiến Cho không gian afin Aliên kết với không gian véc tơ 
A Trong 
A cho véc tơ cố định v
và xét ánh xạ f: A → A cho tương ứng M ∈ Avới M' ∈ A sao cho M M′ = v
Phép f được xác định như trên gọi là phép tịnh tiến theo véc tơ v
và thường được kí hiệu là Tv
Phép tịnh tiến Tv
, theo véc tơ v
là một biến đổi afin với ánh xạ tuyến tính liên kết là IdA
(phép đồng nhất trên không gian véc tơ A
)

Thật vậy với mọi điểm M, N ∈ A, ta có Tv
(MN) = IdA
(MN) = MN = MM' + M ' N' +

Thật vậy lấy một điểm I cố định của A và đặt I' = f(I) Khi đó ta có: Mf (M)= MM' = MI +

'

II + I ' M' = MI + II' + f (IM )

= MI + II' + IM = II'

Ví dụ 2 Phép vị tự Cho điểm O ∈ A và số k ∈ K \ { }0 Xét ánh xạ f: A → A cho tương ứng M

∈ Avới M' ∈ Asao cho O M′=k OM Phép f được xác định như trên gọi là phép vị tự tâm O tỷ

số k

Phép vị tự tâm O tỷ số k, f: A → A là một biến đổi afin với ánh xạ tuyến tính liên kết là f

= kId
A

Thật vậy với mọi điểm M, N ∈ A, ta có: f (MN )

= kId
A (MN) = kMN = k(ON ưOM ) =

18

'''' OM M N ON

≠0, k ≠ 1 thì f là một phép vị tự tỷ số k Thật thế ta chứng minh f có điểm bất động là O, vì lấy I

1

1

I If k

được xác định khi biết ảnh của n + 1 điểm độc lập trong không gian A n

Định lí này là một hệ quả trực tiếp của tính chất của ánh xạ afin và tính chất của phép đẳng cấu afin

2.2.5 Định lí

Tập hợp các biến đổi afin của không gian afin Avới phép toán lấy tích các ánh xạ lập thành một nhóm, gọi là nhóm afin của không gian afin Avà kí hiệu là Af(A)

2.2.6 Biểu thức toạ độ của ánh xạ afin f: A n → A n

Cho ánh xạ afin f: A n →A ncủa không gian afin A nvào chính nó Chọn một mục tiêu afin {O,

ε }, ε = {e
1, e
2, , e
n} Với mỗi điểm X gọi (x1, x2, , xn) là toạ độ của X; (x'1, x'2, , x'n)

là toạ độ của điểm X' = f(X); (b1, b2, , bn) là toạ độ của điểm O' = f(O) Ngoài ra gọi (a1j, a2j, , anj) là toạ độ của véc tơ f ( e
j)

=+

=+

i i

b OX

f OO X

O OO

OX

1 1

)(''

''

1 1

j n

j j n

i i

n

i

i n

j

i j ij i

i i

=

′

=1

⋮2 1

⋮2 1

, thì biểu thức toạ độ của f dưới dạng ma trận là

+ Trong không gian afin A ncho m - phẳng α (0 ≤ m < n) với phương α
và không gian véc tơ con β
của n



A sao cho α
⊕ β
= n



A và cho số λ ∈K \ { }0 Xét ánh xạ f:A n → A n, xác

định như sau: với M ∈ A ngọi M1 là giao điểm của α với cái phẳng βM đi qua M và có phương

β
và điểm M' là điểm mà M1M′= λ M1M tức là tỷ số đơn (M', M, M1) = λ Khi đó ánh xạ f

đặt tương ứng M ∈ A n với M' ∈ A n nói trên gọi là phép thấu xạ afin với cơ sở α, phương β

A nên f là biến đổi afin

Nếu ta chọn mục tiêu afin {O; e
1, e
2, , e
n} của A n sao cho O nằm trên α, còn các véc tơ

i u e n e

m i

u e n e e

i

i i

,

,1ˆ

,

,2,1ˆ

+ Định nghĩa Trong không gian afin A n cho siêu phẳng α và không gian véc tơ một chiều

β
thuộc không gian chỉ phương α
của siêu phẳng α Biến đổi afin f của A n giữ bất động mọi

điểm của α và nếu mọi điểm M ∈ A n thì Mf (M)∈ β
gọi là phép thấu xạ trượt afin, cơ sở α

với phương β

Như vậy f: A n →A n mà với mọi M∈ A n ta có:

- Nếu M∈α, thì M' = f(M) ≡ M

- Mếu M∉α, thì M' = f(M) thoả mãn MM
′∈β

+ Định lý Trong không gian afin A ncho siêu phẳng α và hai điểm N, N' không phụ thuộc α

nhưng NN'∈α
Khi đó có một và chỉ một thấu xạ trượt afin với cơ sở α, phương 〈 NN ' 〉 biến

100

010

001

3 2 1

Giả sử M là điểm bất kì của A n có toạ độ (xi) trong mục tiêu đã cho và f(M) có toạ độ (x'i) Theo công thức đổi toạ độ của ánh xạ afin ta có:

n n n

n

n n

x x

x a x

x

x a x x

x a x x

1 1

1

2 2 2

1 1 1

2.1.9 Biến đổi afin đối hợp

+ Định nghĩa Biến đổi afin f: A →A gọi là đối hợp nếu ff = f2 là phép đồng nhất IdA của

A

Phép thấu xạ f với hệ số λ nói trên là phép đối hợp khiλ= – 1 Khi đó M1 là trung điểm của

đoạn thẳng MM' Người ta gọi nó là phép đối xứng xiên qua phẳng α theo phương β
Khi α

là một điểm (do đó β
=A
) nó gọi là phép đối xứng tâm (với tâm là điểm α )

+ Định lý Mọi biến đổi afin đối hợp không phải là phép đồng nhất của Alà một phép đối xứng xiên

(x
)] +

2

1[x
– f

mỗi véc tơ biến thành chính nó)

mỗi véc tơ biến thành đối của chính nó)

, tức là α
∩ β
= { }0

Bây giờ lấy một điểm P thuộc A, đặt P' = f(P) và gọi I là trung điểm của PP' Khi đó tỷ số đơn [P, P', I] = –1 nếu P ≠ P' ⇒ [f(P), f(P'), f(I)] = –1 ⇒ [P', P, I'] = –1, tức là I' = f(I) cũng là

M f M f M f

+ Mỗi song ánh f: X → X gọi là một phép biến đổi của không gian X Tập hợp các phép biến

đổi của không gian X lập thành một nhóm với phép toán là luật hợp thành các song ánh Mỗi nhóm con của nó gọi là một nhóm biến đổi của không gian X

+ Muốn cho tập hợp F các phép biến đổi nào đó lập thành một nhóm biến đổi cần có hai điều kiện, đó là tích hai phép biến đổi thuộc F là phép biến đổi thuộc F và đảo ngược của phép biến

đổi của F cũng là phép biến đổi của F Tất nhiên khi đó F cũng chứa phép đồng nhất IdX

2.3.2 Ví dụ

1) Gọi Alà không gian afin, ta kí hiệu Af(A) là tập hợp các phép biến đổi afin của không gian afin A thì Af(A) là là một nhóm biến đổi của không gian afin A, nó được gọi là nhóm afin của A

2) Lấy điểm O ∈ A, thì tập hợp các phép biến đổi afin của A giữ điểm O bất động làm thành một nhóm con của nhóm Af(A)

3) Tập hợp các phép tịnh tiến và phép vị tự của A làm thành một nhóm

4) Tập hợp các phép tịnh tiến của Alàm thành một nhóm

2.3.3 Định nghĩa

Gọi F là nhóm biến đổi của không gian X, H1 và H2 là hai hình nào đó của X Khi đó hình H1

được gọi là tương đương với hình H2 (đối với nhóm F, hay còn gọi là F - tương đương) nếu có phép biến đổi f ∈F sao cho f(H1) = H2 và kí hiệu là H1 ~ H2

Từ định nghĩa dễ dàng suy ra:

- Mọi hình H bất kì đều tương đương với chính nó

i

i OP λ

m

0 i

0 i

m

0 i

i i i

i i

i m

0 i

i

iOP λ (OP) λ f(O)f(P) λ OPλ

f)OM(f(M)

i

iOPλf(M)

m

0 i

i

λM

m

0 i

∑

=

Gọi O = f–1(O') và M = f–1(M') thì: OM=fư1(O′)fư1(M′)=fư1(O′M′)=

i i m

0 i

m

0 i

i 1 1

i i

1 i m

0 i

i i 1

OPλ)

P()fO(fλ)

PO(fλP

Oλf

α //β và α ≠ β , nên hệ m + 2 điểm M0, M1, , Mm, Mm + 1 là độc lập Bổ sung vào hệ này các

điểm Mm + 2, , Mn để được hệ n + 1 điểm độc lập của A n Cũng bằng phương pháp như trên ta lấy hệ điểm độc lập M'0, M'1, , M'm, M'm+1, M'm+2, , M'n của A nsao cho M'0, M'1, , M'm

∈α′, còn M'm+1∈ β ′ Khi đó có biến đổi afin f sao cho f(Mi) = M'i với i = 0, 1, , n Rõ ràng f(α ) = α′ và vì f(Mm + 1) = M'm + 1 ∈β′, do α//βnên ( α ) ( β )

Các tính chất bất biến đối với nhóm afin Af(A) của không gian afin Athường được gọi là tính chất afin

2.3.5 Ví dụ về tính chất afin

a) Tính chất độc lập hay không độc lập của một hệ điểm là tính chất afin Điều này được suy

ra từ tính chất phép biến đổi afin là biến một hệ điểm độc lập thành một hệ điểm độc lập và biến một hệ điểm không độc lập thành một hệ điểm không độc lập

b) Tính chất song song, cắt nhau hay chéo nhau của hai cái phẳng là tính chất afin Thật vậy nếu hai cái phẳng α và βcắt nhau thì tất nhiên ảnh của chúng qua biến đổi afin cũng phải cắt nhau Vậy tính chất cắt nhau của hai cái phẳng là bất biến afin Bây giờ giả sử cái phẳng α song song với cái phẳng β, và phương của chúng lần lượt là α
, β
và α
⊂ β
Khi đó nếu f ∈Af(A) thì cái phẳng f(α), f(β) lần lượt có phương là ( α ) , ( β )

24

chất chéo nhau cũng là một bất biến afin

c) Tính chất là tâm tỷ cự của một hệ điểm gắn với một họ hệ số là tính chất afin

Thật vậy, giả sử P0, P1, , Pm là một họ hệ điểm nào đó, G là tâm tỷ cự của nó gắn với họ hệ

số λ0, λ1, , λm tức là λ GP 0

m

0 i

i i

m

0 i

i i

i i m

0 i

i i

do đó tính chất tâm tỷ cự của một hệ điểm là một tính chất afin

Môn học nghiên cứu mọi tính chất bất biến đối với nhóm biến đổi F của không gian X gọi là hình học của nhóm F trên không gian X

Hình học của nhóm afin Af(A) trên không gian afin A gọi là hình học afin

2.3.6 Nhận xét

Trên một không gian X có thể có nhiều nhóm biến đổi khác nhau, bởi vậy có thể có nhiều thứ hình học khác nhau trên không gian X Ta giả sử F là một nhóm biến đổi của X và F1 là một nhóm con của nhóm F Khi đó mọi bất biến của nhóm F cũng là bất biến của nhóm F1, nhưng ngược lại thì nói chung không đúng Nói cách khác hình học của nhóm F là một bộ phận của hình học của nhóm F1 và như thế hình học của nhóm F1 phong phú hơn hình học của nhóm F

chương 3 siêu mặt bậc hai afin

3.1 Định nghĩa siêu mặt bậc hai Tâm và phương tiệm cận

n

1 j i,

n

1 i

0 i i j

Với n = 2 và n = 3 các siêu mặt bậc hai được gọi lần lượt là đường bậc hai và mặt bậc hai

Ta kí hiệu A là ma trận (aij), đó là ma trận vuông cấp n mà phần tử ở dòng i cột j là hệ số aij

x

xx

a

aa

xx

x

xx

(b ABx )′ = x B A b′ =x B Ab′ Vậy đẳng thức trên trở thành:

⇔ x (B AB)x′t t ′+2b ABxt ′+2a Bxt ′+b Ab 2a b at + t + 0 =0

⇔ x (B AB)x′t t ′+2(b AB a B)xt + t ′+b Ab 2a b at + t + 0 =0 (*)

A′ =(B AB) =B A B=B AB=A′ và hạng A' = hạngBt.A.B = hạngA ≥ 1 (detB

≠0) Vậy (4) cũng là phương trình của siêu mặt bậc hai (S'), đó chính là ảnh của (S) qua phép afin đã cho

Chú ý Định lý trên nói rằng khái niệm siêu mặt bậc hai afin là bất biến afin

3.1.3 Giao của siêu mặt bậc hai với đường thẳng

Cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình (2) và đường thẳng d đi qua điểm B mà toạ độ của nó

là B = (b1, b2, , bn) và có không gian chỉ phương là không gian một chiều sinh ra bởi véc tơ

)c,

c

cc

b

bb

n

1 i i i j

26

hai tại hai điểm phân biệt, hoặc tại một điểm (mà ta gọi là điểm kép) hoặc không cắt

• Nếu (tc.A.c) = 0 và P ≠ 0 thì phương trình (6) có một nghiệm duy nhất, tức là đường thẳng cắt siêu mặt bậc hai tại một điểm

• Nếu (tc.A.c) = 0, P = 0 và Q ≠ 0 thì phương trình (6) vô nghiệm, tức là đường thẳng không cắt siêu mặt bậc hai

• Nếu (tc.A.c) = 0, P = 0 và Q = 0 thì mọi giá trị của λđều là nghiệm của phương trình (6), tức là toàn bộ đường thẳng d nằm trên cắt siêu mặt bậc hai (S)

3.1.4 Tâm của siêu mặt bậc hai

• Định nghĩa Tâm của siêu mặt bậc hai (S) là điểm mà khi ta chọn nó làm gốc của mục tiêu thì phương trình của (S) có dạng:

∑

=

=+

a hay viết dưới dạng ma trận là tx.A.x + a0 = 0 với A = (aij)

Rõ ràng từ định nghĩa suy ra rằng nếu M thuộc siêu mặt bậc hai (S) và (S) có tâm I thì điểm M'

đối xứng với điểm M qua I cũng thuộc (S) Vậy nếu (S) ∅≠ , thì tâm của nó chính là tâm đối xứng của tập (S)

• Định lý Trong không gian afin A n với mục tiêu đã chọn, cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình: tx.A.x + 2.a.tx + a0 = 0

Điều kiện cần và đủ để (S) có tâm duy nhất là detA ≠ 0 Nếu (S) có tâm thì tập hợp các tâm của

nó là một m - phẳng nào đó

Chứng minh Tịnh tiến mục tiêu đã chọn {O, ε}đến mục tiêu mới {O', ε′}, tức là dùng công thức đổi mục tiêu x = x' + x0, trong đó x0 là ma trận cột toạ độ của điểm O' đối với mục tiêu {O,

ε} Khi đó phương trình của (S) trong mục tiêu {O', ε′}là:

(x' + x0)A(x' + x0) + 2at(x' + x0) + a0 = 0 hay: x' tAx' + 2(Ax0 + a)tx' + a'0 = 0

ở đây ma trận cột toạ độ của x0 là:

0 2

0 1

x

xx

⋮

n 0

2 0

1, x , , x

siêu mặt bậc hai (S) là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát:

+ Nếu hạng A = r, thì tất cả các tâm của (S) nếu có là m - phẳng với m = n – r

Chú ý rằng để xác định tâm của siêu mặt bậc hai (S) theo công thức (9), ta xét hàm số: F:

n

K →K, với F(x1, x2, , xn) = tx.A.x + 2.a.tx + a0

Khi đó vế trái của phương trình (9) là:

• Định nghĩa Một điểm I được gọi là điểm kì dị của siêu mặt bậc hai (S) nếu I thuộc (S) và I

=++

0aAx

0ax2aAx

=+++0aAx

0axa)xaA

hoặc

)10(0

aAx

0ax

=+

Vậy toạ độ điểm kỳ dị thoả mãn hệ phương trình:

• Định nghĩa Véc tơ c
= (c1, c2, , cn) gọi là phương tiệm cận của siêu mặt bậc hai (S) với phương trình (2) nếu c
≠ 0

j i ij

=+

⇔

=+

Chú ý rằng công thức (12) tương đương với phương trình:

x

Fi n

3.1.7 Tiếp tuyến của siêu mặt bậc hai

• Định nghĩa Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của siêu mặt bậc hai (S) nếu:

- hoặc phương của d không phải phương tiệm cận của (S) và d cắt (S) tại đúng một điểm (điểm này gọi là tiếp điểm và còn nói d tiếp xúc với (S) tại điểm ấy)

- hoặc d nằm trên (S)

• Mệnh đề Nếu siêu mặt bậc hai có phương trình: xtAx + 2atx + a0 = 0 và cho điểm B = (b1,

b2, , bn) nằm trên (S), thì đường thẳng d đi qua B có phương là c
= (c1, c2, , cn) sẽ là tiếp tuyến của (S) khi và chỉ khi:

- Nếu ctAc = 0, thì đường thẳng d là tiếp tuyến của (S) khi và chỉ khi d nằm trên (S), tức là phương trình trên nhận mọi giá trị của λ làm Điều này cũng tương đương với P = 0

• Hệ quả Nếu B là một điểm kì dị của (S) thì mọi đường thẳng qua B đều là tiếp tuyến của (S)

Thật vậy nếu B = (b1, b2, , bn) là điểm kì dị của (S), thì B là tâm nên toạ độ của nó thoả mãn phương trình Ab + a = 0 hay btA + at = 0, suy ra btAc + atc= 0 (ở đây c
= (c1, c2, , cn) là phương của đường thẳng đi qua B), tức là thoả mãn (14)

• Mệnh đề và định nghĩa Nếu điểm B thuộc (S) và B không phải là điểm kì dị của (S), thì các tiếp tuyến tại B của (S) tạo thành một siêu phẳng Siêu phẳng đó gọi là siêu tiếp diện của (S) tại

x

F

∂

∂

là đạo hàm theo toạ độ xi tại điểm B = (b1, b2, , bn)

3.2 Dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai

n

1 j i,

n

1 i

0 i i j

j i

ijx x

a Ta biết rằng ta có thể tìm được một cơ sở ε′= {e
1′ , e
2′ , , e
′n}, sao cho dạng toàn phương nói trên đối với cơ sở đó có dạng chuẩn tắc tức là có dạng:

2 i

ix

ε với εi =±1 hoặc εi =0

Khi đó đối với mục tiêu afin {O, e
1′, e
′2, , e
n′}, phương trình của (S) có dạng:

30

∑

=

′1

i

2 i

ix

1 i i

′

=

n,

1,rj,xX

r,

2,1,i,aεxX

j j

i i i i

iX

ε + 2 a X a0 0

n

1 r i

2 i

0λueˆn,XλX

0λueˆn,XλX

k k

j j

j j

i i

i i

Khi đó phương trình (19) sẽ có dạng:

ε X 1

r

1 i

2 i

1ri,XX

2

bXaX

i i

n

1 r j

j j 1

2 i

2 i

2 i

∑

=

, εi =±1, 1 ≤ r ≤ n

r 1

r

1 i

2 i

Ba dạng trên được gọi là dạng phương trình chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai

Chú ý: Các dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai nêu trong định lí trên có thể viết cụ thể như sau: ưx12 ưx22 ư ưx2k +x2k+1+ +x2r =1 (I)

r

r

2 1 k

2 k

2 2

r vì nếu k >

2

r thì bằng cách nhân hai vế của của phương trình đó với (– 1) ta được một phương trình mà các hệ số là – 1 bé hơn







 2

r 3.2.3 Định nghĩa

Hai siêu mặt bậc hai trong A nđược gọi là cùng loại nếu phương trình chuẩn tắc của chúng có cùng dạng (I) hoặc (II) hoặc (III) với giá trị của k và r giống nhau

Nói cách khác hai siêu mặt bậc hai được gọi là cùng loại nếu phương trình chuẩn tắc của chúng hoàn toàn giống nhau

Muốn cho định nghĩa trên có cơ sở ta cần phải chứng tỏ rằng: Một siêu mặt bậc hai (S) không thể thuộc hai loại khác nhau

Thật vậy, nếu siêu mặt bậc hai (S) có phương trình dạng (I), thì tâm của (S) không thuộc (S); nếu (S) có phương trình dạng (II), thì mọi tâm của (S) đều thuộc (S); còn nếu (S) có phương trình dạng (III), thì (S) không có tâm Bởi vậy phương trình của (S) chỉ có thể là một trong ba dạng đó Bây giờ ta xét hai phương trình cùng một dạng, nhưng thuộc loại khác nhau, tức là chúng khác nhau bởi r hoặc k Nhưng r chính là hạng, còn k là chỉ số âm quán tính của dạng toàn phương trong phương trình đó, nên chúng đều là những bất biến qua phép biến đổi toạ độ Bởi vậy hai phương trình đó không thể là phương trình chuẩn tắc của cùng một siêu mặt bậc hai được

:
n

A →
n

Abiến véc tơ e
i của cơ sở ε, thành véc tơ e′
i của cơ sở ε′(i = 1, 2, , n) Khi đó nếu điểm X

đối với mục tiêu (O, ε) có toạ độ (x1, x2, , xn), thì điểm X' = f(X) đối với mục tiêu (O', ε′) cũng có toạ độ là (x1, x2, , xn) Từ đó suy ra f biến (S) thành siêu mặt bậc hai mà phương trình của nó đối với mục tiêu (O', ε′) giống như phương trình của (S) đối với mục tiêu (O, ε) Nói rõ hơn là f biến (S) thành (S')

32

• Ngược lại ta giả sử có hai siêu mặt bậc hai (S) và (S') là tương đương afin, tức là có phép afin

f sao cho f(S) = (S') Ta gọi (O, ε) là mục tiêu sao cho đối với nó phương trình của (S) có dạng chuẩn tắc và gọi ε′= f

3.2.5 Siêu mặt bậc hai trong A 2

Trong không gian A 2, các siêu mặt bậc hai còn được gọi là đường bậc hai mà phương trình tổng quát của nó là:

7) x12 =1, cặp đường thẳng song song

8) ưx12 =1, cặp đường thẳng ảo song song

9) x12 = 0, cặp đường thẳng trùng nhau

3.2.6 Siêu mặt bậc hai trong A 3

Trong không gian A 3, các siêu mặt bậc hai còn được gọi là mặt bậc hai mà phương trình tổng quát của nó là:

1 x 2x

2 2