Qua nghiên cứu lý thuyết đường hypebol và sử dụng phương trình hypebol để giải các bài toán giao thoa. Đồng thời qua giảng dạy ở các lớp 12, ôn thi đại học, bồi dưỡng học sinh giỏi… tôi nhận thấy phương pháp giải này đơn giản, dể hiểu không chỉ với học sinh khá, giỏi mà kể cả với học sinh ở mức trung bình, dưới trung bình. Với những lí do trên, tôi xin trình bày đề tài “ Vận dụng phương trình hypebol để giải bài toán tìm khoảng cách trong giao thoa sóng cơ học’’. Thông qua đề tài, tôi muốn giúp học sinh có phương pháp mới để giải bài toán tìm khoảng cách trong giao thoa một cách thuận lợi và nhanh gọn. Cũng qua đề tài, tôi muốn giúp học sinh biết liên hệ tốt giữa kiến thức vật lý và phương trình toán học để hiểu sâu kiến thức, đồng thời phát triển tư duy một cách hoàn thiện hơn.
Trang 1MỤC LỤC
A ĐẶT VẤN ĐỀ………
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ………
I Cơ sở lí luận………
II Cơ sở thực tiễn………
III Phương pháp tiến hành……… …
1 Lý thuyết đường hypebol ……….…….
1.1 Định nghĩa……….…… … …
1.2 Phương trình chính tắc của hypebol ……… …
2 Phương trình hypebol cho hệ thống vân giao thoa sóng cơ học…
2.1 Hình ảnh vân giao thoa……… …………
2.2 Phương trình hypebol cho hệ thống vân giao thoa ………… … …
3 Một số bài toán vận dụng……….….
IV Hiệu quả của đề tài……….
C KẾT LUẬN……… …
TÀI LIỆU THAM KHẢO……… ….……
2
3
3 3 4 4 5 7 13
Trang
3 3
3 3
14 15
Trang 2A ĐẶT VẤN ĐỀ
Để giải các bài tập vật lý nói chung và các bài toán giao thoa sóng cơ học nói riêng, toán học là công cụ không thể thiếu giúp ta tìm ra kết quả Đối với bài toán xác định khoảng cách trong giao thoa, phần lớn học sinh vận dụng các hệ thức trong tam giác để giải quyết vấn đề, đây cũng là phương pháp mà các sách tham khảo đề cập đến Tuy nhiên, qua thực tế giảng dạy tôi thấy việc học sinh dùng hệ thức trong tam giác để giải dạng toán này thường gặp một số khó khăn như: phải nhận dạng tam giác, kết hợp nhiều phương trình, giải phương trình vô tỷ…Vì thế học sinh phải dành khá nhiều thời gian để tìm được kết quả bài toán Qua nghiên cứu lý thuyết đường hypebol và sử dụng phương trình hypebol để giải các bài toán giao thoa Đồng thời qua giảng dạy ở các lớp 12, ôn thi đại học, bồi dưỡng học sinh giỏi… tôi nhận thấy phương pháp giải này đơn giản, dể hiểu không chỉ với học sinh khá, giỏi mà kể cả với học sinh ở mức trung bình, dưới
trung bình Với những lí do trên, tôi xin trình bày đề tài “ Vận dụng phương trình hypebol để giải bài toán tìm khoảng cách trong giao thoa sóng cơ học’’ Thông qua đề tài, tôi muốn giúp học sinh có phương pháp mới để giải bài
toán tìm khoảng cách trong giao thoa một cách thuận lợi và nhanh gọn Cũng qua đề tài, tôi muốn giúp học sinh biết liên hệ tốt giữa kiến thức vật lý và phương trình toán học để hiểu sâu kiến thức, đồng thời phát triển tư duy một cách hoàn thiện hơn
Trang 3B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I Cơ sở lí luận.
Khi có sự giao thoa của hai sóng cơ học, kết quả có những điểm dao động với biên độ lớn nhất và những điểm đứng yên Tập hợp những điểm dao động với biên độ lớn nhất là những đường hypebol nhận S1và S2là hai tiêu điểm gọi
là vân giao thoa cực đại Tập hợp những điểm đứng yên là những đường hypebol nhận S1và S2là hai tiêu điểm gọi là vân giao thoa cực tiểu (S1, S2 là tâm của hai sóng) Bằng cách chọn hệ tọa độ phù hợp, chúng ta sẽ thiết lập được phương trình hypebol cho hệ thống vân giao thoa Từ đó có thể vận dụng phương trình hypebol để xác định tọa độ của điểm cực đại hoặc cực tiểu và xác định được khoảng cách cần tìm theo tọa độ đó
II Cơ sở thực tiễn.
Các bài toán dạng này thường xuất hiện trong các tài liệu tham khảo, chuyên đề nâng cao vật lý phổ thông, đặc biệt là trong kỳ thi đại học, cao đẳng Song ở các sách tham khảo thì các tác giả chỉ hướng dẫn học đọc giả sử dụng hệ thức trong tam giác để giải bài toán Với phương pháp giải đó đã đem lại một số khó khăn cho học sinh mà tôi đã nêu trong phần đặt vấn đề Vì thế tôi đã đưa phương pháp sử dụng phương trình hypebol để giải các bài toán này vào trong quá trình giảng dạy ôn thi đại học, bồi dưỡng học sinh giỏi…Tôi nhận thấy các
em tiếp thu tốt, đồng thời giải được các bài toán tương tự một cách nhanh chóng,
dễ dàng
III Phương pháp tiến hành.
Tôi đã tìm hiểu lý thuyết đường hypebol, lý thuyết giao thoa và sưu tập các bài toán giao thoa trong các tài liệu tham khảo, đề thi đại học cao đẳng, đề thi học sinh giỏi của các năm gần đây để xây dụng hệ thống lý thuyết và bài tập Sau đây tôi xin trình bày lý thuyết đường hypebol cho vân giao thoa và các bài toán minh hoạ cho đề tài
1 Lý thuyết đường hypebol.
1.1 Định nghĩa.
Cho hai điểm cố định F1 và F2 có khoảng cách F1F2 2c (c>0) Đường hypebol là đường tập hợp những điểm M sao cho MF1 MF2 2a , trong đó a là
số dương cho trước nhỏ hơn c.
Hai điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của hypebol
Khoảng cách F1F2 2c gọi là tiêu cự của hypebol
1.2 Phương trình chính tắc của hypebol
Trang 4
-3 Chọn hệ trục tọa độ xOy sao cho:
+ Gốc tọa độ O là trung điểm của F1F2
+ Trục Ox trùng với F1F2
+ Trục Oy là trung trực của F1F2
- Tọa độ của hai tiêu điểm F 1 (-c, 0) và F 2 (c, 0)
- Điểm M(x,y) thoả mãn điều kiện MF1 MF2 2a thì thoả mãn phương trình
) 0 , 0 ( 1
2
2 2
2
b
y a
trong đó b2 c2 a2
Phương trình (1) là phương trình chính tắc của đường hypebol
2 Phương trình hypebol cho hệ thống vân giao thoa sóng cơ học.
2.1 Hình ảnh vân giao thoa.
Trong thí nghiệm hiện tượng giao thoa sóng nước trình bày ở bài 8 “ Giao thoa sóng” (SGK vật lý lớp 12-Nhà xuất bản Giáo dục), khi cho cần rung hoạt
động thì hai sóng nước được hình thành tại hai mũi nhọn S 1 và S 2 Kết quả trên mặt nước xuất hiện một loạt gợn sóng ổn định có hình dạng các đường hypebol
nhận S 1 và S 2 là hai tiêu điểm Hiện tượng hai sóng gặp nhau tạo nên các gợn sóng ổn định gọi là hiện tượng giao thoa của hai sóng
Những điểm tại đó dao động có biên độ cực đại là những điểm mà hiệu đường đi của hai sóng từ nguồn truyền tới bằng một số nguyên lần bước sóng (
k
d
d2 1 với k 0 , 1 , 2 ) Quỹ tích những điểm này là những đường
hypebol (nét liền) có hai tiêu điểm là S 1 và S 2, chúng được gọi là những vân giao thoa cực đại
Những điểm tại đó dao động triệt tiêu là những điểm mà hiệu đường đi của hai sóng từ nguồn truyền tới bằng một số nửa nguyên lần bước sóng (
.
.
y
O
.M(x,y)
(1)
Trang 5 ) 2
1 (
1
2 d k
d với k 0 , 1 , 2 ) Quỹ tích những điểm này là những đường
hypebol (nét đứt) có hai tiêu điểm là S 1 và S 2, chúng được gọi là những vân giao thoa cực tiểu
(Hình ảnh vân giao thoa)
2.2 Phương trình hypebol cho hệ thống vân giao thoa
Chọn hệ trục tọa độ xOy sao cho:
+ Gốc tọa độ O là trung điểm của S 1 S 2
+ Trục Ox trùng với S 1 S 2
+ Trục Oy là trung trực của S 1 S 2
a Đối với vân giao thoa cực đại.
Nếu M(x,y) là điểm cực đại giao thoa, khi đó:
1 2 1
2 d MS MS k
Theo định nghĩa đường hypebol
a MS
MS1 2 2
Kết hợp (2) và (3) ta có:
2
k
a với k 1 , 2 , 3
-5-.
.
y
O
.M(x,y)
(2) (3)
(4)
Trang 6Chú ý : Ta không xét giá trị k=0 vì a>0 Nghĩa là ta không xét đường cực đại trung tâm ( trùng với trung trực của S 1 S 2 )
Gọi L S1S2 là khoảng cách giữa hai nguồn sóng , là bước sóng Khi đó tọa độ của hai tiêu điểm S1 và S2 lần lượt là ( , 0
2
L
) và ( , 0
2
L
) Theo định nghĩa đường hypebol S1S2 2c, do đó :
2
L
c
Kết hợp (4) và (5) ta được :
4 4
4
2 2 2 2 2 2 2 2
a c
Thay giá trị của a 2 và b 2 vào phương trình chính tắc (1) của hypebol ta thu được :
1 4
4
2 2 2
2 2
2
2
y k
x
Hay :
4
1
2 2 2
2 2
2
2
y k
x
Phương trình (6) là phương trình hypebol viết cho vân giao thoa cực đại ứng với các giá trị của k 1 , 2 , 3
b Đối với vân giao thoa cực tiểu.
Nếu M(x,y) là điểm cực tiểu giao thoa, khi đó:
2
1
1 2 1
d MS MS k d
Theo định nghĩa đường hypebol
a MS
MS1 2 2
Kết hợp (7) và (8) ta được:
2 2
1
k
a với k 0 , 1 , 2 , 3
Kết hợp (5) và (9) ta được :
4 2 1
4 2 1
4
2
2 2
2 2 2
2 2 2
k L k
L a c b
Thay giá trị của a 2 và b 2 vào phương trình chính tắc (1) của hypebol ta thu được :
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Trang 74 2 1
4 2
2 2
2
2 2
2
y k
x
Hay :
4 1
2
1 2
2 2
2
2 2
2
y k
x
Phương trình (10) là phương trình hypebol viết cho vân giao thoa cực tiểu ứng với các giá trị của k 0 , 1 , 2 , 3
Như vậy, phương trình (6) và (10) là phương trình hypebol viết cho hệ thống vân giao thoa cực đại và cực tiểu trong hiện tượng giao thoa sóng của hai nguồn
sóng dao động cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ và cùng pha nhau
Chú ý : Nếu trường hợp hai nguồn sóng tại S1 và S2 là hai nguồn sóng dao
động cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ nhưng ngược pha nhau thì khi
đó phương trình (6) là phương trình hypebol viết cho vân giao thoa cực tiểu (không tính vân cực tiểu trung tâm), còn phương trình (10) là phương trình hypebol viết cho vân giao thoa cực đại
3 Một số bài toán vận dụng.
Việc vận dụng phương trình (6) hoặc (10) để giải một số bài toán giao thoa trong việc tìm khoảng cách sẽ trở nên nhanh chóng và thuận lợi hơn nhiều khi dùng các hệ thức lượng trong tam giác Dưới đây là một số bài toán cụ thể :
Bài toán 1 : Trên bề mặt chất lỏng có hai nguồn phát sóng kết hợp tại S1 và 2
S cách nhau khoảng L 8cm dao động cùng biên độ, cùng pha nhau Sóng do mỗi nguồn phát ra có bước sóng 2cm M là điểm nằm trên đường cực đại ứng với k 3cách trung trực của S1S2 đoạn 3,21cm Xác định khoảng cách từ
M đến S1S2
Bài giải :
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc
tọa độ O trùng với trung điểm của S 1 S 2 Tọa
độ của điểm M( x 3 , 21cm ; y)
-7-.
.
y
O
.M(x,y)
3
k
(10)
Trang 8Vì M(x ; y) là điểm cực đại, thay giá
trị của L, , k, x, y vào phương trình (6) ta
được :
4
1 2 3 8 2 3
21 , 3
2 2 2
2 2
2
2
4
1 28 36
3 ,
Suy ra : y 1cm
Vậy : Điểm M cách S 1 S 2 đoạn 1cm.
Bài toán 2 : Trên bề mặt chất lỏng có hai nguồn phát sóng kết hợp tại S 1
và S 2 cách nhau khoảng L 5cm dao động cùng biên độ, cùng pha nhau Biết tốc
độ truyền sóng là v 20cm/s, tần số sóng là f 10Hz Qua S 2 dựng đường thẳng
aa’ vuông góc với S 1 S 2
a) Điểm cực đại trên aa’ cách S 1 S 2 đoạn nhỏ nhất là bao nhiêu ?
b) Điểm cực tiểu trên aa’ cách S 1 S 2 đoạn lớn nhất là bao nhiêu ?
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ O trùng với trung điểm của S 1 S 2 a) Giá trị của bước sóng là
cm f
v
2 10
20
Số đường cực đại trên S 1 S 2 là số giá trị k
nguyên thoả mãn
L k
L
5 , 2 5
,
Do đó : k 0 ; 1 ; 2
Điểm cực đại trên aa’ cách S 1 S 2 đoạn nhỏ
nhất là điểm M(x , y) nằm trên đường cực đại
ngoài cùng ứng với k 2 như hình vẽ
Xét điểm M có tọa độ ( xOS2 2 , 5cm,y ) Áp dụng phương trình (6) ta
có :
cm y
y
y
125 , 1
4
1 9 16
25 , 6
4
1 2 2 5 2 2
5 , 2 2
2 2 2
2 2
2 2
x
.
.
2
y
O
.M(x,y)
a
Trang 9Vậy : Điểm cực đại M trên aa’ cách S 1 S 2 đoạn nhỏ nhất là MS 2 =1,125cm.
b) Điểm cực tiểu trên aa’ cách S 1 S 2 đoạn lớn
nhất là điểm M nằm trên đường cực tiểu ứng với
1
k như hình vẽ
Thay tọa độ của M( x 2 , 5cm,y ) vào
phương trình (10) ta được :
cm y
y
y
12 4
1 24 25 ,
6
4
1 2 2
1 1 5 2 2
1 1
5 , 2
2
2 2 2
2
2 2 2
Vậy : Điểm cực tiểu M trên aa’ cách S 1 S 2 đoạn lớn nhất là MS 2 =12cm.
Bài toán 3 : Trong hiện tượng giao thoa sóng nước của hai nguồn sóng
tại S 1 và S 2 cách nhau đoạn L 10 cm dao động cùng biên độ, cùng pha nhau Sóng do mỗi nguồn phát ra có bước sóng 3cm M là điểm cực đại nằm trên đường thẳng aa’ song song với S 1 S 2 cách S 1 S 2 đoạn 1cm Xác định khoảng cách lớn nhất từ M đến trung trực của S 1 S 2
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc
tọa độ O trùng với trung điểm của S 1 S 2
Số đường cực đại trên S 1 S 2 là số giá trị
k nguyên thoả mãn điều kiện :
L k
L
3 , 3 k 3 , 3
Do đó : k 0 ; 1 ; 2 ; 3
Điểm cực đại trên aa’ cách trung trực của S 1 S 2 đoạn lớn nhất là điểm M
nằm trên đường cực đại ngoài cùng ứng với k 3 như hình vẽ
Xét điểm M có tọa độ (x, y =1cm) Áp dụng phương trình (6) ta có :
cm x
x x
95 , 4 4
1 19
1 81
4
1 3 3 10
1 3
3
2
2 2 2
2 2 2
Vậy : Điểm cực đại M trên aa’ cách trung trực của S 1 S 2 đoạn lớn nhất là 4,95cm.
Bài toán 4: Trên bề mặt chất lỏng có hai nguồn phát sóng kết hợp tại S 1
và S 2 cách nhau khoảng L 10 cm dao động cùng biên độ, ngược pha nhau Sóng
-9-.
.
2
y
O
.aM(x, y)
a’k 1
x
x
.
.
y
O
.M(x,y)
a
a’
3
k
Trang 10do mỗi nguồn phát ra có tần số 10Hz, tốc độ truyền sóng 30cm/s M là điểm nằm
trên đường cực đại ứng với k 2 sao cho hình chiếu của nó lên S 1 S 2 cách S 1
đoạn 0,5cm Xác định khoảng cách nhỏ nhất từ M đến S 2
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc
tọa độ O trùng với trung điểm của S 1 S 2
Gọi M 1 và M 2 là hai điểm trên đường
cực đại ứng với k 2 có hình chiếu lần lượt
là H 1 và H 2 cách S 1 đoạn 0,5cm như hình vẽ.
Ta thấy khoảng cách nhỏ nhất cần tìm là
khoảng cách từ M 1 đến S 2
Giá trị của bước sóng là
cm f
v
3 10
30
Xét điểm M 1 có tọa độ x OH1 4 , 5cm; y Áp dụng phương trình ( 10) ta có :
79 , 4
4
1 75 , 43 25 , 56
25 , 20
4
1 3 2
1 2 10 3 2
1 2
5 , 4
2
2
2 2 2
2
2 2 2
y
y
y
Khoảng cách từ M 1 đến S 2 là :
cm y
H S S
1 2 2
Vậy : Khoảng cách nhỏ nhất cần tìm là 9,75cm.
Bài toán 5 : Trên bề mặt chất lỏng có hai nguồn phát sóng kết hợp tại S 1
và S 2 cách nhau khoảng L 10 cm dao động cùng biên độ, ngược pha nhau Sóng
do mỗi nguồn phát ra có bước sóng 2cm Gọi O là trung điểm của S 1 S 2 , M là điểm cực đại nằm trên đường tròn tâm O đường kính S 1 S 2 gần trung trực của S 1 S 2
nhất Xác định khoảng cách từ M đến S 1 S 2 và trung trực của S 1 S 2
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ O trùng với trung điểm của
S 1 S 2
.
.
y
O
.M1(x,y)
H1
2
k
M2
.
H2
Trang 11Điểm cực đại trên đường tròn tâm O đường kính S 1 S 2 gần trung trực của
S 1 S 2 nhất là điểm M nằm trên đường cực đại ứng với k 0 như hình vẽ
Vì M(x, y) thuộc đường tròn tâm O bán
kính R L 5cm
2
* 25 2 2
x
Vì M(x, y) thuộc đường hypebol ứng
với k 0 nên từ phương trình (10) ta có:
* 4
1 99
4
1 2 2
1 0 10 2 2
1 0
2 2
2 2 2
2
2 2 2
y x
y x
Giải hệ phương trình (*) và (**) ta được :
cm y
cm x
95 , 4 71 , 0
Vậy : Khoảng cách từ M đến S 1 S 2 và đến trung trực của S 1 S 2 lần lượt là 4,95cm
và 0,71cm.
Bài toán 6 : Trên bề mặt chất lỏng có hai nguồn phát sóng kết hợp tại S 1
và S 2 cách nhau khoảng L 8cm dao động cùng biên độ, ngược pha nhau Sóng
do mỗi nguồn phát ra có bước sóng 3cm Gọi O là trung điểm của S 1 S 2 Điểm
cực tiểu thuộc đường tròn đường kính OS 2 cách O đoạn lớn nhất bao nhiêu ?
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ O trùng với trung điểm của
S 1 S 2
Ta thấy 2 , 67
3
8
L
Do đó điểm cực tiểu thuộc đường tròn đường kính
OS2 cách O đoạn lớn nhất là điểm M(x,y) trên đường cực tiểu ngoài cùng ứng
với k 2 như hình vẽ
Tọa độ tâm I của đường tròn là:
0
2 4
I
I
y
cm L
x
Vì M(x,y) thuộc đường tròn tâm I,
bán kính R L 2cm
4
nên ta có:
22 2 2 4 (*)
x
-11-.
.
y
O
.
M(x,y)
0
k
.
.
.M(x,y)k 2
x
.
I y
Trang 12Vì M(x,y) thuộc đường cực tiểu ứng với k 2 nên áp dụng phương trình (6) ta có:
* * 63
9 7
4
1 28 36
4
1 3 2 8 3 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
y x
y x
y x
Từ (*) và (**) ta được :
02 , 2 60 , 11
2 2
y x
Khoảng cách lớn nhất cần tìm là : MO x2 y2 11 , 6 2 , 02 3 , 69cm
Nhận xét: Trên đây là các bài toán áp dụng phương trình hypebol để tìm
khoảng cách Trong đó bài toán 1,2,3 là các bài toán xét cho trường hợp hai nguồn dao động cùng pha, bài toán 4,5,6 là các bài toán xét cho trường hợp hai nguồn dao động ngược pha Qua đây, tôi xin tổng kết lại các bước chính để giải dạng toán này như sau:
Bước 1: Xác định giá trị k của điểm cực đại hoặc cực tiểu cần khảo sát Bước 2: Vận dụng phương trình (6) hoặc (10) tìm được tọa độ x, y của
điểm cực đại hoặc cực tiểu đó, có thể kết hợp thêm với phương trình đường tròn,
elíp…nếu cần thiết
Bước 3: Xác định khoảng cách cần tìm theo tọa độ x hoặc y mà bài toán yêu
cầu
IV Hiệu quả của đề tài.
Trong quá trình áp dụng đề tài vào thực tiễn, tôi nhận thấy đề tài đã đem lại những hiệu quả sau:
+ Giúp học sinh có thêm phương pháp mới để giải nhanh các bài tập tìm khoảng cách trong giao thoa sóng cơ học
+ Củng cố thêm lý thuyết đường hypebol và hệ thống vân giao thoa sóng
cơ học Qua đó giúp học sinh biết liên hệ tốt hơn giữa kiến thức vật lý và kiến thức toán học để hiểu sâu kiến thức, phát triển tư duy hoàn thiện hơn
+ Tôi đã trao đổi kinh nghiệm với các giáo viên trong tổ bộ môn, nên đề tài đã được các giáo viên trong tổ bộ môn áp dụng vào giảng dạy, đặc biệt là trong quá trình ôn thi đại học, bồi dưỡng học sinh giỏi…
